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第三章 函数
3.4 数学建模活动：决定苹果的最
佳出售时间点
「学习目标」
1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题，提升数学运算与数学
建模的核心素养.
2.了解怎样从现实世界中发现问题，并通过数学建模解决实际问题.培养数学抽象、数学
建模的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.解函数应用题的方法
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽
象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；
第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题
作答.
2.解决函数应用题的关键
一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标
系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；
二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.
3.函数模型应用的类型
（1）利用给定的函数模型解决实际问题.关键是考虑考查的是何种函数，并要注意定义
域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义进行解答.
（2）建立已学过的函数模型解决实际问题：一是读懂题意；二是建立函数关系；三是
转化为函数问题解决；四是还原到实际问题.
（3）建立函数模型解决实际问题.大多数实际问题都不能事先知道函数模型，需要通过
科学观察和测试得出一些数据，画出散点图，根据散点图的形状、通过函数拟合的方法
确定函数模型.
［做一做］ 如图表示人的体重与年龄的关系，则( )
D
A.体重随年龄的增长而增加
B.25岁之后体重不变
C.体重增加最快的是15岁至25岁
D.体重增加最快的是15岁之前
拓展总结
函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模
型，并利用所得函数模型解释有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决
实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、
减小计算量.
课堂探究
素养培育
探究点一 图表信息函数模型
D
方法总结
解图表信息问题的一般步骤：（1）观察图象，捕捉有效信息；（2）对已获取信息进行
加工，分清变量之间的关系；（3）处理信息，作出合理的推断，并加以解决.
［针对训练］ 假设你有一笔资金用于投资，现有三种
投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.
横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，
若使回报最多，下列说法错误的是( )
D
A.投资3天以内（含3天），采用方案一 B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二
探究点二 函数模型的建立问题
［例2］ 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，
卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出
400份，其余10天每天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问：每天应
该从报社买多少份报纸才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱.
数量/份 价格/（元/份） 金额/元
买进 0.20
卖出 0.30
退回 0.08
方法总结
信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以厘清关系时，可采
用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等.
（单位：天）的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系.
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的纯收益最大？
探究点三 拟合函数模型（近似函数模型）
1 2 3 4 5 6
所获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
1 2 3 4 5 6
所获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，请你设计一个资金投入方案，使该经
营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润.
（结果保留两位有效数字）
解：以投资金额为横坐标，纯利润
为纵坐标，在平面直角坐标系中画
出散点图，如图所示.
方法总结
建立拟合函数模型解决实际问题.大多数实际问题都不能事先知道函数模型，需要通过
科学观察和测试得出一些数据，画出散点图，根据散点图的形状，通过函数拟合的方法
确定函数模型.
年序
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
年序
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
续表
解：描点作图如图（1）.
（1）
（2）
（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25，则可以灌溉土地多少.
「当堂检测」
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，如图，
纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的
是( )
D
A. B. C. D.
A
A. B. C. D.
甲
[解析] 图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象（图略），比较发
现选甲更好.
「备用例题」
［例1］ 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和缴费如表所示：
月份 用气量 煤气费
一 4元
二 14元
三 19元
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
（2）试问：如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
选题明细表
知识点、方法 题号
图表信息函数模型 1,2,5,7,8
函数模型的建立及应用 3,4,6,9
拟合函数模型及综合 10,11
基础巩固
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( C )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.分段函数模型
D.无法确定
解析:由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型.
2.如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的图象大致是( C )
解析:由题图知,开始h=0时阴影部分面积最大,排除A,B,对应阴影部分的面积S随着h的增大而减小,且减小的速度越来越小.
3.某品种鲜花进货价5元/枝,据市场调查,当销售价格x元/枝在x∈[5,15]时,每天售出该鲜花枝数p(x)=,若想每天获得的利润最多,则销售价格应定为( D )
A.9元 B.11元 C.13元 D.15元
解析:设每天的利润为y元,则y=(x-5)·=500(1-),5≤x≤15,
显然此函数是增函数,故当x=15时,y取得最大值.
4.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过1小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,依此类推.若甲停车时间为x小时,则甲应付费为(单位:元)( C )
A.2[x+1] B.2([x]+1)
C.2{x} D.{2x}
解析:如x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D.
5.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:百辆)与净利润y(单位:十万元)之间关系如图(图象为抛物线的一部分),为使每百辆摩托车获得净利润最大,应生产摩托车 百辆.
解析:设y=a(x-6)2+11,将(4,7)代入,4a+11=7,解得a=-1.故y=-(x-6)2+11,令y=0得x1=6-,x2=6+.所以y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25,x∈[6-,6+],==12-(x+),因为x∈[6-,
6+],所以x+≥2=10,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故=12-(x+)≤12-10=2,故要想使每百辆摩托车获得净利润最大,应生产摩托车5百辆.
答案:5
6.如图,直角三角形ABC是一个展览厅的俯视图,矩形DEFG是中心舞台,已知AC=3,BC=4.
(1)要使中心舞台的面积大于,求DE的取值范围;
(2)当DE的长度为多少时,中心舞台的面积最大 并求出最大的面积.
解:(1)由题意,AB=5,设DE=x,则GF=x,由△CGF∽△CAB可得==,
所以CG=x,CF=x,
由△EBF∽△CBA可得=,
所以EF=-x,
矩形DEFG的面积S=DE·EF=(-x)·x=-x2+x>,
解得2(2)矩形DEFG的面积S=DE·EF=(-x)·x=-x2+x=-(x-)2+3,根据二次函数的性质可知当x=时,S取得最大值3.
能力提升
7.(多选题)如图,表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息,其中正确信息的序号是( AB )
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h
B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
解析:由时间轴知骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h,A正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,B正确;摩托车速度为40 km/h,骑摩托车者出发1 h后距离骑自行车者10 km,自行车后2 h速度为15 km/h,故骑摩托车者还需要=(h)追上骑自行车者,故骑摩托车者在出发1.4 h后追上了骑自行车者,故C,D错误.
8.(多选题)图①是某大型游乐场的游客人数x(单位:万人)与收支差额y(单位:万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象,销售初期该游乐场为亏损状态,为了实现扭亏为盈,游乐场采取了两种措施,图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是( ABD )
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,该游乐场的收支恰好平衡
C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
解析:题图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元,A正确;题图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,B正确;题图②游乐场实行的措施是提高门票的售价,C错误;题图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,D正确.
9.(多选题)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列结论正确的有( AC )
A.函数f(x)的最大值为12
B.函数f(x)的最小值为6
C.关于x的方程f(x)=kx+3最多有6个实数根
D.当x=3时,f(x)能取得最大值
解析:P在AB上运动时的函数解析式
f(x)=|OP|2=3+(x-3)2(0≤x≤6),
P在BC上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-9)2(6P在CA上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-15)2(12≤x≤18),
f(x)=|OP|2=
如图,方程f(x)=kx+3最多有6个实数根,函数f(x)的最大值为12,最小值为3,当x=3时,f(x)能取得最小值.
10.暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道.据统计,在不考虑其他因素的条件下,某段下水道的排水量V(单位:m3/h)是垃圾杂物密度x(单位:kg/m3)的函数.当下水道的垃圾杂物密度达到3 kg/m3时,会造成堵塞,此时排水量为0;当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h;研究表明,当0.5(1)当0≤x≤3时,求函数V(x)的表达式;
(2)当垃圾杂物密度x为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量,单位:kg/h)f(x)=x·V(x)可以达到最大 求出这个最大值.
解:(1)因为当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h,
所以V(x)=80,0≤x≤0.5,
因为当0.5所以设为V(x)=mx+n(m≠0),将(0.5,80),(3,0)代入,得解得m=-32,n=96,
所以V(x)=-32x+96,0.5所以V(x)=
(2)由题意可得
f(x)=x·V(x)=
当0≤x≤0.5时,f(x)=80x单调递增,
所以f(x)max=f(0.5)=40,
即f(x)的最大值为40 kg/h.
当0.5f(x)=32x(3-x)≤32×()2=72(当且仅当x=时,等号成立).
所以当垃圾杂物密度x= kg/m3时,f(x)取得最大值72 kg/h.
应用创新
11.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正实数).该商品的日销售量Q(x)(单位:个)与时间x(单位:天)部分数据如下表所示:
第x天 10 20 25 30
Q(x)/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下两种函数模型:①Q(x)=ax+b,
②Q(x)=a|x-25|+b,请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)在(2)的情况下,求该商品的日销售收入f(x)(0≤x≤30,x∈N+)(单位:元)的最小值.
解:(1)由题意,得第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)= (1+)×110=121,
解得k=1.
(2)由题意,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减并不单调,故选②,
因为Q(x)=a|x-25|+b,
Q(10)=110,Q(20)=120,
所以解得a=-1,b=125.
所以Q(x)=125-|x-25|,1≤x≤30,x∈N+.
(3)由(2)可知Q(x)=125-|x-25|=
所以f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x≤25时,由对勾函数知y=x+在[1,10]上单调递减,在[10,25]上单调递增,
所以当x=10时,f(x)取最小值,f(x)min=121,
当25所以当x=30时,f(x)取最小值,f(x)min=124.
综上,当x=10时,f(x)取最小值,f(x)min=121.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
学习目标
1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题,提升数学运算与数学建模的核心素养.
2.了解怎样从现实世界中发现问题,并通过数学建模解决实际问题.培养数学抽象、数学建模的核心素养.
知识探究
1.解函数应用题的方法
第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题转化成数学问题,即实际问题数学化;
第二步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;
第三步:将所得函数问题的解代入实际问题进行验证,看是否符合实际,并对实际问题作答.
2.解决函数应用题的关键
一是实际问题数学化,即在理解的基础上,通过列表、画图,引入变量,建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题,把文字语言翻译成数学符号语言;
二是对得到的函数模型进行解答,得出数学问题的解,要注重数学能力的培养.
3.函数模型应用的类型
(1)利用给定的函数模型解决实际问题.关键是考虑考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义进行解答.
(2)建立已学过的函数模型解决实际问题:一是读懂题意;二是建立函数关系;三是转化为函数问题解决;四是还原到实际问题.
(3)建立函数模型解决实际问题.大多数实际问题都不能事先知道函数模型,需要通过科学观察和测试得出一些数据,画出散点图,根据散点图的形状、通过函数拟合的方法确定函数模型.
[做一做]
如图表示人的体重与年龄的关系,则( D )
A.体重随年龄的增长而增加
B.25岁之后体重不变
C.体重增加最快的是15岁至25岁
D.体重增加最快的是15岁之前
解析:因为函数不是增函数,所以A错误;在[25,50]上为增函数,故B错误;[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快.
函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象.对某些发展趋势进行预测,在用函数模型解决实际问题的过程中,涉及复杂的数据处理,要注意充分发挥信息技术的作用,简化过程、减小计算量.
探究点一 图表信息函数模型
[例1] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析:对于A选项,由题图可知,消耗1 L汽油,乙车最多行驶里程大于5 km,则A错误;
对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,甲车耗油最少,则B错误;
对于C选项,甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,行驶1 h,消耗汽油80×1÷10=8(L),则C错误;
对于D选项,当行驶速度小于80 km/h,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D正确.故选D.
解图表信息问题的一般步骤:(1)观察图象,捕捉有效信息;(2)对已获取信息进行加工,分清变量之间的关系;(3)处理信息,作出合理的推断,并加以解决.
[针对训练] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.
横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法错误的是( )
A.投资3天以内(含3天),采用方案一
B.投资4天,不采用方案三
C.投资6天,采用方案一
D.投资12天,采用方案二
解析:由题图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确;投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确;投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+
60=210(元),C正确;投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时采用方案三,D错误.故选D.
探究点二 函数模型的建立问题
[例2] 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问:每天应该从报社买多少份报纸才能使每月所获得的利润最大 并计算每月最多能赚多少钱.
解:设每天从报社买进x(250≤x≤400)份,
数量/份 价格/(元/份) 金额/元
买进 30x 0.20 6x
卖出 20x+10×250 0.30 6x+750
退回 10(x-250) 0.08 0.8x-200
则每月获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x+550(250≤x≤400),
因为y在x∈[250,400]上是一次函数且是增函数,所以当x=400时,y取得最大值870.
故每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,每月最多能赚870元.
信息量大是数学应用题的一大特点,当所给条件错综复杂,一时难以厘清关系时,可采用列表分析的方法,有些典型应用题也可以画出相应的图形,建立坐标系等.
[针对训练] 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系.
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益,问:何时上市的纯收益最大
解:(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系式为f(t)=
由题图②可得种植成本与时间的函数关系式为
g(t)=(t-150)2+100,0(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t),
则由题意,得h(t)=f(t)-g(t),
即h(t)=
当0h(t)=-(t-50)2+100,
当t=50时,h(t)取得最大值100;
当200h(t)=-(t-350)2+100,
当t=300时,h(t)取得最大值87.5.
综上,当t=50,即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.
探究点三 拟合函数模型(近似函数模型)
[例3] 某个体经营者把最初六个月试销售A,B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表:
A种商品的 投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利 润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
B种商品的 投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利 润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,请你设计一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润.(结果保留两位有效数字)
解:以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(单位:万元)与投资金额x(单位:万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合.
取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),
把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,
所以y1=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y2(单位:万元)与投资金额x(单位:万元)之间的变化规律可以用一次函数模型进行拟合.
设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得
所以y2=0.25x.
设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(单位:万元),获得的纯利润分别为yA,yB(单位:万元),总纯利润为W(单位:万元),
则
所以W=-0.15(xA-)2+.
当xA=≈3.2时,W取最大值,约为4.1,
此时xB=8.8,
即该经营者下个月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.
建立拟合函数模型解决实际问题.大多数实际问题都不能事先知道函数模型,需要通过科学观察和测试得出一些数据,画出散点图,根据散点图的形状,通过函数拟合的方法确定函数模型.
[针对训练] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如下表所示.
年序 最大积雪深度x 灌溉面积y
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图象;
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出
图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25,则可以灌溉土地多少.
解:(1)描点作图如图(1).
(2)从图(1)中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足一次函数模型y=ax+b(a≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
代入y=ax+b,得
解得a≈1.8,b≈2.4.
这样,我们得到一个函数模型y=1.8x+2.4.作出函数图象如图(2),可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由y=1.8×25+2.4,得y=47.4,即当最大积雪深度为25时,可以灌溉土地47.4.
当堂检测
1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路,如图,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该生走法的是( D )
解析:由于d0表示学生的家与学校的距离,因而首先排除A,C选项,又因为题图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小,因而排除B.
2.如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,设M是CD边的中点,则当点P沿着A—B—C—M运动时,以点P经过的路程x为自变量,三角形APM的面积y为因变量的函数的图象形状大致是( A )
解析:当0≤x≤1时,y=x×1=x;
当1y=1-(x-1)-(2-x)-=-x+;
当2则y=故图象为A.
3.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.
解析:图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较发现选甲更好.
答案:甲
备用例题
[例1] 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和缴费如表所示:
月份 用气量 煤气费
一 4 m3 4元
二 25 m3 14元
三 35 m3 19元
该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量A m3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A,B的值.
解:设月用气量为x m3,缴的煤气费为y元,依题意有y=
因为0所以二、三月份煤气费满足
解得
若一月份用气超过A m3,则4>A,
所以4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.
所以4=3+C,C=1,B=,A=5.
[例2] 大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a(单位:万元)满足M=
N=a+20.设甲合作社的投入为x(单位:万元),两个合作社的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益;
(2)试问:如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大
解:(1)当甲合作社投入为25万元时,则乙合作社投入为47万元,此时两个合作社的总收益为f(25)=4+25+×47+20=88.5(万元).
(2)甲合作社的投入为x万元(15≤x≤57),则乙合作社的投入为
(72-x)万元,
当15≤x≤36时,则36≤72-x≤57,
f(x)=4+25+(72-x)+20=-x+4+81.
令t=,得≤t≤6,
则总收益为g(t)=-t2+4t+81=-(t-4)2+89,
显然当t=4时,函数取得最大值g(t)=89=f(16),
即此时甲投入16万元,乙投入56万元时,总收益最大,最大收益为89万元;
当36则f(x)=49+(72-x)+20=-x+105,
则f(x)在(36,57]上单调递减,
所以f(x)即此时甲、乙总收益小于87万元.
又89>87,所以政府应在甲合作社投入16万元,在乙合作社投入56万元,总收益最大,最大总收益为89万元.
选题明细表
知识点、方法 题号
图表信息函数模型 1,2,5,7,8
函数模型的建立及应用 3,4,6,9
拟合函数模型及综合 10,11
基础巩固
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( C )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.分段函数模型
D.无法确定
解析:由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型.
2.如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的图象大致是( C )
解析:由题图知,开始h=0时阴影部分面积最大,排除A,B,对应阴影部分的面积S随着h的增大而减小,且减小的速度越来越小.
3.某品种鲜花进货价5元/枝,据市场调查,当销售价格x元/枝在x∈[5,15]时,每天售出该鲜花枝数p(x)=,若想每天获得的利润最多,则销售价格应定为( D )
A.9元 B.11元 C.13元 D.15元
解析:设每天的利润为y元,则y=(x-5)·=500(1-),5≤x≤15,
显然此函数是增函数,故当x=15时,y取得最大值.
4.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过1小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,依此类推.若甲停车时间为x小时,则甲应付费为(单位:元)( C )
A.2[x+1] B.2([x]+1)
C.2{x} D.{2x}
解析:如x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D.
5.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:百辆)与净利润y(单位:十万元)之间关系如图(图象为抛物线的一部分),为使每百辆摩托车获得净利润最大,应生产摩托车 百辆.
解析:设y=a(x-6)2+11,将(4,7)代入,4a+11=7,解得a=-1.故y=-(x-6)2+11,令y=0得x1=6-,x2=6+.所以y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25,x∈[6-,6+],==12-(x+),因为x∈[6-,
6+],所以x+≥2=10,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故=12-(x+)≤12-10=2,故要想使每百辆摩托车获得净利润最大,应生产摩托车5百辆.
答案:5
6.如图,直角三角形ABC是一个展览厅的俯视图,矩形DEFG是中心舞台,已知AC=3,BC=4.
(1)要使中心舞台的面积大于,求DE的取值范围;
(2)当DE的长度为多少时,中心舞台的面积最大 并求出最大的面积.
解:(1)由题意,AB=5,设DE=x,则GF=x,由△CGF∽△CAB可得==,
所以CG=x,CF=x,
由△EBF∽△CBA可得=,
所以EF=-x,
矩形DEFG的面积S=DE·EF=(-x)·x=-x2+x>,
解得2(2)矩形DEFG的面积S=DE·EF=(-x)·x=-x2+x=-(x-)2+3,根据二次函数的性质可知当x=时,S取得最大值3.
能力提升
7.(多选题)如图,表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息,其中正确信息的序号是( AB )
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h
B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
解析:由时间轴知骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h,A正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,B正确;摩托车速度为40 km/h,骑摩托车者出发1 h后距离骑自行车者10 km,自行车后2 h速度为15 km/h,故骑摩托车者还需要=(h)追上骑自行车者,故骑摩托车者在出发1.4 h后追上了骑自行车者,故C,D错误.
8.(多选题)图①是某大型游乐场的游客人数x(单位:万人)与收支差额y(单位:万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象,销售初期该游乐场为亏损状态,为了实现扭亏为盈,游乐场采取了两种措施,图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是( ABD )
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,该游乐场的收支恰好平衡
C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
解析:题图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元,A正确;题图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,B正确;题图②游乐场实行的措施是提高门票的售价,C错误;题图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,D正确.
9.(多选题)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列结论正确的有( AC )
A.函数f(x)的最大值为12
B.函数f(x)的最小值为6
C.关于x的方程f(x)=kx+3最多有6个实数根
D.当x=3时,f(x)能取得最大值
解析:P在AB上运动时的函数解析式
f(x)=|OP|2=3+(x-3)2(0≤x≤6),
P在BC上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-9)2(6P在CA上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-15)2(12≤x≤18),
f(x)=|OP|2=
如图,方程f(x)=kx+3最多有6个实数根,函数f(x)的最大值为12,最小值为3,当x=3时,f(x)能取得最小值.
10.暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道.据统计,在不考虑其他因素的条件下,某段下水道的排水量V(单位:m3/h)是垃圾杂物密度x(单位:kg/m3)的函数.当下水道的垃圾杂物密度达到3 kg/m3时,会造成堵塞,此时排水量为0;当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h;研究表明,当0.5(1)当0≤x≤3时,求函数V(x)的表达式;
(2)当垃圾杂物密度x为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量,单位:kg/h)f(x)=x·V(x)可以达到最大 求出这个最大值.
解:(1)因为当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h,
所以V(x)=80,0≤x≤0.5,
因为当0.5所以设为V(x)=mx+n(m≠0),将(0.5,80),(3,0)代入,得解得m=-32,n=96,
所以V(x)=-32x+96,0.5所以V(x)=
(2)由题意可得
f(x)=x·V(x)=
当0≤x≤0.5时,f(x)=80x单调递增,
所以f(x)max=f(0.5)=40,
即f(x)的最大值为40 kg/h.
当0.5f(x)=32x(3-x)≤32×()2=72(当且仅当x=时,等号成立).
所以当垃圾杂物密度x= kg/m3时,f(x)取得最大值72 kg/h.
应用创新
11.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正实数).该商品的日销售量Q(x)(单位:个)与时间x(单位:天)部分数据如下表所示:
第x天 10 20 25 30
Q(x)/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下两种函数模型:①Q(x)=ax+b,
②Q(x)=a|x-25|+b,请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)在(2)的情况下,求该商品的日销售收入f(x)(0≤x≤30,x∈N+)(单位:元)的最小值.
解:(1)由题意,得第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)= (1+)×110=121,
解得k=1.
(2)由题意,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减并不单调,故选②,
因为Q(x)=a|x-25|+b,
Q(10)=110,Q(20)=120,
所以解得a=-1,b=125.
所以Q(x)=125-|x-25|,1≤x≤30,x∈N+.
(3)由(2)可知Q(x)=125-|x-25|=
所以f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x≤25时,由对勾函数知y=x+在[1,10]上单调递减,在[10,25]上单调递增,
所以当x=10时,f(x)取最小值,f(x)min=121,
当25所以当x=30时,f(x)取最小值,f(x)min=124.
综上,当x=10时,f(x)取最小值,f(x)min=121.
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