1.1.2 集合的基本关系
学习目标
1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别集合的子集、真子集,培养数学抽象的核心素养.
2.能使用维恩图表达集合间的基本关系,会判断集合间的关系.培养逻辑推理与直观想象的核心素养.
情境导入
探究:如果把“马”和“黑马”视为两个集合,则这两个集合中的元素有什么关系
答案:所有的黑马都是马,马不一定是黑马.
知识探究
1.子集
(1)定义:一般地,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集.
(2)符号表示:A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(3)对应地,如果A不是B的子集,则记作A B(或B A),读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).
(4)维恩图表示:
(5)性质
①任何一个集合是它本身的子集,即A A.
②对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
[思考1] 子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”
提示:不能.“A是B的子集”的定义中“集合A的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意是“任意一个元素”而不是“某个或某些元素”.
[思考2] 符号“ ”与符号“∈”有什么区别
提示:符号“ ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.
2.真子集
(1)定义:一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集.
(2)符号表示:A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(3)维恩图表示:
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
[思考3] 任何一个集合都有子集吗 任何一个集合都有真子集吗
提示:任何一个集合都有子集,但是并不是任何一个集合都有真子集,空集就没有真子集.
[思考4] 集合A是集合B的子集包含几个方面
提示:集合A是集合B的子集包含两个方面:A B与A=B.
3.集合的相等与子集的关系
一般地,由集合相等以及子集的定义可知
(1)如果A B且B A,则A=B;
(2)如果A=B,则A B且B A.
(1)不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为当A= 时,A B,但A中不含任何元素,又当A=B时,也有A B,但A中含有B中所有元素,这两种情况都有A B.注意符号“ ”与“∈”的区别.
(2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此遇到诸如A B,A B的问题时,务必优先考虑A= 是否满足题意,以防漏解.
探究点一 集合的子集与真子集
[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
解:M={x|x<2且x∈N}={0,1},
N={x|-2(1)M的子集为 ,{0},{1},{0,1},其中真子集为 ,{0},{1}.
(2)N的子集为 ,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},
所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.
(3)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论: 的子集只有1=20个;
{a1}的子集有2=21个;
{a1,a2}的子集有4=22个;
{a1,a2,a3}的子集有8=23个;
…
猜想含有n个元素的集合{a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
(2)含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
[针对训练] (1)已知集合A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A的个数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)已知集合A={1,2},B={x|0A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(1)A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6个.故选A.
(2)由题意可得,A={1,2},B={1,2,3},
因为A C B,
所以满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},共2个.
故选B.
探究点二 集合之间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的关系.
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1(4)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.
解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
(4)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…},故A B.
判断两个集合间的关系的方法:(1)定义法:判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A B,否则A不是B的子集;其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于集合A,若是,则B A,否则B不是A的子集;若既有A B,又有B A,则A=B;(2)数形结合法:对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
[针对训练] (1)判断下列每组集合的关系:
①A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2(n+1),n∈Z};
②A={y|y=x2},B={x|y=x2}.
(2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由:
①A={1,2,3},B={x|x是8的约数};
②A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}.
解:(1)①因为n∈Z,所以n+1∈Z,所以B表示偶数集,
因为A也表示偶数集,所以A=B.
②因为A={y|y=x2}={y|y≥0},
B={x|y=x2}=R,
所以A B.
(2)①因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集.
②因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集.
探究点三 根据集合之间的关系求参数
[例3] (1)已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A B且A B,求实数x和y的值;
(2)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
解:(1)由A B且A B知,A=B.
由集合相等的概念可得
或
解方程组得或或
其中当x=0,y=0时,A={1,0,0},B={1,0,0},不符合集合中元素的互异性,舍去.其他两组解符合.
所以x=2,y=2或x=,y=.
(2)当B= 时,只需2a>a+3,即a>3;
当B≠ 时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或
解得a<-4或2综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}.
判断含参数的连续数集之间的子集、真子集关系时,常利用数轴法求解.若含参数的集合是确定集合的子集或真子集,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.
[针对训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=( )
A.2 B.1 C. D.-1
(2)若集合M={x|x2+6x-16=0},N={x|ax-3=0},且N M,则实数a的值为 .
解析:(1)因为A B,则有
若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;
若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意;
综上所述,a=1.
故选B.
(2)由x2+6x-16=0,解得x=-8或x=2,故M={-8,2},因为N M,N={x|ax-3=0},所以当N= 时,a=0;
当N≠ 时,N={x|ax-3=0}=,则=-8或=2,
所以a=-或a=.
答案:(1)B (2)0或-或
当堂检测
1.已知集合A={x∈N*|x-3<0},则满足条件B A的集合B的个数为( C )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析:由x-3<0解得x<3,又x∈N*,所以x=1,2,故A={1,2},因为B A,所以B是A的子集,故B可以是 ,{1},{2},{1,2},共4个.
2.下列关系正确的是( D )
A.0∈ B. ={0}
C.{ } {0} D. {0}
解析:空集中没有任何元素,故A,B,C错误,空集是任何集合的子集,故D正确.
3.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( C )
A.0 B.1 C.2 D.-1
解析:由A=B,得x=0或y=0.
当x=0时,x2=0,此时B={0,0},不满足集合中元素的互异性,舍去;
当y=0时,x=x2,则x=0或x=1.由上知x=0不合适,故y=0,x=1,则2x+y=2.
4.若{1,a} {1,a2,-1},则a= .
解析:由题意得a=a2或a=-1,
当a=0时,{1,0} {1,0,-1}满足题意,
当a=±1时,a2=1(舍去).
答案:0
备用例题
[例1] (多选题)下列各组中的两个集合相等的是( )
A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z}
B.P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+}
C.P={x|x2-x=0},
Q=
D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1}
解析:A.集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,有P=Q;
B.P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,7,…所有大于1的正奇数组成的集合,1 Q,所以P≠Q;
C.P={0,1},当n为奇数时,x==0,当n为偶数时,x==1,所以Q={0,1},P=Q;
D.集合P表示直线y=x+1上点的横坐标表示的集合,而集合Q则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.故选AC.
[例2] 设集合M=,N=,则( )
A.M=N B.M N
C.N M D.无法确定
解析:由x=+=,k∈Z,分子是奇数,
由x=+=,k∈Z,分子可以是奇数也可以是偶数,则M N.故选B.
选题明细表
知识点、方法 题号
子集、真子集的理解 1,2,8,9,10,11
集合间关系的判断 3,5,13
由集合间基本关系求参数 4,6,7,12
基础巩固
1.(多选题)已知单元素集合M={1},则集合M的所有子集构成的集合N={ ,{1}},下列表示正确的是( AB )
A. ∈N B. N
C. =N D. N
解析:根据题意,集合N={ ,{1}},其元素有2个,即 和{1},
是集合N的元素,则 ∈N,A正确,D错误,对于B, 是任何集合的子集,则 N,B正确,C错误.
2.已知A={x|x<2},下列结论正确的是( A )
A.{-1} A B.{-1}∈A
C.-1 A D. ∈A
解析:因为A={x|x<2},所以{-1} A,-1∈A, A,故A正确,BCD错误.
3.设集合A=,B=,则下列图形能表示A与B关系的是( A )
解析:因为集合A=,B=,
所以B A,所以图形能表示A与B关系的是A.
4.已知集合A={0,1},B={m,1,2},若A B,则实数m的值为( B )
A.2 B.0 C.0或2 D.1
解析:因为集合A={0,1},B={m,1,2},A B,
所以m=0.
5.设A={x|x=3n-2,n∈Z},B={x|x=6n-5,n∈Z},C={x|x=12n-5,n∈Z},则这三个集合间的关系是( C )
A.A B C B.A C B
C.C B A D.C A B
解析:A={x|x=3n-2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-5,n∈Z},B={x|x=6n-5,n∈Z}={x|x=3×(2n)-5,n∈Z},
C={x|x=12n-5,n∈Z}={x|x=6×(2n)-5,n∈Z},
而{x|x=n+1,n∈Z}=Z,{偶数}={x|x=2k,k∈Z},因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素,即有C B,集合B中的每一个元素都是集合A中的元素,即B A,
所以C B A.
6.集合A={x|1解析:因为A={x|1答案:{a|a≥6}
7.含有三个实数的集合既可表示为{b,,0},也可表示为{a,a+b,1},则a= ,b= .
解析:因为集合既可以表示成{b,,0},又可表示成{a,a+b,1},由于中a≠0,
所以a+b一定等于0,
即a+b=0,a=-b,所以=-1,
在后一种表示的集合中有一个元素是1,只能是b,
所以b=1,所以a=-1.
答案:-1 1
8.已知集合A={x|x2+2x+m=0}有且仅有两个子集,则实数m的值组成的集合为 .
解析:若集合A有且仅有两个子集,则A有且仅有一个元素,
即方程x2+2x+m=0有两个相同的根,所以Δ=22-4m=0,解得m=1.
所以所有的m的值组成的集合M={1}.
答案:{1}
能力提升
9.非空集合P满足下列两个条件:(1)P {1,2,3,4,5},(2)若元素a∈P,则6-a∈P,则集合P个数是( C )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:若元素a∈P,则6-a∈P,则集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组:
3,1和5,2和4.因为P {1,2,3,4,5},所以当P中元素只有一个时,P={3},符合题意,
当P中元素只有二个时,P={1,5}或{2,4},符合题意,
当P中元素只有三个时,P={3,1,5}或{3,2,4},符合题意,
当P中元素只有四个时,P={1,5,2,4},符合题意,
当P中元素有五个时,P={1,2,3,4,5},不符合题意,故集合P个数
是6.
10.(多选题)已知A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( AC )
A.{1,8} B.{2,3}
C.{1} D.{2}
解析:因为A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},所以A {1,8},结合选项知A,C均满足题意.
11.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},若非空集合C各元素都加2后,就变为A的一个子集,若各元素都减2后,则变为B的一个子集,则集合C= .
解析:由题意知,集合A中各元素都减去2组成的集合与集合B中各元素都加上2组成的集合的公共元素组成集合的非空子集就是所求的集合C,
所以C {0,2,4,6,7},C {3,4,5,7,10},
则C {4,7}.
又因为C≠ ,所以C={4}或{7}或{4,7}.
答案:{4}或{7}或{4,7}
12.已知m为实数,A={x|x2-(m+1)x+m=0},B={x|mx-1=0}.
(1)当A B时,求m的取值集合;
(2)当B A时,求m的取值集合.
解:(1)因为x2-(1+m)x+m=(x-1)(x-m),
所以当m=1时,A={1},当m≠1时,A={1,m}.
又A B,所以m=1,此时B={1},满足A B.
所以当A B时,m的取值集合为{1}.
(2)当m=1时,A=B={1},B A不成立;
当m=0时,A={1,0},B= ,B A成立;
当m≠1且m≠0时,B={},A={1,m},
由B A,得m=,所以m=-1.
综上,m的取值集合为{0,-1}.
应用创新
13.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为 .
解析:当a=0时,B= ,此时满足B A;
当a>0时,B={-,},此时A,B集合只能是“蚕食”关系,
所以当A,B集合有公共元素-=-1时,
解得a=2,
当A,B集合有公共元素=2时,解得a=.
综上,a的取值集合为{0,,2}.
答案:{0,,2}
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1.1 集合
1.1.2 集合的基本关系
「学习目标」
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别集合的子集、真子集，培养数学抽象的核
心素养.
2.能使用维恩图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系.培养逻辑推理与直观想象
的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
探究： 如果把“马”和“黑马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
[答案] 所有的黑马都是马，马不一定是黑马.
「知识探究」
任意一个
［思考1］ 子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”？
［思考3］ 任何一个集合都有子集吗？任何一个集合都有真子集吗？
提示:任何一个集合都有子集，但是并不是任何一个集合都有真子集，空集就没有真子集.
课堂探究
素养培育
探究点一 集合的子集与真子集
A
A.6 B.5 C.4 D.3
B
A.1 B.2 C.3 D.4
探究点二 集合之间关系的判断
［例2］ 指出下列各对集合之间的关系.
［针对训练］ （1）判断下列每组集合的关系：
探究点三 根据集合之间的关系求参数
方法总结
判断含参数的连续数集之间的子集、真子集关系时，常利用数轴法求解.若含参数的集
合是确定集合的子集或真子集，应考虑该集合为空集的特殊情况，并且要注意验证参数
的端点值是否满足题意.
B
「当堂检测」
C
A.2 B.3 C.4 D.8
2.下列关系正确的是( )
D
[解析] 空集中没有任何元素，故A，B，C错误，空集是任何集合的子集，故D正确.
C
0
「备用例题」
［例1］ （多选题）下列各组中的两个集合相等的是( )
AC
B1.1.2 集合的基本关系
选题明细表
知识点、方法 题号
子集、真子集的理解 1,2,8,9,10,11
集合间关系的判断 3,5,13
由集合间基本关系求参数 4,6,7,12
基础巩固
1.(多选题)已知单元素集合M={1},则集合M的所有子集构成的集合N={ ,{1}},下列表示正确的是( AB )
A. ∈N B. N
C. =N D. N
解析:根据题意,集合N={ ,{1}},其元素有2个,即 和{1},
是集合N的元素,则 ∈N,A正确,D错误,对于B, 是任何集合的子集,则 N,B正确,C错误.
2.已知A={x|x<2},下列结论正确的是( A )
A.{-1} A B.{-1}∈A
C.-1 A D. ∈A
解析:因为A={x|x<2},所以{-1} A,-1∈A, A,故A正确,BCD错误.
3.设集合A=,B=,则下列图形能表示A与B关系的是( A )
解析:因为集合A=,B=,
所以B A,所以图形能表示A与B关系的是A.
4.已知集合A={0,1},B={m,1,2},若A B,则实数m的值为( B )
A.2 B.0 C.0或2 D.1
解析:因为集合A={0,1},B={m,1,2},A B,
所以m=0.
5.设A={x|x=3n-2,n∈Z},B={x|x=6n-5,n∈Z},C={x|x=12n-5,n∈Z},则这三个集合间的关系是( C )
A.A B C B.A C B
C.C B A D.C A B
解析:A={x|x=3n-2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-5,n∈Z},B={x|x=6n-5,n∈Z}={x|x=3×(2n)-5,n∈Z},
C={x|x=12n-5,n∈Z}={x|x=6×(2n)-5,n∈Z},
而{x|x=n+1,n∈Z}=Z,{偶数}={x|x=2k,k∈Z},因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素,即有C B,集合B中的每一个元素都是集合A中的元素,即B A,
所以C B A.
6.集合A={x|1解析:因为A={x|1答案:{a|a≥6}
7.含有三个实数的集合既可表示为{b,,0},也可表示为{a,a+b,1},则a= ,b= .
解析:因为集合既可以表示成{b,,0},又可表示成{a,a+b,1},由于中a≠0,
所以a+b一定等于0,
即a+b=0,a=-b,所以=-1,
在后一种表示的集合中有一个元素是1,只能是b,
所以b=1,所以a=-1.
答案:-1 1
8.已知集合A={x|x2+2x+m=0}有且仅有两个子集,则实数m的值组成的集合为 .
解析:若集合A有且仅有两个子集,则A有且仅有一个元素,
即方程x2+2x+m=0有两个相同的根,所以Δ=22-4m=0,解得m=1.
所以所有的m的值组成的集合M={1}.
答案:{1}
能力提升
9.非空集合P满足下列两个条件:(1)P {1,2,3,4,5},(2)若元素a∈P,则6-a∈P,则集合P个数是( C )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:若元素a∈P,则6-a∈P,则集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组:
3,1和5,2和4.因为P {1,2,3,4,5},所以当P中元素只有一个时,P={3},符合题意,
当P中元素只有二个时,P={1,5}或{2,4},符合题意,
当P中元素只有三个时,P={3,1,5}或{3,2,4},符合题意,
当P中元素只有四个时,P={1,5,2,4},符合题意,
当P中元素有五个时,P={1,2,3,4,5},不符合题意,故集合P个数
是6.
10.(多选题)已知A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( AC )
A.{1,8} B.{2,3}
C.{1} D.{2}
解析:因为A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},所以A {1,8},结合选项知A,C均满足题意.
11.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},若非空集合C各元素都加2后,就变为A的一个子集,若各元素都减2后,则变为B的一个子集,则集合C= .
解析:由题意知,集合A中各元素都减去2组成的集合与集合B中各元素都加上2组成的集合的公共元素组成集合的非空子集就是所求的集合C,
所以C {0,2,4,6,7},C {3,4,5,7,10},
则C {4,7}.
又因为C≠ ,所以C={4}或{7}或{4,7}.
答案:{4}或{7}或{4,7}
12.已知m为实数,A={x|x2-(m+1)x+m=0},B={x|mx-1=0}.
(1)当A B时,求m的取值集合;
(2)当B A时,求m的取值集合.
解:(1)因为x2-(1+m)x+m=(x-1)(x-m),
所以当m=1时,A={1},当m≠1时,A={1,m}.
又A B,所以m=1,此时B={1},满足A B.
所以当A B时,m的取值集合为{1}.
(2)当m=1时,A=B={1},B A不成立;
当m=0时,A={1,0},B= ,B A成立;
当m≠1且m≠0时,B={},A={1,m},
由B A,得m=,所以m=-1.
综上,m的取值集合为{0,-1}.
应用创新
13.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为 .
解析:当a=0时,B= ,此时满足B A;
当a>0时,B={-,},此时A,B集合只能是“蚕食”关系,
所以当A,B集合有公共元素-=-1时,
解得a=2,
当A,B集合有公共元素=2时,解得a=.
综上,a的取值集合为{0,,2}.
答案:{0,,2}
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