(共32张PPT)
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第一课时 交集、并集
「学习目标」
1.通过实例理解两个集合交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集,提升数学抽象
和数学运算的核心素养.
2.会使用维恩图表示集合的交集、并集运算,体会图形对理解抽象概念的作用,以培养直
观想象的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
探究：已知一个班有50人，其中10人有兄弟，15人有姐妹，你能判断这个班有多少是
独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题作出判断？
[答案] 事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件
不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有
姐妹的同学的人数”.
「知识探究」
［思考1］ 若两个集合没有公共元素，则两集合的交集是什么？
提示:若两个集合没有公共元素，则两集合的交集是空集.
［思考4］ 若两个集合的并集是空集，则这两个集合有什么特征？
提示:两个集合的并集是空集，则这两个集合都是空集.
拓展总结
交集、并集的运算性质
交集的运算性质 并集的运算性质
课堂探究
素养培育
探究点一 交集运算
B
D
B
D
A.5 B.4 C.3 D.2
探究点二 并集运算
解：画出数轴如图所示.
方法总结
并集运算应注意的问题
（1）对于描述法给出的集合，应明确是数集还是点集，然后将集合化简，再按定义求解.
（2）对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，
但要注意端点的值能否取到.
D
探究点三 集合交集、并集的应用
方法总结
根据集合运算性质求参数的方法
先将运算性质转化为集合的子集（真子集）关系后再求解.
【学海拾贝】
核心素养——有限集中元素的个数问题
［典例探究］ 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不
爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有____人.
26
［应用探究］ 某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个
小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理
小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有___人.
8
「当堂检测」
C
C
A
2
3
「备用例题」
AC
D
B1.1.3 集合的基本运算
第一课时 交集、并集
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的并集运算 1,5,6,11
集合的交集运算 3,7,10
集合运算综合 2,4,8,9,12,13,14
基础巩固
1.设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于( D )
A.{-2} B.{-2,3}
C.{-1,0,-2} D.{-1,0,-2,3}
解析:因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},所以A∪B=
{-1,0,-2,3}.
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( C )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
解析:因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),而M=
{-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
3.已知集合M={x|-1
A.{x|x>-1} B.{x|0≤x<2}
C.{x|-1解析:集合M={x|-1{x|0≤x<2}.
4.(多选题)已知集合A={x|x<1},B={x|x<0},则( AC )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x<1} D.A∩B=
解析:因为A={x|x<1},B={x|x<0},则A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.
5.已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B不可能为( C )
A.{1,2,5} B.{1,3,5}
C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5}
解析:由集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},得{1,5} B,
且0 B.
6.已知集合A={2,m},集合B={1,m2},若A∪B={1,2,3,9},则实数m=
.
解析:因为集合A={2,m},
集合B={1,m2},
且A∪B={1,2,3,9},
所以或(舍去),
解得m=3.
答案:3
7.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|2a≤x≤a+2,a∈R},若A∩B=
{x|2≤x≤3},则实数a的值为 .
解析:由题意2a=2,解得a=1.当a=1时,B={x|2≤x≤3},A∩B=
{x|2≤x≤3},符合题意.
答案:1
8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B=
{x|5解析:因为A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B=
{x|5所以a=1,b=6.
所以2a-b=-4.
答案:-4
能力提升
9.集合论是康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中,用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如:A={a,b,c},则card(A)=3.对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+
card(B)-card(A∩B).某校举办运动会,高一(1)班参加田赛的学生有15人,参加径赛的学生有13人,两项都参加的有5人,那么高一(1)班参加本次运动会的人数为( B )
A.28 B.23 C.18 D.16
解析:由题意设参加田赛的学生为集合A,参加径赛的学生为集合B,则card(A)=15,card(B)=13,card(A∩B)=5,则card(A∪B)=15+13-5=23.
10.(多选题)设集合A={x|a-1A.{a|0≤a≤6}
B.{a|a≤2或a≥4}
C.{a|a≤0}
D.{a|a≥6}
解析:由a-111.已知对于集合A,B,定义A-B={x|x∈A,且x B},A B=(A-B)∪(B-A).设集合M={1,2,3,4,5,6},集合N={4,5,6,7,8,9,10},则M N中元素个数为( D )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为M={1,2,3,4,5,6},
N={4,5,6,7,8,9,10},
所以M-N={x|x∈M,且x N}={1,2,3},
N-M={x|x∈N,且x M}={7,8,9,10},
所以M N=(M-N)∪(N-M)={1,2,3}∪{7,8,9,10}=
{1,2,3,7,8,9,10},有7个元素.
12.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},若A∪B=A,则实数m的取值范围是 ;若A∩B=A,则实数m的取值范围是 .
解析:因为A∪B=A,即B A,所以实数m的取值范围为[2,+∞);
因为A∩B=A,所以A B,所以实数m的取值范围为(-∞,2].
答案:[2,+∞) (-∞,2]
13.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪B)∩C.
解:(1)因为A∩B={2},所以2∈A且2∈B,
所以4+2a+12=0,4+6+2b=0,
即a=-8,b=-5.
所以A={x|x2-8x+12=0}={2,6},
B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)由(1)知A∪B={-5,2,6},又C={2,-3},所以(A∪B)∩C={2}.
应用创新
14.在①A∩B= ,②A∩B≠ 这两个条件中任选一个,补充在下列横线中,求解下列问题:已知集合A={x|2a-3(1)若a=0,求A∪B;
(2)若 (在①,②这两个条件中任选一个),求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,A={x|-3B={x|0所以A∪B={x|-3(2)若选①,A∩B= ,
当A= 时,2a-3≥a+1,解得a≥4;
当A≠ 时,或
解得2≤a<4或a≤-1.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).
若选②,A∩B≠ ,
则即
解得-121世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.3 集合的基本运算
第一课时 交集、并集
学习目标
1.通过实例理解两个集合交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
2.会使用维恩图表示集合的交集、并集运算,体会图形对理解抽象概念的作用,以培养直观想象的核心素养.
情境导入
探究:已知一个班有50人,其中10人有兄弟,15人有姐妹,你能判断这个班有多少是独生子女吗 如果不能判断,你能说出需哪些条件才能对这一问题作出判断
答案:事实上,如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”,我们就知道,上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数,为了解决这个问题,我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”.
知识探究
1.交集
(1)定义:一般地,给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.
(2)图形语言表示为:
[思考1] 若两个集合没有公共元素,则两集合的交集是什么
提示:若两个集合没有公共元素,则两集合的交集是空集.
[思考2] 若两个集合A,B的交集是空集,则两集合有什么特征
提示:若两个集合A,B的交集是空集,则两集合至少有一个是空集或者两集合虽不是空集,但是两集合没有公共元素.
2.并集
(1)定义:一般地,给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.
(2)图形语言表示为:
[思考3] A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗
提示:不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只能出现一次.
[思考4] 若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征
提示:两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
[思考5] 根据两集合的并集的定义可知,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有什么关系
提示:根据两集合的并集的定义,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有以下三种关系:
①x∈A且x B;②x∈B且x A;③x∈A且x∈B.
交集、并集的运算性质
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
A∩A=A A∪A=A
A∩ = A∪ =A
A B A∩B=A A B A∪B=B
探究点一 交集运算
[例1] (1)设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N等于( )
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{1} D.{0}
(2)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A∩B等于( )
A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1}
解析:(1)N={x|x2=x}={0,1},
所以M∩N={0,1}.
故选B.
(2)将集合A,B表示在数轴上,由图可得A∩B={x|-2≤x<-1}.故选D.
求集合A∩B的方法
(1)定义法.若集合是用列举法表示的,可以直接利用定义求出两集合的公共元素;
(2)数形结合法.若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
[针对训练](1)设集合M={m∈Z|-3A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:(1)M={m∈Z|-3{-1,0,1,2,3},所以M∩N={-1,0,1}.故选B.
(2)因为8=3×2+2,14=3×4+2,
所以8∈A,14∈A,所以A∩B={8,14}.
故选D.
探究点二 并集运算
[例2] (1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4,5},求A∪B;
(2)设集合A={x|-3解:(1)A∪B={1,2,3}∪{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}.
(2)画出数轴如图所示.
所以A∪B={x|-3{x|-3并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合,应明确是数集还是点集,然后将集合化简,再按定义求解.
(2)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到.
[针对训练] (1)已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{0,1} B.{0}
C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
(2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2解析:(1)由维恩图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3},故M∪P={-1,0,1,2,3}.故选D.
(2)画出数轴如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
答案:(1)D (2){x|x>-2}
探究点三 集合交集、并集的应用
[例3] 已知集合A={x|20)}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B= ,求a的取值范围.
解:(1)因为A∪B=B,所以A B,根据题意作出如图所示的数轴,
观察数轴可知,所以≤a≤2.
(2)A∩B= 有两类情况:B在A的左边和B在A的右边,如图.
观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a>0,
所以0根据集合运算性质求参数的方法
先将运算性质转化为集合的子集(真子集)关系后再求解.
[针对训练] 已知A={x|a5}.若A∪B=R,求a的取值范围.
解:由题意得a又B={x|x<-1或x>5},
在数轴上标出集合A,B,如图.
所以
所以-3≤a<-1.
【学海拾贝】
核心素养——有限集中元素的个数问题
[典例探究] 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人.
解析:
设只爱好音乐的人数为x,两者都爱好的人数为y,只爱好体育的人数为z,作维恩图如图,则x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.
答案:26
有限集中元素的个数的求法
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,用card来表示有限集的元素个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
[应用探究] 某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学三个小组,设参加数学、物理、化学小组的人数组成的集合分别为A,B,C,则card(A∩B∩C)=0,且card(A∩B)=6,card(B∩C)=4,
由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),易知36=26+15+13-6-4-card(A∩C),故card(A∩C)=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.
答案:8
当堂检测
1.已知集合A={x|-2≤x≤4},集合B={x|x>2},则A∩B等于( C )
A. B.[-2,2]
C.(2,4] D.[-2,+∞)
解析:集合A={x|-2≤x≤4},集合B={x|x>2},则A∩B={x|22.已知集合A={0,1,2},B={x∈N|0A.{0,1} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
解析:B={x∈N|03.已知集合A={0,1,2},B=,若A∪B=A,则实数x的值为( A )
A. B.0 C.1 D.2
解析:由题意,集合A={0,1,2},B=,因为A∪B=A,所以=2,可得x=.
4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a= ,b= .
解析:因为A∩B={(2,5)},
所以(2,5)∈A且(2,5)∈B,
所以解得a=2,b=3.
答案:2 3
备用例题
[例1] (多选题)满足集合M {a,b,c,d},且M∩{a,b,c}={a,b},则集合M等于( )
A.{a,b} B.{a,b,c}
C.{a,b,d} D.{a,b,c,d}
解析:因为集合M {a,b,c,d},且M∩{a,b,c}={a,b},
所以集合M中一定有元素a,b,不能有元素c,且元素d可能属于集合M,也可能不属于集合M,所以M={a,b}或M={a,b,d}.故选AC.
[例2] 设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法正确的是( )
A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠
B.若M∩N≠ ,则M∪N有4个元素
C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠
D.若M∩N≠ ,则M∪N={1,3,4}
解析:因为集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},N={x|(x-4)(x-1)=0}=
{1,4},在A中,若M∪N有4个元素,则a {1,3,4},所以M∩N= ,故A错误;
在B中,若M∩N≠ ,则a∈{1,4},所以M∪N有3个元素,故B错误;
在C中,若M∪N={1,3,4},则当a=3时,M∩N= ,故C错误;
在D中,若M∩N≠ ,则a∈{1,4},所以M∪N={1,3,4},故D正确.故选D.
[例3] 设A={x|-1≤x≤2},B={x|2x-a≤0},且A∩B={x|-1≤x≤1},则a的值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
解析:由2x-a≤0解得x≤,所以B=,
又因为A={x|-1≤x≤2},A∩B={x|-1≤x≤1},所以=1,所以a=2.
故选B.
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的并集运算 1,5,6,11
集合的交集运算 3,7,10
集合运算综合 2,4,8,9,12,13,14
基础巩固
1.设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于( D )
A.{-2} B.{-2,3}
C.{-1,0,-2} D.{-1,0,-2,3}
解析:因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},所以A∪B=
{-1,0,-2,3}.
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( C )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
解析:因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),而M=
{-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
3.已知集合M={x|-1A.{x|x>-1} B.{x|0≤x<2}
C.{x|-1解析:集合M={x|-1{x|0≤x<2}.
4.(多选题)已知集合A={x|x<1},B={x|x<0},则( AC )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x<1} D.A∩B=
解析:因为A={x|x<1},B={x|x<0},则A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.
5.已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B不可能为( C )
A.{1,2,5} B.{1,3,5}
C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5}
解析:由集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},得{1,5} B,
且0 B.
6.已知集合A={2,m},集合B={1,m2},若A∪B={1,2,3,9},则实数m=
.
解析:因为集合A={2,m},
集合B={1,m2},
且A∪B={1,2,3,9},
所以或(舍去),
解得m=3.
答案:3
7.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|2a≤x≤a+2,a∈R},若A∩B=
{x|2≤x≤3},则实数a的值为 .
解析:由题意2a=2,解得a=1.当a=1时,B={x|2≤x≤3},A∩B=
{x|2≤x≤3},符合题意.
答案:1
8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B=
{x|5解析:因为A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B=
{x|5所以a=1,b=6.
所以2a-b=-4.
答案:-4
能力提升
9.集合论是康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中,用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如:A={a,b,c},则card(A)=3.对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+
card(B)-card(A∩B).某校举办运动会,高一(1)班参加田赛的学生有15人,参加径赛的学生有13人,两项都参加的有5人,那么高一(1)班参加本次运动会的人数为( B )
A.28 B.23 C.18 D.16
解析:由题意设参加田赛的学生为集合A,参加径赛的学生为集合B,则card(A)=15,card(B)=13,card(A∩B)=5,则card(A∪B)=15+13-5=23.
10.(多选题)设集合A={x|a-1A.{a|0≤a≤6}
B.{a|a≤2或a≥4}
C.{a|a≤0}
D.{a|a≥6}
解析:由a-111.已知对于集合A,B,定义A-B={x|x∈A,且x B},A B=(A-B)∪(B-A).设集合M={1,2,3,4,5,6},集合N={4,5,6,7,8,9,10},则M N中元素个数为( D )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为M={1,2,3,4,5,6},
N={4,5,6,7,8,9,10},
所以M-N={x|x∈M,且x N}={1,2,3},
N-M={x|x∈N,且x M}={7,8,9,10},
所以M N=(M-N)∪(N-M)={1,2,3}∪{7,8,9,10}=
{1,2,3,7,8,9,10},有7个元素.
12.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},若A∪B=A,则实数m的取值范围是 ;若A∩B=A,则实数m的取值范围是 .
解析:因为A∪B=A,即B A,所以实数m的取值范围为[2,+∞);
因为A∩B=A,所以A B,所以实数m的取值范围为(-∞,2].
答案:[2,+∞) (-∞,2]
13.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪B)∩C.
解:(1)因为A∩B={2},所以2∈A且2∈B,
所以4+2a+12=0,4+6+2b=0,
即a=-8,b=-5.
所以A={x|x2-8x+12=0}={2,6},
B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)由(1)知A∪B={-5,2,6},又C={2,-3},所以(A∪B)∩C={2}.
应用创新
14.在①A∩B= ,②A∩B≠ 这两个条件中任选一个,补充在下列横线中,求解下列问题:已知集合A={x|2a-3(1)若a=0,求A∪B;
(2)若 (在①,②这两个条件中任选一个),求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,A={x|-3B={x|0所以A∪B={x|-3(2)若选①,A∩B= ,
当A= 时,2a-3≥a+1,解得a≥4;
当A≠ 时,或
解得2≤a<4或a≤-1.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).
若选②,A∩B≠ ,
则即
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