模块素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

模块素养测评卷
第一章~第五章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·河南省实验中学高一期中] 命题“ x∈(-3,-1),|x-4|≥5”的否定为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
B. x∈(-3,-1),|x-4|<5
C. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
D. x∈(-3,-1),|x-4|<5
2.已知全集U=R,集合A={x|2≤2x<8},B=,则A∩B= (　　)
A.[1,5) B.(1,3)
C.(2,3) D.[2,3)
3.[2025·哈尔滨三中高一期末] 已知扇形的圆心角为2 rad,面积为25,则该扇形的弧长为 (　　)
A.5 B.5π C.10 D.10π
4.[2025·湖南衡阳高一期中] 已知sin α=,且α为第二象限角,则的值为 (　　)
A.- B. C.- D.
5.已知f(x)是奇函数且在(0,+∞)上单调递增,f(2)=0,则<0的解集为 (　　)
A.(-1,0)∪(1,3) B.(-∞,-1)∪(1,3)
C.(-1,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则 (　　)
A.g(x)=sin 2x B.g(x)=2sin
C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2sin
7.[2025·福建三明一中高一期中] 已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-4,4) B.[-4,4)
C.(-∞,-4) D.{-4}
8.[2024·河北唐山高一期末] 若函数f(x)=-x,g(x)=lox-x,h(x)=+0.1-x的零点分别为a,b,c,则 (　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 (　　)
A.若a>b,cb-d
B.若aC.若aD.若a10.[2024·江苏徐州高一期中] 已知tan α=2tan β,则下列说法正确的是 (　　)
A. α,β∈,使得α=2β
B.若sin αcos β=,则sin(α-β)=
C.若sin αcos β=,则cos(2α+2β)=-
D.若α,β∈,则tan(α-β)的最大值为
11.[2025·江苏南通高一期中] 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)且f(x)-f(y)=f,当x>1时,f(x)>0,且f=-1,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(1)=0
B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(2)+f+f(3)+f+…+f(2024)+f=0
D.满足不等式f(x)-f(x-1)≥2的x的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·洛阳高一期中] 已知点(3,9)在幂函数f(x)=xα的图象上,则f(-2)=　　　　.
13.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=Acos+B(x=1,2,…,12)来表示.已知6月份的平均气温最高为30 ℃,12月份的平均气温最低为20 ℃,则此函数的最小正周期为　　　　,10月份的平均气温为　　　　 ℃.
14.已知函数f(x)=kx+b,若集合中恰有3个元素,且各元素之和为0,则实数k的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·山东泰安高一期末] 已知集合A={x|2x<4},B={x|x2-2ax+a2-1<0},a∈R.
(1)当a=-2时,求A∪B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.
16.(15分)(1)设α,β为锐角,且sin α=,cos β=,求α+β的值;
(2)化简求值:sin 50°(1+tan 10°);
(3)化简求值:.
17.(15分)[2025·湖南师大附中高一期末] 已知函数f(x)=sin+sin+2cos2x-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴方程;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,求函数y=g(x)+2cos x在上的取值范围.
18.(17分)[2025·长春十一中高一期中] 已知函数f(x)=为奇函数,且f(1)=3.
(1)求f(x);
(2)求证:f(x)在区间[1,+∞)上单调递增;
(3)若对任意的x∈[1,+∞)都有m2-2m≤f(x),求实数m的取值范围.
19.(17分)若函数y=f(x)+g(x)为幂函数,则称f(x)与g(x)互为“和幂函数”;若函数y=f(x)g(x)为幂函数,则称f(x)与g(x)互为“积幂函数”.
(1)试问函数f(x)=x+log2(+x)与g(x)=x+log2(-x)是否互为“和幂函数” 说明你的理由.
(2)已知函数f(x)=xm·2-x与g(x)=(m3+m-9)2x互为“积幂函数”.
①证明:函数h(x)=f(x)-g(x)存在负零点,且负零点唯一;
②已知函数p(x)=2ln x-xln 2在上单调递增,在上单调递减,且p=t>0,若函数k(x)=f(x)-a在(0,6]上有两个零点,求a的取值范围(结果用含字母t的区间表示).
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1.D　[解析] 由存在量词命题的否定形式可知,该命题的否定为 x∈(-3,-1),|x-4|<5.故选D.
2.C　[解析] 由2≤2x<8,得1≤x<3,则A=[1,3).由y=,得解得23.C　[解析] 由已知得扇形的圆心角θ=2,面积S=25.由扇形面积公式,可得25=r2×2,即r2=25,解得r=5或r=-5(半径不能为负舍去),所以r=5.由弧长公式可得弧长l=5×2=10.故选C.
4.A　[解析] 因为sin α=,且α为第二象限角,所以cos α=-,所以tan α=-,故===-.故选A.
5.A　[解析] 因为f(x)是奇函数且在(0,+∞)上单调递增,f(2)=0,作出f(x)的示意图,因为<0,所以xf(x-1)<0.当x>0时,f(x-1)<0,即00,即-22,解得-16.D　[解析] 由函数f(x)的图象,可得A=2,T=-=,则T=π,所以ω==2,则f(x)=2sin(2x+φ),因为点在图象上,所以sin=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin,将函数f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到g(x)=2sin=2sin的图象.故选D.
7.B　[解析] 当x≥1时,f(x)=log3x单调递增,又f(1)=0,故f(x)在[1,+∞)上的取值范围为[0,+∞),又f(x)在R上的值域为R,故(-∞,0)是f(x)在(-∞,1)上的取值范围的子集.又当x<1时,f(x)=(4-a)x+2a,当a=4时,f(x)=8,显然不满足题意;当a>4时,f(x)在(-∞,1)上单调递减,故f(x)在(-∞,1)上的取值范围为(a+4,+∞),不满足题意;当a<4时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,故f(x)在(-∞,1)上的取值范围为(-∞,a+4),若满足题意,则a+4≥0,即a≥-4,故a∈[-4,4).综上所述,a的取值范围为[-4,4).故选B.
8.B　[解析] 由f(x)=-x=0,得=x,由g(x)=lox-x=0,得lox=x,由h(x)=+0.1-x=0,得+0.1=x,在同一直角坐标系中,作出函数y1=,y2=lox,y3=+0.1,y4=x的图象,如图所示,由图知,b9.AC　[解析] 对于A,由c-d,又a>b,因此可得a-c>b-d,故A正确;对于B,若a=-2,b=-1,c=-4,d=-3,此时ac=8>bd=3,故B错误;对于C,若ab2>0,所以<,故C正确;对于D,由a0,即a2>ab,同理,由a0,即ab>b2,所以a2>ab>b2,故D错误.故选AC.
10.BD　[解析] 对于A,若α=2β,则tan α=tan 2β=,因为tan α=2tan β,所以=2tan β,解得tan β=0,又因为β∈时,tan β>0,矛盾,所以A错误;对于B,因为tan α=2tan β,可得=,所以sin αcos β=2cos αsin β,又因为sin αcos β=,所以cos αsin β=,则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,所以B正确;对于C,因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=sin αcos β=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=,所以C错误;对于D,由β∈,可得tan β>0,且tan α=2tan β,则tan(α-β)===≤=,当且仅当=2tan β,即tan β=时,等号成立,所以tan(α-β)的最大值为,所以D正确.故选BD.
11.ACD　[解析] 函数f(x)的定义域是(0,+∞)且f(x)-f(y)=f.对于A,取x=y=1,则f(1)=f(1)-f(1)=0,A正确;对于B, x1,x2∈(0,+∞),x11,由当x>1时,f(x)>0,得f>0,于是f(x2)-f(x1)=f>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,B错误;对于C,取x=1,y=t∈(0,+∞),则f(1)-f(t)=f,即f(t)+f=f(1)=0,则有f(2)+f=f(3)+f=…=f(2024)+f=0,因此f(2)+f+f(3)+f+…+f(2024)+f=0,C正确;对于D,由选项C知,f(2)+f=0,则f(2)=-f=1,f(4)=f(2)-f=2f(2)=2,不等式f(x)-f(x-1)≥2 则解得112.4　[解析] 点(3,9)在幂函数f(x)=xα的图象上,则3α=9,解得α=2,则f(x)=x2,则f(-2)=(-2)2=4.
13.12　22.5　[解析] 函数y=Acos+B,因为6月份的平均气温最高为30 ℃,12月份的平均气温最低为20 ℃,所以A+B=30且B-A=20,解得A=5,B=25,所以函数y=5cos+25,所以此函数的最小正周期为=12,令x=10,可得y=5cos+25=22.5.
14.　[解析] 当x>0时,=1,又由已知可得方程f(x)=恰有3个解,则k≠0,即当x>0时,方程f(x)=至多只有一解.当x≤0时,方程f(x)=可转化为kx+b=,即-kx2+(k-b-1)x+b-1=0,至多有两个解,综上所述,方程f(x)=在x>0时有一解为x1=>0,方程f(x)=在x≤0时有两个解,Δ=(k-b-1)2+4k(b-1)>0,且满足x2+x3=<0,x2x3=≥0,又x1+x2+x3=+=0,解得b=,则解得015.解:(1)A={x|2x<4}={x|x<2},
当a=-2时,B={x|x2+4x+3<0}={x|-3(2)B={x|x2-2ax+a2-1<0}={x|(x-a)2<1}={x|a-1∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件,∴B A,∴a+1≤2,∴a≤1.
16.解:(1)由α为锐角,sin α=,得cos α=,
由β为锐角,cos β=,得sin β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,
由α,β为锐角,得0<α+β<π,则α+β=.
(2)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°=2sin 50°·=====1.
(3)==tan=tan=-tan=-.
17.解:(1)f(x)=sin+sin+2cos2x-1=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
令2x+=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)由题知g(x)=sin=sin=-cos 2x,
则y=-cos 2x+2cos x=-(2cos2x-1)+2cos x=-2cos2x+2cos x+,
令t=cos x,x∈,则t∈[0,1],
则y=-2t2+2t+=-2+.
当t=时,ymax=;
当t=1时,ymin=2-.
综上可知,所求取值范围为.
18.解:(1)由f(x)为奇函数,且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
可得f(-1)=-f(1),即-(a-b+1)=-(a+b+1),解得b=0,
又f(1)=a+1=3,得a=2,所以f(x)=2x+.
对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-2x-=-f(x),满足f(x)为奇函数.
综上可得,f(x)=2x+.
(2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=2(x1-x2)+=,
由1≤x11,x1-x2<0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)由f(x)在[1,+∞)上单调递增,可得当x∈[1,+∞)时,f(x)min=f(1)=3.
因为对任意的x∈[1,+∞)都有m2-2m≤f(x),
所以m2-2m≤f(x)min=f(1)=3,即m2-2m≤3,
即(m-3)(m+1)≤0,解得-1≤m≤3,
即实数m的取值范围是[-1,3].
19.解:(1)f(x)与g(x)互为“和幂函数”,理由如下:因为>=|x|≥x,>=|x|≥-x,所以f(x)与g(x)的定义域均为R.
因为f(x)+g(x)=x+log2[(+x)(-x)]=x+log2(x2+1-x2)=x+log21=x,且y=x(x∈R)为幂函数,所以f(x)与g(x)互为“和幂函数”.
(2)①证明:f(x)g(x)=(m3+m-9)xm,
则m3+m-9=1,即m3+m=10,设F(m)=m3+m,则F(m)为增函数.
因为F(2)=10,所以m=2,令h(x)=f(x)-g(x)=0,得x2=4x,
设函数φ(x)=x2-4x(x<0).
因为φ(-1)=>0,φ=-<0,易知φ(x)在(-∞,0)上的图象是连续不断的曲线,所以φ(x)在上存在零点,即h(x)存在负零点.因为φ(x)为减函数,所以φ(x)的零点唯一,即h(x)存在负零点,且负零点唯一.
②当x>0时,f(x)=x2·2-x>0,ln f(x)=ln(x2·2-x)=2ln x-xln 2=p(x),则f(x)=ep(x),因为y=ex为增函数,且p(x)=2ln x-xln 2在上单调递增,在上单调递减,所以根据复合函数的单调性可知f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=et.
令k(x)=0,得f(x)=a.
因为>=2,<=4,f(1)=