1.1 集 合
1.1.1 集合及其表示方法
第一课时 集合的概念
学习目标
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的关系,培养数学抽象与逻辑推理的核心素养.
2.能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,培养数学抽象的核心素养.
3.在具体情境中,了解空集的含义,培养数学抽象的核心素养.
情境导入
高一开学第二天,某学校通知:上午8点,穿着军训服装,在学校体育馆举行军训动员大会.
探究:这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象 军训动员大会结束后,为了了解同学们对军训的看法,决定留下40名同学进行问卷调查.若留取的条件是:留下40名身高比较高的同学,你觉得这个留取条件有确定的标准吗
答案:全体高一学生.没有确定的标准,因为“身高比较高”不是一个确定的标准.
知识探究
1.集合的概念
(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).
集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示.
(2)元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,…表示.
[思考1] 集合中的元素只能是数、点、代数式吗
提示:组成集合的元素除了常见的数、点、代数式等数学对象,也可以是其他任何形式的对象,只要是有确定标准的对象即可.另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
2.元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A
不属于 a不是集合A的元素 a A a不属于A
3.空集
一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作 .
4.集合的元素的三个特点
特点 意义
确定性 集合的元素必须是确定的,即给定元素a和集合A,a∈A与a A必居其一
互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的,即a∈A,且b∈A时,必有a≠b
无序性 集合中的元素可以任意排列
5.集合相等
给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.
6.集合的分类及常用数集
(1)集合的分类
①有限集:含有有限个元素的集合称为有限集;空集可以看成包含0个元素的集合,所以是有限集.
②无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.
(2)常用数集
名称 自然 数集 正整 数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N+或N* Z Q R
[思考2] 非负整数集与正整数集有何区别 最小的自然数是什么
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.由于自然数又称为非负整数,因此最小的自然数是0.
关于空集的理解:(1)空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中没有任何元素,故称为空集.例如,由“方程x2+1=0的实数根”组成的集合,因为没有适合该集合的元素,所以它是空集.(2)不要将实数0或只含一个元素0的集合与空集混为一谈.实数0只能作为元素出现,它不是集合,只含一个元素0的集合不等同于空集,因为它含有元素,只不过是0而已.
探究点一 集合的概念
[例1] 下列各对象可以组成集合的是( )
A.与1非常接近的全体实数
B.中国著名的数学家
C.高一年级视力比较好的同学
D.某学校2022—2023学年度第一学期全体高一学生
解析:由于“与1非常接近的实数”没有确定性,A错误;
“著名”没有确定的标准,因此B错误;
“视力比较好”没有确定的标准,因此C错误;
由于“某学校2022—2023学年度第一学期全体高一学生”具有确定性、互异性和无序性,因此D正确.故选D.
判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.应特别注意,含有不确定的模棱两可的对象,不是数学意义上的集合.
[针对训练](多选题)下列说法正确的是( )
A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于3的所有自然数构成一个集合
解析:由于花坛上色彩艳丽的花朵具有不确定性,不能构成一个集合,故A错误;由于正方体的全体能构成一个集合,故B正确;由于未来世界的高科技产品是一个不确定的概念,因此不能构成一个集合,故C错误;不大于3的所有自然数能构成一个集合,故D正确.故选BD.
探究点二 元素与集合之间的关系
[例2] (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;② Q;③0∈N*;④|-5| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
解析:(1)π是实数;是无理数;0不是正整数;
|-5|=5,5是正整数,则①②正确.故选B.
(2)由题知,若a=2∈A,则6-a=4∈A,所以a=2.
若a=4∈A,则6-a=2∈A,所以a=4.
综上知,a=2或4.
故选B.
判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
[针对训练] 已知不等式3x-9>0的解集为M.
(1)试判断元素1,4与集合M的关系;
(2)若a M,试求a的取值满足的条件.
解:(1)因为3×1-9<0,所以1 M.
又因为4×3-9>0,所以4∈M.
(2)因为a M,所以a属于不等式3x-9≤0的解集,即3a-9≤0,所以a≤3.
探究点三 集合中元素的特性
[例3] 已知集合A由元素12,9+4a,a-2组成,且-3∈A,求实数a的值.
解:因为集合A由元素12,9+4a,a-2组成,
且-3∈A,
所以9+4a=-3或a-2=-3.
当9+4a=-3时,a=-3,
若a=-3,则9+4a=-3,a-2=-5,满足题意;
当a-2=-3时,
解得a=-1,
若a=-1,则9+4a=5,a-2=-3,满足题意.
综上,a=-1或a=-3.
[变式探究] 若条件“-3∈A”改为“16a+28∈A”,求实数a的值.
解:因为集合A由元素12,9+4a,a-2组成,且16a+28∈A,
所以16a+28=12或16a+28=9+4a或a-2=16a+28.
当16a+28=12时,a=-1,经检验满足题意;
当9+4a=16a+28时,a=-,
经检验满足题意;
当a-2=16a+28时,a=-2,经检验满足题意.
综上可知,a=-1或a=-2或a=-.
处理集合中元素含字母的问题时,在求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用,要进行代入检验,舍去不符合集合中元素的互异性的值.
【学海拾贝】
元素与集合关系的综合运用
判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性,将元素变形为集合的元素特征的形式是判断的主要方法.
[典例探究]已知集合A中的元素x满足x=m+n,m,n∈Z.
(1)试分别判断x1=-,x2=,x3=(1-2)2与集合A的关系;
(2)设x1,x2∈A,证明:x1x2∈A.
(1)解:x1=-=0+(-1)×,
因为0,-1∈Z,所以x1∈A;
x2===1+×,
因为1∈Z, Z,所以x2 A;
x3=(1-2)2=9-4=9+(-4)×,
因为9,-4∈Z,所以x3∈A.
(2)证明:因为x1,x2∈A,所以可设x1=m1+n1,x2=m2+n2,且m1,n1,m2,n2∈Z,
所以x1x2=(m1+n1)(m2+n2)=m1m2+(m2n1+m1n2)+2n1n2
=(m1m2+2n1n2)+(m2n1+m1n2).
因为m1m2+2n1n2∈Z,m2n1+m1n2∈Z,
所以x1x2∈A.
[应用探究](多选题)设所有被4除余数为k(k=0,1,2,3)(其一般形式是x=4n+k,n∈Z)的整数组成的集合为Ak,则下列结论正确的是( )
A.2 024∈A0
B.a+b∈A3,则a∈A1,b∈A2
C.-1∈A3
D.a∈Ak,b∈Ak,则a-b∈A0
解析:由于x=4n+k表示被4除余数为k的数.对于A,2 024÷4=506,余数为0,A正确;若a+b∈A3,不妨取a=0,b=3,则此时a A1且b A2,B错误;-1=4×(-1)+3,C正确;因为a=4n+k,b=4n′+k,故a-b=4(n-n′)+0,D正确.故选ACD.
当堂检测
1.下列元素与集合的关系中,正确的是( B )
A.-1∈N B.0 N*
C.∈Q D.π∈Z
解析:-1 N,0 N*, Q,π Z.
2.下列各组对象中不能构成集合的是( A )
A.高一数学课本中较难的题
B.某校高二(2)班全体学生家长
C.某校高三年级开设的所有课程
D.某校高一(12)班个子高于1.7 m的学生
解析:对A,高一数学课本中较难的题不具有确定性,不能构成集合;对BCD,各组对象均满足确定性、互异性和无序性,能构成集合.
3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列正确的是( B )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
解析:当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0 M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.
4.在方程x2-4x+4=0的解集中,有 个元素.
解析:易知方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2,由集合元素的互异性知,方程的解集中只有1个元素.
答案:1
备用例题
[例1] 已知集合M有三个元素a,b,c可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定不是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:根据集合元素的互异性可知a,b,c三个元素互不相等,则此三角形一定不是等腰三角形.故选D.
[例2] 由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多可含有的元素个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为=|x|,()2=|x|2=x2,
-=-x,
所以实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合最多含有x,-x,x2 3个元素.
故选B.
[例3] 集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为 .
解析:因为x∈N,∈N,
所以3-x=1或2或3.
当3-x=3,即x=0时,==2∈N;
当3-x=2,即x=1时,==3∈N;
当3-x=1,即x=2时,==6∈N.
所以A中的元素有0,1,2.
答案:0,1,2
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的概念及其元素的特性 2,3,5,10,12
元素与集合间的关系 1,4,6,7,9,11
集合的应用 8,13
基础巩固
1.下列表述正确的是( A )
A.-3∈Z B.π R
C.∈Q D.-1∈N
解析:-3是整数,则-3∈Z正确;π是实数,则π∈R,B错误;是无理数,则 Q,C错误;-1不是自然数,则-1 N,D错误.
2.下列各项中,不可以组成集合的是( C )
A.所有的正数
B.方程x2-1=0的实数根
C.中国著名的高等院校
D.不等于0的偶数
解析:“中国著名的高等院校”,对象不确定,不能构成集合.
3.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来;北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M,则M中元素的个数为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由集合中元素的互异性知,两个“墩”相同,去掉一个,“容”“融”不同,都保留,所以有5个元素.
4.已知集合A含有a,|a|,a-2三个元素,若2∈A,则实数a为( C )
A.±2或4 B.2 C.-2 D.4
解析:因为2∈A,所以a=2或|a|=2或a-2=2,解得a=±2或a=4,检验得当a=2和a=4时,不满足互异性,所以a=-2.
5.下列说法正确的是( A )
A.由小于8的正整数组成一个集合
B.方程|x+1|=0的解构成的集合是空集
C.由-1,0,1组成的集合和由-,1,0组成的集合不相等
D.某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
解析:小于8的正整数,符合集合的定义,能构成集合,故A正确;
由|x+1|=0 x=-1,
故方程|x+1|=0的解构成的集合不是空集,故B错误;
{-1,0,1}={-,1,0},故C错误;
某班中上课认真听讲的同学没有明确定义,不能构成集合,故D错误.
6.设集合A是由1,k2为元素组成的集合,则实数k的取值满足的条件是 .
解析:因为1∈A,k2∈A,根据集合中元素的互异性知,k2≠1,所以k≠±1.
答案:k≠±1
7.已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若x∈A,且x B,则x= .
解析:由已知得集合A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5两个元素,因此当x∈A,且x B时,x=3.
答案:3
8.已知x,y为非零实数,代数式+所有可能的值所组成的集合是M,试写出集合M中的两个元素为 .
解析:①当x,y为正数时,代数式+的值为2;②当x,y为一正一负时,代数式+的值为0;③当x,y均为负数时,代数式+的值为-2,所以集合M的元素共有3个:-2,0,2.
答案:-2,0,2中的任意两个即可(答案不唯一)
能力提升
9.设集合A中的元素是-1,0,1,2,3,且集合B中的元素满足x∈A,且-x∈A,则集合B中元素的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为-1∈A,且1∈A,0的相反数是0,0∈A,所以-1∈B,1∈B,
0∈B,
故B中元素为-1,1,0,所以元素个数为3.
10.(多选题)关于下列所给4个集合的说法正确的是( ABC )
(1)小于10 000的素数构成的集合;
(2)一元二次方程x2+x+1=0的全体实根之集;
(3)满足条件x+y=1(x∈N,y∈N)的实数组(x,y)构成的集合;
(4)满足条件平面直角坐标系内到原点的距离等于1且xy<0的所有实数组(x,y)的集合.
A.有1个空集 B.有1个无限集
C.有3个有限集 D.有2个有限集
解析:(1)由于小于10 000的素数存在,如2,3,5,7等,且为有限个,故小于10 000的素数构成的集合为有限集.
(2)由于Δ=1-4<0,方程无解,故一元二次方程x2+x+1=0的全体实根之集为空集,也是有限集.
(3)由x∈N,y∈N及x+y=1,可得或因此该集合有2个元素,是有限集.
(4)平面直角坐标系内到原点的距离等于1且xy<0的点是以原点为圆心,半径为1的圆在第二、四象限的点构成的集合,为无限集.
11.已知集合P中元素x满足:x∈N,且2
解析:因为x∈N,且2答案:6
12.集合A共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值 若能,则求出a的值;若不能,请说明理由.
解:因为9∈A,所以2a-1=9或a2=9,
若2a-1=9,则a=5,
此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,
当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意.
综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.
应用创新
13.(多选题)已知M是同时满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③x∈M且x≠0,则∈M.下列结论正确的是( ACD )
A.∈M
B.-1 M
C.若x,y∈M,则x+y∈M
D.若x,y∈M,则xy∈M
解析:由①②知0∈M,1∈M,则0-1=-1∈M,所以1-(-1)=2∈M,2-
(-1)=3∈M,由③得∈M,故A正确;
B错误;
由①知0∈M,因为y∈M,所以0-y=-y∈M,所以x-(-y)∈M,即x+y∈M,故C正确;
因为x,y,1∈M,则x-1∈M,由③可得∈M,∈M,所以-∈M,
则∈M,所以x(1-x)∈M,即x-x2∈M,所以x2∈M;
由选项C可知当x,y∈M,x+y∈M,所以+=∈M,+=∈M,
则∈M,∈M,
所以当x,y∈M,可得x2,y2,,∈M,
所以-=xy∈M,故D正确.
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1.1.1 集合及其表示方法
第一课时 集合的概念
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的概念及其元素的特性 2,3,5,10,12
元素与集合间的关系 1,4,6,7,9,11
集合的应用 8,13
基础巩固
1.下列表述正确的是( A )
A.-3∈Z B.π R
C.∈Q D.-1∈N
解析:-3是整数,则-3∈Z正确;π是实数,则π∈R,B错误;是无理数,则 Q,C错误;-1不是自然数,则-1 N,D错误.
2.下列各项中,不可以组成集合的是( C )
A.所有的正数
B.方程x2-1=0的实数根
C.中国著名的高等院校
D.不等于0的偶数
解析:“中国著名的高等院校”,对象不确定,不能构成集合.
3.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来;北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M,则M中元素的个数为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由集合中元素的互异性知,两个“墩”相同,去掉一个,“容”“融”不同,都保留,所以有5个元素.
4.已知集合A含有a,|a|,a-2三个元素,若2∈A,则实数a为( C )
A.±2或4 B.2 C.-2 D.4
解析:因为2∈A,所以a=2或|a|=2或a-2=2,解得a=±2或a=4,检验得当a=2和a=4时,不满足互异性,所以a=-2.
5.下列说法正确的是( A )
A.由小于8的正整数组成一个集合
B.方程|x+1|=0的解构成的集合是空集
C.由-1,0,1组成的集合和由-,1,0组成的集合不相等
D.某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
解析:小于8的正整数,符合集合的定义,能构成集合,故A正确;
由|x+1|=0 x=-1,
故方程|x+1|=0的解构成的集合不是空集,故B错误;
{-1,0,1}={-,1,0},故C错误;
某班中上课认真听讲的同学没有明确定义,不能构成集合,故D错误.
6.设集合A是由1,k2为元素组成的集合,则实数k的取值满足的条件是 .
解析:因为1∈A,k2∈A,根据集合中元素的互异性知,k2≠1,所以k≠±1.
答案:k≠±1
7.已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若x∈A,且x B,则x= .
解析:由已知得集合A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5两个元素,因此当x∈A,且x B时,x=3.
答案:3
8.已知x,y为非零实数,代数式+所有可能的值所组成的集合是M,试写出集合M中的两个元素为 .
解析:①当x,y为正数时,代数式+的值为2;②当x,y为一正一负时,代数式+的值为0;③当x,y均为负数时,代数式+的值为-2,所以集合M的元素共有3个:-2,0,2.
答案:-2,0,2中的任意两个即可(答案不唯一)
能力提升
9.设集合A中的元素是-1,0,1,2,3,且集合B中的元素满足x∈A,且-x∈A,则集合B中元素的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为-1∈A,且1∈A,0的相反数是0,0∈A,所以-1∈B,1∈B,
0∈B,
故B中元素为-1,1,0,所以元素个数为3.
10.(多选题)关于下列所给4个集合的说法正确的是( ABC )
(1)小于10 000的素数构成的集合;
(2)一元二次方程x2+x+1=0的全体实根之集;
(3)满足条件x+y=1(x∈N,y∈N)的实数组(x,y)构成的集合;
(4)满足条件平面直角坐标系内到原点的距离等于1且xy<0的所有实数组(x,y)的集合.
A.有1个空集 B.有1个无限集
C.有3个有限集 D.有2个有限集
解析:(1)由于小于10 000的素数存在,如2,3,5,7等,且为有限个,故小于10 000的素数构成的集合为有限集.
(2)由于Δ=1-4<0,方程无解,故一元二次方程x2+x+1=0的全体实根之集为空集,也是有限集.
(3)由x∈N,y∈N及x+y=1,可得或因此该集合有2个元素,是有限集.
(4)平面直角坐标系内到原点的距离等于1且xy<0的点是以原点为圆心,半径为1的圆在第二、四象限的点构成的集合,为无限集.
11.已知集合P中元素x满足:x∈N,且2解析:因为x∈N,且2答案:6
12.集合A共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值 若能,则求出a的值;若不能,请说明理由.
解:因为9∈A,所以2a-1=9或a2=9,
若2a-1=9,则a=5,
此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,
当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意.
综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.
应用创新
13.(多选题)已知M是同时满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③x∈M且x≠0,则∈M.下列结论正确的是( ACD )
A.∈M
B.-1 M
C.若x,y∈M,则x+y∈M
D.若x,y∈M,则xy∈M
解析:由①②知0∈M,1∈M,则0-1=-1∈M,所以1-(-1)=2∈M,2-
(-1)=3∈M,由③得∈M,故A正确;
B错误;
由①知0∈M,因为y∈M,所以0-y=-y∈M,所以x-(-y)∈M,即x+y∈M,故C正确;
因为x,y,1∈M,则x-1∈M,由③可得∈M,∈M,所以-∈M,
则∈M,所以x(1-x)∈M,即x-x2∈M,所以x2∈M;
由选项C可知当x,y∈M,x+y∈M,所以+=∈M,+=∈M,
则∈M,∈M,
所以当x,y∈M,可得x2,y2,,∈M,
所以-=xy∈M,故D正确.
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1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第一课时 集合的概念
第一章
集合与常用逻辑用语
「学习目标」
1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的关系，培养数学抽象与逻辑推理的核
心素养.
2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，培养数学抽象的核心素养.
3.在具体情境中，了解空集的含义，培养数学抽象的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
高一开学第二天，某学校通知：上午8点，穿着军训服装，在学校体育馆举行军训
动员大会.
探究：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？军训动员大会结束后，为了了解
同学们对军训的看法，决定留下40名同学进行问卷调查.若留取的条件是：留下40名身
高比较高的同学，你觉得这个留取条件有确定的标准吗？
[答案] 全体高一学生.没有确定的标准，因为“身高比较高”不是一个确定的标准.
「知识探究」
确定的
不同的
元素
［思考1］ 集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示:组成集合的元素除了常见的数、点、代数式等数学对象,也可以是其他任何形式的
对象,只要是有确定标准的对象即可.另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
2.元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于
不属于
3.空集
一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作___.
4.集合的元素的三个特点
特点 意义
确定性
互异性
无序性 集合中的元素可以任意排列
确定
不同
完全相同
6.集合的分类及常用数集
（1）集合的分类
①有限集：含有有限个元素的集合称为________；空集可以看成包含___个元素的集合，
所以是有限集.
②无限集：含有无限个元素的集合称为________.
（2）常用数集
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ ________ ___ ___ ___
有限集
0
无限集
［思考2］ 非负整数集与正整数集有何区别？最小的自然数是什么？
提示:非负整数集包括0，而正整数集不包括0.由于自然数又称为非负整数，因此最小的
自然数是0.
课堂探究
素养培育
探究点一 集合的概念
［例1］ 下列各对象可以组成集合的是( )
D
方法总结
判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，使得对于任何一
个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.应特别注意，含有不确定的模棱
两可的对象，不是数学意义上的集合.
［针对训练］ （多选题）下列说法正确的是( )
BD
A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合
探究点二 元素与集合之间的关系
B
A.1 B.2 C.3 D.4
B
A.2 B.2或4 C.4 D.0
方法总结
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出
现即可.
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所
具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
探究点三 集合中元素的特性
误区警示
处理集合中元素含字母的问题时，在求得其中元素（或字母）的值以后，要充分考虑集
合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合集合中元素的互
异性的值.
【学海拾贝】
元素与集合关系的综合运用
判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的
共同特征或共同属性，将元素变形为集合的元素特征的形式是判断的主要方法.
ACD
「当堂检测」
1.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
B
2.下列各组对象中不能构成集合的是( )
A
B
1
「备用例题」
D
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
B
A.2 B.3 C.4 D.5
0，1，2