第三章 函数概念与性质 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

单元素养测评卷(三)
第三章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=+的定义域为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.(-∞,3)∪(3,+∞)
C.∪(3,+∞) D.∪(3,+∞)
2.已知A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},下列对应关系不可以作为从A到B的函数的是 (　　)
A.f:x→y=2x B.f:x→y=x2
C.f:x→y= D.f:x→y=|x-4|
3.下列函数中,在定义域上单调递减的是 (　　)
A.y=x-1 B.y=-|x|
C.y=-x2-2x-1 D.y=
4.[2025·学军中学高一期中] 如图,把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为x(单位:cm),面积为y(单位:cm2),那么y关于x的函数解析式为 (　　)
A.y=x·
B.y=x·,0C.y=x·
D.y=x·,05.[2025·长沙一中高一月考] 幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0,+∞)上单调递增,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 (　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
6.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(0,1) D.(0,1]
7.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时曲线y=f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲线y=g(x)(虚线表示).如f(2)=3是指开始买卖第2个小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2个小时内的平均价格为3元.下列给出的图象中,可能正确的是 (　　)
A B C D
8.[2025·浙江强基联盟高一联考] 若对任意的x∈[2,6],8≤x2+bx+a≤6x恒成立,则a-b的最大值为 (　　)
A.32 B.8 C.35 D.7
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各组函数中,是同一个函数的有 (　　)
A.y=x与y=
B.y=2x与y=2
C.y=x2+x+3与y=t2+t+3
D.y=x2与y=
10.[2025·长春十一中等三校高一联考] 定义min{a,b}=设f(x)=min{|x|,x+1},则 (　　)
A.f(x)有最大值,无最小值
B.当x≤0时,f(x)的最大值为
C.不等式f(x)≤的解集为
D.f(x)的单调递增区间为(0,1)
11.德国数学家康托尔是集合论的创立者,为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集,定义了区间[0,1]上的函数f(x),且满足:①对任意x1,x2,且0≤x1A.f(x)在[0,1]上单调递增
B.f(x)的图象关于点对称
C.当x=时,f(x)=
D.当x∈时,f[f(x)]=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·辽南协作体高一联考] 设函数f(x)=则f(-4)=　　　　.
13.已知f(x)=ax5-bx3+cx++1,且f(-3)=-5,则f(3)=　　　　.
14.[2024·台州八校联盟高一期中] 用max{a,b}表示a,b两个数中的较大值,设函数f(x)=max(x>0),若f(x)≥m+2恒成立,则m的最大值是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x)是一次函数,且满足f[f(x)]=9x+8,求f(x)的解析式;
(3)已知2f(x)+f=x(x∈R且x≠0),求f(x)的解析式.
16.(15分)已知幂函数f(x)=(m2+2m+2)xm.
(1)求m的值;
(2)若f(2a-7)>f(13-3a),求实数a的取值范围.
17.(15分)[2025·杭州高一期中] 已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0成立,且f(1)=2.
(1)若函数g(x)=.
①求证:函数g(x)是偶函数;
②求函数g(x)的单调区间;
(2)求不等式f(x)>2x的解集.
18.(17分)[2025·烟台高一期中] 已知某工厂生产一种电子元件,每年需投入固定成本5万元,当年产量为x(单位:万件)时,需额外投入可变成本C(x)(单位:万元).根据市场调研,每个元件的售价为7元;当年产量x不超过8万件时,C(x)=x2+x;当年产量x超过8万件时,C(x)=10x+-.假设该元件的年销量等于年产量.(注:年利润=年销售收入-固定成本-可变成本)
(1)求年利润f(x)关于年产量x的函数解析式.
(2)当年产量为多少时,年利润最大 最大年利润是多少
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内的任意x,y,都有f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2.
(1)设g(x)=,证明:函数g(x)为偶函数.
(2)若f(x)满足:当x>1时,f(x)+2x2<0.
(i)求不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集;
(ii)若存在m∈(-2,2),使得对任意s∈[1,+∞),都有f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,求实数t的取值范围.
单元素养测评卷(三)
1.C　[解析] 对于函数f(x)=+,有解得x≥且x≠3,故函数f(x)=+的定义域为∪(3,+∞).故选C.
2.C　[解析] 对于A选项,当1≤x≤2时,y=2x∈[2,4],且[2,4] B,A中的对应关系可以作为从A到B的函数;对于B选项,当1≤x≤2时,y=x2∈[1,4],且B=[1,4],B中的对应关系可以作为从A到B的函数;对于C选项,当1≤x≤2时,y=∈,且不是B的子集,C中的对应关系不可以作为从A到B的函数;对于D选项,当1≤x≤2时,-3≤x-4≤-2,则y=|x-4|∈[2,3],且[2,3] B,D中的对应关系可以作为从A到B的函数.故选C.
3.D　[解析] 对于A选项,y=x-1在R上单调递增,不符合题意;对于B选项,y=-|x|在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于C选项,y=-x2-2x-1=-(x+1)2在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,不符合题意;对于D选项,要使函数y=有意义,则解得x≥0,所以函数y=的定义域为[0,+∞),因为y=在[0,+∞)上单调递增,y=在[0,+∞)上单调递增,所以y=+在[0,+∞)上单调递增,所以y=在[0,+∞)上单调递减,符合题意.故选D.
4.B　[解析] 如图,圆的直径AC=2OC=50 cm,矩形的边AB=x cm.∵∠ABC=90°,∴由勾股定理,得BC= cm,∴矩形ABCD的面积y=AB·BC=x· cm2,又∵05.A　[解析] 由函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3;当m=-1时,f(x)=x-6.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3,所以f(x)是奇函数,且在R上单调递增,又a+b>0,所以a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),则f(a)+f(b)>0.故选A.
6.B　[解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得07.A　[解析] 开始时,即时价格与平均价格相同,故排除C;买卖过程中,平均价格不可能一直大于即时价格,故排除B;买卖过程中,即时价格不可能一直大于平均价格,故排除D.故选A.
8.A　[解析] ∵对任意的x∈[2,6],8≤x2+bx+a≤6x恒成立,∴8-x2≤bx+a≤6x-x2对任意的x∈[2,6]恒成立,∴当x∈[2,6]时,y=bx+a的图象夹在函数y=8-x2与y=6x-x2的图象之间(包括边界).作出y=6x-x2与y=8-x2在区间[2,6]上的图象如图所示,当y=bx+a的图象恰好过点(2,8)时,得8=2b+a,此时当y=bx+a的图象与y=8-x2的图象相切时,a-b取得最大值,可得x2+bx+a-8=0,则Δ=b2-4(a-8)=0,由此得b=-8,a=24,所以a-b=32.故选A.
9.BCD　[解析] 对于A,因为y==|x|,所以y=x与y=不是同一个函数,故A错误;对于B,y=2=2x,y=2x与y=2的定义域都为R,是同一个函数,故B正确;对于C,y=x2+x+3与y=t2+t+3是同一个函数,故C正确;对于D,y==x2,y=x2与y=的定义域都为R,是同一个函数,故D正确.故选BCD.
10.BC　[解析] 作出函数f(x)=min{|x|,x+1}的图象,如图中实线部分所示.对于A,根据图象可得f(x)无最大值,无最小值,故A错误;对于B,根据图象得,当x≤0时,f(x)的最大值为,故B正确;对于C,由|x|≤,解得-≤x≤,结合图象得不等式f(x)≤的解集为,故C正确;对于D,由图象得f(x)的单调递增区间为,[0,+∞),故D错误.故选BC.
11.BCD　[解析] 由f(x)=2f得f(0)=2f(0),则f(0)=0,由f(x)+f(1-x)=1得f(0)+f(1)=1,f(1)=1,由f(x)=2f得f(4x)=2f(x),即f(x)=f(4x),则f=f=f(1)=,故C正确;由f(x)=f(4x),得f=f(1)=,而f+f=1,得f=,∴f=f=,故A错误;由f(x)+f(1-x)=1可知,f+f=1,即f+f=1,则f(x)的图象关于点对称,故B正确;由f(x)+f(1-x)=1,得f+f=1,则f=,∵对任意x1,x2,且0≤x112.-2　[解析] 因为f(x)=所以f(-4)=f(-4+2)=f(-2)=f(-2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=4-6=-2.
13.7　[解析] f(x)=ax5-bx3+cx++1,则f(-x)=a(-x)5-b(-x)3+c(-x)++1=-+1,所以f(-x)+f(x)=2,又f(-3)=-5,所以f(3)=2-(-5)=7.
14.3　[解析] 因为x>0,所以由x+4≥-x,可得x≥1,则f(x)=max=当x≥1时,f(x)≥5;当05.综上,当x>0时,f(x)≥5,则由f(x)≥m+2恒成立,得5≥m+2,解得m≤3,则m的最大值是3.
15.解:(1)令t=+1,t≥1,则x=(t-1)2,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(2)设f(x)=kx+b,
由题意可知f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+8,
所以解得或
所以f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.
(3)由题意可得解方程组,
可得f(x)=-(x≠0).
16.解:(1)因为f(x)=(m2+2m+2)xm是幂函数,
所以m2+2m+2=1,即m2+2m+1=0,
所以(m+1)2=0,解得m=-1.
(2)由(1)知,f(x)=x-1=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
所以f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.
当2a-7<13-3a<0时,无解;
当0<2a-7<13-3a时,解得a∈;
当2a-7>0>13-3a时,解得a∈.
故实数a的取值范围为∪.
17.解:(1)①证明:∵f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴g(-x)====g(x),
∴函数g(x)是偶函数.
②设x1,x2∈(0,+∞)且x1由<0,得x2f(x1)-x1f(x2)>0,
∴g(x1)-g(x2)=-=>0,即g(x1)>g(x2),
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又∵函数g(x)是偶函数,∴g(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴g(x)的单调递减区间是(0,+∞),单调递增区间是(-∞,0).
(2)∵f(1)=2,g(x)是偶函数,
∴g(-1)=g(1)==2.
当x>0时,由f(x)>2x得>2,即g(x)>g(1),
∵g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴0当x<0时,由f(x)>2x得<2,即g(x)∵g(x)在(-∞,0)上单调递增,∴x<-1.
故不等式f(x)>2x的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
18.解:(1)当0≤x≤8时,f(x)=7x-5-=-x2+6x-5;
当x>8时,f(x)=7x-5-=-3.
所以f(x)=
(2)当0≤x≤8时,f(x)=-x2+6x-5=-(x-6)2+13,
当x∈[0,6)时,f(x)单调递增,当x∈(6,8]时,f(x)单调递减,
所以f(x)≤f(6)=13;
当x>8时,f(x)=-3≤-3×2=,
当且仅当x=,即x=10时取等号.
因为13>,所以当年产量为6万件时,年利润最大,最大年利润为13万元.
19.解:(1)证明:由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2,
得g(xy)==++2=g(x)+g(y)+2,
令x=y=1,得g(1)=2g(1)+2,所以g(1)=-2.
令x=y=-1,得g(1)=2g(-1)+2,所以g(-1)=-2.
令y=-1,得g(-x)=g(x)+g(-1)+2=g(x),
又g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以g(x)为偶函数.
(2)由(1)知g(xy)=g(x)+g(y)+2.
x1,x2∈(0,+∞)且x2-x1>0,
则g(x2)-g(x1)=g-g(x1)=g+g(x1)+2-g(x1)=g+2,
因为当x>1时,f(x)+2x2<0,所以g(x)+2<0,
又>1,所以g+2<0,即g(x2)-g(x1)<0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.
(i)因为f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0,
所以>,即g(x2-1)>g(x+1),
又g(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以|x2-1|<|x+1|,
又x+1≠0,x2-1≠0,所以0所以不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集为(0,1)∪(1,2).
(ii)由f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,得≤t2-2mt-7,
即g(s)≤t2-2mt-7,
由题意知当s∈[1,+∞)时,g(s)max≤t2-2mt-7.
因为g(x)在[1,+∞)上单调递减,g(1)=-2,
所以当s∈[1,+∞)时,g(s)max=-2,
所以存在m∈(-2,2),使得-2≤t2-2mt-7成立,即t2-2mt-5≥0成立.
令h(m)=-2tm+t2-5,m∈(-2,2),
则h(2)>0或h(-2)>0.
由-4t+t2-5>0,解得t>5或t<-1;
由4t+t2-5>0,解得t>1或t<-5.
所以t<-1或t>1,即t的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
《全品学练考》