2.1.1 不等关系与不等式
1.将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子的长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为 ( )
A.
B.2x-5≥1或5-2x≥1
C.
D.
2.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,a∈R,则 ( )
A.M>N B.M≥N
C.M
3.“x>y”是“x3-y>x2y-x”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需用摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h,设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内运送到灭火前线,则x应满足的不等式为 ( )
A.>1 B. <1
C.+>1 D. +<1
5.(多选题)下列不等式中恒成立的是 ( )
A.a2+3>2a
B.x2+y2>xy
C.a2+b2≥2(a-b-1)
D.a2+b2≥2ab
6.近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤,甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元钱的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次购买猪肉的平均单价分别记为m1,m2,则下列结论正确的是( )
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小关系无法确定
7.比较大小:+ 2.(填“<”“>”或“=”)
8.若a<0,-1”连接).
9.(13分)现有学生若干人,住若干间宿舍.如果每间宿舍住4人,那么还余19人;如果每间宿舍住6人,那么只有一间不满但不空.求宿舍间数和学生人数.
10.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形, 从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来 ( )
A.(a2+b2)>ab
B.(a2+b2)C.(a2+b2) ≥ab
D.(a2+b2) ≤ab
11.(多选题)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数.下列方案满足要求的是 ( )
A.A型货箱28节,B型货箱22节
B.A型货箱29节,B型货箱21节
C.A型货箱31节,B型货箱19节
D.A型货箱30节,B型货箱20节
12.[2025·长沙一中高一月考] 已知a=-,b=-,则a b.(填“>”或“<”)
13.能够说明“若a,b,m均为正数,则<”是真命题的一组数a,b可以为a= ,b= .
14.(15分)已知a,b>0,试比较+与+的大小.
15.杠杆原理,是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,由杠杆原理可推出:左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ>0),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,再将5克砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金质量 ( )
A.大于10克 B.小于10克
C.等于10克 D.无法确定
16.(15分)[2025·黑龙江黑河五中高一期中] 已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m(m>0)克糖(假设全部溶解),糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式;
(2)利用(1)的结论比较M=,N=的大小.
2.1.1 不等关系与不等式
1.D [解析] 由题意可知另一段绳子的长度为(5-x)m,因为两段绳子的长度之差不小于1 m,所以即故选D.
2.A [解析] 因为M-N=2a2-4a+7-a2+3a-6=a2-a+1=+>0,所以M>N.故选A.
3.C [解析] x3-y-(x2y-x)=x3-x2y+x-y=x2(x-y)+(x-y)=(x2+1)(x-y).若x>y,则(x2+1)(x-y)>0,即x3-y>x2y-x;若x3-y>x2y-x,即(x2+1)(x-y)>0,则x>y.所以“x>y”是“x3-y>x2y-x”的充要条件.故选C.
4.D [解析] 由题意,汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时,即+<1,故选D.
5.ACD [解析] 对于A,∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,∴a2+3>2a,A恒成立;对于B,∵x2+y2-xy=+y2≥0,∴x2+y2≥xy,B不恒成立;对于C,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),C恒成立;对于D,∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,D恒成立.故选ACD.
6.C [解析] 由题意知,m1===,m2==,显然m1>0,m2>0,===,由题意知a≠b,所以a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,所以<1,所以m17.< [解析] (+)2=10+2,(2)2=20,因为10+2-20=2-10=-<0,所以(+)2<(2)2,所以+<2.
8.ab>ab2>a [解析] 因为a<0,-10,1-b>0,b-1<0,b+1>0,所以ab-ab2=ab(1-b)>0,即ab>ab2,ab2-a=a(b2-1)=a(b+1)(b-1)>0,即ab2>a,所以ab>ab2>a.
9.解:设有x间宿舍,则学生人数为4x+19,依题意得解得∵x∈N*,∴x=10,11,12,则宿舍间数为10或11或12,对应的学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.
10.A [解析] 图①是由两个等腰直角三角形构成的,面积S1=a2+b2.图②是一个矩形,面积S2=ab.因为a≠b,所以由图可知(a2+b2)>ab.故选A.
11.ABD [解析] 设安排x节A型货箱,y节B型货箱,则所以7x+5y=7x+5(50-x)=2x+250≥306,解得x≥28,3x+7y=3x+7(50-x)=350-4x≥230,解得x≤30,所以28≤x≤30,则或或故选ABD.
12.< [解析] a=-==,b=-==,因为>,所以+>+>0,所以<,所以<,即a13.1 2(答案不唯一) [解析] 因为命题“若a,b,m均为正数,则<”是真命题,所以-=>0,可得014.解:方法一(作差法):∵+-(+)===
=
=
≥0,∴+≥+,当且仅当a=b时取等号.
方法二(作商法):=
==
==1+≥1.
∵+>0,+>0,
∴+≥+.
方法三(平方后作差):∵=++2,(+)2=a+b+2,∴-(+)2=.∵a>0,b>0,
∴≥0,又+>0,+>0,∴+≥+.
15.A [解析] 设天平的左臂长为a,右臂长为b,则=λ(λ>0),所以a=λb.设先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2,则bm1=a×5,am2=b×5,解得m1=,m2=,所以m1+m2=+,所以(m1+m2)-10=+-10===,因为λ>0,所以>0,即m1+m2>10,所以顾客购得的黄金质量大于10 g.故选A.
16.解:(1)<(m>0,b>a>0).
证明:-==,因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0,
所以-<0,即<.
(2)M==,N=,
所以由(1)中的结论可得>,即M>N.2.1.1 不等关系与不等式
【学习目标】
理解不等式的概念:(1)能类比等式表示相等关系,举例说明不等式可以表示不等关系;(2)根据实数大小关系的基本事实,能够利用作差(商)法比较两个代数式的大小.
◆ 知识点一 不等式与基本事实
1.不等式的定义
用不等号连接两个解析式所得的式子,叫作不等式.
2.比较两个实数大小的基本事实:对任意两个实数a,b,
①a-b>0 a>b;
②a-b<0 a③a-b=0 a=b.
要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与0(1)的大小,这种方法叫作作差(商)法.
◆ 知识点二 重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)设M=x2,N=2x-1,则M(3)已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是2. ( )
(4)若a◆ 探究点一 用不等式(组)表示不等关系
例1 用不等式(组)表示下面的不等关系:
(1)x与y的差是非负数;
(2)用一根长为16 cm的铁丝围成一个矩形,矩形的面积大于12 cm2;
(3)某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍.
变式 (1)某校计划用不超过1500元的资金购买单价为120元的篮球和140元的足球,若该校至少要购买8个篮球,且至少购买2个足球,则不同的选购方式有 ( )
A.6种 B.7种
C.8种 D.5种
(2)某市环保局为增加城市的绿地面积,提出了两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方案B为第一年投资100万元,以后每年投资10万元.“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入” 用不等式表示为 .
[素养小结]
将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
◆ 探究点二 比较两个数(式)的大小
例2 (1)已知x,y,z均为实数,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
(2)设a>b>0,M=,N=,比较M与N的大小.
变式 (1)已知a,b,c>0,且a≠b≠c,试比较ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)与6abc的大小.
(2)已知0[素养小结]
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商值与1的大小关系;④下结论.
拓展 证明:圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.
2.1.1 不等关系与不等式
【课前预习】
知识点一
差(商)
知识点二
≥
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)任意两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)M-N=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴M≥N,错误.
(3)a,b∈R,若ab=1,则a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=±1时,等号成立,正确.
(4)取a=-1,b=0,c=2,d=3,满足a【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)x-y≥0.
(2)设矩形的长为x cm,则它的宽为(8-x)cm,故有x(8-x)>12.
(3)设截得500 mm的钢管x根,截得600 mm的钢管y根,
根据题意得
变式 (1)D (2)100+10(n-1)≥500
[解析] (1)设购买的篮球个数为x,足球个数为y,则根据题意可得符合题意的有序实数对(x,y)是(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2),所以共有5种不同的购买方式.故选D.
(2)方案A:一次性投资500万元.方案B:第一年投资100万元;两年后总投资为(100+10)万元;三年后总投资为(100+10×2)万元;…;n年后总投资为[100+10(n-1)]万元.因为经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入,所以100+10(n-1)≥500.
探究点二
例2 解:(1)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,当且仅当x=y=且z=1时取等号,
所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2.
(2)∵a>b>0,∴M=>0,N=>0,2ab>0,∴==1+>1,∴M>N.
变式 解:(1)ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc=a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2-6abc=(a2b+bc2-2abc)+(ab2+ac2-2abc)+(b2c+a2c-2abc)=b(a-c)2+a(b-c)2+c(b-a)2,
∵a,b,c>0,且a≠b≠c,
∴b(a-c)2+a(b-c)2+c(b-a)2>0,
∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)>6abc.
(2)由00,b>0,所以M-N=-=+==
>0,因此M>N.
拓展 证明:设圆的周长与正方形的周长均为x,则圆的面积S1=π=,正方形的面积S2==,
∴S1-S2=-=(4-π)>0,即S1>S2,原命题得证.(共50张PPT)
2.1.1 不等关系与不等式
探究点一 用不等式（组）表示不等关系
探究点二 比较两个数（式）的大小
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解不等式的概念:
（1）能类比等式表示相等关系,举例说明不等式可以表示不等关系;
（2）根据实数大小关系的基本事实,能够利用作差（商）法比较两个
代数式的大小.
知识点一 不等式与基本事实
1.不等式的定义
用不等号连接两个解析式所得的式子，叫作不等式.
2.比较两个实数大小的基本事实：对任意两个实数, ,
① ;
② ;
③ .
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的__________与
的大小，这种方法叫作作差（商）法.
差（商）
知识点二 重要不等式
一般地，,,有___,当且仅当 时,等号成立.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个实数，之间，有且只有，， 三种关系
中的一种.( )
√
[解析] 任意两个实数,之间，有且只有，， 三种
关系中的一种，没有其他大小关系，正确.
（2）设,,则 .( )
[解析] ， ，错误.
×
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）已知,,若,则 的最小值是2.( )
√
[解析] ,,若,则 ，
当且仅当 时，等号成立，正确.
（4）若,,则 .( )
[解析] 取,,,,满足， ，
但 ,错误.
×
探究点一 用不等式（组）表示不等关系
例1 用不等式（组）表示下面的不等关系:
（1）与 的差是非负数;
解： .
（2）用一根长为的铁丝围成一个矩形,矩形的面积大于 ；
解：设矩形的长为,则它的宽为,故有 .
例1 用不等式（组）表示下面的不等关系:
（3）某钢铁厂要把长度为的钢管截成和 两
种，要求钢管的数量不能超过 钢管数量的3倍.
解：设截得的钢管根，截得的钢管 根,
根据题意得
变式（1）某校计划用不超过1500元的资金购买单价为120元的篮球
和140元的足球，若该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，
则不同的选购方式有( )
A.6种 B.7种 C.8种 D.5种
[解析] 设购买的篮球个数为，足球个数为 ，
则根据题意可得
符合题意的有序实数对是, ,,, ，
所以共有5种不同的购买方式.故选D.
√
（2）某市环保局为增加城市的绿地面积，提出了两个投资方案：方
案为一次性投资500万元；方案 为第一年投资100万元，以后每年
投资10万元.“经过年之后，方案的投入不少于方案 的投入” 用不
等式表示为______________________.
[解析] 方案一次性投资500万元.
方案 第一年投资100万元;两年后总投资为万元;三年后总
投资为 万元;…;年后总投资为万元.
因为经过 年之后，方案的投入不少于方案的投入，
所以 .
［素养小结］
将不等关系表示成不等式（组）的思路
（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.
（2）用适当的不等号连接.
（3）多个不等关系用不等式组表示.
探究点二 比较两个数（式）的大小
例2（1）已知，，均为实数，比较 与
的大小.
解：因为 ，
当且仅当且 时取等号,
所以 .
（2）设，，，比较与 的大小.
解：，，， ，
， .
变式（1）已知,,,且 ，试比较
与 的大小.
解： ，
,,,且 ,
，
.
（2）已知且，，比较与 的
大小.
解：由，得,, ，
所以
，
因此 .
［素养小结］
比较大小的常用方法
（1）作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论.
（2）作商法:①作商;②变形;③判断商值与1的大小关系;④下结论.
拓展 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.
证明：设圆的周长与正方形的周长均为 ，
则圆的面积，正方形的面积 ，
，
即 ，原命题得证.
比较两个实数的大小,除了作差法还可以用作商法:
设,为任意两个正实数,先求出与的商,再判断它们的商 与1的大
小:
当时,得到;
当时,得到;
当时,得到 .
涉及两个代数式比较大小,常用作差法.
作差法比较两个数（式）的大小可以归纳为“三步一结论”,
即作差 变形 定号 结论.
其中变形为关键,定号为目的.
在变形中,一般变形越彻底,越有利于下一步的判断.
在定号中,若为几个因式的积,需对每个因式均先定号,若符号不确定,
需进行讨论.
例1 已知且，试比较与 的大小.
解： .
当时，， ，
则，即 ；
当时，， ，
则，即 .
例2 已知,,，则与 的大小关系是
_______.
[解析] 当时，,，所以 .
当时,若,则, ,所以；
若,则, ,所以.
综上可得 .
例3（1）比较与 的大小.
解： ,
，
， ，
.
（2）比较， 的大小.
解：
,
同理， ，
，
,
.
练习册
1.将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 ，若
两段绳子的长度之差不小于，则 所满足的不等关系为( )
A. B.或
C. D.
[解析] 由题意可知另一段绳子的长度为 ，因为两段绳子的
长度之差不小于，所以即 故选D.
√
2.设，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以 ．
故选A.
√
3.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] .
若,则 ,即；
若,即 ,则.
所以“”是“ ”的充要条件.故选C.
√
4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前
线．从物资集散地到灭火前线的路程为 ，其中靠近灭火前线
的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知
可用汽车运送的路段的平均速度为 ，设需用摩托车运送的路
段的平均速度为 ，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则
应满足的不等式为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，
即 ，故选D.
√
5.（多选题）下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，， ，
A恒成立；
对于B， ， ,
B不恒成立；
对于C， ，
，C恒成立；
对于D，， ，D恒成立.
故选 .
6.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为
元/斤、 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的
猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次购买猪肉的平均单价分别记
为， ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D., 的大小关系无法确定
√
[解析] 由题意知，， ，
显然,，，
由题意知 ,所以,所以,
所以 ,所以 ，故选C.
7.比较大小：___.（填“ ”“ ”或“ ”）
[解析] ， ，
因为 ，
所以，所以 .
8.若，，则将，， 按大小顺序排列为______
________（用“ ”连接）.
[解析] 因为，，
所以， ，，，
所以 ，
即，，即 ，
所以 .
9.（13分）现有学生若干人，住若干间宿舍.如果每间宿舍住4人，那
么还余19人；如果每间宿舍住6人，那么只有一间不满但不空.求宿舍
间数和学生人数.
解:设有间宿舍，则学生人数为 ，
依题意得解得 .
， ，11，12，
则宿舍间数为10或11或12，对应的学生人数分别为59，63，67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
10.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,
图②是一个矩形, 从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将
这种关系用含字母， 的不等式表示出来( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积．
图②是一个矩形，面积.
因为 ，所以由图可知 ．故选A.
11.（多选题）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230
吨．现计划用， 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨
甲种货物和3吨乙种货物可装满一节 型货箱，5吨甲种货物和7吨乙
种货物可装满一节型货箱，据此安排, 两种货箱的节数.下列方案
满足要求的是( )
A.型货箱28节，型货箱22节 B.型货箱29节， 型货箱21节
C.型货箱31节，型货箱19节 D.型货箱30节， 型货箱20节
√
√
√
[解析] 设安排节型货箱,节型货箱,则
所以,解得 ,
,解得 ,
所以,则或或故选 .
12.［2025·长沙一中高一月考］已知， ，
则___（填“ ”或“ ”）
[解析] ，
，
因为 ，所以，
所以 ，所以，即 .
13.能够说明“若,,均为正数，则”是真命题的一组数, 可
以为___， _________________.
1
2（答案不唯一）
[解析] 因为命题“若,,均为正数，则 ”是真命题，
所以，可得,
所以可取， （答案不唯一）.
14.（15分）已知,，试比较与 的大小.
解:方法一（作差法）
，
，当且仅当 时取等号.
方法二（作商法）：
.
， , .
方法三（平方后作差） ，
，
.
， ，,
又， ， .
15.杠杆原理，是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，由杠
杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物
品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左
臂长和右臂长之比为 ，一位顾客到店里购买10克黄金，售
货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使
天平平衡，再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天
平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购
得的黄金质量( )
A.大于10克 B.小于10克 C.等于10克 D.无法确定
√
[解析] 设天平的左臂长为，右臂长为，则 ，所以.
设先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为，
则，，解得， ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以，即 ，
所以顾客购得的黄金质量大于 .
故选A.
16.（15分）［2025·黑龙江黑河五中高一期中］ 已知克糖水中有
克糖,往糖水中加入 克糖（假设全部溶解）,糖
水更甜了.
（1）请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式;
解： .
证明:,
因为, ,所以, ,
所以,即 .
16.（15分）［2025·黑龙江黑河五中高一期中］ 已知克糖水中有
克糖,往糖水中加入 克糖（假设全部溶解）,糖
水更甜了.
（2）利用（1）的结论比较, 的大小.
解：, ,
所以由（1）中的结论可得,即 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 2.差（商） 知识点二
【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1（1）m>
（2）设矩形的长为,则
（3）设截得的钢管根,截得的钢管根,
变式 （1）D （2）
探究点二 例2 （1）>
变式（1） （2）
拓展 证明略
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.C 4.D 5.ACD 6.C
7. 8.
9.宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
10.A 11.ABD 12. 13.1 2（答案不唯一） 14./m>
15.A 16.（1）.证明略 （2）