阶段素养测评卷（第一章~第三章）（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

阶段素养测评卷
第一章~第三章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,5},B={2,4},则( UA)∩B= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{4} B.{2,4}
C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
2.命题“ x>1,x2+x+1<0”的否定是 (　　)
A. x≤1,x2+x+1<0
B. x>1,x2+x+1≥0
C. x>1,x2+x+1≥0
D. x≤1,x2+x+1>0
3.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤4,y≠0},则y=f(x)的图象可能是 (　　)
A B C D
4.[2025·湖北重点高中协作体高一期中] 已知a1,a2,b1,b2为非零实数,则“a1∶b1=a2∶b2”是“关于x的不等式a1x2+b1x>0与不等式a2x2+b2x>0的解集相同”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设0A.c>b>a B.c>a>b
C.b>c>a D.a>c>b
6.已知a>0,f(x)=ax2-bx,则“x0是关于x的方程ax=b的解”的充要条件是 (　　)
A. x∈R,f(x)≥f(x0)
B. x∈R,f(x)≤f(x0)
C. x∈R,f(x)≥f(x0)
D. x∈R,f(x)≤f(x0)
7.[2025·杭州高一期中] 已知函数f(x)=若当x∈[m,n]时,1≤f(x)≤2,则n-m的最大值是 (　　)
A.4 B.3
C.7 D.5
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2)=4,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,x1x2[f(x1)+f(x2)]2x-6的解集为 (　　)
A.(3,7) B.(-∞,5)
C.(5,+∞) D.(3,5)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.对于实数a,b,c,d,下列命题是真命题的是 (　　)
A.若a>b,则a2>b2
B.若a>b>c>0,则>>
C.若a>b>0,cD.若a>b(ab≠0),则<
10.已知正数a,b满足a+b=1,则 (　　)
A.ab的最大值为
B.+的最小值为4
C.+的最小值为
D.a-的最大值为-1
11.[2025·学军中学高一月考] 设s,t>0,若关于x的方程+=2s恰有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1A.x1+x2+x3>0 B.s-t=
C.= D.s·t=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x+2)的定义域是[-2,2],则函数f(x2-1)的定义域是　　　　　　　　.
13.[2025·广东八校联盟高一期中] f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)满足2f(x)-f=2x+1,则f(x)的最小值为　　　　.
14.已知函数f(x)=-x+2,g(x)=+m,若对任意x1∈[1,2],存在x2∈(-2,3),使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·华南师大附中高一期中] 已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.(15分)已知a,b,c均为正实数.
(1)若a>b,试比较与的大小;
(2)求证:++≥3.
17.(15分)已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,f(0)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并利用定义证明;
(3)求不等式f(3x)≤f(x2+2)的解集.
18.(17分)某企业为进一步增加市场竞争力,计划在2025年利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产x千部手机,需另外投入成本R(x)万元,其中R(x)=已知每部手机的售价为5000元,且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2025年该款手机的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式.
(2)当年产量为多少时,企业所获得的年利润最大 最大年利润是多少
19.(17分)设k是正整数,A是N*的非空子集且至少有2个元素,若对于A中的任意2个元素x,y,都有|x-y|≠k,则称A具有性质P(k).
(1)试判断集合B={1,2,4,5},C={1,5,6}是否具有性质P(2),并说明理由;
(2)若集合A={a1,a2,…,a11} {1,2,…,20},证明:A不可能具有性质P(5);
(3)若集合A {1,2,…,1000}且具有性质P(4)和P(7),求A中元素个数的最大值.
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1.B　[解析] 由已知得 UA={2,3,4},B={2,4},所以( UA)∩B={2,4}.故选B.
2.B　[解析] 命题“ x>1,x2+x+1<0”的否定是“ x>1,x2+x+1≥0”,故选B.
3.B　[解析] 对于A,函数的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y<4},A错误;对于B,函数的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤4,y≠0},满足题意,B正确;对于C,函数的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠-1且x≠5},C错误;对于D,不是函数的图象,D错误.故选B.
4.B　[解析] 由a1∶b1=a2∶b2知=.若=<0,则不等式a1x2+b1x>0与不等式a2x2+b2x>0的解集不相同;若不等式a1x2+b1x>0与不等式a2x2+b2x>0的解集相同,则a1∶b1=a2∶b2.故“a1∶b1=a2∶b2”是“关于x的不等式a1x2+b1x>0与不等式a2x2+b2x>0的解集相同”的必要不充分条件.故选B.
5.B　[解析] 当00,a-c=1+x-=<0,故c>a>b.故选B.
6.C　[解析] 因为a>0,所以函数f(x)=ax2-bx的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=-=,函数f(x)的最小值为f.若x0是关于x的方程ax=b的解,则x0=,所以f(x0)=f就是函数f(x)的最小值,所以 x∈R,f(x)≥f(x0),则“x0是关于x的方程ax=b的解”是“ x∈R,f(x)≥f(x0)”的充分条件;若 x∈R,f(x)≥f(x0),则f(x0)为函数f(x)的最小值,所以x0=,即ax0=b,所以x0是关于x的方程ax=b的解,则“x0是关于x的方程ax=b的解”是“ x∈R,f(x)≥f(x0)”的必要条件.综上可知,“x0是关于x的方程ax=b的解”的充要条件是“ x∈R,f(x)≥f(x0)”.故选C.
7.C　[解析] 根据题意,作出f(x)的图象,如图所示.结合图象可知,要使当x∈[m,n]时,1≤f(x)≤2,且n-m取得最大值,则只需m=-3,n=4,故n-m的最大值为7.故选C.
8.D　[解析] 由题意知x1x2[f(x1)+f(x2)]0,即>,所以F(x)在(0,+∞)上单调递减.不等式f(x-3)>2x-6(x-3>0)可化为>2,因为F(2)==2,所以F(x-3)>F(2),则02x-6的解集为(3,5).故选D.
9.BC　[解析] 对于A,由a>b,取a=2,b=-3,但a2>b2不成立,故A是假命题;对于B,由不等式的性质知,若a>b>c>0,则>>,故B是真命题;对于C,由c-d>0,又a>b>0,所以-ac>-bd,故acb(ab≠0),取a=1,b=-1,则<不成立,故D是假命题.故选BC.
10.AB　[解析] 对于选项A,由基本不等式得ab≤=,当且仅当a=b=时取等号,故A正确;对于选项B,+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时取等号,故B正确;对于选项C,(+)2=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,当且仅当a=b=时取等号,故+≤,故C错误;对于选项D,由a+b=1得a=1-b>0,则011.CD　[解析] 令f(x)=+,则f(x)的定义域为R,且f(-x)=+=+=f(x),故f(x)为偶函数,则x1+x2+x3=0,故A错误.f(x)=2s必有一解为0,则f(0)=+=2s,即=s.①当0≤x≤t时,∵当a>0,b>0时,a+b≤2,∴f(x)=+≤2=2,当且仅当x=0时取等号;②当x>t时,f(x)=+在(t,+∞)上单调递增,由f(x)=2s=2,得+=2,可得x-t+2+x+t=4t,可得4x=5t,解得x=t,又∵f(x)在(t,+∞)上单调递增,∴x3=t,即x3=s=t=,可得t=,s=t=,∴s-t=-=,=×=,s·t=×=,故C,D正确,B错误.故选CD.
12.[-,-1]∪[1,]　[解析] 因为函数f(x+2)的定义域是[-2,2],即-2≤x≤2,所以x+2∈[0,4].由0≤x2-1≤4,得-≤x≤-1或1≤x≤,所以f(x2-1)的定义域是[-,-1]∪[1,].
13.1+　[解析] 由2f(x)-f=2x+1,得2f-f(x)=+1,消去f,得f(x)=+1,又x>0,所以f(x)=+1≥×2+1=+1,当且仅当2x=,即x=时取等号,所以当x=时,f(x)取得最小值1+.
14.　[解析] 由题可得,f(x)在[1,2]上的取值范围A是g(x)在(-2,3)上的取值范围B的子集.因为f(x)=-x+2,所以A=[0,1].g(x)=+m=+m=(x+3)+-1+m,令x+3=t,且x∈(-2,3),则t∈(1,6),则y=t+-1+m,当t∈(1,2)时,该函数单调递减,当t∈(2,6)时,该函数单调递增,又当t=2时,y=3+m,当t=1时,y=4+m,当t=6时,y=+m,所以B=.由A是B的子集,可得解得-15.解:(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4或x>7},
又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以所以0≤a≤2.
当a=0时,P={1}是Q的真子集;
当a=2时,P={x|3≤x≤5}是Q的真子集.
综上所述,实数a的取值范围是0≤a≤2.
16.解:(1)∵a>0,b>0,∴0∴>,∴>.
∵a>b,∴a-b>0,∴>,即>.
(2)证明:++=++-3,
∵a>0,b>0,c>0,∴+≥2,+≥2,+≥2,当且仅当a=b=c时三个等号同时成立,
∴++≥3.
17.解:(1)由函数f(x)=是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),
即=,
可得2bx=0对任意的x∈R恒成立,
故b=0,所以f(x)=,
则解得故f(x)=.
(2)函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1>x2,
则x2-x1<0,x1+x2>0,1+>0,1+>0,
因为f(x)===-1,
所以f(x1)-f(x2)=-=-==<0,即f(x1)故函数f(x)在[0,+∞)上单调递减.
(3)因为函数f(x)为R上的偶函数,且该函数在[0,+∞)上单调递减,
所以由f(3x)≤f(x2+2)可得f(3|x|)≤f(x2+2),
得x2+2≤3|x|,即x2-3|x|+2≤0,
即(|x|-1)(|x|-2)≤0,可得1≤|x|≤2,解得-2≤x≤-1或1≤x≤2,
故不等式f(3x)≤f(x2+2)的解集为[-2,-1]∪[1,2].
18.解:(1)当0当x≥50时,y=500x--250=-+6200,
所以y=
(2)当0所以当x=20时,ymax=2950.
当x≥50时,y=-+6200=-4(x-2)-+6192≤-2+6192=5792,当且仅当4(x-2)=,
即x=52时,等号成立,此时ymax=5792.
综上,当年产量为52千部时,企业所获得的年利润最大,最大年利润是5792万元.
19.解:(1)因为|4-2|=2,所以B不具有性质P(2).
因为|5-1|≠2,|6-1|≠2,|6-5|≠2,所以C具有性质P(2).
(2)证明:根据集合{1,2,…,20}中的元素得到如下10个集合,
{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10},{11,16},{12,17},{13,18},{14,19},{15,20},
所以如果从集合{1,2,…,20}中取11个元素,那么这10个集合中至少有一个集合中的2个元素都被选中,
故A中存在2个元素的差的绝对值为5,所以A不可能具有性质P(5).
(3)先说明连续11个数中集合A中最多选取5个数,以1,2,3,…,11为例.
根据这11个数得到{1,8},{2,9},{3,10},{4,11},{5},{6},{7}共7个集合.
①5,6,7同时选,因为A具有性质P(4)和P(7),
所以选5则不选1,9,选6则不选2,10,选7则不选3,11,则只剩4,8,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素个数不超过5.
②5,6,7中只选2个,若选5,6,则1,2,9,10,7不可选,又{4,11}中只能选一个元素,3,8可以选,
故1,2,3,…,11中属于集合A的元素个数不超过5.
若选5,7,则1,3,6,9,11不可选,且4,8不能同时选,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素个数不超过5.
若选6,7,则2,3,10,11,5不可选,又{1,8}中只能选一个元素,4,9可以选,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素个数不超过5.
③5,6,7中只选1个,又对于集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11},每个集合中至多能选1个元素,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素个数不超过5.
由①②③可知,连续11个自然数中属于集合A的元素至多有5个.
1000=90×11+10,则把每11个连续自然数分组,前90组每组至多选取5个数,从991开始,最后10个数至多选取5个数,
故集合A中的元素最多有91×5=455(个).
给出如下选取方法:从1,2,3,…,11中选取1,4,6,7,9,然后在这5个数的基础上每次累加11,构造90次,
此时集合A中的元素为1,4,6,7,9,12,15,17,18,20,23,26,28,29,31,…,980,983,985,986,988,991,994,996,997,999,共455个.
经检验,该集合符合要求,故集合A中元素个数的最大值为455.