(共52张PPT)
2.1.2 等式性质与不等式性质
探究点一 利用不等式性质比较大小
探究点二 利用不等式的性质证明不等式
探究点三 利用不等式的性质求代数式范围
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握不等式的性质:
（1）能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;
（2）能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
知识点一 等式的基本性质
性质1 如果 ，那么_______.
性质2 如果， ，那么______.
性质3 如果，那么 .
性质4 如果，那么 .
性质5 如果，，那么 .
知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性
2 传递性 ,
3 可加性 可逆
4 可乘性 ,___ 的符号
,___
5 同向可加性 , 同向
性质 别名 性质内容 注意
6 同向同正 可乘性 , 同向、
同正
7 可乘方性 同正
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,则 .( )
√
[解析] 不等式两边同时加上,可得 ,所以此说法正确.
（2）若,则, .( )
[解析] 取,,,,满足,但不满足 ,
所以此说法错误.
×
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若,,则 .( )
×
[解析] 取,,,,满足,,但 不成立,
所以此说法错误.
（4）若,则 .( )
[解析] 若,则,所以 ，所以此说法正确.
√
探究点一 利用不等式性质比较大小
例1（1）已知,,且 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,当时, ,故A不一定成立;
对于B,当,时,满足,但 不成立,故B不一定成立;
对于C,当时,,故C不一定成立;
对于D,由 , ,得 ,故D一定成立.故选D.
√
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若,,则
C.若，，则
D.若，则
√
√
[解析] 对于A，，，， ，
，,故A正确；
对于B，当 ，，，时，满足,,
但此时 ，，,故B错误；
对于C，当， ，时，满足，，
但此时，， ，故C错误；
对于D，，， ，，
，由不等式的同向可加性，可得，故D正确．
故选 ．
变式（1）（多选题）设,,, ，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若,，则 D.若，则
[解析] 对于A,当时,,故A错误;
对于B,若 ,则,即,所以,故B正确;
对于C,取, ,,满足,,但,故C错误;
对于D,若 ,则由不等式的性质可知,故D正确.故选 .
√
√
（2）（多选题）［2025·青岛二中高一月考］已知 ， ，
则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ，，又， ，故A正确；
当，时，，， ，，故B错误；
，， ，故C正确；
，，， ，
则，即 ，
即，故D正确.
故选 .
［素养小结］
解不等式成立问题的常用方法:
一是用性质逐个验证;
二是用特殊值法排除.
利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
探究点二 利用不等式的性质证明不等式
例2 设,,,, .
（1）证明: ;
证明: ,
.
，,, 均不为0,则,
.
例2 设,,,, .
（2）若,证明： .
证明: 由题可知， ，
,,即 ，
,即 .
变式（1）已知，求证： .
证明:，即, ，
，则 .
（2）已知,,，求证： .
证明: , ，
又，,,，
又 ， ，
.
［素养小结］
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问
题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题
中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立
的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
探究点三 利用不等式的性质求代数式范围
例3 设，，求，， 的取值范围.
解:， ，
，，， ，
，， .
变式（1）已知，，则 的取值范围为
__________________， 的取值范围为__________.
[解析] 由，得,
由 ,得，.
由,得 ,则,
又, .
（2）［2025·荆州中学高一月考］若 ，
，则 的取值范围为________________.
[解析] ，
因为 ，，即 ，
所以，
故 的取值范围为 .
［素养小结］
求代数式的取值范围需注意两点:
（1）严格运用不等式的性质，即两个同方向的不等式可加不可减,可
乘（同正）不可除；
（2）利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在
多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
1.准确记忆各性质成立的条件,是正确应用的前提.在不等式的判断中,
特殊值法也是非常有效的方法,尤其是对于选择题或填空题,特殊值法
可以节省时间.在不等式的各性质中,乘法的性质极易出错,即在不等式
两边同乘或除以一个数时,必须要确定该数是正数、负数，还是零,否
则结论就不确定.
例1 适当增加条件,使下列各命题为真命题.
（1）若,则 ;
解:若,则,对不等式两边同乘正数,可得 成立,
即只需增加条件 .
（2）若,则 ;
解:要使“若,则”是真命题,只需增加条件 .
（3）若,则 ;
解:, ,则,
因为,所以只需增加条件或 .
例1 适当增加条件,使下列各命题为真命题.
（4）若,,则 .
解:不等式,为同向不等式,
则要使 成立,只需增加条件, .
2.求含字母的数或式的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确
使用不等式的性质求解.
例2（1）已知实数,满足,，求 的取值范围；
解：,,又 ，
，的取值范围是 ．
（2）已知，，求 的取值范围.
解：设,则 解得
，
， ，
，
的取值范围是 .
例3 设,为实数，满足，，则 的最大值为
____.
27
[解析] 由，得，
由 ，得，
所以，即 ，
所以 的最大值为27.
练习册
1.一个工厂原来每天加工 件商品，经过工艺改革后该工厂每天加工
的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75 000件，这一关
系用不等式表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，经过工艺改革后该工厂每天加工 件商品，
则该工厂30天加工 件商品，
所以题中的关系用不等式表示为 .故选B.
√
2.若, ，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 对于A,当,时,满足,但是 ,故A错误；
对于B,当,时,满足,但是 ,故B错误；
对于C,当,时,满足 ,但是,故C错误；
对于D,若,则 ,所以,则 ,故D正确.
故选D.
√
3.对于实数,， ，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 若，，则，故A错误；
若 ，则，故B错误；
因为，所以 ，即,故C正确；
因为，所以 ,所以 ,故D错误.
故选C.
√
4.［2025·福州三中高一月考］若,,, ，则下列结论正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，因为，所以，
所以不等式 两边同时除以得，故A错误；
对于B，因为 ，所以若，则，故B错误；
对于C，因为 ，
所以不等式两边同时乘得 ，故C正确；
对于D，因为，所以不等式两边同时乘得 ，故D错误.
故选C.
5.［2025·襄阳四中高一月考］已知，，为实数，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若,则,所以,
所以 一定成立,即充分性成立；
当时,,但无法判断 的正负,
因此 不一定成立,即必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分不必要条件．故选A.
√
6.（多选题）［2025·广州华南师大附中高一期中］ 已知, 为正实
数，下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.
D.对任意,若,则
√
√
√
[解析] 由题意得,.
对于A选项,若,则 , 则,故A正确;
对于B选项,若 ,则
,所以,故B正确;
对于C选项,
,所以,故C正确;
对于D选项,当时, ,故D错误.
故选 .
7.已知，则，， 按从小到大的顺序排列是___________.
[解析] 由，得，且，所以 .
8.已知，，则 的取值范围是__________
_______.
[解析] 因为，所以.
因为 ，所以，则 .
9.（13分）已知， ．
（1）求 的取值范围；
解：因为，所以，
又 ，所以 .
（2）求 的取值范围；
解：因为，所以，
又 ，所以 .
9.（13分）已知， ．
（3）求 的取值范围．
解：因为，所以 .
当时， ；
当时， ,
所以,所以 .
综上可得， .
10.如图，数轴上给出了表示实数，， 的三个点，下列结论正确
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可得，， ，
所以，，则 ，故选项A错误；
，故选项B错误；
因为,所以 ,又,所以,
又 ,所以,故选项C错误；
因为, ,且由图可知,即,所以
,又 ,所以 ,故选项D正确.故选D.
11.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是， ，
，，已知，， ，则这四个小
球重量的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，，，即 ,因此
，，，，.
综上可得 ,故选A.
√
12.（多选题）设，为实数，满足， ，则下列
结论正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，即 ，故A正确；
对于B，由题知，则 ，
即，故B错误；
对于C， ，即，故C正确；
对于D，由题知，则 ，故D错误.
故选 .
√
√
13.已知实数，满足，，则 的最
大值为___.
7
[解析] 由，
可得 ，，
因为 ，
，,
所以 ，
故，则 的最大值为7.
14.（15分）若,,,求证： .
证明：因为，所以，
又因为 ，所以 ，
所以，所以.
因为 ，，所以 ，
又，即,所以，所以 .
故 ，原不等式得证.
15.已知，，，，设 ，则
下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，， ，
，
， .故选D.
√
16.（15分）若，求证：,,, 中
至少有一个小于1．
证明：假设,,,都不小于1，即，，， ，
则，，， ，
所以 ，与已知矛盾，假设不成立，
故,,, 中至少有一个小于1．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1（1）D （2）AD 变式（1）BD （2）ACD
探究点二 例2（1）证明略（2）证明略 变式（1）证明略（2）证明略
探究点三 例3
，
，
变式 （1）
（2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.ABC
7. 8.
9.（1） （2） （3）
10.D 11.A 12.AC 13.7
14.证明略
15.D
16.证明略2.1.2 等式性质与不等式性质
【学习目标】
掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
◆ 知识点一 等式的基本性质
性质1 如果a=b,那么 .
性质2 如果a=b,b=c,那么 .
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4 如果a=b,那么ac=bc.
性质5 如果a=b,c≠0,那么=.
◆ 知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
4 可乘性 a>b,c>0 ac bc c的符号
a>b,c<0 ac bc
5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向、同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a-c(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( )
(3)若a>b,c>d,则>. ( )
(4)若ac2>bc2,则a>b. ( )
◆ 探究点一 利用不等式性质比较大小
例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.<
B.a2>b2
C.a|c|>b|c|
D.>
(2)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若b>a>0,c>0,则>
D.若a>b>0,则a+>b+
变式 (1)(多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 ( )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a|c|>b|c|,则a>b
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a3>b3
(2)(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知ad,则下列选项正确的是 ( )
A.a-cB.>
C.>
D.a5+b5[素养小结]
解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
◆ 探究点二 利用不等式的性质证明不等式
例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)若a>b,证明:a3>b3.
变式 (1)已知a>b>c>d,求证:<.
(2)已知a>b>0,c.
[素养小结]
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
◆ 探究点三 利用不等式的性质求代数式范围
例3 设2变式 (1)已知1(2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1[素养小结]
求代数式的取值范围需注意两点:
(1)严格运用不等式的性质,即两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除;
(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
2.2.2 等式性质与不等式性质
【课前预习】
知识点一
b=a a=c
知识点二
> <
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
[解析] (1)不等式a-c(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.
(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.
(4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)AD [解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D.
(2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-ca>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD.
变式 (1)BD (2)ACD [解析] (1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD.
(2)∵c>d,∴-c<-d,又a0>a,∴<,故B错误;∵a0,∴>,故C正确;∵ab2>0,a3探究点二
例2 证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,
∴a3-b3>0,即a3>b3.
变式 证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>.
探究点三
例3 解:∵2∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,
∴5变式 (1)-2<2a-b<9 << (2)3<3a-b<11 [解析] (1)由1(2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-11.一个工厂原来每天加工x件商品,经过工艺改革后该工厂每天加工的商品比原来多560件,且30天加工的商品将超过75 000件,这一关系用不等式表示为 ( )
A.30x+560>75 000
B.30(x+560)>75 000
C.30x+560≥75 000
D.30(x+560)≥75 000
2.若a,b∈R,则下列说法正确的是 ( )
A.若a>b,则a2>b2
B.若a≠b,则a2≠b2
C.若a<|b|,则a2D.若a>|b|,则a2>b2
3.对于实数a,b,c,下列说法正确的是 ( )
A.若a
B. 若aC.若a<0D. 若c>a>b,则<
4.[2025·福州三中高一月考] 若a,b,c∈R,aA.<
B.ac>bc
C.a(c2+1)D.a25.[2025·襄阳四中高一月考] 已知a,b,c为实数,则“a>b”是“a-c>b-c”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)[2025·广州华南师大附中高一期中] 已知a,b为正实数,下列说法中正确的是 ( )
A.若a>b,则<
B.若a>b,则a3>b3
C.a3+b3≥a2b+b2a
D.对任意c∈R,若a>b,则ac2>bc2
7.已知08.已知-2≤x<3,-19.(13分)已知-6(1)求2a+b的取值范围;
(2)求a-b的取值范围;
(3)求的取值范围.
10.如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,下列结论正确的是 ( )
A.ab>c B.abc>
C.c+2b2b
11.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
12.(多选题)设x,y为实数,满足1≤x≤4,0A.1C. 013.已知实数x,y满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为 .
14.(15分)若a>b>0,c|c|,求证:<.
15.已知 a,b,c,d>0,设S=+++,则下列结论中正确的是 ( )
A.0C.216.(15分)若(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)<16,求证:a,b,c,d中至少有一个小于1.
2.2.2 等式性质与不等式性质
【课前预习】
知识点一
b=a a=c
知识点二
> <
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
[解析] (1)不等式a-c(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.
(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.
(4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)AD [解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D.
(2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-ca>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD.
变式 (1)BD (2)ACD [解析] (1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD.
(2)∵c>d,∴-c<-d,又a0>a,∴<,故B错误;∵a0,∴>,故C正确;∵ab2>0,a3探究点二
例2 证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,
∴a3-b3>0,即a3>b3.
变式 证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>.
探究点三
例3 解:∵2∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,
∴5变式 (1)-2<2a-b<9 << (2)3<3a-b<11 [解析] (1)由1(2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-1