1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学习目标
1.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,提升数学抽象的核心素养.
2.理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命题和存在量词命题,并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假.培养逻辑推理的核心素养.
知识探究
1.命题的定义与分类
(1)命题的定义:在数学中,我们把可供真假判断的陈述语句叫做命题.
(2)分类
命题
[思考1] 命题概念中涉及几个要点
提示:命题定义中涉及两个要点:“可以判断真假”和“陈述语句”.
[思考2] “命题一定是陈述句,但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗
提示:正确.根据命题的定义,命题一定是陈述句,但陈述句中只有能够判断真假的才是命题.
2.全称量词与全称量词命题
(1)一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“ ”表示.
(2)含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可用符号简记为 x∈M,r(x).
[思考3] 同一个全称量词命题的表述是否是唯一的
提示:不唯一.对于同一个全称量词命题,由于自然语言不同,可以有不同的表述方法,只要含义正确即可.
3.存在量词与存在量词命题
(1)一般地,“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“ ”表示.
(2)含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可用符号简记为“ x∈M,s(x)”.
[思考4] 全称量词命题与存在量词命题有什么区别
提示:(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
(1)命题的结构
①命题的一般形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
②确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式.
(2)理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点
①全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题;
②有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”;
③存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.
(3)常见的全称量词命题及存在量词命题及其表述
命题 全称量词命题 x∈M,p(x) 存在量词命题 x∈M,p(x)
表述 方法 ①所有的x∈M,使p(x)成立 ①存在x∈M,使p(x)成立
②对一切x∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使p(x)成立
③对每一个x∈M,使p(x)成立 ③某些x∈M,使p(x)成立
④对任意一个x∈M,使p(x)成立 ④存在某一个x∈M,使p(x)成立
⑤若x∈M,则p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立
探究点一 命题及其真假判断
[例1] 判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假.
(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
(2)一个数不是正数就是负数;
(3)平行四边形的对角线相等且互相平分;
(4)末位是0的整数能被5整除;
(5)求证 是无理数.
解:(1)疑问句不是命题.
(2)是命题,假命题.0既不是正数也不是负数.
(3)是命题,假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等.
(4)是命题,真命题.
(5)祈使句,不是命题.
(1)判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件:“是陈述句”和“可以判断真假”,而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)要判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可,而要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证.
[针对训练] 判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假.
(1)各位数字之和是3的倍数的整数,能被3整除;
(2)一个数不是奇数就是偶数;
(3)2024年6月1日山东某地会下雨;
(4)菱形的对角线互相垂直;
(5)“向抗洪英雄学习!”
解:(1)是命题,真命题.
(2)是命题,假命题.
(3)不是命题.
(4)是命题,真命题.
(5)是感叹句,不是命题.
探究点二 全称量词命题与存在量词命
题的判定
[例2] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)不相交的两条直线是平行直线;
(4)锐角三角形的内角是锐角或钝角;
(5)负数的平方是正数;
(6)若x>0,则x+2>2.
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
(3)可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”,因此是全称量词命题.
(4)省略了全称量词“所有”,因此是全称量词命题.
(5)省略了全称量词“所有”,是全称量词命题.
(6)省略了全称量词“所有”,可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.
(1)判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.
(2)要注意有些全称量词命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
[针对训练] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有一个实数a不能有平方根;
(2)所有不等式的解集A,都满足A R;
(3)对任意实数a,b,若a>b,则<;
(4)有些三角形不是直角三角形;
(5)自然数的平方是正数.
解:(1)含有存在量词“有一个”,所以命题(1)为存在量词命题.
(2)含有全称量词“所有”,所以(2)为全称量词命题.
(3)含有全称量词“任意”,所以(3)是全称量词命题.
(4)含有存在量词“有些”,所以(4)是存在量词命题.
(5)因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(5)为全称量词命题.
探究点三 全称量词命题与存在量词命
题的真假判断
[例3] 用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题,并判断其真假.
(1)自然数的平方大于零;
(2)以平面直角坐标系的原点为圆心,半径为r的圆上任一点到圆心的距离是r;
(3)存在一对整数x,y,使2x+4y=3;
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
解:(1) x∈N,x2>0.
因为0也是自然数,0的平方是0,所以全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题.
(2)设P是以平面直角坐标系的原点O为圆心,半径为r的圆上任一点,则 点P,有|OP|=r,是真命题.
(3) x,y∈Z,2x+4y=3.
由2x+4y=3,得x+2y=,若x,y∈Z,则x+2y也是整数,不可能等于,所以存在量词命题“存在一对整数x,y,使2x+4y=3”是假命题.
(4) x∈{无理数},x3∈Q.
是无理数,()3=3是有理数,
所以存在量词命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是真命题.
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:
(1)对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在M中找到一个x,使p(x)不成立.
(2)对于存在量词命题“ x∈M,p(x)”,要判断它为真,只需在M中找到一个x,使p(x)成立;要判断它为假,需要判断“ x∈M,p(x)不成立”.
[针对训练] 用符号“ ”“ ”表示下列命题,并判断其真假.
(1)实数都能写成小数形式;
(2)对任意实数x,都有x2+2>0;
(3)有些三角形的重心在某一边上.
解:(1) x∈R,x能写成小数形式.
因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.
(2) x∈R,x2+2>0.
由于 x∈R,都有x2≥0,
因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,
所以该命题是真命题.
(3) x∈{x|x是三角形},x的重心在某一边上.
由于所有三角形的重心都在三角形的内部,所以该命题是假命题.
探究点四 利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围
[例4] 已知命题p: x∈[-,+∞),2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.
解:因为p为真命题,
即方程2x+2-a=0在[-,+∞)上有实根,
所以a=2x+2≥2×(-)+2=1,即a≥1,
即实数a的取值范围为[1,+∞).
[变式探究] 将本例中的条件改为“ x∈[-,+∞),2x+2-a>0”,求实数a的取值范围.
解:由 x∈[-,+∞),2x+2-a>0为真命题,得a<(2x+2)min=2×(-)+
2=1,
得a<1,
所以实数a的取值范围为(-∞,1).
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理.
当堂检测
1.语句“若a>b,则a-c>b-2c”( C )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题 D.不能判断真假
解析:a-c>b-2c,即a>b-c,当c<0时,可能不成立.
2.下列语句不是全称量词命题的是( C )
A.任何一个实数乘零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高一(1)班绝大多数同学是团员
D.所有二次函数的图象都开口向上
解析:“高一(1)班绝大多数同学是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题.
3.下列命题是假命题的是( B )
A. x∈R,3x>0 B. x∈N,x≥1
C. x∈Z,x<1 D. x∈Q, Q
解析:当x=0时,0∈N,但0<1,故“ x∈N,x≥1”是假命题.
4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为 .
解析:存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M,p(x)”,因此命题可改写为“ x<0,(1+x)(1-9x)2>0”.
答案: x<0,(1+x)(1-9x)2>0
备用例题
[例1] (1)下列命题是真命题的是( )
A.若=,则x=y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则=
D.若x(2)判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假.
①x2-3x+2=0;
②已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;
③“大角所对的边大于小角所对的边”;
④“x+y为有理数,则x,y也都是有理数”;
⑤“△ABC∽△A′B′C′”.
(1)解析:A正确.
若x2=1,则x=±1,B错误.
若x=y<0,则,无意义,C错误.
若xy2,D错误.故选A.
(2)解:①不能判断真假,不是命题;
②是命题,假命题;
③是命题,是假命题,没有说明在同一个三角形中;
④是命题,是假命题,如x=,y=-;
⑤不能判断真假,不是命题.
[例2] (1)判断下列命题的真假.
① x∈Z,x3<1;
②存在一个四边形不是平行四边形;
③在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
④ x∈N,x2>0.
(2)判断下列全称量词命题的真假.
①所有的素数都是奇数;
② x∈R,|x|+1≥1;
③对任意一个无理数x,x2也是无理数.
(3)判断下列存在量词命题的真假.
①有一个实数x,使x2+2x+3=0;
②平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
③有些平行四边形是菱形.
解:(1)①因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
②真命题,如梯形.
③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
④因为0∈N,02=0,
所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
(2)①2是素数,但2不是奇数,
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
② x∈R,总有|x|≥0,因此|x|+1≥1,
所以全称量词命题“ x∈R,|x|+1≥1”是真命题.
③是无理数,但()2=2是有理数.
所以全称量词命题“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
(3)①由于Δ=22-4×3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以存在量词命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题.
②由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.
所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
③由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
选题明细表
知识点、方法 题号
命题概念的理解 1,2,9,10
存在量词命题、全称量词命题 及其真假判定 3,4,5,6,11,14
利用全称量词命题、存在量词 命题的真假求参数的取值范围 7,8,12,13,15
基础巩固
1.下列说法正确的是( D )
A.语句“梯形是不是平面图形呢”是命题
B.语句“标准大气压下,100 ℃时水沸腾”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
解析:对于A,是疑问句,不是命题,不正确;B所给语句是命题,不正确;满足C的不一定是菱形,不正确;D说法正确.
2.下列语句是真命题的个数是( A )
(1)一个正整数不是素数就是合数;
(2)若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;
(3)60x+9>4;
(4)若x∈N,则x2+4x+7>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(1)该语句是命题,由于整数1既不是素数,也不是合数,所以它是假命题;(2)该语句是命题,+(-)和×(-)都是有理数,但,-都是无理数,所以它是假命题;(3)这种含有未知数的语句中,不等式是否恒成立无法确定,即不能判断其真假,所以它不是命题;
(4)因为当x∈N时,x2+4x+7>0恒成立,所以该语句是命题,且是真命题.
3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A.直角三角形的内角有一个是90°
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
解析:A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C既是全称量词命题又是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D既是存在量词命题又是假命题.
4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题,正确的是( D )
A. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B. a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C. a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
解析:全称量词命题含有全称量词“ ”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.所以D项正确.
5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( B )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B.所有菱形的四条边都相等
C.若2x为偶数,则x∈N
D.π是无理数
解析: x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;所有菱形的四条边都相等,满足两个条件,故B正确;若2x为偶数,则x∈Z,故C错误;π是无理数不是全称量词命题,故D错误.
6.“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为 .
答案: x≤0,x3≤0
7.已知命题p: x>0,x+a-1=0,若p为真命题,则a的取值范围是
.
解析:由题意,x+a-1=0有正数解,因为x+a-1=0,所以x=1-a,所以
1-a>0,解得a<1,所以a的取值范围是(-∞,1).
答案:(-∞,1)
8.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是 .
解析:因为x+3≥0,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a A,所以a<-3.
答案:(-∞,-3)
能力提升
9.“红豆生南国,春来发几枝 愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,这首诗中是命题的语句是( A )
A.红豆生南国 B.春来发几枝
C.愿君多采撷 D.此物最相思
解析:“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题.
10.(多选题)设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列选项正确的是( ABC )
A. x∈Q,x∈P B. x∈P,x Q
C. x∈Q,x∈P D. x Q,x P
解析:因为非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,所以Q P,故 x∈Q,
x∈P,A正确,C正确; x∈P,x Q,B正确;x Q时,x∈P也可能成立,D错误.
11.已知命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,使该命题为真命题的a的一个非负整数值为a= (写出一个即可).
解析:方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=0时适合条件.
答案:0(答案不唯一)
12.已知命题p: x∈(-∞,],-2x+a≥0,命题q: x∈R,x2+x+2a-1=0.若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是 .
解析:若p是真命题,则-2×+a≥0,即a≥1.
若q为假命题,则Δ=1-4(2a-1)<0,即a>.综上,a∈[1,+∞).
答案:[1,+∞)
13.已知 x∈{x|1≤x<3},使m≥x,则m的取值范围为 .
解析:由题意得 x∈{x|1≤x<3},使m≥xmin,所以m≥1.
答案:[1,+∞)
14.用符号“ ”或“ ”表示下列命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;
(3)勾股定理;
(4)矩形有一个外接圆.
解:(1)全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”. x∈R,x2≥0.是真命题;
(2) x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题;
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
(3)这是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理:
即 Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2.是真命题.
(4) x是矩形,x有一个外接圆,是真命题.
应用创新
15.(1)是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围.
解:(1)不等式m+x2-2x+5>0可化为
m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,
此时m>-4.
(2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5.令t=x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>tmin.
又t=(x-1)2+4,所以tmin=4,所以m>4,
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
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1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
「学习目标」
1.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,提升数学抽象的核心素养.
2.理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命题和存在量词命题,
并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假.培养逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.命题的定义与分类
（1）命题的定义：在数学中，我们把可供__________的__________叫做命题.
（2）分类
真命题：真命题判断为____的语句
假命题：判断为____的语句
真假判断
陈述语句
真
假
［思考1］ 命题概念中涉及几个要点？
提示:命题定义中涉及两个要点：“可以判断真假”和“陈述语句”.
［思考2］ “命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
提示:正确.根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题.
命题
表示所述事物的全体
全称量词
［思考3］ 同一个全称量词命题的表述是否是唯一的？
提示:不唯一.对于同一个全称量词命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，
只要含义正确即可.
个体或部分
存在量词
［思考4］ 全称量词命题与存在量词命题有什么区别？
提示:（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一
例外，强调“整体、全部”.
（2）存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.
（3）常见的全称量词命题及存在量词命题及其表述
命题
表述方法
课堂探究
素养培育
探究点一 命题及其真假判断
［例1］ 判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假.
（1）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
解：疑问句不是命题.
（2）一个数不是正数就是负数；
解：是命题，假命题.0既不是正数也不是负数.
（3）平行四边形的对角线相等且互相平分；
解：是命题，假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等.
（4）末位是0的整数能被5整除；
解：是命题，真命题.
解：祈使句，不是命题.
方法总结
（1）判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句”和“可以判断真
假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
（2）要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，而要判断一个命题是真命
题，一般需要经过严格的推理论证.
［针对训练］ 判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假.
（1）各位数字之和是3的倍数的整数，能被3整除；
解：是命题，真命题.
（2）一个数不是奇数就是偶数；
解：是命题，假命题.
（3）2024年6月1日山东某地会下雨；
解：不是命题.
（4）菱形的对角线互相垂直；
解：是命题，真命题.
（5）“向抗洪英雄学习！”
解：是感叹句，不是命题.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的判定
［例2］ 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
解：含有存在量词“有些”，故是存在量词命题.
（3）不相交的两条直线是平行直线；
解：可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”，因此是全称量词命题.
（4）锐角三角形的内角是锐角或钝角；
解：省略了全称量词“所有”，因此是全称量词命题.
（5）负数的平方是正数；
解：省略了全称量词“所有”，是全称量词命题.
方法总结
（1）判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，关键看命题中是否含有全称
量词或存在量词.
（2）要注意有些全称量词命题并不含全称量词，这时要根据命题涉及的意义去添补量
词再判断.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
［针对训练］ 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
解：含有存在量词“有一个”，所以命题（1）为存在量词命题.
解：含有全称量词“所有”，所以（2）为全称量词命题.
解：含有全称量词“任意”，所以（3）是全称量词命题.
（4）有些三角形不是直角三角形；
解：含有存在量词“有些”，所以（4）是存在量词命题.
（5）自然数的平方是正数.
解：因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以（5）
为全称量词命题.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
（1）自然数的平方大于零；
（4）存在一个无理数，它的立方是有理数.
（1）实数都能写成小数形式；
（3）有些三角形的重心在某一边上.
探究点四 利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值
范围
方法总结
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
（1）含参数的全称量词命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理.
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理.
「当堂检测」
C
A.不是命题 B.是真命题 C.是假命题 D.不能判断真假
2.下列语句不是全称量词命题的是( )
C
A.任何一个实数乘零都等于零 B.自然数都是正整数
C.高一（1）班绝大多数同学是团员 D.所有二次函数的图象都开口向上
[解析] “高一（1）班绝大多数同学是团员”，即“高一（1）班有的同学不是团员”，是存
在量词命题.
3.下列命题是假命题的是( )
B
「备用例题」
［例1］ （1）下列命题是真命题的是( )
A
（2）判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假.
解：不能判断真假，不是命题；
解：是命题，假命题；
③“大角所对的边大于小角所对的边”；
解：是命题，是假命题，没有说明在同一个三角形中；
解：不能判断真假，不是命题.
［例2］ （1）判断下列命题的真假.
②存在一个四边形不是平行四边形；
解：真命题，如梯形.
解：由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
（2）判断下列全称量词命题的真假.
①所有的素数都是奇数；
解：2是素数，但2不是奇数，
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
（3）判断下列存在量词命题的真假.
②平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
解：由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两
条相交直线垂直于同一条直线.
所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
③有些平行四边形是菱形.
解：由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱
形”是真命题.1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
选题明细表
知识点、方法 题号
命题概念的理解 1,2,9,10
存在量词命题、全称量词命题 及其真假判定 3,4,5,6,11,14
利用全称量词命题、存在量词 命题的真假求参数的取值范围 7,8,12,13,15
基础巩固
1.下列说法正确的是( D )
A.语句“梯形是不是平面图形呢”是命题
B.语句“标准大气压下,100 ℃时水沸腾”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
解析:对于A,是疑问句,不是命题,不正确;B所给语句是命题,不正确;满足C的不一定是菱形,不正确;D说法正确.
2.下列语句是真命题的个数是( A )
(1)一个正整数不是素数就是合数;
(2)若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;
(3)60x+9>4;
(4)若x∈N,则x2+4x+7>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(1)该语句是命题,由于整数1既不是素数,也不是合数,所以它是假命题;(2)该语句是命题,+(-)和×(-)都是有理数,但,-都是无理数,所以它是假命题;(3)这种含有未知数的语句中,不等式是否恒成立无法确定,即不能判断其真假,所以它不是命题;
(4)因为当x∈N时,x2+4x+7>0恒成立,所以该语句是命题,且是真命题.
3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A.直角三角形的内角有一个是90°
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
解析:A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C既是全称量词命题又是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D既是存在量词命题又是假命题.
4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题,正确的是( D )
A. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B. a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C. a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
解析:全称量词命题含有全称量词“ ”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.所以D项正确.
5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( B )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B.所有菱形的四条边都相等
C.若2x为偶数,则x∈N
D.π是无理数
解析: x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;所有菱形的四条边都相等,满足两个条件,故B正确;若2x为偶数,则x∈Z,故C错误;π是无理数不是全称量词命题,故D错误.
6.“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为 .
答案: x≤0,x3≤0
7.已知命题p: x>0,x+a-1=0,若p为真命题,则a的取值范围是
.
解析:由题意,x+a-1=0有正数解,因为x+a-1=0,所以x=1-a,所以
1-a>0,解得a<1,所以a的取值范围是(-∞,1).
答案:(-∞,1)
8.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是 .
解析:因为x+3≥0,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a A,所以a<-3.
答案:(-∞,-3)
能力提升
9.“红豆生南国,春来发几枝 愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,这首诗中是命题的语句是( A )
A.红豆生南国 B.春来发几枝
C.愿君多采撷 D.此物最相思
解析:“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题.
10.(多选题)设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列选项正确的是( ABC )
A. x∈Q,x∈P B. x∈P,x Q
C. x∈Q,x∈P D. x Q,x P
解析:因为非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,所以Q P,故 x∈Q,
x∈P,A正确,C正确; x∈P,x Q,B正确;x Q时,x∈P也可能成立,D错误.
11.已知命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,使该命题为真命题的a的一个非负整数值为a= (写出一个即可).
解析:方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=0时适合条件.
答案:0(答案不唯一)
12.已知命题p: x∈(-∞,],-2x+a≥0,命题q: x∈R,x2+x+2a-1=0.若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是 .
解析:若p是真命题,则-2×+a≥0,即a≥1.
若q为假命题,则Δ=1-4(2a-1)<0,即a>.综上,a∈[1,+∞).
答案:[1,+∞)
13.已知 x∈{x|1≤x<3},使m≥x,则m的取值范围为 .
解析:由题意得 x∈{x|1≤x<3},使m≥xmin,所以m≥1.
答案:[1,+∞)
14.用符号“ ”或“ ”表示下列命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;
(3)勾股定理;
(4)矩形有一个外接圆.
解:(1)全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”. x∈R,x2≥0.是真命题;
(2) x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题;
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
(3)这是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理:
即 Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2.是真命题.
(4) x是矩形,x有一个外接圆,是真命题.
应用创新
15.(1)是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围.
解:(1)不等式m+x2-2x+5>0可化为
m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,
此时m>-4.
(2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5.令t=x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>tmin.
又t=(x-1)2+4,所以tmin=4,所以m>4,
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
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