第二课时 补 集
选题明细表
知识点、方法 题号
补集运算及其理解 1,3,4,9
交、并、补集综合运算 2,5,6,11
利用补集求参数的取值范围 7,8,10,12,13,14
基础巩固
1.若全集U={-1,0,1,2,3,5},集合A满足 UA={0,1,2},则A等于( C )
A.{-1} B.{-1,1}
C.{-1,3,5} D.{-1,0,5}
解析:根据全集U={-1,0,1,2,3,5}, UA={0,1,2},则A={-1,3,5}.
2.已知全集U={1,2,4,8,10,12},集合A={1,2,4,8,10},B={2,4,8},则A∩ UB等于( C )
A.{2} B.{2,4}
C.{1,10} D.{1,2,4,8}
解析:全集U={1,2,4,8,10,12},集合A={1,2,4,8,10},B={2,4,8},
UB={1,10,12},则A∩ UB={1,10}.
3.设集合M={1,3}, UM={2,4,5},则下列说法正确的是( B )
A.1 U B.2∈U
C.3 U D.4 U
解析:集合M={1,3}, UM={2,4,5},由题意得U={1,2,3,4,5}.
所以1∈U,2∈U,3∈U,4∈U.故B正确.
4.设U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4,6},集合B={2,3,5},则维恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:维恩图中阴影部分表示的集合是由属于集合B,但不属于集合A的元素组成,因此阴影部分表示的集合为{3,5},所以其真子集个数为22-1=3.
5.(多选题)若集合M={x|-3
x≥1}等于( BC )
A.M∩N B. RM
C. R(M∩N) D. R(M∪N)
解析:因为集合M={x|-3 RM={x|x≤-3或x≥1}, R(M∩N)={x|x≤-3或x≥1}, R(M∪N)=
{x|x>3}.
6.已知集合U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,3},则( UM)∩( UN)=
.
解析:因为集合U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,3},所以M∪N=
{1,3,5},则( UM)∩( UN)= U(M∪N)={2,4}.
答案:{2,4}
7.设集合A={x|-2a},若A∩ RB= ,则实数a的取值范围为 .
解析:因为集合A={x|-2a},所以 RB={x|x≤a},
因为A∩ RB= ,所以a≤-2,所以实数a的取值范围为(-∞,-2].
答案:(-∞,-2]
8.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x解析:因为A={x|1≤x{x|1≤x≤5},且A∩( UA)= ,因此a=2,A={x|1≤x<2}.
答案:{x|1≤x<2} 2
能力提升
9.设集合A={x|x=2n+1,n∈N},B={x|x=4n+1,n∈N},则 AB等于( C )
A.{x|x=4n+1,n∈N} B.{x|x=4n+2,n∈N}
C.{x|x=4n+3,n∈N} D.
解析:因为A={x|x=2n+1,n∈N},B={x|x=2·(2n)+1,n∈N},
所以 AB={x|x=4n+3,n∈N}.
10.已知集合 RA={x|-4≤x≤2},B={x|x≤-3或x≥a},若{x∈Z|x∈A且x∈ RB}={3,4},则( B )
A.4≤a<5 B.4C.3解析:根据题意,A={x|x<-4或x>2}, RB={x|-311.(多选题)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩( UB)={1,4},( UA)∩B={5,6,7},则下列说法正确的是( ACD )
A.2∈A
B.2 B
C.A∩B={2,3}
D.A∪( UB)={1,2,3,4}
解析:因为A∩( UB)={1,4},所以1,4∈A,且1,4 B.
又因为( UA)∩B={5,6,7},所以5,6,7∈B,且5,6,7 A.
又因为A∪B=U,若2∈A,2 B,或2∈B,2 A,则2∈A∩( UB)或2∈
( UA)∩B,不符合题意,所以2∈A且2∈B,同理3∈A且3∈B.
综上A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},A∪( UB)=
{1,2,3,4}.
12.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|a+1解析:当B≠ 时,因为B={x|a+1a+1,解得a>2,
UB={x|x≤a+1或x≥2a-1},
所以或
解得a≥3或a∈ ,
此时实数a的取值范围为a≥3;
当B= 时, UB=R,满足A ( UB),
所以a+1≥2a-1,解得a≤2.
综上可得,实数a的取值范围为(-∞,2]∪[3,+∞).
答案:(-∞,2]∪[3,+∞)
13.设全集U=R,集合A={x|-1(1)若m=-1,求( UA)∪( UB);
(2)若B∩( UA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.
解:(1)A={x|-1若m=-1,则B={x|-2因为全集U=R,所以 UA={x|x≤-1或x>2}, UB={x|x≤-2或x≥1},
则( UA)∪( UB)={x|x≤-1或x≥1}.
(2)B={x|2m2},
若B∩( UA)中只有一个整数,则-2≤2m<-1,即-1≤m<-.
所以实数m的取值范围是[-1,-).
应用创新
14.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤3-2a}.
(1)若( UA)∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠B,求实数a的取值范围.
解:(1)因为A={x|0≤x≤2},
所以 UA={x|x<0或x>2},若( UA)∪B=R,在数轴上表示如图,
则即a≤0,
所以实数a的取值范围是(-∞,0].
(2)若A∩B=B,则B A.
当B= 时,3-2a1;
当B≠ 时,若B A,在数轴上表示如图,
则得a∈[,1].
综上,实数a的取值范围为[,+∞),
故A∩B≠B时,实数a的取值范围为[,+∞)的补集,
即a∈(-∞,).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二课时 补 集
学习目标
1.在具体情境中了解全集的含义及符号表示,理解给定集合中一个子集的补集的含义,培养数学抽象的核心素养.
2.会用维恩图、数轴进行集合的运算,借助维恩图、数轴的应用,培养直观想象、数学运算的核心素养.
情境导入
探究:设U是全班同学的集合,集合A是班上所有参加校运动会同学的集合,集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合,则集合A中的同学a与集合U,B有什么关系
答案:a∈U,但是a B.
知识探究
1.全集
(1)定义:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集.
(2)记法:全集通常记作 U.
[思考1] 全集一定包含任何一个元素吗
提示:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任何元素.
2.补集
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作 UA
符号语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形语言
[思考2] 求集合A的补集 UA的前提条件是什么
提示:集合A是全集U的子集,即A U.
[做一做]设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则 UM等于( A )
A.{2,4,6} B.{1,3,5}
C.{1,2,4} D.U
解析:因为集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},所以 UM={2,4,6}.
3.全集、补集的性质
(1) UU= , U =U;
(2)A∪( UA)=U,A∩( UA)= ;
(3) U( UA)=A.
关于补集的两个重要性质
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB);
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
探究点一 集合的补集运算
[例1] (1)已知A={0,1,2}, UA={-3,-2,-1}, UB={-3,-2,0},用列举法写出集合B;
(2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1解:(1)因为A={0,1,2},
UA={-3,-2,-1},
所以U=A∪( UA)={-3,-2,-1,0,1,2}.
又因为 UB={-3,-2,0},
所以B={-1,1,2}.
(2)由补集的定义可知 UA表示的集合为图中阴影部分,即 UA={x|0求集合补集的常见方法
(1)定义法:当集合是有限集时,可利用定义直接求解.
(2)维恩图法:借助维恩图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法:当集合是连续的数集时,可借助数轴,需注意端点问题.
[针对训练] (1)已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},求集合B;
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},求 UA;
(3)设全集I={2,3,x},A={5}, IA={2,y},求x,y的值.
解:(1)法一 A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二 借助维恩图,如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集定义可得 UA={x|x<-3或x=5}.
(3)因为A I,所以5∈I,
所以x=5,所以I={2,3,5},
因为y∈ IA,所以y∈I,
且y A,即y≠5.
所以y=2或y=3.
又由 IA中元素的互异性知y≠2,
所以y=3.
综上知x=5,y=3.
探究点二 集合的交、并、补集运算
[例2] 已知集合S={x|1求:(1)( SA)∩( SB);(2) S(A∪B);
(3)( SA)∪( SB);(4) S(A∩B).
解:借助数轴,可得
A∩B={x|3≤x<5},
A∪B={x|2≤x<7},
SA={x|1 SB={x|1由此可得,
(1)( SA)∩( SB)={x|1(2) S(A∪B)={x|1(3)( SA)∪( SB)={x|1(4) S(A∩B)={x|1涉及与集合补集有关的运算时,需先计算补集.
[针对训练] (1)设集合U={x∈N|0A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7}
C.{1,2} D.{1,2,4,5,6,8}
(2)设全集为R,A={x|x≤1或x>3},B={x|x>2},则( RA)∪B= .
解析:(1)U={x∈N|0{1,2,4,6,8},所以S∩( UT)={1,2,4}.故选A.
(2) RA={x|1所以( RA)∪B={x|x>1}.
答案:(1)A (2){x|x>1}
探究点三 利用补集求参数的取值范围
[例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2(1)若( UA)∩B= ,求实数m的取值范围;
(2)若B UA,求实数m的取值范围.
解:(1)由已知,得A={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m},
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
(2)由(1)得 UA={x|x<-m},因为B UA,在数轴上表示如图,
得-m≥4,
所以m≤-4,
所以实数m的取值范围是{m|m≤-4}.
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.
[针对训练] 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A ( UB),求实数a的取值范围.
解:若B= ,则a+1>2a-1,则a<2,
此时 UB=R,所以A UB;
若B≠ ,则a+1≤2a-1,
即a≥2,
此时 UB={x|x2a-1},
由于A ( UB),如图,
则a+1>5,
所以a>4.
综上,实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
【学海拾贝】
核心素养——补集思想的应用
[典例探究]设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
解:因为全集为R, RB={x|-1≤x≤5},
所以B={x|x<-1或x>5}.
(1)假设A∩B= ,则
所以-1≤a≤2.
所以当A∩B≠ 时,
a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
(2)假设A∩B=A,则A B,结合数轴得
a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是[-4,5].
求解比较复杂抽象,且从正面不易求解的问题时,可从问题的反面求解,利用“正难则反”的思想转化.“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.
[应用探究] 若三个关于x的方程x2-2ax-3+a2=0,x2-(a+2)x+a2=0,x2+x-3a=0中至多有两个方程有实根,求实数a的取值范围.
解:设已知三个方程都有实根,此时a的取值范围为集合D,
则
a≥-,
所以D={a|a≥-},
所以使三个方程中至多有两个方程有实根的a的取值范围是D的补集,即{a|a<-}.
当堂检测
1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={x|1≤x≤4,x∈N},则 UA等于( B )
A.{0,5,6} B.{0,5}
C.{1} D.{5}
解析:因为U={0,1,2,3,4,5},A={1,2,3,4},
所以 UA={0,5}.
2.已知全集U={x∈N*|x-5≤0},A={1,4},B={4,5},则 U(A∩B)等于( A )
A.{1,2,3,5} B.{1,2,4,5}
C.{1,3,4,5} D.{2,3,4,5}
解析:因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={4,5},所以A∩B={4}, U(A∩B)={1,2,3,5}.
3.图中的阴影部分表示的集合是( B )
A.A∩( UB) B.B∩( UA)
C. U(A∩B) D. U(A∪B)
解析:由维恩图可知,阴影部分的元素属于B但不属于A,所以用集合表示为B∩( UA).
4.设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6}, UA={5},则实数m的值为 .
解析:因为A∪( UA)=U,所以U={3,6,m2-m-1}={|3-2m|,6,5},两个集合相等,所有元素都一样,所以或解得m=3.
答案:3
备用例题
[例1] 用图形直观表示集合的运算关系,最早是由瑞士数学家欧拉所创,故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”.后来,英国逻辑学家约翰·维恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“维恩图”.维恩用图(1)中的四块区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ分别表示下列四个集合:A∩B,A∩( UB),( UA)∩B,( UA)∩( UB),则图(2)中的阴影部分表示的集合为( )
A.A∩B∩C B.( UA)∩B∩C
C.A∩( UB)∩C D.A∩B∩( UC)
解析:由维恩图知图(2)中的阴影部分为集合A与集合B的交集去掉属于集合C的部分,
即图(2)中的阴影部分为A∩B∩( UC).故选D.
[例2] 已知M,N均为R的子集,且N RM,则M∩( RN)等于( )
A. B.M C.N D. RN
解析:当N= 时, RN=R,
所以M∩( RN)=M.
当N≠ 时,如图所示.
M∩( RN)=M.故选B.
[例3] (多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A. UA={x|x<1或36}
B. UB={x|x<2或x≥5}
C.A∩( UB)={x|1≤x<2或5≤x<6}
D.( UA)∪B={x|x<1或26}
解析:因为全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4因为全集U=R,集合B={x|2≤x<5},所以 UB={x|x<2或x≥5},故B正确;
因为集合A={x|1≤x≤3或4因为 UA={x|x<1或3选题明细表
知识点、方法 题号
补集运算及其理解 1,3,4,9
交、并、补集综合运算 2,5,6,11
利用补集求参数的取值范围 7,8,10,12,13,14
基础巩固
1.若全集U={-1,0,1,2,3,5},集合A满足 UA={0,1,2},则A等于( C )
A.{-1} B.{-1,1}
C.{-1,3,5} D.{-1,0,5}
解析:根据全集U={-1,0,1,2,3,5}, UA={0,1,2},则A={-1,3,5}.
2.已知全集U={1,2,4,8,10,12},集合A={1,2,4,8,10},B={2,4,8},则A∩ UB等于( C )
A.{2} B.{2,4}
C.{1,10} D.{1,2,4,8}
解析:全集U={1,2,4,8,10,12},集合A={1,2,4,8,10},B={2,4,8},
UB={1,10,12},则A∩ UB={1,10}.
3.设集合M={1,3}, UM={2,4,5},则下列说法正确的是( B )
A.1 U B.2∈U
C.3 U D.4 U
解析:集合M={1,3}, UM={2,4,5},由题意得U={1,2,3,4,5}.
所以1∈U,2∈U,3∈U,4∈U.故B正确.
4.设U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4,6},集合B={2,3,5},则维恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:维恩图中阴影部分表示的集合是由属于集合B,但不属于集合A的元素组成,因此阴影部分表示的集合为{3,5},所以其真子集个数为22-1=3.
5.(多选题)若集合M={x|-3x≥1}等于( BC )
A.M∩N B. RM
C. R(M∩N) D. R(M∪N)
解析:因为集合M={x|-3 RM={x|x≤-3或x≥1}, R(M∩N)={x|x≤-3或x≥1}, R(M∪N)=
{x|x>3}.
6.已知集合U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,3},则( UM)∩( UN)=
.
解析:因为集合U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,3},所以M∪N=
{1,3,5},则( UM)∩( UN)= U(M∪N)={2,4}.
答案:{2,4}
7.设集合A={x|-2a},若A∩ RB= ,则实数a的取值范围为 .
解析:因为集合A={x|-2a},所以 RB={x|x≤a},
因为A∩ RB= ,所以a≤-2,所以实数a的取值范围为(-∞,-2].
答案:(-∞,-2]
8.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x解析:因为A={x|1≤x{x|1≤x≤5},且A∩( UA)= ,因此a=2,A={x|1≤x<2}.
答案:{x|1≤x<2} 2
能力提升
9.设集合A={x|x=2n+1,n∈N},B={x|x=4n+1,n∈N},则 AB等于( C )
A.{x|x=4n+1,n∈N} B.{x|x=4n+2,n∈N}
C.{x|x=4n+3,n∈N} D.
解析:因为A={x|x=2n+1,n∈N},B={x|x=2·(2n)+1,n∈N},
所以 AB={x|x=4n+3,n∈N}.
10.已知集合 RA={x|-4≤x≤2},B={x|x≤-3或x≥a},若{x∈Z|x∈A且x∈ RB}={3,4},则( B )
A.4≤a<5 B.4C.3解析:根据题意,A={x|x<-4或x>2}, RB={x|-311.(多选题)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩( UB)={1,4},( UA)∩B={5,6,7},则下列说法正确的是( ACD )
A.2∈A
B.2 B
C.A∩B={2,3}
D.A∪( UB)={1,2,3,4}
解析:因为A∩( UB)={1,4},所以1,4∈A,且1,4 B.
又因为( UA)∩B={5,6,7},所以5,6,7∈B,且5,6,7 A.
又因为A∪B=U,若2∈A,2 B,或2∈B,2 A,则2∈A∩( UB)或2∈
( UA)∩B,不符合题意,所以2∈A且2∈B,同理3∈A且3∈B.
综上A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},A∪( UB)=
{1,2,3,4}.
12.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|a+1解析:当B≠ 时,因为B={x|a+1a+1,解得a>2,
UB={x|x≤a+1或x≥2a-1},
所以或
解得a≥3或a∈ ,
此时实数a的取值范围为a≥3;
当B= 时, UB=R,满足A ( UB),
所以a+1≥2a-1,解得a≤2.
综上可得,实数a的取值范围为(-∞,2]∪[3,+∞).
答案:(-∞,2]∪[3,+∞)
13.设全集U=R,集合A={x|-1(1)若m=-1,求( UA)∪( UB);
(2)若B∩( UA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.
解:(1)A={x|-1若m=-1,则B={x|-2因为全集U=R,所以 UA={x|x≤-1或x>2}, UB={x|x≤-2或x≥1},
则( UA)∪( UB)={x|x≤-1或x≥1}.
(2)B={x|2m2},
若B∩( UA)中只有一个整数,则-2≤2m<-1,即-1≤m<-.
所以实数m的取值范围是[-1,-).
应用创新
14.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤3-2a}.
(1)若( UA)∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠B,求实数a的取值范围.
解:(1)因为A={x|0≤x≤2},
所以 UA={x|x<0或x>2},若( UA)∪B=R,在数轴上表示如图,
则即a≤0,
所以实数a的取值范围是(-∞,0].
(2)若A∩B=B,则B A.
当B= 时,3-2a1;
当B≠ 时,若B A,在数轴上表示如图,
则得a∈[,1].
综上,实数a的取值范围为[,+∞),
故A∩B≠B时,实数a的取值范围为[,+∞)的补集,
即a∈(-∞,).
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1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第二课时 补集
「学习目标」
1.在具体情境中了解全集的含义及符号表示，理解给定集合中一个子集的补集的含义，
培养数学抽象的核心素养.
2.会用维恩图、数轴进行集合的运算，借助维恩图、数轴的应用，培养直观想象、数学
运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
「知识探究」
1.全集
（1）定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是_____________
_______，那么称这个给定的集合为全集.
（2）记法：全集通常记作 ___.
某一给定集合的子集
［思考1］ 全集一定包含任何一个元素吗？
提示:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素.
2.补集
文字语言
符号语言
图形语言 _________________________________________
A
课堂探究
素养培育
探究点一 集合的补集运算
方法总结
求集合补集的常见方法
（1）定义法：当集合是有限集时，可利用定义直接求解.
（2）维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集.
（3）数轴法：当集合是连续的数集时，可借助数轴，需注意端点问题.
法二 借助维恩图，如图所示.
探究点二 集合的交、并、补集运算
求：
解：借助数轴，可得
方法总结
涉及与集合补集有关的运算时，需先计算补集.
A
探究点三 利用补集求参数的取值范围
方法总结
由集合的补集求解参数的方法
（1）有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合
集合知识求解.
（2）无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，
一般利用数轴分析法求解.
【学海拾贝】
核心素养——补集思想的应用
「当堂检测」
B
A
3.图中的阴影部分表示的集合是( )
B
3
「备用例题」
［例1］ 用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞
士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为
“欧拉图”.后来，英国逻辑学家约翰·维恩在欧拉图的基
础上创建了世人所熟知的“维恩图”.维恩用图（1）中的
D
B
BC