1.2.3 充分条件、必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的定义.提升逻辑推理的核心素养.
2.通过充分条件、必要条件的应用,培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识探究
1.充分条件与必要条件
一般地,“如果p,那么q”为真命题,即p q,我们称p是q的充分条件,q是p的必要条件,“如果p,那么q”为假命题,即p q,我们称p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
[思考1] 若p是q的充分条件,p是唯一的吗 q是唯一的吗 举例
说明.
提示:不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.
[思考2] 如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要”
提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即必须要有,缺之不可.
2.充要条件
如果p q且q p,则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件),记作p q.
[思考3] 符号“ ”的含义是什么
提示:符号“ ”的含义是“等价于”.例如,“p q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只需p”;“p q”的含义还可以理解为“p q且q p”.
[思考4] p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗
提示:不相同.两者都有p与q等价的含义,但是两种叙述方式中的条件与结论不同:“p是q的充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即p q为真,充分性成立,q p为真,必要性成立;而“q是p的充要条件”中的条件是“q”,结论是“p”,即q p为真,充分性成立,p q为真,必要性成立.
[思考5] 若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件.
p是q的充分条件反映了p q,而q是p的必要条件也反映了p q,所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.而p是q的充分条件只反映p q,与q能否推出p没有任何关系.在逻辑推理中,p q可以表达成以下五种说法:
①“若p,则q”为真命题;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
探究点一 充分条件与必要条件的判断
[例1] 下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)p:x>1,q:x2>1;
(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(4)p:a(5)p:不等式组的解集,q:0解:(1)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC;反之,若BC>AC,则∠A>∠B.因此,p是q的充要条件.
(2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1.因此,p是q的充分不必要条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定只得到a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.
(4)由a(5)不等式组的解集是{x|-4充分条件与必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断法:若命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
[针对训练] 下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;
(4)p:a2+b2=0,q:a+b=0.
解:(1)因为|x|=|y| x=y,
但x=y |x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)△ABC是直角三角形 △ABC是等腰三角形,
△ABC是等腰三角形 △ABC是直角三角形.
所以p是q的既不充分也不必要条件.
(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形;四边形是矩形 四边形的对角线互相平分.所以p是q的必要不充分条件.
(4)由a2+b2=0得a=b=0,从而a+b=0;而由a+b=0 a2+b2=0(如a=1,
b=-1),所以p是q的充分不必要条件.
探究点二 充分、必要条件的探求
[例2](1)使x>1成立的一个必要不充分条件是( )
A.x>0 B.x>3
C.x>2 D.x<2
(2)已知a为实数,使“ x∈[3,4],x-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≥5
C.a≥3 D.a≤5
解析:(1)只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出.故选A.
(2) x∈[3,4],x-a≤0为真命题,则a≥xmax,所以a≥4,
因为{a|a≥5} {a|a≥4},
所以选项B正确.故选B.
探求充分条件、必要条件问题时,首先应确定“条件”与“结论”,再推导出“结论”成立的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件.
[针对训练] (1)已知p:0A.0C.(2)使“0A.x>0 B.x<0或x>1
C.0解析:(1)运用集合的知识易知只有(2)因为(0,1) (0,+∞),所以“x>0”是“0探究点三 充分条件与必要条件的应用
[例3] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分条件 若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:存在.由4x+p<0得x<-,如图在数轴上画出不等式x>2或x<-1.
由数轴可得,当-≤-1,即p≥4时,
“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分条件.
[变式探究1] 将本例条件“4x+p<0”换为“4x+p>0”,其他条件不变,结果如何
解:存在.由4x+p>0得x>-,如图在数轴上画出不等式x>2或x<-1.
由数轴可得,当-≥2,即p≤-8时,
“4x+p>0”是“x>2或x<-1”的充分条件.
[变式探究2] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的必要条件 若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:不存在.由4x+p<0得x<-,在数轴上画出不等式x>2或x<-1(图略),由数轴可得不存在{x|x<-} {x|x<-1或x>2},故不存在.
根据充分条件与必要条件求参数问题的方法
根据条件的充分性和必要性找到条件和结论构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.
当堂检测
1.若a∈R,则“a=4”是“|a|=4”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为|a|=4,则a=4或-4,所以“a=4”是“|a|=4”的充分不必要条件.
2.“x2≥4”是“x>2”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为当x>2时,有x2≥4,反之,当x2≥4不一定有x>2,如x=2.因此x2≥4是x>2的必要不充分条件.
3.三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:假设高相等的两边分别为a,b,则有ah=bh a=b,
所以三角形为等腰三角形;
当三角形为等腰三角形时,设两腰分别为a,b,两腰上的高分别为h1,h2,
则有a=b,由ah1=bh2 h1=h2,即等腰三角形的两腰上的高相等.
4.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是 .
解析:因为x>k是-3≤x<2的必要不充分条件,所以[-3,2) (k,+∞).
所以k<-3.
答案:(-∞,-3)
备用例题
[例1] 给出的下列选项,其中正确的是( )
A.圆O内两条弦相等是圆O内两条弦所对的圆周角相等的充要条件
B.四边形为正方形是四边形的对角线互相垂直且平分的充要条件
C.x,y为无理数是xy为无理数的充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
解析:一条弦所对圆周角有两个,互补,所以圆O内两条弦相等,它们所对的圆周角相等或互补,故A错误;
若四边形的对角线互相垂直且平分,则四边形是菱形,不一定是正方形,故B错误;
若x=,y=2,则xy=6是有理数,故C错误;
若x=2,y=,则xy=2是无理数;若xy=3为有理数,则当x=,y=
时也成立,但为无理数,所以x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件.故选D.
[例2] 设U为全集,A,B是U的子集,则“存在集合M使得A M,
B M”是“A∩B= ”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:画出维恩图如图所示,
(1)如图①,当A B时,存在集合M使得A M,B M,但A∩B=A≠ ,
所以充分性不成立.
(2)①当A= ,M=B时,满足A∩B= ,则存在集合M使得A M,B M.
②当B= ,M=A时,满足A∩B= ,则存在集合M使得A M,B M.
③当A=B= ,M U时,满足A∩B= ,则存在集合M使得A M,B M.
④如图②,当A≠ ,B≠ 时,满足A∩B= ,则存在集合M使得A M,B M.
综上,当A∩B= 时,存在集合M使得A M,B M成立,所以必要性
成立.
所以存在集合M使得A M,B M是A∩B= 的必要不充分条件.故选B.
[例3] (1)如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)指出下列命题中,p是q的什么条件.
①p:实数a能被6整除,q:实数a能被3整除;
②p:x>2,且y>3,q:x+y>5;
③p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
④p:x,y不全为0,q:x+y≠0.
(1)解析:由题意,得A B,B C,C D,所以A不是D的充分条件;又D C,C B,B A,所以A是D的必要条件.故选A.
(2)解:①实数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立,即p q,q p,所以p是q的充分不必要条件.
②当x>2,且y>3时,x+y>5成立,反之不一定成立,如x=0,y=6.所以p是q的充分不必要条件.
③在△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,即p q,且q p,所以p是q的必要不充分条件.
④当x,y不全为0时,x+y=0可以成立,如x=-3,y=3,而x+y≠0时,x,y一定不全为0,这是因为若x,y全为0,则必有x+y=0.q p,且p q,所以p是q的必要不充分条件.
[例4] 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理.如果可以,说出其中涉及的充分条件或必要条件.
(1)在一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)矩形的对角线相等.
解:(1)可以看成一个判定定理.“在一个平面内,两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件.
(2)可以看成一个性质定理.“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件.
选题明细表
知识点、方法 题号
充分条件、必要条件的判定 1,2,3,4,7,9,10,12
充分、必要条件的探求与应用 5,6,8,11,13,14
基础巩固
1.“x∈Q”是“x∈N”的( A )
A.必要不充分条件
B.充要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为x∈Q不能推出x∈N,且x∈N可以推出x∈Q,所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件.
2.设x∈R,则“x≤3”是“-1≤x-1≤1”成立的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为-1≤x-1≤1,所以0≤x≤2,因为[0,2] (-∞,3],
所以x≤3是-1≤x-1≤1成立的必要不充分条件.
3.“>”是“a>b”的( A )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:令a=1,b=-1,满足a>b,不能推出>,故必要性不成立,
>能推出a>b,故充分性成立,
故“>”是“a>b”的充分不必要条件.
4.若实数x,y∈R,则“x>0且y>0”是“x+y>0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:x>0,y>0 x+y>0;x+y>0 x>0,且y>0,所以“x>0且y>0”是“x+y>0”的充分不必要条件.
5.(多选题)下列所给选项可以作为“-2A.-2C.m<4 D.-2解析:因为(-2,0) (-2,2),(-2,0) (-∞,4),则A,C正确,
因为(-2,-1) (-2,0),(-2,0)=(-2,0),故B,D错误.
6.已知p:x解析:因为p是q的必要不充分条件,
所以[-2,4] (-∞,m),所以m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
答案:(4,+∞)
7.金秋进入红叶季,某公园的游客量有所增加,现在公园采取了“无预约,不游园”的措施,需要提前预约才能进入公园.根据以上信息,“预约”是“游园”的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
解析:公园采取了“无预约,不游园”的措施,意思就是说:游园的前提是预约,只有预约了才可以游园,不预约就不能游园.所以“预约”是“游园”的充分必要条件.
答案:充分必要
8.写出一个实数a的值,使其是函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点的充分不必要条件,则a= .
解析:当a=0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点.
当a≠0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点,则
Δ=16+4a=0,解得a=-4.
答案:0或-4中的一个即可
能力提升
9.“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗,描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志.从逻辑学的角度看,最后一句中,“破楼兰”是“终还”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:“破楼兰”不一定“终还”,但“终还”一定是“破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
10.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( A )
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙 丙,如图.综上,得丙 甲,但甲 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
11.使x∈{x|x≤0或x>3}成立的一个充分不必要条件是( B )
A.x≤0或x>3
B.x<-1或x>3
C.x≤0或x>1
D.x≥0
解析:因为{x|x≤0或x>3}={x|x≤0或x>3},A是充要条件;
因为{x|x<-1或x>3}是集合{x|x≤0或x>3}的真子集,故B正确;
因为{x|x≤0或x>3}是集合{x|x≤0或x>1}的真子集,故C错误;
因为{x|x≥0}不是{x|x≤0或x>3}的真子集,故D错误.
12.(多选题)下列说法正确的是( BCD )
A.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充要条件
B.“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件
C.“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件
D.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析:a,b都是偶数能推出a+b是偶数,a+b是偶数不能推出a,b都是偶数,故A错误;
两个三角形全等能推出两个三角形的面积相等,但是两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等,故B正确;
关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解,则解得m≤1且m≠0,
故“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件,故C正确;a≠0,b=0时,推出ab=0,充分性不成立,ab≠0推出a≠0,故必要性成立,故D正确.
13.已知P={x|-1≤x≤3},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由;
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
所以解得m=2.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,
则S P,
当S= 时,1-m>1+m,解得m<0,
当S≠ 时,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有解得0≤m≤2.
综上,当实数m的取值范围为(-∞,2]时,x∈P是 x∈S的必要条件.
应用创新
14.设a,b,c∈R,判断“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+
3bc=0”的什么条件(在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个),并证明你的结论.
解:根据题意,“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+3bc=0”的充分不必要条件,
证明:a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=(a-b+c)2,
而a2-b2-2c2-ac+3bc=(a2+ab-2ac)-(ab+b2-2bc)+(ac+bc-2c2)=
a(a+b-2c)-b(a+b-2c)+c(a+b-2c)=(a-b+c)(a+b-2c),
若a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0,
即(a-b+c)2=0,必有a2-b2-2c2-ac+3bc=(a-b+c)(a+b-2c)=0,
反之,若a2-b2-2c2-ac+3bc=0,
即(a-b+c)(a+b-2c)=0,
则有a-b+c=0或a+b-2c=0,
故a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0不一定成立,
故“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+3bc=0”的充分不必要条件.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2.3 充分条件、必要条件
选题明细表
知识点、方法 题号
充分条件、必要条件的判定 1,2,3,4,7,9,10,12
充分、必要条件的探求与应用 5,6,8,11,13,14
基础巩固
1.“x∈Q”是“x∈N”的( A )
A.必要不充分条件
B.充要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为x∈Q不能推出x∈N,且x∈N可以推出x∈Q,所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件.
2.设x∈R,则“x≤3”是“-1≤x-1≤1”成立的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为-1≤x-1≤1,所以0≤x≤2,因为[0,2] (-∞,3],
所以x≤3是-1≤x-1≤1成立的必要不充分条件.
3.“>”是“a>b”的( A )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:令a=1,b=-1,满足a>b,不能推出>,故必要性不成立,
>能推出a>b,故充分性成立,
故“>”是“a>b”的充分不必要条件.
4.若实数x,y∈R,则“x>0且y>0”是“x+y>0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:x>0,y>0 x+y>0;x+y>0 x>0,且y>0,所以“x>0且y>0”是“x+y>0”的充分不必要条件.
5.(多选题)下列所给选项可以作为“-2A.-2C.m<4 D.-2解析:因为(-2,0) (-2,2),(-2,0) (-∞,4),则A,C正确,
因为(-2,-1) (-2,0),(-2,0)=(-2,0),故B,D错误.
6.已知p:x解析:因为p是q的必要不充分条件,
所以[-2,4] (-∞,m),所以m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
答案:(4,+∞)
7.金秋进入红叶季,某公园的游客量有所增加,现在公园采取了“无预约,不游园”的措施,需要提前预约才能进入公园.根据以上信息,“预约”是“游园”的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
解析:公园采取了“无预约,不游园”的措施,意思就是说:游园的前提是预约,只有预约了才可以游园,不预约就不能游园.所以“预约”是“游园”的充分必要条件.
答案:充分必要
8.写出一个实数a的值,使其是函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点的充分不必要条件,则a= .
解析:当a=0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点.
当a≠0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点,则
Δ=16+4a=0,解得a=-4.
答案:0或-4中的一个即可
能力提升
9.“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗,描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志.从逻辑学的角度看,最后一句中,“破楼兰”是“终还”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:“破楼兰”不一定“终还”,但“终还”一定是“破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
10.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( A )
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙 丙,如图.综上,得丙 甲,但甲 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
11.使x∈{x|x≤0或x>3}成立的一个充分不必要条件是( B )
A.x≤0或x>3
B.x<-1或x>3
C.x≤0或x>1
D.x≥0
解析:因为{x|x≤0或x>3}={x|x≤0或x>3},A是充要条件;
因为{x|x<-1或x>3}是集合{x|x≤0或x>3}的真子集,故B正确;
因为{x|x≤0或x>3}是集合{x|x≤0或x>1}的真子集,故C错误;
因为{x|x≥0}不是{x|x≤0或x>3}的真子集,故D错误.
12.(多选题)下列说法正确的是( BCD )
A.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充要条件
B.“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件
C.“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件
D.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析:a,b都是偶数能推出a+b是偶数,a+b是偶数不能推出a,b都是偶数,故A错误;
两个三角形全等能推出两个三角形的面积相等,但是两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等,故B正确;
关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解,则解得m≤1且m≠0,
故“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件,故C正确;a≠0,b=0时,推出ab=0,充分性不成立,ab≠0推出a≠0,故必要性成立,故D正确.
13.已知P={x|-1≤x≤3},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由;
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
所以解得m=2.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,
则S P,
当S= 时,1-m>1+m,解得m<0,
当S≠ 时,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有解得0≤m≤2.
综上,当实数m的取值范围为(-∞,2]时,x∈P是 x∈S的必要条件.
应用创新
14.设a,b,c∈R,判断“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+
3bc=0”的什么条件(在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个),并证明你的结论.
解:根据题意,“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+3bc=0”的充分不必要条件,
证明:a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=(a-b+c)2,
而a2-b2-2c2-ac+3bc=(a2+ab-2ac)-(ab+b2-2bc)+(ac+bc-2c2)=
a(a+b-2c)-b(a+b-2c)+c(a+b-2c)=(a-b+c)(a+b-2c),
若a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0,
即(a-b+c)2=0,必有a2-b2-2c2-ac+3bc=(a-b+c)(a+b-2c)=0,
反之,若a2-b2-2c2-ac+3bc=0,
即(a-b+c)(a+b-2c)=0,
则有a-b+c=0或a+b-2c=0,
故a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0不一定成立,
故“a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0”是“a2-b2-2c2-ac+3bc=0”的充分不必要条件.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
「学习目标」
1.理解充分条件、必要条件的定义.提升逻辑推理的核心素养.
2.通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
充分
必要
充分
必要
［思考2］ 如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要”
提示:“充分”即条件充分，有充足的理由；“必要”即必须要有，缺之不可.
充分必要
充要
课堂探究
素养培育
探究点一 充分条件与必要条件的判断
方法总结
充分条件与必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
探究点二 充分、必要条件的探求
A
B
方法总结
探求充分条件、必要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再推导出“结论”成立的
充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结
论”的充分不必要条件.
C
A
探究点三 充分条件与必要条件的应用
方法总结
根据充分条件与必要条件求参数问题的方法
根据条件的充分性和必要性找到条件和结论构成的集合之间的关系，然后构建满足条件
的不等式（组），再进行求解.
「当堂检测」
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
「备用例题」
［例1］ 给出的下列选项，其中正确的是( )
D
B
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 画出维恩图如图所示，
A
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
［例4］ 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理.如果可以，说出其中涉及的
充分条件或必要条件.
（1）在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
解：可以看成一个判定定理.“在一个平面内，两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直
线平行”的充分条件.
（2）矩形的对角线相等.
解：可以看成一个性质定理.“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件.
