第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

单元素养测评卷(二)
第二章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式(x-1)(2-x)>0的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|x<1}
B.{x|1C.{x|x<1或x>2}
D.{x|x>2}
2.“x>1且y>2”是“x+y>3”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 (　　)
A.M>N
B.M≤N
C.MD.M与N的大小关系不确定
4.已知x>2,则x+的最小值为 (　　)
A.8 B.10
C.12 D.14
5.下列说法中正确的是 (　　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b>0,m>0,则<
D.若a>b且ab>0,则<
6.若存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式x2-2x+a>0成立,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a>-1 B.a>1
C.a>8 D.a>-8
7.某市有块三角形荒地,如图中△ABC所示,其中A=90°,AB=AC=200米.现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不小于7500平方米,则AD的长度x(单位:米)的取值范围是 (　　)
A.40≤x≤160
B.50≤x≤150
C.55≤x≤145
D.60≤x≤140
8.[2025·福州三中高一期中] 当x>0,y>0时,+≥恒成立,则实数m的最大值为 (　　)
A.9 B.8
C.4 D.1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知实数x,y满足1A.3C.210.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.函数y=ax2+bx+c有最大值
B.5a+b+c>0
C.6b=-5c
D.bx2+a|x|-c>0的解集为
11.[2025·杭州高一期中] 若a>0,b>0,且2a+b=1,则下列结论正确的是 (　　)
A.ab的最大值为
B.4a2+b2的最小值为
C.a+b+ab的最大值为1
D.+的最小值为3
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a+b的值为　　　　.
13.某种杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少2000本.若提价后的销售总收入不低于20万元,则该种杂志的单价的最大值为　　　　元.
14.[2025·衡阳八中高一月考] 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-4四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解不等式:
(1)-x2+14x-45>0;
(2)≥1.
16.(15分)已知x+2y=2.
(1)若x,y∈(0,+∞),求+的最小值;
(2)若-4≤x≤2且-4≤y≤2,求T=x2+4y2的取值范围.
17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2≥-2有实数解,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-218.(17分)[2025·四川南充中学高一月考] 已知a,b,c,d均为正实数.
(1)请根据基本不等式,证明:≥;
(2)请利用(1)的结论,证明:≥.
19.(17分)已知关于x的函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式y<0的解集为R,求实数m的取值范围;
(2)当m<0时,解关于x的不等式y≥3x+m-2;
(3)若不等式y≥x2+2x对一切0≤x≤2恒成立,求实数m的取值范围.
单元素养测评卷(二)
1.B　[解析] 由不等式(x-1)(2-x)>0,得(x-1)(x-2)<0,解得12.A　[解析] 当x>1且y>2时,x+y>3成立;当x+y>3时,若x=4,y=0,则不能推出x>1且y>2.所以“x>1且y>2”是“x+y>3”的充分不必要条件.故选A.
3.A　[解析] ∵M-N=2a2-4a-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,∴M>N,故选A.
4.C　[解析] ∵x>2,∴x-2>0,∴x+=x-2++2≥2+2=12,当且仅当x-2=,即x=7时等号成立.故选C.
5.D　[解析] 对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,当a=1,b=-1时,满足a>b,但a2=b2,故B错误;对于C,若a>b>0,m>0,则-==>0,即>,故C错误;对于D,若a>b且ab>0,则>,即>,故D正确.故选D.
6.D　[解析] 因为存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式x2-2x+a>0成立,所以存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式a>-x2+2x成立.令y=-x2+2x,则其图象的对称轴为直线x=1,且开口向下,所以当0≤x≤4时,y的最小值为-42+2×4=-8,所以a>-8,故选D.
7.B　[解析] 在△ABC中,A=90°,AB=AC,则△ABC为等腰直角三角形.因为AD=x,所以EF=FC=x,则FA=200-x,依题意有x(200-x)≥7500,解得50≤x≤150.故选B.
8.A　[解析] 当x>0,y>0时,因为+≥恒成立,所以(x+y)≥m恒成立,又因为(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,所以m≤9,所以实数m的最大值为9.故选A.
9.ACD　[解析] 因为110.ABD　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-10,B正确;由题知-1,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则所以则3b=2c,C错误;不等式bx2+a|x|-c>0即为-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0,解得|x|<-1(舍去)或|x|>,所以x>或x<-,则不等式的解集为,D正确.故选ABD.
11.AB　[解析] 对于A选项,由2a+b=1,且2a+b≥2,得2≤1,所以ab≤,当且仅当2a=b=时,等号成立,故ab的最大值为,A选项正确;对于B选项,4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab≥1-4×=,当且仅当2a=b=时,等号成立,故4a2+b2的最小值为,B选项正确;对于C选项,由2a+b=1,得b=1-2a,所以解得00,所以取不到等号,所以+无最小值,D选项错误.故选AB.
12.-5　[解析] 因为一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,所以a<0,且一元二次方程ax2+bx+1=0的两个根为-1和,由根与系数的关系得-1+=-,-1×=,解得a=-3,b=-2,所以a+b=-5.
13.4　[解析] 设该种杂志的单价为x(x≥2.5)元,销售总收入为y元,则由题意得y=x,整理得y=-20 000x2+130 000x.因为提价后的销售总收入不低于20万元,所以y=-20 000x2+130 000x≥200 000,解得2.5≤x≤4,所以该种杂志的单价的最大值为4元.
14.≤-6　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-415.解:(1)不等式-x2+14x-45>0即为(x-5)(x-9)<0,解得5故不等式的解集为{x|5(2)不等式≥1可变形为-1=≥0,
则解得3≤x<5,
故不等式的解集为{x|3≤x<5}.
16.解:(1)由x+2y=2,得+y=1,
因为x,y∈(0,+∞),所以+==2++≥4,当且仅当x=1,y=时,等号成立,
所以+的最小值为4.
(2)由x+2y=2,得x=2-2y,
因为-4≤x≤2且-4≤y≤2,所以解得0≤y≤2,
所以T=x2+4y2=(2-2y)2+4y2=8y2-8y+4=8+2.
因为0≤y≤2,所以2≤T=x2+4y2≤20.
17.解:(1)依题意,关于x的不等式ax2+(1-a)x+a≥0有实数解.
当a=0时,x≥0有实数解,符合题意;
当a>0时,取x=0,则ax2+(1-a)x+a=a>0成立,
即关于x的不等式ax2+(1-a)x+a≥0有实数解,符合题意;
当a<0时,二次函数y=ax2+(1-a)x+a的图象开口向下,
只需Δ=(1-a)2-4a2≥0,解得-1≤a≤,所以-1≤a<0.
综上,实数a的取值范围是a≥-1.
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2当a=0时,解得x<1;
当a>0时,不等式可化为(x-1)<0,解得-当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,
当-=1,即a=-1时,解得x∈R且x≠1,
当-<1,即a<-1时,解得x<-或x>1,
当->1,即-1-.
综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};
当a>0时,原不等式的解集为;
当-1当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1};
当a<-1时,原不等式的解集为.
18.证明:(1)根据基本不等式得,≥,当且仅当a=b时等号成立,≥,当且仅当c=d时等号成立,
所以≥+,当且仅当a=b,c=d时等号成立.
又≥=,当且仅当=时等号成立,
所以≥≥,当且仅当a=b=c=d时两个等号同时成立.
(2)由(1)知≥≥,当且仅当a=b=c=d时两个等号同时成立,
令d=,得≥==(abc=,
即a+b+c+≥4,
故a+b+c≥3,所以≥.
19.解:(1)①当m+1=0,即m=-1时,原不等式化为2x-2<0,其解集为{x|x<1},不合题意;
②当m+1≠0,即m≠-1时,要使y<0的解集为R,
即(m+1)x2-(m-1)x+m-1<0的解集为R,
只需即解得m<-.
综上,m的取值范围是m<-.
(2)由已知可得(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥3x+m-2,
即(m+1)x2-(m+2)x+1≥0,即[(m+1)x-1](x-1)≥0.
当m+1=0,即m=-1时,不等式化为-x+1≥0,解得x≤1.
当m+1≠0,即m≠-1时,由[(m+1)x-1](x-1)=0可得x=或x=1.
当0>m>-1时,0则>1,解[(m+1)x-1](x-1)≥0,可得x≤1或x≥;
当m<-1时,m+1<0,则<0<1,解[(m+1)x-1](x-1)≥0,可得≤x≤1.
综上所述,当-1当m=-1时,不等式的解集为{x|x≤1};
当m<-1时,不等式的解集为.
(3)不等式y≥x2+2x,即(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥x2+2x,
即m(x2-x+1)≥x+1,∵x2-x+1=+>0恒成立,
∴m≥对一切0≤x≤2恒成立.
设1+x=t,∵0≤x≤2,∴1≤t≤3,
则===.
∵t+≥2=2,当且仅当t=时取等号,
∴≤=+1,当且仅当x=-1时取等号,
∴m的取值范围是m≥+1.
《全品学练考》