第四章 指数函数与对数函数 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

单元素养测评卷(四)
第四章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=的定义域为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞)
2.已知2x=3,2y=5,则的值为 (　　)
A.9+ B.
C.6 D.9
3.已知f(x)=则f[f(6)]等于 (　　)
A. B.
C.1 D.e4
4.函数f(x)=lg x+x2-5的零点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
5.[2025·湖南衡阳一中高一期中] 函数f(x)=ln x+ln(2-x)的单调递增区间是 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
6.[2025·河北邢台高一期中] 若a=0.440.45,b=0.440.44,=,则 (　　)
A.bC.a7.[2025·淄博实验中学高一期中] 若不等式<恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[0,+∞) B. C. D.
8.[2024·黑龙江大庆铁人中学高一期末] 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)+m+3=0有6个根,则m的取值范围为 (　　)
A.(-∞,2-2) B.(-2,2-2)
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数的图象过定点(1,2)的有 (　　)
A.y=loga(3x-2)+2(a>0且a≠1)
B.y=log2x+1
C.y=ax+1(a>0且a≠1)
D.y=4x-2
10.[2025·广东广雅中学高一期中] 函数f(x)=|ax-a|(a>0且a≠1)的图象可能为 (　　)
A B C D
11.下列说法正确的是 (　　)
A.若函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b)上无零点
B.函数g(x)=2x+log2x有且只有1个零点
C.函数h(x)=2x|lox|-1有2个零点
D.若m(x)=x+,则关于x的方程[f(x)]2-f(x)-6=0有3个实根
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·山东潍坊高一期中] 同时满足下面两个条件的函数f(x)的解析式可以为f(x)=　　　.
①f(x+y)=f(x)f(y);②f(x)在(0,+∞)上单调递减.
13.[2024·湖南邵阳高一期末] 创新是一个国家、一个民族发展进步的不竭动力,是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力,成立科技创新兴趣小组,该小组对一个农场内某种生物在不受任何限制条件下其数量增长的情况进行研究,发现其数量y(千只)与监测时间t(单位:月)的关系与函数模型y=mloga(t+1)+n(a>0且a≠1)基本吻合.已知该生物初始数量为3千只,2个月后监测发现该生物数量为6千只,若该生物的数量y再翻一番,则还需要经过　　　　个月.
14.已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b],都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法求f(x)零点的过程中,依次确定了零点x0所在的区间为[a,b],,,,则b-a=　　　　;若精确度为0.001,则至多需要进行　　　　次区间中点函数值的计算.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)化简求值:
(1)-(30.5)2+(0.008×;
(2)lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2;
(3)已知+=3,求的值.
16.(15分)[2025·成都蓉城联盟高一期末] 已知函数f(x)=
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)解关于x的方程|f(x)|-=0.
17.(15分)[2025·安徽淮南二中高一期中] 已知函数f(x)=ex-e-x.
(1)证明函数f(x)是奇函数,并判断单调性(不需要证明);
(2)若不等式f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立,求实数t的取值范围;
(3)令g(x)=e2x+e-2x-2mf(x)(其中m∈R),求函数g(x)在[0,+∞)上的取值范围.
18.(17分)生物钟(昼夜节律)是生物体内部的一个调节系统,控制着生物的日常生理活动.研究显示,人体的某些荷尔蒙(如皮质醇)在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化,从而影响人的活力和认知能力.假设人体某荷尔蒙的分泌量H(t)(单位:ng/mL)与一天中的经过时间t(单位:小时,以午夜0点为起点)的关系可以通过以下分段函数来描述:
在夜间(0≤t<6)时段,荷尔蒙分泌量保持在较低水平,可以近似为常数,即H(t)=a;
在早晨(6≤t≤12)时段,随着人醒来和太阳升起,荷尔蒙分泌量线性增加,其关系式为H(t)=b(t-6)+a,当t=12时,分泌量达到最大值Hmax;
在下午和晚上(12已知午夜0点时荷尔蒙分泌量为5 ng/mL,分泌量最大为20 ng/mL.
(1)求参数a,b和c的值以及函数H(t)的解析式;
(2)求一天内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/mL的时长.
19.(17分)[2025·宁波余姚中学高一期中] 已知函数f(x)=log2(4x+1)+ax是偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)=22x+2-2x+m·2f(x)的最小值为-3,求实数m的值;
(3)若关于x的方程[f(x)-1+k][f(x)-1-4k]+2k2+k=0有两个不同的解,求实数k的取值范围.
单元素养测评卷(四)
1.C　[解析] 要使函数f(x)有意义,只需(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1,解得x>2或02.D　[解析] 因为2x=3,2y=5,所以=22x·=(2x)2·(2y=32×=9.故选D.
3.A　[解析] 根据题意,得f(6)=log5(6-1)=1,所以f[f(6)]=f(1)=e1-2=.故选A.
4.B　[解析] 令f(x)=lg x+x2-5=0,则lg x=5-x2,在同一直角坐标系中作出y=lg x,y=5-x2的图象如图,由图可知,y=lg x,y=5-x2的图象有1个交点,则函数f(x)=lg x+x2-5有1个零点.故选B.
5.A　[解析] 由解得06.D　[解析] 因为y=0.44x是减函数,所以0.440.45<0.440.44,即a0,则幂函数y=xb是增函数,所以=<,又y=是减函数,所以c>b.故a7.B　[解析] 不等式<恒成立,即<恒成立,所以x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2-(2a-3)x+a2>0恒成立,所以Δ=(2a-3)2-4a2<0,即(2a-3+2a)(2a-3-2a)<0,解得a>,所以实数a的取值范围是.故选B.
8.D　[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示.令t=f(x),则[f(x)]2+mf(x)+m+3=0可化为t2+mt+m+3=0,若[f(x)]2+mf(x)+m+3=0有6个根,则结合图象可知方程t2+mt+m+3=0在(0,2)上有2个不相等的实根,设g(t)=t2+mt+m+3,则解得-9.AD　[解析] 根据题意,在每个选项中令x=1.选项A中,y=loga(3×1-2)+2=2,故函数图象过定点(1,2),A正确.选项B中,y=log21+1=1,故函数图象不过定点(1,2),B错误.选项C中,y=a1+1=a+1,因为a≠1,所以a+1≠2,故函数图象不过定点(1,2),C错误.选项D中,y=41-2=2,故函数图象过定点(1,2),D正确.故选AD.
10.BC　[解析] 当a>1时,f(x)=显然当x≥1时,函数f(x)单调递增,当x<1时,函数f(x)单调递减,函数f(x)图象的渐近线方程为y=a,而a>1,故A,B不符合;对于C,D,因为渐近线方程为y=2,所以a=2,故x=0时,y=1,故选项C符合,D不符合.当011.BCD　[解析] 对于A,f(x)=x2在[-1,1]上连续,且f(-1)f(1)=1>0,但f(x)=x2在(-1,1)上存在零点0,故A错误.对于B,方法一:因为y=2x,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增,当x→0时,g(x)→-∞,当x=1时,g(1)=2>0,由零点存在定理可知函数g(x)=2x+log2x有且只有1个零点.
方法二:由2x+log2x=0可得2x=lox,作出函数y=2x,y=lox的图象如图①,两个函数图象显然有1个交点.故B正确.对于C,h(x)=0可转化为=|lox|,作出函数y=,y=|lox|的图象如图②,两个函数图象显然有2个交点,故C正确.对于D,令t=m(x),则由t2-t-6=0,解得t=3或t=-2,当t=3,即x+=3时,可得x2-3x+1=0,Δ=5>0,方程有2个不等正根,当t=-2,即x+=-2时,可得x2+2x+1=0,解得x=-1.综上,关于x的方程有3个实根,故D正确.故选BCD.
12.(答案不唯一)　[解析] 若f(x)=,则f(x+y)==·=f(x)f(y),满足条件①;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,满足条件②.故f(x)=符合题意.
13.24　[解析] 由题意,当t=0时,y=3,当t=2时,y=6,则解得n=3,3m=a3,所以y=mloga(t+1)+3.设还需要经过λ个月,该生物的数量y再翻一番,则mloga(λ+2+1)+3=12,所以loga(λ+3)m=9,即(λ+3)m=a9=(a3)3=33m=27m,因为λ>0,所以λ+3>3,又函数y=xm在(0,+∞)上单调,所以λ+3=27,解得λ=24,所以若该生物的数量y再翻一番,则还需要经过24个月.
14.4　12　[解析] 由题意得解得所以b-a=4.因为×4≈0.001 953>0.001,×4≈0.000 977<0.001,所以至多需要进行12次区间中点函数值的计算.
15.解:(1)-(30.5)2+(0.008×=-30.5×2+×=-3+×=-3+25×=.
(2)lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2=2lg 5+lg 2+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5·lg 2+(lg 2)2=2lg 10+lg 5+(lg 5+lg 2)lg 2=2+lg 5+lg 10·lg 2=2+lg 5+lg 2=2+lg 10=3.
(3)∵+=3,∴(+)2=9,故x+x-1=7,两边平方得=49,
∴x2+x-2=47,∴==.
16.解:(1)函数f(x)的图象如图.
(2)由题知|f(x)|=.
令|log2x|=,则log2x=或log2x=-,
所以x=或x=,均满足x>0;
令|2x|=2x=,则x=-1,满足x≤0.
综上,方程的解为-1,,.
17.解:(1)因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
f(x)在R上单调递增.
(2)因为f(x)为奇函数且f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立,
所以f(x2+tx)>f(x-4)恒成立,
又因为f(x)是R上的增函数,所以x2+tx>x-4恒成立,
所以x2+(t-1)x+4>0恒成立,
所以Δ=(t-1)2-16<0,解得-3即实数t的取值范围为(-3,5).
(3)g(x)=e2x+e-2x-2mf(x)=(ex-e-x)2-2m(ex-e-x)+2,
令t=f(x)=ex-e-x,由(1)可知f(x)为增函数,
因为x≥0,所以t≥f(0)=0,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥0).
若m≥0,则当t=m时,h(t)min=2-m2,
则h(t)≥2-m2,此时g(x)在[0,+∞)上的取值范围为[2-m2,+∞);
若m<0,则h(t)≥h(0)=2,此时g(x)在[0,+∞)上的取值范围为[2,+∞).
综上,当m≥0时,g(x)在[0,+∞)上的取值范围为[2-m2,+∞);
当m<0时,g(x)在[0,+∞)上的取值范围为[2,+∞).
18.解:(1)根据题意得,H(0)=5,所以a=5,
因此当0≤t<6时,H(t)=5;
H(12)=b(12-6)+a=20,解得b==2.5,
因此当6≤t≤12时,H(t)=2.5(t-6)+5;
H(24)=20·e-c(24-12)=5,解得c=,
因此当12综上,H(t)=
(2)①当6≤t≤12时,H(t)=2.5(t-6)+5≥10,解得t≥8,所以8≤t≤12;
②当12所以≥=,所以-(t-12)≥ln=-ln 2,
所以t-12≤6,所以t≤18,所以12综上所述,8≤t≤18,故一天内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/ml的时长为10个小时.
19.解:(1)由题意知f(x)=log2(4x+1)+ax的定义域为R,f(-x)=log2(4-x+1)-ax=f(x)=log2(4x+1)+ax,整理得2ax+log2(4x+1)-log2(4-x+1)=0,
而log2(4x+1)-log2(4-x+1)=log2=log2=log2=log24x=2x,∴2ax+2x=0,解得a=-1.
(2)由(1)知,f(x)=log2(4x+1)-x,∴2f(x)=====2x+2-x,
依题意,函数g(x)=22x+2-2x+m(2x+2-x)的最小值为-3,
令2x+2-x=t,则t=2x+2-x≥2=2,当且仅当x=0时等号成立,
故h(t)=t2+mt-2(t≥2)的最小值为-3,
则或解得m=-.
(3)f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2,
∵函数y=x+在区间[1,+∞)上单调递增,
∴当x≥0,即2x≥1时,y=2x+在[0,+∞)上单调递增,
故当x≥0时,函数f(x)单调递增,
由函数f(x)为偶函数,可知函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
令n=f(x)-1,则n≥f(0)-1=log22-1=0,方程[f(x)-1+k][f(x)-1-4k]+2k2+k=0①,
可化为(n+k)(n-4k)+2k2+k=0,整理得n2-3kn-2k2+k=0②,
Δ=9k2-4(-2k2+k)=17k2-4k.
(i)当Δ=0时,k=0或k=,当k=0时,方程②的解为n=0,可得方程①仅有一个解为x=0;
当k=时,方程②的解为n=,可得方程①有两个不同的解.
(ii)当Δ>0时,可得k>或k<0,令g(n)=n2-3kn-2k2+k,
则g(n)有一正一负两个零点,∴g(0)=-2k2+k<0,∴k>或k<0.
综上所述,k=或k<0或k>.