高考真题分类优化精练 ● 数学卷
集合与逻辑 、不等式 、函数与导数
一、选择题(本大题共 8小题)
1. (2024 ● 全国甲卷 ● 理科)已知集合 A={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 9} , B={ 父| \父∈A} , 则 CA (A∩B) =
A. {1 , 4 , 9} B. {3 , 4 , 9}
C. {1 , 2 , 3} D. {2 , 3 , 5}
2. (2024 ● 新高考全国 Ⅱ卷)已知命题 p: V父∈R, | 父十1|>1;命题 q: 3 父>0 ,父3 = 父, 则
A. p 和 q 都是真命题
B. → p 和 q 都是真命题
C. p和 → q都是真命题
D. → p和 → q都是真命题
3. (2024 ● 北京卷)已知(父1, y1 ) , ( 父2, y2 )是函数y=2父 的图象上两个不同的点 , 则
4. (2024 ● 天津卷)若 a=4. 2 —0. 3 , b=4. 20. 3 , c=log4. 2 0. 2 , 则 a , b , c 的大小关系为
A. a>b>c B. b>a>c
C. c>a>b D. b>c>a
5. (2023 ● 新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(父)=ae父 —ln 父在区间(1 , 2)上单调递增 , 则 a 的最小值为
A. e2 B. e
C. e—1 D. e—2
6. (2022 ● 新高考全国 Ⅱ卷)已知函数 f( 父)的定义域为 R, 且 f( 父十y)十f( 父— y)=f(父)f(y) ,
A. —3 B. —2
C. 0 D. 1
7. (多选) (2023 ● 新高考全国 Ⅱ卷)若函数 =aln 父十 十 既有极大值也有极小
父 父
值 , 则
A. bc>0 B. ab>0
C. b2 十8ac>0 D. ac<0
8. (多选)(2022 ● 新高考全国 I卷)已知函数 f( 父)及其导函数 fI ( 父)的定义域均为 R, 记g(父) = , 若 均为偶函数 , 则
A. f(0) =0 B.
C. f(—1)=f(4) D. g(—1)=g(2)
选择题答题栏
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题(本大题共 2小题)
9. (2021 ● 新高考全国 I卷)已知函数 f(父)= 父3 (a ● 2父 —2— 父)是偶函数 , 则 a= .
10. (2022 ● 新高考全国Ⅱ卷)曲线y=ln| 父|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
高考真题分类优化精练 ● 数学 第 1 页(共 4 页) 高考真题分类优化精练 ● 数学 第 2 页(共 4 页)
三、解答题(本大题共2小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11. (2024 ● 全国甲卷 ● 理科)
已知函数 f(父)=(1—a父)ln(1十父) — 父.
(1)当 a=—2 时 , 求 f(父)的极值 ;
(2)当 父≥0 时 , f(父)≥0 , 求 a 的取值范围.
12. (2022 ● 新高考全国 I 卷)
已知函数 f(父)=e父 —a父和g(父)=a父—ln 父有相同的最小值.
(1)求 a ;
(2)证明:存在直线y=b , 其与两条曲线y=f(父)和y=g(父)共有三个不同的交点 , 并且从左到 右的三个交点的横坐标成等差数列.
高考真题分类优化精练 ● 数学 第 3 页(共 4 页) 高考真题分类优化精练 ● 数学 第 4 页(共 4 页)
高考真题分类优化精练 ● 参考答案
数学卷
1. D 因为 A={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 9} , B={ 父| \父∈A} , 所以 B={1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 81} , 则 A∩B={1 , 4 , 9} , CA (A∩B)={2 , 3 , 5} .
2. B 对于 p而言 , 取 父=—1 , 则有| 父十1|=0<1 , 故 p是假命题 , → p是真命题 , 对于q而言 , 取 父=1 , 则有父3 =13 =1= 父, 故q是 真命题 , → q是假命题 , 综上 , → p和q 都是真命题.
3. B 由题意不妨设 父1 <父2 , 因为函数 y=2父 是增函数 , 所以 0<2父1 <2父2 , 即 0
\2父1 ● 2父2
=2父1 2 (十)父2 , 即 y1 2 (十)y2 >2父1 2 (十)父2 >0 , 根据函数 y=log2 父是增函数 , 所以log2 y1 2 (十)y2 >log2 2父1 2 (十)父2 = 父1 2 (十)父2 , 故B正确 , A错误;对于选
项 D:例如 父1 =0 ,父2 =1 , 则 y1 =1 , y2 =2 , 可得log2 y1 2 (十)y2 =log2 ∈(0 , 1) , 即log2 y1 2 (十)y2 <1= 父1 十父2 , 故 D错误;对于选项 C:
例如 父1 =—1 ,父2 =—2 , 则 y1 = , y2 = , 可得log2 y1 2 (十)y2 =log2 =log2 3—3∈(—2 , —1) , 即log2 y1 2 (十)y2 >—3= 父1 十父2 , 故
C错误.
4. B 因为 y=4. 2父 在 R上递增 , 且—0. 3<0<0. 3 , 所以 0<4. 2 —0. 3 <4. 20 <4. 20. 3 , 所以 0<4. 2 —0. 3 <1<4. 20. 3 , 即0a>c.
5. C 依题可知 , f, ( 父) =ae父 — ≥0在(1 , 2)上恒成立 , 显然a>0 , 所以 父e父≥ , 设 g( 父)= 父e父 ,父∈(1 , 2) , 所以 g, ( 父)=( 父十1) e父 >0 , 所以 g( 父)在(1 , 2)上单调递增, g( 父)>g(1)=e , 故 e≥ , 即 a≥ = e—1 , 即 a 的最小值为 e—1 . 故选: C.
6. A 因为 f( 父十y)十f( 父— y)=f( 父)f(y) , 令 父=1 , y=0可得 , 2f(1)=f(1)f(0) , 所以 f(0)=2 , 令 父=0可得 , f(y)十f(—y) = 2f(y) , 即 f(y)=f(—y) , 所以函数 f( 父)为偶函数 , 令 y=1得 , f( 父十1)十f( 父—1)=f( 父)f(1)=f( 父) , 即有 f( 父十2)十f( 父) = f( 父十1) , 从而可知 f( 父十2)=—f( 父—1) , f( 父—1)=—f( 父—4) , 故 f( 父十2)=f( 父—4) , 即 f( 父)=f( 父十6) , 所以函数 f( 父)的 一个周期为 6. 因为 f(2)=f(1)—f(0)=1—2=—1 , f(3)=f(2)—f(1)=—1—1=—2 , f(4)=f(—2)=f(2)=—1 , f(5) = f(—1)=f(1)=1 , f(6)=f(0)=2 , 所以一个周期内的 f(1)十f(2)十… 十f(6) =0. 由于 22 除以 6余 4 , 所以k1 f(k)=f(1)十 f(2)十f(3)十f(4)=1—1—2—1=—3 .
7. BCD 函数 f( 父)=aln 父十 十2 的定义域为(0 , 十∞) , 求导得 f, ( 父) = — 2 — 3 (c) = a父2 3父—2c , 因为函数 f( 父)既有极大
值也有极小值 , 则函数 f, ( 父)在(0 , 十∞)上有两个变号零点 , 而a≠0 , 因此方程a父2 —b父—2c=0有两个不等的正根 父1 ,父2 , 于是
(Δ=b2 十8ac>0 ,
(
b
)〈 父1 十父2 = a >0 , 即有b2 十8ac>0 , ab>0 , ac<0 , 显然a2 bc<0 , 即 bc<0 , A错误 , BCD正确.
( 父1 父2 = — >0 ,
8. BC 因为 f —2父), g(2十父)均为偶函数 , 所以 f —2父) =f 十2父) 即f — 父) =f 十父) , g(2十父)=g(2— 父) , 所以 f(3— 父)=f( 父) , g(4— 父)=g( 父) , 则 f(—1)=f(4) , 故 C正确;函数f( 父) , g( 父)的图象分别关于直线 父= ,父=2对称 , 又 g( 父)=f, ( 父) , 且函数 f( 父)可导 , 所以 g =0 , g(3— 父)=—g( 父) , 所以 g(4— 父)=g( 父)=—g(3— 父) , 所以 g( 父十2)=—g( 父 十1)=g( 父) , 所以 g ( — =g =0, g(—1)=g(1)=—g(2) , 故 B正确 , D错误;若函数 f( 父)满足题设条件 , 则函数 f( 父) 十C(C为常数)也满足题设条件 , 所以无法确定 f( 父)的函数值 , 故 A错误.
9. 1 因为 f( 父)= 父3 (a ● 2父 —2— 父) , 故 f(— 父)=— 父3 (a ● 2 — 父 —2父) , 因为 f( 父)为偶函数 , 故 f(— 父)=f( 父) , 时 父3 (a ● 2父 —2— 父) = — 父3 (a ● 2 — 父 —2父) , 整理得到(a—1)(2父 十2 — 父)=0 , 故 a=1 .
10. y = 父 y = — 父 因为 y=ln| 父| , 当 父>0 时 , y=ln 父, 设切点为( 父0 , ln 父0 ) , 由 y, = , 所以 y, | 父= 父0 = 0 , 所以切线方程为
(
e)
, 即
y
=
父
;
) (
1
父
1
) (
(
父
—
父
1
)
, 又
)y —ln 父0 = 0 ( 父— 父0 ) , 又切线过坐标原点 , 所以—ln 父0 = 0 (— 父0 ) , 解得 父0 =e , 所以切线方程为 y —1= ( 父— 当 父<0 时 , y=ln(— 父) , 设切点为( 父1 , ln(— 父1 )) , 由 y, = , 所以y, | 父= 父1 = 1 , 所以切线方程为 y —ln(— 父1 ) = 切线过坐标原点 , 所以—ln(— 父1 ) = 1 (— 父1 ) , 解得 父1 =—e , 所以切线方程为 y —1= — ( 父十e) , 即 y = — 父.
11. 解:(1)当 a=—2 时 , f( 父)=(1十2父)ln(1十父) — 父,
故 f, ( 父)=2ln(1十父)十11十 (十)—1=2ln(1十父) — 1十 (1)父十1 ,
因为 y=2ln(1十父) , y= — 1十 (1)父十1 在(—1 , 十∞)上为增函数 ,
故 f, ( 父)在(—1 , 十∞)上为增函数 , 而 f, (0) =0 ,
故当—1<父<0时 , f, ( 父)<0 , 当 父>0时 , f, ( 父)>0 ,
故 f( 父)在 父=0处取极小值且极小值为 f(0)=0 , 无极大值.
(2)f, ( 父)=—aln(1十父)十11—1=—aln(1十父) — ( 1 (a)十 (十)1父)父,父>0 , 设 s( 父)=—aln(1十父) — ( 1 (a)十 (十)1父)父,父>0 ,
则 s, ( 父) = 父a1 — (十 (十)))2 = — a( 父十 (1)) ) 2 (a)十1 = — a父(1十 (十2)十)2 1 . 当 a≤ — 时 , s, ( 父)>0 , 故 s( 父)在(0 , 十∞)上为增函数 ,
故 s( 父)>s(0)=0 , 即 f, ( 父)>0 ,
所以 f( 父)在[0 , 十∞)上为增函数 , 故 f( 父)≥f(0) =0.
当 — 故s( 父)在 (0 , — 2aa (十)1 ) 上为减函数 , 故在 (0 , — 2aa (十)1 ) 上s( 父)即在(0 , — 2aa (十)1 ) 上f , ( 父)<0 即 f( 父)为减函数 ,
故在 (0 , — 2aa (十)1 ) 上f( 父)当a≥0 , 此时s, ( 父)<0在(0 , 十∞)上恒成立 ,
同理可得在(0 , 十∞)上 f( 父)综上 , a的取值范围是( — ∞ , — .
12. (1)解: f( 父)=e父 —a父 的定义域为 R, 而 f, ( 父) = e父 —a ,
若a≤0 , 则 f, ( 父)>0 , 此时 f( 父)无最小值 , 故 a>0.
g( 父)=a父—ln 父 的定义域为(0 , 十∞) , 而 g, ( 父) =a— = a父父— 1 . 当 父当 父>lna时 , f, ( 父)>0 , 故 f( 父)在(lna , 十∞)上单调递增 , 故 f( 父) min =f(lna)=a—aln a. 当 0<父< 时 , g, ( 父)<0 , 故 g( 父)在(0 , 上单调递减 ,
当 父> 时 , g, ( 父)>0 , 故 g( 父)在 , 十∞) 上单调递增 , 故 g( 父) min =g =1—ln . 因为 f( 父)=e父 —a父和g( 父)=a父—ln 父有相同的最小值 ,
故 1—ln =a—alna , 整理得到1 (a)十— a (1)=lna , 其中 a>0 ,
设 g(a) = 1 (a)十— a (1)—lna , a>0 , 则 g, (a) = (1十 ( 2)a) 2 — = a—( 1十 (a2)2 ≤0 ,
故 g(a)为(0 , 十∞)上的减函数 , 而 g(1) =0 ,
故 g(a) =0 的唯一解为a=1 , 故 1 (1)十— a (a)=lna 的解为a=1 .
综上 , a=1 .
(2)证明:由(1)可得 f( 父)=e父 — 父和g( 父)= 父—ln 父 的最小值为 1—ln 1=1—ln =1 . 当 b>1 时 , 考虑 e父 — 父=b的解的个数、父—ln 父=b的解的个数.
设S( 父)=e父 — 父—b , S, ( 父)=e父 —1 ,
当 父<0时 , S, ( 父)<0 , 当 父>0时 , S, ( 父)>0 ,
故 S( 父)在(—∞ , 0)上为减函数 , 在(0 , 十∞)上为增函数 ,
所以 S ( 父) min =S(0)=1—b<0 , 而 S(—b)=e—b>0 , S(b)=eb —2b ,
设u(b)=eb —2b , 其中b>1 , 则u, (b)=eb —2>0 ,
故u(b)在(1 , 十∞)上为增函数 , 故 u(b)>u(1)=e—2>0 ,
故 S(b)>0 , 故 S( 父)=e父 — 父—b有两个不同的零点 , 即 e父 — 父=b的解的个数为 2.
设 T( 父)= 父—ln 父—b , T, ( 父) = 父父 (—)1 , 当 0<父<1 时 , T, ( 父)<0 , 当 父>1 时 , T, ( 父)>0 ,
故 T( 父)在(0 , 1)上为减函数 , 在(1 , 十∞)上为增函数 ,
高考真题分类优化精练 ● 数学参考答案 第 1 页(共 1 页)5.(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae一1nx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为
高考真题分类优化精练·数学卷
A.e2
B.e
集合与逻辑、不等式、函数与导数
C.e
D.e-2
6.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)十f(x一y)=f(x)f(y),
一、选择题（本大题共8小题）】
f1D=1,则含f)
1.(2024·全国甲卷·理科)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x√x∈A},则CA(A∩B)
A.-3
B.-2
A.{1,4,9
B.{3,4,9》
C.0
D.1
C.{1,2,3}
D.{2,3,5}
常
7.(多选)(2023·折高考全国Ⅱ表)若函数f(x)=anx+2+（a≠0)既有极大值也有极小
2.(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,x十1|>1；命题g:3x>0,x3=x,则
值，则
A.p和q都是真命题
A.bc>0
B.ab0
B.一p和g都是真命题
C.b2+8ac>0
D.ac<0
C.p和q都是真命题
8.(多选)(2022·新高考全国I卷)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=
巢
D.一p和q都是真命题
f(x),若f多-2xg(2+x)均为偶函数，则
3.(2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则
A.f(0)=0
Al0g2十业<1十2
Bg()=0
2
2
C.f(-1)=f(4)
D.g(-1)=g(2)
B1ge当十2西十2
2
2
选择题答题栏
C,1ogy业<十x
2
题号
2
3
4
5
6
7
8
D.1og当十业>1十
2
答案
4.(2024·天津卷)若a=4.203,b=4.20.3,c=log120.2,则a,b,c的大小关系为
二、填空题（本大题共2小题）》
A.abc
B.ba>c
9.(2021·新高考全国I卷)已知函数f(x)=x3(a·2-2x)是偶函数，则a=
C.cab
D.b>c>a
10.(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为
高考真题分类优化精练·数学
第1页（共4页）
高考真题分类优化精练·数学第2页（共4页）
三、解答题（本大题共2小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12.(2022·新高考全国I卷)
11.(2024·全国甲卷·理科)》
已知函数f(x)=e一a.x和g(x)=ax一lnx有相同的最小值
已知函数f(x)=(1一ax)1n(1十x)一x.
(1)求a;
(1)当a=一2时，求f(x)的极值：
(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围
右的三个交点的横坐标成等差数列
高考真题分类优化精练·数学
第3页（共4页）
高考真题分类优化精练·数学
第4页（共4页）高考真题分类优化精练 ● 数学卷
三角函数 、解三角形 、数列
一、选择题(本大题共 8小题)
1. (2025●新高考全国I卷)若点(a , 0)(a>0)是函数 y=2tan(父— 的图象的一个对称中心 , 则 a 的最小值为
(
A
B
)π π
. 6 . 3
C. D.
2. (2024 ● 上海卷)下列函数 f(父)的最小正周期是 2π 的是
A. 5in 父十co5 父 B. 5in 父co5 父
C. 5in2 父十co52 父 D. 5in2 父— co52 父
3. (2024 ● 新高考全国 I卷)已知co5(α十β)=m, tanαtanβ=2 , 则 co5(α—β) =
A. —3m B. —
C. D. 3m
4. (2023 ● 全国甲卷 ● 理科)已知正项等比数列{an }中 , a1 =1 , Sn 为{an }前n项和 , S5 =5S3 —4 , 则 S4 =
A. 7 B. 9
C. 15 D. 30
5. (2022●全国甲卷●理科)函数y=(3父 —3— 父)co5 父在区间[ — , 的图象大致为
6. (2022 ● 全国乙卷 ● 理科)已知等比数列{an }的前3项和为 168 , a2 —a5 =42 , 则 a6 =
A. 14 B. 12
C. 6 D. 3
7. (2021 ● 新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航 系统中 , 地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面 , 轨道高度为 36 000 km(轨道高度是 指卫星到地球表面的距离) . 将地球看作是一个球心为O, 半径r为 6 400 km 的球 , 其上点 A的 纬度是指OA与赤道平面所成角的度数. 地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星 点的纬度最大值为α , 记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S=2πr2 (1—co5α)(单位: km2 ) , 则 S 占地球表面积的百分比约为
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
8. (多选) (2025 ● 新高考全国 I 卷)已知 △ABC的面积为 , 若 co5 2A十co5 2B十25in C= 2 ,
co5 Aco5 B5inC= , 则 A. 5inC=5in2 A十5in2 B B. AB=\/2
C. 5inA十5in B=\26
D. AC2 十BC2 =3
选择题答题栏
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题(本大题共 2小题)
9. (2025 ● 新高考全国 I卷)若一个等比数列的各项均为正数 , 且前4项和为 4 , 前 8项和为 68 , 则 该等比数列的公比为 .
10. (2023 ● 全国甲卷 ● 理科)在△ABC中 , AB=2 , 上BAC=60。, BC=\ , D为BC上一点 , AD为 上BAC的平分线 , 则 AD= .
高考真题分类优化精练 ● 数学 第 1 页(共 4 页) 高考真题分类优化精练 ● 数学 第 2 页(共 4 页)
三、解答题(本大题共2小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11. (2025 ● 新高考全国Ⅱ卷)已知函数 f(父)=co5(2父十φ)(0≤φ<π) , f(0) = .
(1)求 φ;
(2)设函数 g(父)=f(父)十f(父— 求 g(父)的值域和单调区间.
12. (2024 ● 新高考全国 I 卷)
设 m为正整数 , 数列 a1 , a2, … , a4m十2 是公差不为 0 的等差数列 , 若从中删去两项 ai 和aj (i(1)写出所有的(i, j) , 1≤i(2)当 m≥3 时 , 证明:数列a1 , a2, … , a4m十2 是(2 , 13)—可分数列 ;
(3)从 1 , 2 , … , 4m十2 中一次任取两个数i和j(i(
1
)列的概率为 pm, 证明: pm > 8 .
高考真题分类优化精练 ● 数学 第 3 页(共 4 页) 高考真题分类优化精练 ● 数学 第 4 页(共 4 页)
高考真题分类优化精练 ● 参考答案
数学卷
1. B 根据正切函数的性质, y=2tan (父— 的对称中心横坐标满足 父— = , k∈z, 即 y=2tan( 父— 的对称中心是
十 , 0 ) , k∈z, 即 a= 十 , k∈z, 又a>0 , 则 k=0 时a最小 , 最小值是 , 即 a= .
2. A 对 A, sin 父十cos 父=\sin(父十 , 周期 T=2π , 故 A正确;对 B, sin 父cos 父= sin2父, 周期 T= =π , 故 B错误;对 C, sin2 父十cos2 父=1 , 是常值函数 , 不存在最小正周期 , 故 C错误;对 D, sin2 父—cos2 父=—cos2父, 周期 T= =π , 故 D错误.
3. A 因为cos(α十β)=m, 所以cosαcosβ—sinαsinβ=m, 而tanαtanβ=2 , 所以sinαsinβ=2cosαcosβ, 故cosαcosβ—2cosαcosβ=m 即 cosαcosβ=—m, 从而sinαsinβ=—2m, 故cos(α—β)=—3m.
4. C 由题知 1十q十q2 十q3 十q4 =5(1十q十q2 )—4 , 即q3 十q4 =4q十4q2 , 即q3 十q2 —4q—4=0 , 即(q—2)(q十1)(q十2) =0. 由题知 q >0 , 所以q=2. 所以 S4 =1十2十4十8=15 . 故选: C.
5. A 令 f( 父)=(3父 —3— 父)cos 父,父∈ [ — , 则 f(— 父)=(3 — 父 —3父)cos(— 父)=—(3父 —3— 父)cos 父=—f( 父) , 所以 f( 父)为奇 函数 , 排除 BD;又当 父∈ (0 , 时 , 3父 —3— 父>0 , cos 父>0 , 所以 f( 父)>0 , 排除 C.
6. D 设等比数列{an }的公比为q, q≠0 , 若q=1 , 则 a2 —a5 =0 , 与题意矛盾 , 所以 q ≠1 , 则〈( a1 十a2 十a3 = =168 , 解得 (a2 —a5 =a1 q —a1 q4 =42
(a1 =96 ,
(
(
q
=
2
,
)〈 1 所以 a6 =a1 q5 =3 .
7. C 由题意可得 , S 占地球表面积的百分比约为: = = 1 — 6 40十 (4)3 (0)6 (0) 000≈0. 42=42% .
8. ABC cos2A十cos2B十2sinC=2 , 由二倍角公式 , 1—2 sin2 A十1—2 sin2 B十2sinC=2 , 整理可得 , sinC=sin2 A十sin2 B, A选项 正确;由诱导公式 , sin(A十B)=sin(π—C)=sinC, 展开可得 sinAcos B十sin BcosA=sin2 A十sin2 B, 即 sinA(sin A— cos B)十 sin B(sin B—cosA)=0 , 下证 C= . 若 A十B= , 则 sinA=cos B, sin B=cosA可知等式成立;若 A十B< , 即 A< —B, 由诱导公式和正弦函数的单调性可知 , sinA0 , sin B>0 , 于是 sin A(sin A— cos B) 十 sin B(sin B—cosA)<0 , 与条件不符 , 则 A十B<不成立;若 A十B> , 类似可推导出 sinA(sin A— cos B)十sin B(sin B— cosA)>0 , 则 A十B>不成立. 综上讨论可知 , A十B= , 即 C= . 由 cos Acos Bsin C= = cos Acos B, 由 A十B= , 则 cos B=sinA, 即 sinAcosA= , 则 sin2A= , 同理 sin2B= , 由上述推导 , A, B∈ (0 , , 则2A, 2B∈(0 , π) , 不妨设A则 2A= , 2B= , 即 A= , B= , 由两角和差的正弦公式可知 sin 十sin = \4 (—)\十\4 (十)\ = \ , C选项正确;由两
角和的正切公式可得 , tan =2十\ , 设 BC= t , AC= (2十\) t , 则 AB= (\ 十\) t , 由 S△ABC = (2十\) t2 = , 则 t2 =
4 —4 (2)\= (\2—1 )2 , 则 t=\2—1 , 于是 AB=(\十\) t=\ , B选项正确 , 由勾股定理可知 , AC2 十BC2 =2 , D选项错误.
9. 2 设该等比数列为{an } , Sn 是其前n项和 , 则S4 =4 , S8 =68 , 设{an }的公比为q(q>0) , 因为 S8 —S4 =a5 十a6 十a7 十a8 =(a1 十a2 十a3 十a4 )q4 =68—4=64 , 又 S4 =a1 十a2 十a3 十a4 =4 , 所以 =q4 = =16 , 所以q=2 , 所以该等比数列公比为 2.
10. 2 如图所示:记 AB=c , AC=b , BC=a , 方法一:由余弦定理可得 , 22 十b2 —2 × 2×b× cos 60。=
6 , 因为b>0 , 解得: b=1十\ , 由 S△ABC=S△ABD十S△ACD可得 , ×2×b×sin 60。= ×2×AD×
sin30。十 ×AD×b×sin30。, 解得:AD= 1\十 (3) = 2\3\3 (十)\) =2.
方法二:由余弦定理可得 , 22 十b2 —2×2×b×cos60。=6 , 因为b>0 , 解得:b=1十\ , 由正弦定理可得 , si0。= = , 解
得: sin B=\4 (十)\ , sinC=\ , 因为 1十\>\>\ , 所以 C=45。, B=180。—60。—45。=75。, 又上BAD=30。, 所以上ADB=
75。, 即 AD=AB=2. 故答案为:2.
11. 解:(1)由题意 f(0) = cos φ= (0≤φ<π) , 所以 φ= .
(2)由(1)可知 f( 父)=cos (2父十 ,
所以 g( 父)=f( 父)十f(父— =cos (2父十 十cos 2父
= cos 2父— \sin2父十cos 2父= cos 2父— \sin2父=\cos (2父十 , 所以函数 g( 父)的值域为[ —\3 ,\3] ,
令 2kπ≤2父十≤π十2kπ , k∈z, 解得 — 十kπ≤父≤ 十kπ , k∈z,
令 π十2kπ≤2父十≤2π十2kπ , k∈z, 解得十kπ≤父≤ 十kπ , k∈z, 所以函数 g( 父)的单调递减区间为[ — 十kπ , 十kπ] , k∈z,
函数 g( 父)的单调递增区间为十kπ , 十kπ] , k∈z.
12. (1)解:首先 , 我们设数列 a1 , a2 , … , a4m十2 的公差为 d , 则 d≠0.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列 , 当且仅当该数列是等差数列 , 故我们可以对该数列进行适当的变形 a,k = 十1(k=1 , 2 , … , 4m十2) ,
得到新数列a,k =k(k=1 , 2 , … , 4m十2) , 然后对a, 1 , a, 2 , … , a, 4m十2 进行相应的讨论即可.
换言之 , 我们可以不妨设ak =k(k=1 , 2 , … , 4m十2) , 此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题 , 第 1 小问相当于从 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 中取出两个数i和j(i那么剩下四个数只可能是 1 , 2 , 3 , 4 , 或 2 , 3 , 4 , 5 , 或 3 , 4 , 5 , 6.
所以所有可能的(i , j)就是(1 , 2) , (1 , 6) , (5 , 6) .
(2)证明:由于从数列 1 , 2 , … , 4m十2 中取出 2 和 13后 , 剩余的 4m个数可以分为以下两个部分 , 共 m组 , 使得每组成等差数列:
①{1 , 4 , 7 , 10} , {3 , 6 , 9 , 12} , {5 , 8 , 11 , 14} , 共 3 组 ;
②{15 , 16 , 17 , 18} , {19 , 20 , 21 , 22} , … , {4m—1 , 4m, 4m十1 , 4m十2} , 共 m—3 组.
(如果 m—3=0 , 则忽略②)
故数列 1 , 2 , … , 4m十2是(2 , 13)—可分数列.
(3)证明:定义集合 A={4k十1|k=0 , 1 , 2 , … , m}={1 , 5 , 9 , 13 , … , 4m十1} , B={4k十2|k=0 , 1 , 2 , … , m}={2 , 6 , 10 , 14 , … , 4m 十2} .
下面证明 , 对1≤i则数列 1 , 2 , … , 4m十2一定是(i , j)—可分数列:
命题1: i∈A, j∈B或i∈B, j∈A;
命题2: j—i≠3 .
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况:如果i∈A, j∈B, 且j—i≠3 .
此时设i=4k1 十1 , j=4k2 十2 , k1 , k2 ∈{0 , 1 , 2 , … , m} .
则由 i — , 故 k2 ≥k1 .
此时 , 由于从数列 1 , 2 , … , 4m十2 中取出 i=4k1 十1 和j=4k2 十2后 ,
剩余的 4m个数可以分为以下三个部分 , 共 m组 , 使得每组成等差数列:
①{1 , 2 , 3 , 4} , {5 , 6 , 7 , 8} , … , {4k1 —3 , 4k1 —2 , 4k1 —1 , 4k1 } , 共 k1 组 ;
②{4k1 十2 , 4k1 十3 , 4k1 十4 , 4k1 十5} , {4k1 十6 , 4k1 十7 , 4k1 十8 , 4k1 十9} , … , {4k2 —2 , 4k2 —1 , 4k2 , 4k2 十1} , 共 k2 —k1 组 ;
③{4k2 十3 , 4k2 十4 , 4k2 十5 , 4k2 十6} , {4k2 十7 , 4k2 十8 , 4k2 十9 , 4k2 十10} , … , {4m—1 , 4m, 4m十1 , 4m十2} , 共 m—k2 组. (如果某一部分的组数为 0 , 则忽略之)
故此时数列 1 , 2 , … , 4m十2是(i , j)—可分数列.
第二种情况:如果i∈B, j∈A, 且j—i≠3 .
此时设i=4k1 十2 , j=4k2 十1 , k1 , k2 ∈{0 , 1 , 2 , … , m} .
则由 i , 故 k2 >k1 .
由于j—i≠3 , 故(4k2 十1)—(4k1 十2)≠3 , 从而k2 —k1 ≠1 , 这就意味着 k2 —k1 ≥2.
高考真题分类优化精练 ● 数学参考答案 第 1 页(共 1 页)6.(2022·全国乙卷·理科)已知等比数列{am}的前3项和为168，a2一a5=42,则a6=
A.14
B.12
高考真题分类优化精练·数学卷
C.6
D.3
7.(2021·新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航
三角函数、解三角形、数列
系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是
指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km的球，其上点A的
一、选择题（本大题共8小题）
纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星
1.(2025·新高考全国I卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx一)的图象的一个对称中心，则
点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1一cos:)(单位：km2),则
a的最小值为
S占地球表面积的百分比约为
A吾
B.5
A.26%
B.34%
C.42%
D.50%
c
D
8.(多选)(2025·新高考全国I卷)已知△ABC的面积为，若cos2A十cos2B+2sinC=2,
2.(2024·上海卷)下列函数f(x)的最小正周期是2π的是
cos Acos Bsin C-=4,则
A.sin x+cos x
B.sin xcos x
A.sin C=sin2A++sin2B
C.sin2.x+cos2x
D.sin2x-cos2x
巢
B.AB=√2
3.(2024·新高考全国I卷)已知cos(a十B)=m,tan atan B=2,则cos(a一B)=
A.-3m
B.
C.sinA十simB=
3
c.罗
D.AC2+BC2=3
D.3m
4.(2023·全国甲卷·理科)已知正项等比数列{am}中，a1=1,S,为{am}前n项和，Ss=5S3一4，则
选择题答题栏
S4=
题号
1
2
3
4
5
6
8
A.7
B.9
C.15
D.30
答案
5.(2022·全国甲卷·理科)函数)=(3-3)c0sx在区间[一否，]的图象大致为
二、填空题（本大题共2小题）
9.(2025·新高考全国I卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则
该等比数列的公比为
10.(2023·全国甲卷·理科)在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°，BC=√6，D为BC上一点，AD为
∠BAC的平分线，则AD
高考真题分类优化精练·数学
第1页（共4页
高考真题分类优化精练·数学
第2页（共4页）