1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
选题明细表
知识点、方法 题号
命题的否定 1,4
全称量词命题、存在量词命题的否定 2,5,6, 8,9,11,13
根据命题的否定求参数的取值范围 3,7,10,12,14
基础巩固
1.下列“﹁p”形式的命题中,假命题是( D )
A. 不是有理数
B.π≠3.14
C.3不大于3
D.等腰三角形不可能有120°的角
解析:对于选项A,为无理数,故A不符合题意;对于选项B,π=3.141 592 6…,故B不符合题意;对于选项C不符合题意;对于选项D,等腰三角形可能以120°为顶角,30°为底角,符合题意.
2.命题p:“ x∈R,x2+1<0”,则下列表述正确的是( B )
A.命题p是真命题
B.命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题
C.命题“﹁p: x∈R,x2+1<0”是假命题
D.命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题
解析:由于x2+1≥1,所以命题p是假命题,故A不正确;
命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题,故B正确,C,D不正确.
3.命题p:“ x∈[2,3],3x-a>0”,若命题p是假命题,则a的最小值为( D )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:命题p:“ x∈[2,3],3x-a>0”,则﹁p:“ x∈[2,3],3x-a≤0”,由于命题p是假命题,故﹁p为真命题,故a≥(3x)max=9,即a的最小值为9.
4.(多选题)对下列命题的否定,说法正确的是( ACD )
A.p: x∈R,x>0;﹁p: x∈R,x≤0
B.p: x∈R,x2≤-1;﹁p: x∈R,x2>-1
C.p:如果x<2,那么x<1;﹁p:如果x<2,那么x≥1
D.p: x∈R,x2+1≠0;﹁p: x∈R,x2+1=0
解析:p: x∈R,x>0;﹁p: x∈R,x≤0,A正确;
p: x∈R,x2≤-1;﹁p: x∈R,x2>-1,B错误;
p:如果x<2,那么x<1;﹁p:如果x<2,那么x≥1,C正确;
p: x∈R,x2+1≠0;﹁p: x∈R,x2+1=0,D正确.
5.(多选题)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是( BD )
A.对角线相等的四边形不是等腰梯形
B.有的对角线相等的四边形不是等腰梯形
C.任何对角线相等的四边形都是等腰梯形
D.并非对角线相等的四边形都是等腰梯形
解析:由命题否定的定义可知命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定是对量词及命题结论的否定,结合选项可知,BD符合
题意.
6.命题“ x>0, ”的否定是“ x>0,x(x-1)≥0”,则横线处应填 .
答案:x(x-1)<0
7.命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)命题p的否定是 ;
(2)当a,b满足条件 时,命题p的否定为真命题.
解析:(1)命题p的否定为对任意实数x,有x-a≤0,且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真命题,需要同时满足x≤a,且x>b,通过画数轴(图略)可看出,a,b应满足的条件是b
答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0,且x-b>0
(2)b8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的
否定.
(1)命题p: x∈Z,x2-7x=0;
(2)命题q:甲班的学生都是北方人.
解:(1)命题p是存在量词命题,命题p的否定: x∈Z,x2-7x≠0.
(2)命题q是全称量词命题,命题q的否定:甲班的学生不都是北
方人.
能力提升
9.命题“ x∈R, x∈N,使得n≥x2+1”的否定形式是( D )
A. x∈R, x∈N,使得nB. x∈R, x∈N,使得nC. x∈R, x∈N,使得nD. x∈R, x∈N,使得n解析:“ x∈R, x∈N,使得n≥x2+1”的否定形式为 x∈R, x∈N,使得n10.(多选题)若“ x∈M,x<0”为真命题,“ x∈M,x≥3”为假命题,则集合M可以是( AD )
A.(-1,1) B.[-1,3] C.[0,2) D.(-3,3)
解析:由题意知 x∈M,x<0且 x∈M,x<3都为真命题,A,D符合题意.
11.(多选题)对下列命题的否定说法正确的是( ABD )
A.p:能被2整除的数是偶数;﹁p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;﹁p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;﹁p:所有的三角形不都是正三角形
D.p: x∈R,x2+x+2≤0;﹁p: x∈R,x2+x+2>0
解析:A正确,B正确,C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误,D正确.
12.若命题p: x∈R,x2+2ax+a≤0是假命题,则实数a的一个值为 .
解析:当a=时,x2+x+=(x+)2+>0,符合题意.
答案:(答案不唯一)
13.写出下列命题p的否定,判断真假并说明理由.
(1)p: x∈R,x2=-1;
(2)p:有的平行四边形的对角线相等;
(3)p:等腰梯形的对角线互相平分.
解:(1)p: x∈R,x2=-1,﹁p: x∈R,x2≠-1,
因为x2≥0,故﹁p为真命题.
(2)p:有的平行四边形的对角线相等,﹁p:所有的平行四边形的对角线都不相等,
因为正方形是平行四边形,但对角线相等,则﹁p是假命题.
(3)p:等腰梯形的对角线互相平分,﹁p:存在一个等腰梯形,它的对角线不互相平分.因为p是假命题,所以﹁p为真命题.
应用创新
14.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,求m的取值范围.小李略加思索,反手给了小王一道题:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题,求m的取值范围.你认为两名同学的题中m的取值范围是否一致 .(选填“是”或“否”)
解析:因为命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”的否定是“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”,而命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,则其否定“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.
所以两名同学的题中m的取值范围是一致的.
答案:是
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标
理解含有一个量词的命题的否定的意义,提升数学抽象的核心
素养.
2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理的核心
素养.
知识探究
1.命题的否定
一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“﹁p”,读作“非p”或“p的否定”.
[思考1] 一个命题与其否定命题之间的真假关系如何
提示:一个命题与其否定命题之间的真假关系是一真一假.
[思考2] 命题“若p,则q”的否定是什么
提示:“若p,则q”的否定是“若p,则﹁q”.
2.存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
3.全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M,q(x) x∈M,﹁q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
(1)“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析
①一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称
量词.
②与一般命题的否定相同,对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.
(2)对全称量词命题的否定以及特点的理解
①全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称量词命题的否定就是将全称量词调整为存在量词.
②对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.
(3)对存在量词命题的否定以及特点的理解
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,而命题p与﹁p互为否定,所以存在量词命题的否定就是全称量词命题.
(4)常见词语的否定如表所示:
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的 否定 不是 不一 定是 不都是 小于或 等于 大于或 等于
词语 且 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有 x成立
词语的 否定 或 一个也 没有 至多有 (n-1)个 至少 有两个 存在一 个x 不成立
探究点一 全称量词命题的否定与其真
假判断
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,x2-x+≥0;
(2)所有的正方形都是菱形;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
解:(1)该命题的否定: x∈R,x2-x+<0.由于x2-x+=(x-)2≥0,所以为假命题.
(2)该命题的否定:存在一个正方形不是菱形.假命题.
(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.假命题.
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题“ x∈M,p(x)”的否定形式是“ x∈M,﹁p(x)”,所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题.
[针对训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:对所有正数x,>x+1;
(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数;
(3)r:所有能被5整除的整数都是奇数;
(4)s:任意两个等边三角形都相似.
解:(1)﹁p:存在正数x,≤x+1.例如当x=1时,(2)﹁q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知﹁q是假命题.
(3)﹁r:存在一个能被5整除的整数不是奇数.例如10是能被5整除的整数,且不是奇数,所以﹁r是真命题.
(4)﹁s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知﹁s是假命题.
探究点二 存在量词命题的否定与其真假判断
[例2] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)四边形的对角线不都互相垂直;
(2)有一个点(x,y),满足y=2x+1.
解:(1)命题的否定:任意四边形的对角线都互相垂直,是假命题.
(2)命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1,是假命题.
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题“ x∈M,q(x)”的否定形式是“ x∈M,﹁q(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题的相反.
[针对训练] 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,x+2≤0;
(2)有一个偶数是素数.
解:(1)该命题的否定: x∈R,x+2>0,为假命题.
(2)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数,为假命题.
探究点三 求含量词的命题参数的取值范围
[例3] (1)若命题“ x∈[-,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(,+∞) B.[,+∞)
C.(-∞,-] D.(-∞,-)
(2)若命题“ x∈[1,5],x2-5a>0”为假命题,则a的取值范围是 .
解析:(1)因为命题“ x∈[-,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则a≤x+2在x∈[-,+∞)上恒成立,则a≤-+2,即a≤-.故选C.
(2)因为命题“ x∈[1,5],x2-5a>0”为假命题,所以命题“ x∈[1,5],x2-5a≤0”为真命题,即 x∈[1,5],5a≥x2恒成立,由于y=x2(x∈[1,5])的最大值为25,所以5a≥25,即a≥5.
答案:(1)C (2)[5,+∞)
涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.
[针对训练] 已知命题p: x∈R,x2+x+a≠0是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤) B.{a|a<)
C.{a|a>或a<0) D.{a|a≥或a≤0)
解析:若命题p是假命题,则﹁p: x∈R,x2+x+a=0为真命题,
所以Δ=1-4a≥0,解得a≤.故选A.
【学海拾贝】
易错易混——忽视否定的对象以及否定词而致误
[典例] 若命题p: x∈R,<0,则﹁p: .
解析:对于全称量词命题的否定不但要转换量词,而且还要否定结论,本题中的结论<0本身隐含x-3≠0,因此在否定时还要写上x-3=0.
答案: x∈R,≥0或x=3
当堂检测
1.命题“ x∈R,x2+3x+1<0”的否定为( C )
A. x∈R,x2+3x+1<0
B. x∈R,x2+3x+1≤0
C. x∈R,x2+3x+1≥0
D. x∈R,x2+3x+1>0
解析:存在量词命题的否定为全称量词命题,C正确.
2.已知A,B为给定的集合,命题p:“对于 x∈A,都有x∈B”,则p的否定为( B )
A.对于 x∈A,都有x B
B. x∈A,使得x B
C.对于 x A,都有x B
D. x∈A,使得x∈B
解析:因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p:“对于 x∈A,都有x∈B”的否定为“ x∈A,使得x B”.
3.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( A )
A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆
B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆
C.所有四边形的四个顶点共圆
D.所有四边形的四个顶点都不共圆
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形,它的四个顶点不共圆”.
4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是 .
答案:有的正多边形内角不相等
备用例题
[例1]命题“ x∈R,1A. x∈R,1B. x∈R,1C. x∈R,y≤1或y>2
D. x∈R,y≤1或y>2
解析:存在量词命题的否定是全称量词命题.命题“ x∈R,12”.故选D.
[例2](多选题)下列命题的否定中,是真命题的有( )
A.某些平行四边形是菱形
B. x∈R,x2-3x+3<0
C. x∈R,|x|+x2≥0
D. x∈R,x2-ax+1=0有实数解
解析:对于A,某些平行四边形是菱形,是真命题;
对于B,因为对任意x∈R,x2-3x+3=(x-)2+>0,所以原命题是假命题;
对于C, x∈R,|x|+x2≥0,是真命题;
对于D,只有Δ=a2-4≥0,即a≤-2或a≥2时,x2-ax+1=0有实数解,是假命题;
根据原命题和它的否定真假相反的法则判断,选项BD中,原命题的否定是真命题.故选BD.
[例3] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有的正比例函数都是一次函数;
(2)每个二次函数的图象都开口向下.
解:(1)存在一个正比例函数不是一次函数,为假命题.
(2)存在一个二次函数的图象开口不向下,为真命题.
[例4] 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定.
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根.
解:(1)任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定为存在一个平行四边形,其对角线不互相平分.
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定为存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.
(3)存在三角形不是中心对称图形.命题的否定为任意三角形都是中心对称图形.
(4)存在一元二次方程没有实数根.命题的否定为任意一元二次方程总有实数根.
选题明细表
知识点、方法 题号
命题的否定 1,4
全称量词命题、存在量词命题的否定 2,5,6, 8,9,11,13
根据命题的否定求参数的取值范围 3,7,10,12,14
基础巩固
1.下列“﹁p”形式的命题中,假命题是( D )
A. 不是有理数
B.π≠3.14
C.3不大于3
D.等腰三角形不可能有120°的角
解析:对于选项A,为无理数,故A不符合题意;对于选项B,π=3.141 592 6…,故B不符合题意;对于选项C不符合题意;对于选项D,等腰三角形可能以120°为顶角,30°为底角,符合题意.
2.命题p:“ x∈R,x2+1<0”,则下列表述正确的是( B )
A.命题p是真命题
B.命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题
C.命题“﹁p: x∈R,x2+1<0”是假命题
D.命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题
解析:由于x2+1≥1,所以命题p是假命题,故A不正确;
命题“﹁p: x∈R,x2+1≥0”是真命题,故B正确,C,D不正确.
3.命题p:“ x∈[2,3],3x-a>0”,若命题p是假命题,则a的最小值为( D )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:命题p:“ x∈[2,3],3x-a>0”,则﹁p:“ x∈[2,3],3x-a≤0”,由于命题p是假命题,故﹁p为真命题,故a≥(3x)max=9,即a的最小值为9.
4.(多选题)对下列命题的否定,说法正确的是( ACD )
A.p: x∈R,x>0;﹁p: x∈R,x≤0
B.p: x∈R,x2≤-1;﹁p: x∈R,x2>-1
C.p:如果x<2,那么x<1;﹁p:如果x<2,那么x≥1
D.p: x∈R,x2+1≠0;﹁p: x∈R,x2+1=0
解析:p: x∈R,x>0;﹁p: x∈R,x≤0,A正确;
p: x∈R,x2≤-1;﹁p: x∈R,x2>-1,B错误;
p:如果x<2,那么x<1;﹁p:如果x<2,那么x≥1,C正确;
p: x∈R,x2+1≠0;﹁p: x∈R,x2+1=0,D正确.
5.(多选题)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是( BD )
A.对角线相等的四边形不是等腰梯形
B.有的对角线相等的四边形不是等腰梯形
C.任何对角线相等的四边形都是等腰梯形
D.并非对角线相等的四边形都是等腰梯形
解析:由命题否定的定义可知命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定是对量词及命题结论的否定,结合选项可知,BD符合
题意.
6.命题“ x>0, ”的否定是“ x>0,x(x-1)≥0”,则横线处应填 .
答案:x(x-1)<0
7.命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)命题p的否定是 ;
(2)当a,b满足条件 时,命题p的否定为真命题.
解析:(1)命题p的否定为对任意实数x,有x-a≤0,且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真命题,需要同时满足x≤a,且x>b,通过画数轴(图略)可看出,a,b应满足的条件是b答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0,且x-b>0
(2)b8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的
否定.
(1)命题p: x∈Z,x2-7x=0;
(2)命题q:甲班的学生都是北方人.
解:(1)命题p是存在量词命题,命题p的否定: x∈Z,x2-7x≠0.
(2)命题q是全称量词命题,命题q的否定:甲班的学生不都是北
方人.
能力提升
9.命题“ x∈R, x∈N,使得n≥x2+1”的否定形式是( D )
A. x∈R, x∈N,使得nB. x∈R, x∈N,使得nC. x∈R, x∈N,使得nD. x∈R, x∈N,使得n解析:“ x∈R, x∈N,使得n≥x2+1”的否定形式为 x∈R, x∈N,使得n10.(多选题)若“ x∈M,x<0”为真命题,“ x∈M,x≥3”为假命题,则集合M可以是( AD )
A.(-1,1) B.[-1,3] C.[0,2) D.(-3,3)
解析:由题意知 x∈M,x<0且 x∈M,x<3都为真命题,A,D符合题意.
11.(多选题)对下列命题的否定说法正确的是( ABD )
A.p:能被2整除的数是偶数;﹁p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;﹁p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;﹁p:所有的三角形不都是正三角形
D.p: x∈R,x2+x+2≤0;﹁p: x∈R,x2+x+2>0
解析:A正确,B正确,C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误,D正确.
12.若命题p: x∈R,x2+2ax+a≤0是假命题,则实数a的一个值为 .
解析:当a=时,x2+x+=(x+)2+>0,符合题意.
答案:(答案不唯一)
13.写出下列命题p的否定,判断真假并说明理由.
(1)p: x∈R,x2=-1;
(2)p:有的平行四边形的对角线相等;
(3)p:等腰梯形的对角线互相平分.
解:(1)p: x∈R,x2=-1,﹁p: x∈R,x2≠-1,
因为x2≥0,故﹁p为真命题.
(2)p:有的平行四边形的对角线相等,﹁p:所有的平行四边形的对角线都不相等,
因为正方形是平行四边形,但对角线相等,则﹁p是假命题.
(3)p:等腰梯形的对角线互相平分,﹁p:存在一个等腰梯形,它的对角线不互相平分.因为p是假命题,所以﹁p为真命题.
应用创新
14.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,求m的取值范围.小李略加思索,反手给了小王一道题:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题,求m的取值范围.你认为两名同学的题中m的取值范围是否一致 .(选填“是”或“否”)
解析:因为命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”的否定是“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”,而命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,则其否定“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.
所以两名同学的题中m的取值范围是一致的.
答案:是
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1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词
命题的否定
「学习目标」
1.理解含有一个量词的命题的否定的意义，提升数学抽象的核心素养.
2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
否定
［思考1］ 一个命题与其否定命题之间的真假关系如何？
提示:一个命题与其否定命题之间的真假关系是一真一假.
2.存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
_______________ 存在量词命题的否定是__________
命题
3.全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
_______________ 全称量词命题的否定是__________
命题
全称量词
存在量词
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至多有一个
词语的否定 或 一个也没有 至少有两个
课堂探究
素养培育
探究点一 全称量词命题的否定与其真假判断
［例1］ 写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（2）所有的正方形都是菱形；
解：该命题的否定：存在一个正方形不是菱形.假命题.
（3）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
解：该命题的否定：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.假命题.
［针对训练］ 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
探究点二 存在量词命题的否定与其真假判断
［例2］ 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）四边形的对角线不都互相垂直；
解：命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直，是假命题.
［针对训练］ 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（2）有一个偶数是素数.
解：该命题的否定：任意一个偶数都不是素数，为假命题.
探究点三 求含量词的命题参数的取值范围
C
【学海拾贝】
「当堂检测」
C
[解析] 存在量词命题的否定为全称量词命题，C正确.
B
3.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A
A.存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B.存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C.所有四边形的四个顶点共圆 D.所有四边形的四个顶点都不共圆
[解析] 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共
圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”.
4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是________________________.
有的正多边形内角不相等
「备用例题」
D
［例2］ （多选题）下列命题的否定中，是真命题的有( )
BD
［例3］ 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）所有的正比例函数都是一次函数；
解：存在一个正比例函数不是一次函数，为假命题.
（2）每个二次函数的图象都开口向下.
解：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.
［例4］ 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写
出它们的否定.
（1）平行四边形的对角线互相平分；
解：任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定为存在一个平行四边形，其
对角线不互相平分.
（2）三个连续整数的乘积是6的倍数；
解：任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定为存在三个连续整数的乘积不是6
的倍数.
（3）三角形不都是中心对称图形；
解：存在三角形不是中心对称图形.命题的否定为任意三角形都是中心对称图形.
（4）一元二次方程不总有实数根.
解：存在一元二次方程没有实数根.命题的否定为任意一元二次方程总有实数根.