第二课时 集合的表示方法
学习目标
1.理解并掌握集合的两种表示方法,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
2.理解并掌握区间及其表示,提升数学抽象的核心素养.
知识探究
1.列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
[思考1] 使用列举法表示集合时,相邻元素之间有什么要求
提示:由于集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用逗号隔开.
2.描述法
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
[思考2] 集合A={x|x>2}与B={t|t>2}是否表示同一个集合
提示:是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于2的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.
[思考3] 集合{x|y=x+1},{y|y=x+1},{(x,y)|y=x+1}三个集合表示的含义相同吗
提示:三个集合中的特征性质虽然相同,都是一次函数y=x+1,但{x|y=x+1}表示一次函数y=x+1图象上点的横坐标,是数集;{y|y=x+1}表示一次函数y=x+1图象上点的纵坐标,是数集;{(x,y)|y=x+1}表示一次函数y=x+1图象上点的坐标,是点集.含义不同.
3.区间及其表示
如果a
(1)集合{x|a(2)集合{x|a≤x(3)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a,b],并称为闭区间,用数轴表示,如图④.
上述区间中,a,b分别称为区间的左、右端点,b-a称为区间的长度.
(4)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则
实数集R可以表示为区间(-∞,+∞);
集合{x|x≥a}可表示为区间[a,+∞);
集合{x|x>a}可表示为区间(a,+∞);
集合{x|x≤a}可表示为区间(-∞,a];
集合{x|x[思考4] 区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.
[思考5] “∞”是数吗 以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗
提示:“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数,所以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
在表示集合时,要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式,大多数集合既可用列举法表示,也可用描述法表示.两种方法可用表格对比如下
表示 方法 表达 形式 适用对象 表现 重点 特点
列举法 如{1,2,3, 4,5} ①元素个数不多; ②元素个数多但有规律 集合 外延 直观、 明了
描述法 {x|p(x)} 元素的特征清晰且易于表述 集合 内涵 抽象、 概括
从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时,重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找.
探究点一 列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)由1～20以内的所有质数组成的集合;
(3)满足x∈N,y∈N的一次函数y=2-x图象上的点的坐标组成的集合.
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设由1～20以内的所有质数组成的集合为B,那么B={2,3,5,7,11,13,17,19}.
(3)由于x∈N,y∈N,因此满足y=2-x的解为或或
设满足x∈N,y∈N的一次函数y=2-x图象上的点的坐标组成的集合为C,那么C={(0,2),(1,1),(2,0)}.
用列举法表示集合时,首先要明确集合的元素属性(如本例(3)中的代表元素是点的坐标,因此应是有序数对,而不是数),然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.
[针对训练] 用列举法表示下列集合.
(1)不超过10的非负偶数集;
(2)自然数中五个最小的完全平方数构成的集合;
(3)不小于30的正奇数组成的集合;
(4)英语单词“book”的字母构成的集合.
解:(1)不超过10的非负偶数构成的集合为{0,2,4,6,8,10}.
(2)自然数中五个最小的完全平方数构成的集合{0,1,4,9,16}.
(3)不小于30的正奇数组成的集合{31,33,35,37,…,2n+1,…},其中n≥15.
(4)英语单词“book”的字母构成的集合为{b,o,k}.
探究点二 描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合.
(1)被5除余1的正整数集合;
(2)坐标平面内,两坐标轴上的点的集合;
(3)三角形的全体组成的集合;
(4)一次函数y=2x+1的图象上的点组成的集合.
解:(1)被5除余1的正整数集合为{x|x=5k+1,k∈N}.
(2)坐标平面内,两坐标轴上的点的集合为{(x,y)|xy=0}.
(3)三角形的全体组成的集合为{x|x是三角形}或{三角形}.
(4)一次函数y=2x+1的图象上的点组成的集合为{(x,y)|y=2x+1}.
(1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.
[针对训练] 用描述法表示下列集合.
(1)不等式2x-3<5的解组成的集合;
(2)比1大且比10小的实数组成的集合;
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;
(4)3和4的所有正的公倍数组成的集合.
解:(1)不等式2x-3<5的解组成的集合为{x|2x-3<5}.
(2)比1大又比10小的实数组成的集合为{x|1(3)由于集合的代表元素是点,因此平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合用描述法可表示为{(x,y)|x<0,y>0}.
(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的公倍数组成的集合是{x|x=12n,n∈N+}.
探究点三 集合表示法的综合应用
[例3] 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.
解:(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;
(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.
综上所述,k=0或k=1,
故实数k的值组成的集合为{0,1}.
解决描述法表示集合的关键
若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,只有这样,才能知道集合中的元素是什么,才能正确地解题.
[针对训练] (1)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;
(2)已知集合A={x∈Z|∈Z}.
①用列举法表示集合A;
②求集合A的所有元素之和.
解:(1)由M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M}可知,P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.
(2)①由∈Z,得3-x=±1,±2,±4,
解得x=-1,1,2,4,5,7.
又因为x∈Z,所以A={-1,1,2,4,5,7}.
②由①得集合A中的所有元素之和为-1+1+2+4+5+7=18.
探究点四 区间及其表示
[例4] 用区间表示下列集合.
(1){x|x>0};(2){x|1≤x<2};(3){x|x≤-2};(4){x|-3解:(1){x|x>0}=(0,+∞).
(2){x|1≤x<2}=[1,2).
(3){x|x≤-2}=(-∞,-2].
(4){x|-3(5){x|-4≤x≤0}=[-4,0].
对区间的几点认识
(1)区间是集合,是数集,区间的左端点必须小于右端点.
(2)用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.
(3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆.
(4)符号“∞”与数的区别
①无穷大“∞”只是一个符号,不是一个数,因此它不具备数的一些性质和运算法则.
②以“-∞”和“+∞”为区间一端时,这一端必须是小括号,即区间这一端是开的,不能把[1,+∞)写成[1,+∞].
[针对训练] (1)不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
(2)若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围为 .
解析:(1)不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞).
故选B.
(2)由区间的定义可知3a-1>a,即a>,则a的取值范围为(,+∞).
答案:(1)B (2)(,+∞)
【学海拾贝】
集合中的“新定义”问题
“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上,结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题.
由于“新定义”题目形式新颖,强调能力立意,突出对数学素养的考查,特别能够考查“后继学习”的能力,因此在近年来成为各类考试的热点.新定义可能以文字形式出现,也可能以数学符号或数学式子的形式出现,求解此类问题时,应充分利用题目中所给的信息,准确地将其转化为已掌握的知识进行求解.
[典例探究] (多选题)设A为非空实数集,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且x·y∈A,则称A为封闭集.下列叙述正确的是( )
A.集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集
B.集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A为封闭集,则一定有0∈A
解析:A.在集合A={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4不在集合A中,所以集合A不是封闭集,故A错误;B.集合A={n|n=2k,k∈Z},设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,
所以x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,
所以集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集,故B正确;
封闭集不一定是无限集,故C错误;
若A为封闭集,则取x=y得x-y=0∈A,故D正确.故选BD.
[应用探究] 对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.在此定义下,求集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N+,b∈N+}中的元素的个数.
解:若a,b同奇偶,则有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有2×5+1=11(个);
若a,b一奇一偶,则有12=1×12=3×4,每种可以交换位置,这时有2×2=4(个),所以共有11+4=15(个).
当堂检测
1.下列集合中与{2,3}是同一集合的是( D )
A.{{2},{3}} B.{(2,3)}
C.{(3,2)} D.{3,2}
解析:由于集合中的元素具有无序性,因此{2,3}与{3,2}是同一集合.
2.集合{x∈N+|x-2<2}用列举法表示是( A )
A.{1,2,3}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4}
D.{0,1,2,3}
解析:集合{x∈N+|x-2<2}={x∈正整数|x<4}={1,2,3}.
3.方程组的解组成的集合不能表示为( C )
A.
B.
C.{1,2}
D.{(x,y)|x=1,y=2}
解析:原方程组的解为其解组成的集合中只含有一个元素,可表示为A,B,D.C不符合.
4.下列集合写成区间的形式后可以含有“∞”的有( B )
①;②;③;
④{x|2≤x≤8}.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:根据集合与区间的关系可知只有①③写成区间时包含“∞”.
备用例题
[例1] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}的元素个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.9
(2)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
解析:(1)①当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
②当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
③当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
所以B={0,-1,-2,1,2},共5个元素.故选B.
(2)列举法得出集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含10个元素.
故选D.
[例2] 用恰当的方法表示下列集合.
(1){y|y=x2-2,x≤3,x∈N};
(2)D={(x,y)|x+y=5,x∈N+,y∈N+}.
解:(1)因为x≤3,x∈N,所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以{y|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{-2,-1,2,7}.
(2)集合D中的代表元素是点的坐标,因此D={(x,y)|x+y=5,x∈N+,y∈N+}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
选题明细表
知识点、方法 题号
列举法表示集合 7,12
描述法表示集合 1,3,4,8,11
区间及其表示 6,8
集合表示方法的综合应用 2,5,9,10,13,14
基础巩固
1.已知集合M={(x,y)|x,y∈N*,x+y≤2},则M中元素的个数为( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:集合M={(1,1)},所以集合M中元素个数为1.
2.集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20 cm的三角形},C=
{x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.
3.(多选题)集合{1,2}用描述法可以表示为( BCD )
A.{x∈Q|0C.{x∈N|1≤x≤2} D.{x|x2-3x+2=0}
解析:因为1,2为正整数,而有理数包含分数,故A错误;B,C,D中集合都表示{1,2}.
4.已知集合M={x∈N|x=8-m,m∈N},则集合M中的元素的个数为( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:因为M={x∈N|x=8-m,m∈N},
所以8-m≥0,即m≤8,m∈N,
所以m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,
故M={x∈N|x=8-m,m∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},即集合M中的元素的个数为9.
5.(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.很小的实数可以组成集合
B.集合{x|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合
C.由1,,,|-|,0.5这些数组成的集合有4个元素
D.集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}是指第二或第四象限内的点集
解析:对于A,“很小的实数”标准不确定,故不能组成集合;对于B,其中第一个集合是数集,第二个集合是点集,故不是同一集合;对于C,因为|-|==0.5,故这些数组成的集合有4个元素;对于D,因为xy<0,故点(x,y)是第二或第四象限内的点.
6.若区间(2,a)有意义,则满足条件的一个正数a的值为 .
解析:(2,a)有意义,则a>2.
答案:3(答案不唯一,只需要a>2即可)
7.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}= .
解析:由题意知-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,则方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,
所以{x|x2+ax+3=0}={1,3}.
答案:{1,3}
8.若区间M=(-2,a)的长度是6,区间N=[-2,10)的长度是b,则集合S={x|ax-b>0}用区间表示为 .
解析:由区间M=(-2,a)的长度是6,可知a=4,区间N=[-2,10)的长度是b,可知b=12,因此4x-12>0,解得x>3,用区间表示为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
能力提升
9.若集合A={-3,-2,-1,0,1,2},且集合B={y|y=|x+1|,x∈A},则B等于( C )
A.{1,2,3} B.{0,1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:集合A={-3,-2,-1,0,1,2},
集合B={y|y=|x+1|,x∈A},
当x=-3或1时,y=2;
当x=-2或0时,y=1;
当x=-1时,y=0;
当x=2时,y=3,
得集合B={0,1,2,3}.
10.(多选题)以下命题正确的是( AD )
A.所有正数组成的集合可表示为{x|x>0}
B.大于2 020且小于2 023的整数组成的集合为{x|2 020C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D.N中的元素比N+中的元素只多一个元素0,它们都是无限集
解析:所有正数组成的集合可表示为{x|x>0},故A正确;大于2 020且小于2 023的整数组成的集合为{x∈Z|2 02011.(多选题)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是( ABC )
A.x1·x2∈A
B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B
D.x1+x2+x3∈A
解析:由题意,可知集合A表示奇数集,B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3应为偶数,即x1+x2+x3 A,故D错误.
12.若一个数集中任何1个元素的倒数仍是该数集中的元素,则称该数集为“可倒数集”.试写出一个含3个元素的可倒数集
.(写出符合条件的一个集合即可)
解析:由题知当可倒数集A只有1个元素时,有x=,所以x=±1.
当集合A含有3个元素时,集合A中必含有1或-1,
故集合A可以是{1,2,}或{1,3,}或{-1,4,}等.
答案:{1,2,}或{1,3,}或{-1,4,}等(答案不唯一)
13.用适当的方法表示下列集合:
(1)36与60的公约数组成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-3)=0的根组成的集合;
(3)平面直角坐标系中,x轴上的所有点;
(4)200以内的正奇数组成的集合.
解:(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2)方程(x-4)2(x-3)=0的根是4,3,所求集合为{3,4}.
(3)x轴上的点的纵坐标为0,所求集合为{(x,y)|y=0,x∈R}.
(4)所求集合为{x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
应用创新
14.已知集合A={1,2,3,4,5,6},T={x|x=,a,b∈A,a>b},则集合T中元素的个数为 .
解析:当a=1时,不符合题意,舍去;
当a=2时,b=1,可得=;
当a=3时,b=1,2,可得=,;
当a=4时,b=1,2,3,可得=,,;
当a=5时,b=1,2,3,4,可得=,,,;
当a=6时,b=1,2,3,4,5,可得=,,,,,
因此T={x|x=,a,b∈A,a>b}={,,,,,,,,,,},
所以集合T中元素的个数为11.
答案:11
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二课时 集合的表示方法
选题明细表
知识点、方法 题号
列举法表示集合 7,12
描述法表示集合 1,3,4,8,11
区间及其表示 6,8
集合表示方法的综合应用 2,5,9,10,13,14
基础巩固
1.已知集合M={(x,y)|x,y∈N*,x+y≤2},则M中元素的个数为( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:集合M={(1,1)},所以集合M中元素个数为1.
2.集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20 cm的三角形},C=
{x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.
3.(多选题)集合{1,2}用描述法可以表示为( BCD )
A.{x∈Q|0C.{x∈N|1≤x≤2} D.{x|x2-3x+2=0}
解析:因为1,2为正整数,而有理数包含分数,故A错误;B,C,D中集合都表示{1,2}.
4.已知集合M={x∈N|x=8-m,m∈N},则集合M中的元素的个数为( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:因为M={x∈N|x=8-m,m∈N},
所以8-m≥0,即m≤8,m∈N,
所以m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,
故M={x∈N|x=8-m,m∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},即集合M中的元素的个数为9.
5.(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.很小的实数可以组成集合
B.集合{x|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合
C.由1,,,|-|,0.5这些数组成的集合有4个元素
D.集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}是指第二或第四象限内的点集
解析:对于A,“很小的实数”标准不确定,故不能组成集合;对于B,其中第一个集合是数集,第二个集合是点集,故不是同一集合;对于C,因为|-|==0.5,故这些数组成的集合有4个元素;对于D,因为xy<0,故点(x,y)是第二或第四象限内的点.
6.若区间(2,a)有意义,则满足条件的一个正数a的值为 .
解析:(2,a)有意义,则a>2.
答案:3(答案不唯一,只需要a>2即可)
7.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}= .
解析:由题意知-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,则方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,
所以{x|x2+ax+3=0}={1,3}.
答案:{1,3}
8.若区间M=(-2,a)的长度是6,区间N=[-2,10)的长度是b,则集合S={x|ax-b>0}用区间表示为 .
解析:由区间M=(-2,a)的长度是6,可知a=4,区间N=[-2,10)的长度是b,可知b=12,因此4x-12>0,解得x>3,用区间表示为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
能力提升
9.若集合A={-3,-2,-1,0,1,2},且集合B={y|y=|x+1|,x∈A},则B等于( C )
A.{1,2,3} B.{0,1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:集合A={-3,-2,-1,0,1,2},
集合B={y|y=|x+1|,x∈A},
当x=-3或1时,y=2;
当x=-2或0时,y=1;
当x=-1时,y=0;
当x=2时,y=3,
得集合B={0,1,2,3}.
10.(多选题)以下命题正确的是( AD )
A.所有正数组成的集合可表示为{x|x>0}
B.大于2 020且小于2 023的整数组成的集合为{x|2 020C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D.N中的元素比N+中的元素只多一个元素0,它们都是无限集
解析:所有正数组成的集合可表示为{x|x>0},故A正确;大于2 020且小于2 023的整数组成的集合为{x∈Z|2 02011.(多选题)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是( ABC )
A.x1·x2∈A
B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B
D.x1+x2+x3∈A
解析:由题意,可知集合A表示奇数集,B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3应为偶数,即x1+x2+x3 A,故D错误.
12.若一个数集中任何1个元素的倒数仍是该数集中的元素,则称该数集为“可倒数集”.试写出一个含3个元素的可倒数集
.(写出符合条件的一个集合即可)
解析:由题知当可倒数集A只有1个元素时,有x=,所以x=±1.
当集合A含有3个元素时,集合A中必含有1或-1,
故集合A可以是{1,2,}或{1,3,}或{-1,4,}等.
答案:{1,2,}或{1,3,}或{-1,4,}等(答案不唯一)
13.用适当的方法表示下列集合:
(1)36与60的公约数组成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-3)=0的根组成的集合;
(3)平面直角坐标系中,x轴上的所有点;
(4)200以内的正奇数组成的集合.
解:(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2)方程(x-4)2(x-3)=0的根是4,3,所求集合为{3,4}.
(3)x轴上的点的纵坐标为0,所求集合为{(x,y)|y=0,x∈R}.
(4)所求集合为{x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
应用创新
14.已知集合A={1,2,3,4,5,6},T={x|x=,a,b∈A,a>b},则集合T中元素的个数为 .
解析:当a=1时,不符合题意,舍去;
当a=2时,b=1,可得=;
当a=3时,b=1,2,可得=,;
当a=4时,b=1,2,3,可得=,,;
当a=5时,b=1,2,3,4,可得=,,,;
当a=6时,b=1,2,3,4,5,可得=,,,,,
因此T={x|x=,a,b∈A,a>b}={,,,,,,,,,,},
所以集合T中元素的个数为11.
答案:11
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1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第二课时 集合的表示方法
「学习目标」
1.理解并掌握集合的两种表示方法,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
2.理解并掌握区间及其表示,提升数学抽象的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.列举法
把集合中的元素__________出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此
来表示集合的方法称为列举法.
一一列举
［思考1］ 使用列举法表示集合时，相邻元素之间有什么要求？
提示:由于集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素
的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用逗号隔开.
特征性质
提示:是.虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于2的所有实数组成的集合，因而
表示同一个集合.
开区间
半开半闭区间
闭区间
［思考4］ 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
拓展总结
在表示集合时，要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式，大多数集合既可用列
举法表示，也可用描述法表示.两种方法可用表格对比如下
表示方法 表达形式 适用对象 表现重点 特点
列举法 ①元素个数不多；
②元素个数多但有规律 集合外延 直观、明了
描述法 元素的特征清晰且易于表述 集合内涵 抽象、概括
从表格可以看出，变换表示集合的两种方法时，重点在于对元素特征的提炼及具体元素
的寻找.
课堂探究
素养培育
探究点一 列举法表示集合
［例1］ 用列举法表示下列集合.
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
方法总结
用列举法表示集合时，首先要明确集合的元素属性（如本例（3）中的代表元素是点的
坐标，因此应是有序数对，而不是数），然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的
元素一一列举出来，写在大括号内.
［针对训练］ 用列举法表示下列集合.
（1）不超过10的非负偶数集；
（2）自然数中五个最小的完全平方数构成的集合；
（3）不小于30的正奇数组成的集合;
探究点二 描述法表示集合
［例2］ 用描述法表示下列集合.
（1）被5除余1的正整数集合；
（2）坐标平面内，两坐标轴上的点的集合；
（3）三角形的全体组成的集合；
［针对训练］ 用描述法表示下列集合.
（2）比1大且比10小的实数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数组成的集合.
探究点三 集合表示法的综合应用
方法总结
解决描述法表示集合的关键
若已知集合是用描述法给出的，则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，只有这
样，才能知道集合中的元素是什么，才能正确地解题.
探究点四 区间及其表示
［例4］ 用区间表示下列集合.
B
【学海拾贝】
集合中的“新定义”问题
“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知
识来求解的一种新型集合问题.
由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对数学素养的考查，特别能够考
查“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点.新定义可能以文字形式出现，
也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的
信息，准确地将其转化为已掌握的知识进行求解.
BD
「当堂检测」
D
A
C
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
「备用例题」
B
A.4 B.5 C.6 D.9
D
A.3 B.6 C.8 D.10
［例2］ 用恰当的方法表示下列集合.