第五章 三角函数 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

单元素养测评卷(五)
第五章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·菏泽一中高一期中] 如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
2.[2025·无锡高一调研] 1095°化成弧度为 (　　)
A. rad B. rad
C. rad D. rad
3.点A(cos 2,tan 4)在平面直角坐标系中位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是 (　　)
A. B.-
C.± D.
5.[2025·天津河东区高一期末] 已知函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的最小正周期可能是 (　　)
A. B. C. D.
6.若π<α<,则+的化简结果是 (　　)
A. B.-
C. D.-
7.已知sin+cos α=,则sin= (　　)
A. B.
C.- D.-
8.[2025·衡阳高一期末] 设函数f(x)=sin在区间上的最大值为M,最小值为m,则M-m的最小值为 (　　)
A. B. C.1- D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 (　　)
A.若sin α=-,且π<α<,则tan α=-
B.若α是第二象限角,则是第一或第三象限角
C.sin 1cos 2<0
D.若α是第四象限角,则点P(sin α,tan α)在第四象限
10.下列函数中,最小正周期为π,且在区间上单调递减的是 (　　)
A.y=cos |2x| B.y=|tan(π-x)|
C.y=cos D.y=sin
11.已知函数f(x)=Acos(ω1x+φ)(A>0,ω1>0,π<φ<2π),g(x)=Asin(ω2>0),且函数f(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.A=2,ω1=1,φ=
B.若ω2=ω1,则f(x)+g(x)=0
C.已知ω2=2,若y=g(x-a)为偶函数,则a=-+(k∈Z)
D.若g(x)在(0,π)上有两个零点,则ω2的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知某扇形的半径为8,弧长为12,则该扇形的圆心角是　　　　弧度,面积是　　　　.
13.[2024·辽宁辽阳高一期中] 若函数f(x)=sin在上的取值范围是,则m的取值范围是　　　　.
14.[2024·福建厦门高一期末] 水星是离太阳最近的行星,在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时,称水星东(西)大距,这是观测水星的最佳时机(如图①).将行星的公转视为匀速圆周运动,则研究水星大距类似如下问题:在平面直角坐标系中,点A,B分别在以坐标原点O为圆心,半径分别为1,3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动,角速度分别为ωA= rad/s,ωB= rad/s.当∠OBA达到最大时,称A位于B的“大距点”.如图②,初始时刻A位于(1,0),B位于以Ox为始边的角φ(0≤φ<2π)的终边上.
① ②
(1)若φ=0,则当A第一次位于B的“大距点”时,点A的坐标为　　　　;
(2)在30 s内,A位于B的“大距点”的次数最多为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·江苏扬州中学高一月考] (1)已知角θ的终边经过点P(4,-3),求的值.
(2)已知=3,求sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)[2025·湖南衡阳高一期中] (1)已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
(2)已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α与cos 2α的值.
17.(15分)已知函数f(x)=cos4x+sin xcos x-sin4x+m的最大值为.
(1)求实数m的值,并求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
(2)求函数f(x)的单调递增区间和图象的对称中心.
18.(17分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x m n p
Asin(ωx+φ) 0 3 0 -3 0
(1)求实数m,n,p的值和函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=g(x)的图象,若g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值;
(3)在(2)的条件下,当θ取最小值时,若对x∈,关于x的方程g(x)=a-1恰有两个不等实根,求实数a的取值范围.
19.(17分)某兴趣小组对小球在竖直平面内的匀速圆周运动进行研究,将圆形轨道装置放在如图①所示的平面直角坐标系中,此装置的圆心O距离地面的高度为2 m,半径为 m,装置上有一小球P(视为质点),P的初始位置在圆形轨道的最高处,开启装置后小球P按逆时针方向匀速旋转,转一周需要6 min.小球P距离地面的高度H(单位:m)与时间t(单位:min)的关系满足H=rsin(ωt+φ)+h(r>0,ω>0,0≤φ<2π).
(1)写出H关于t的函数解析式,并求装置启动1 min后小球P距离地面的高度;
(2)如图②,小球Q(视为质点)在半径为1 m的另一圆形轨道装置上,两圆形轨道为同心圆,Q的初始位置在圆形轨道的最右侧,开启装置后小球Q按顺时针方向匀速旋转,且角速度为 rad/min,若两装置同时启动,求P,Q两球高度差的最大值.
单元素养测评卷(五)
1.C　[解析] 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.
2.D　[解析] 因为π rad=180°,所以1°= rad,所以1095°= rad= rad.故选D.
3.B　[解析] 因为<2<π,所以cos 2<0.因为π<4<,所以tan 4>0,所以点A(cos 2,tan 4)在平面直角坐标系中位于第二象限,故选B.
4.B　[解析] 因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-,又α是第四象限角,所以cos α==,则cos(α-π)=-cos α=-.故选B.
5.C　[解析] 因为函数f(x)=2tan的图象的一个对称中心为,所以ω-=,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z,又ω>0,所以函数f(x)的最小正周期T==,k∈N.对于选项A,若=,此时k N,不合题意,故A错误;对于选项B,若=,此时k N,不合题意,故B错误;对于选项C,若=,此时k=1,符合题意,故C正确;对于选项D,若=,此时k N,不合题意,故D错误.故选C.
6.D　[解析] +=+=+,因为π<α<,所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,故+=--=-.故选D.
7.D　[解析] ∵sin+cos α=,∴sin αcos-cos αsin+cos α=,即sin α-cos α+cos α=,即sin α+cos α=,∴cos=,∴sin=sin=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选D.
8.B　[解析] 由2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,因此函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,f(x)的最小正周期为π,由正弦函数图象的性质知,要使f(x)在区间上的最大值M与最小值m的差最小,只需点(a,f(a)),关于f(x)图象的对称轴对称,由a的任意性及函数f(x)的周期性,不妨取f(x)图象的两条对称轴的方程为x=和x=-.当对称轴方程为x=时,M=f=1,a=-=-,a+=+=,m=f=f=sin=,则M-m=;当对称轴方程为x=-时,m=f=-1,a=--=-,a+=-+=-,M=f=f=sin=-,则M-m=.所以M-m的最小值为.故选B.
9.BC　[解析] 对于A,因为π<α<,所以tan α>0,故A错误;对于B,若α是第二象限角,则+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z,所以是第一或第三象限角,故B正确;对于C,因为0<1<<2<π,所以sin 1>0,cos 2<0,则sin 1cos 2<0,故C正确;对于D,若α是第四象限角,则sin α<0,tan α<0,所以点P(sin α,tan α)在第三象限,故D错误.故选BC.
10.BD　[解析] 对于A,当x∈时,2x∈,所以函数y=cos |2x|=cos 2x在上单调递增,A不符合题意;对于B,y=|tan(π-x)|=|tan x|的最小正周期是π,当x∈时,y=-tan x单调递减,B符合题意;对于C,当x∈时,2x∈,所以函数y=cos=sin 2x在上单调递增,C不符合题意;对于D,当x∈时,2x∈,所以函数y=sin=-cos 2x在上单调递减,且y=-cos 2x的最小正周期是π,D符合题意.故选BD.
11.ACD　[解析] 设f(x)的最小正周期为T,则π-=,得T=2π,所以ω1=1,由f=A,可得+φ=2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),又π<φ<2π,所以φ=,由f(0)=1,可得Acos=1,所以A=2,故选项A正确;若ω2=ω1,则g(x)=2sin=2sin=2cos=f(x),故选项B错误;已知ω2=2,则g(x)=2sin,若g(x-a)=2sin为偶函数,则-2a=-kπ(k∈Z),即a=-+(k∈Z),故选项C正确;令t=ω2x+,若x∈(0,π),则t∈,所以y=2sin t在上有两个零点,可得2π<ω2π+≤3π,解得ω2∈,故选项D正确.故选ACD.
12.　48　[解析] 设圆心角为θ,则θ==弧度,扇形的面积S=×12×8=48.
13.≤m≤　[解析] 当≤x≤m时,≤2x+≤2m+,由函数f(x)=sin在上的取值范围是,可得≤2m+≤,解得≤m≤.
14.(1)　(2)6　[解析] (1)当φ=0时,经过时间t s,可得A,B,当A位于B的“大距点”时,AB与小圆相切,此时△ABO为直角三角形,所以cos∠AOB==,因为ωA>ωB,所以cos∠AOB=cos=cost=,由A是第一次位于B的“大距点”,可知0(2)经过时间t s,可得A,B,对于任意φ∈[0,2π),当A位于B的“大距点”时,可得cos=,即cos=.当t∈[0,30]时,求“大距点”个数的问题转化为直线y=与y=cos的图象在[0,30]上的交点个数问题.若直线y=与y=cos的图象在[0,30]上有7个交点,则第1个交点到第7个交点的间隔恰好为3个最小正周期,而最小正周期T==12,12×3=36,因为30<36,所以不可能有7个交点.又当φ=时,y=cos=sint,此时直线y=与y=sint的图象在[0,30]上有6个交点,故A位于B的“大距点”的次数最多为6.
15.解:(1)由角θ的终边经过点P(4,-3),可知tan θ=-,
则==-.
(2)由=3,化简得4cos α=2sin α,
因此tan α==2,所以sin2α-3sin αcos α====-.
16.解:(1)由sin α=,cos β=-,α为第一象限角,β为第二象限角,
得cos α==,sin β==,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
(2)由<β<α<,得0<α-β<,π<α+β<,
因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)==,cos(α+β)=-=-,
所以sin 2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×+×=-,
又π<2α<,所以cos 2α=-=-=-.
17.解:(1)f(x)=cos4x+sin xcos x-sin4x+m=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+sin 2x+m=(cos2x-sin2x)+sin 2x+m=cos 2x+sin 2x+m=sin+m,当sin=1时,函数f(x)取得最大值,
所以1+m=,解得m=.
令2x+=2kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,
所以当函数f(x)取得最大值时x的取值集合为.
(2)由(1)得f(x)=sin+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).由2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
18.解:(1)由题意得A=3,f(x)的最小正周期T=2×=π,
所以=,且ω==2,
所以m=-=,n=+=,p=+=,
又2×+φ=,所以φ=-,
故m=,n=,p=,f(x)=3sin.
(2)将f(x)=3sin的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=3sin=3sin的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=3sin的图象.
因为g(x)图象的一个对称中心为,所以4×π-2θ-=kπ,k∈Z,得θ=π-,k∈Z,
又θ>0,所以当k=1时,θ取得最小值.
(3)当θ取最小值时,g(x)=3sin,
当x∈时,4x-∈,此时g(x)=3sin∈,作出g(x)在上的图象如图.
∵关于x的方程g(x)=a-1恰有两个不等实根,
∴结合图象可知-319.解:(1)由题意得,r=,φ=,h=2,根据小球转一周需要6 min,可知小球转动的角速度ω= rad/min,
所以H关于t的函数解析式为H=sin+2=cost+2,t≥0.
当t=1时,H=+2,所以装置启动1 min后小球P距离地面的高度为m.
(2)根据题意,小球Q距离地面的高度H'(单位:m)关于时间t(单位:min)的函数解析式为H'=sin+2=-sint+2,t≥0,
则P,Q两球的高度差ΔH==,t≥0,
当t+=+kπ,k∈Z,即t=+3k,k∈Z时,ΔH取得最大值2,所以P,Q两球高度差的最大值为2 m.