(共62张PPT)
2.2.1 利用基本不等式求最值
探究点一 对基本不等式的理解
探究点二 利用基本不等式求简单式子的
最值
探究点三 最值定理求最值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握基本不等式:
（1）能描述基本不等式的内容；
（2）能理解基本不等式的几何解释.
2.掌握基本不等式及其应用,能利用基本不等式求代数式的最大
值或最小值.
知识点一 基本不等式
1.两个重要不等式
不等式 内容 等号成立的条件
重要不等式 当且仅当“”时取“ ”
基本不等式 _ __________ 当且仅当“______”时取“ ”
2.设,为正数,则称为,的______平均数,称为, 的______平
均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数________它们的几何
平均数.
算术
几何
不小于
3.对公式及 的理解
（1）实际上当, 等于0时，基本不等式也成立，但是没有使用价值.
（2）“当且仅当”的含义：以为例，
①当 时，取等号，即，
②仅当 时，取等号，即 .
【诊断分析】
已知, 为正实数,利用不等式的性质推导基本不等式.
解：要证，只需证 ，
只需证，只需证 ，
只需证，而显然成立，
当且仅当 时等号成立.
知识点二 最值定理
1.已知, 都是正数.
（1）如果和等于定值,那么当时,积有最____值 .
（2）如果积等于定值,那么当时,和有最____值 .
大
小
2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意:
（1）, 必须是______.
（2）求积的最大值时,应看和 是否为______,即“和定积最大”;
求和的最小值时,应看积 是否为______,即“积定和最小”.
正数
定值
定值
（3）等号成立的条件是否满足.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于正实数，，若为定值，则 有最小值.( )
×
[解析] 当，为正实数时，若为定值，则 有最大值.
（2）两个负数的和为定值,则它们的积有最大值.( )
[解析] 设,,,为定值 ,
则,当且仅当 时，等号成立，
即,所以，所以有最大值 .
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）已知，，，则 的最大值是50.( )
√
[解析] ，当且仅当 时等号成立,
.
（4）“,”是“ ”的充要条件.( )
[解析] 当，时，不等式也成立，
故“ ，”是“ ”的充分不必要条件.
×
探究点一 对基本不等式的理解
例1 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.成立的条件是,
B.成立的条件是,
C.成立的条件是,
D.成立的条件是
[解析] 成立的条件是, ，故A错误，B正确；
成立的条件是,，故C正确，D错误.故选 .
√
√
变式 如图所示，为半圆的直径，为 的中
点，，，过点作 交圆弧
于，连接，， .则基本不等式
的几何解释如下：
由射影定理可知，，而 ；
因为，所以，当且仅当与重合，即 时，
等号成立.
基本不等式 的几何意义是________________.
半径不小于半弦
［素养小结］
（1）在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件.
（2）运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即
成立的条件是,,等号成立的条件是.
拓展 结合例1及变式，尽可能写出基本不等式的几种变形.
解：（1）如果，，那么（当且仅当 时取
等号）.
推论： .
（2）如果，，那么（当且仅当 时取
等号）.
推论：； .
（3） .
探究点二 利用基本不等式求简单式子的最值
例2（1）若，求 的最小值.
解：因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即时取等号，
故的最小值为 ．
（2）若，求 的最大值.
解：因为 ，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立，
故 的最大值为1.
变式 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.若,,则
B.若，则
C.若,,则
D.若,,,则
√
√
[解析] ,,,当且仅当 时,等号成立,
故A正确;
， ，
当且仅当,即 时取等号,显然不成立,故B错误;
,, 当时,不成立,故C错误;
,,,,
当且仅当 时,等号成立,故D正确.故选 .
［素养小结］
利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
①一正:基本不等式成立的前提条件为,;
②二定:化不等式的一边为定值;
③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
探究点三 最值定理求最值
例3（1）已知，求 的最小值.
解：因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即时取等号，
故 的最小值为3.
（2）若，，且，求 的最大值.
解：方法一：，，，即 ，
，当且仅当，即，时取等号，
的最大值为2．
方法二：,, ,
，
当且仅当 ,即，时取等号，
的最大值为2.
变式（1）已知,,，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，所以，
当且仅当，即 , 时取等号，
所以的最大值是 .故选D.
√
（2）已知，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以的最小值为 .故选A.
√
（3）已知，求 的最大值.
解：因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最大值为 .
［素养小结］
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略：
拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用
拼凑法求最值应注意以下几个方面：
①拼凑的技巧以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数
的调整，做到等价转换；
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
③拆项、添项应注意检测利用基本不等式的前提.
拓展（1）若，则 的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即 时取等号，故选A.
√
（2）若正数,满足，分别求， 的取值范围.
解： ，
，即 ，
，可得 .
， ，
，即 ，
.
（3）若,,且,求 的最小值.
解：方法一：由得 ,
因为,,所以，可得 ,
所以，所以 ,
当且仅当,即 时,等号成立,
所以的最小值为 .
方法二:因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即的最小值为 .
1.关于基本不等式的证明
作差法证明基本不等式 .
因为,,所以,所以 ,
即,当且仅当 时,等号成立.
2.基本不等式的结构：基本不等式 的右边为和的形式,左边
为积的形式,该不等式表明两正数, 的和与积之间的大小关系,运用
该不等式可作和与积之间的不等变换.
3.最值定理
已知， 都是正数，则
（1）如果积等于定值 ,那么当时，和有最小值 ,
即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值（积定和最小）；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 ,
即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值（和定积最大）;
（3）取得最值的条件简单的说就是:一正,二定,三相等（当且仅当
时取等号）.
1.比较大小除了用比较法,也可利用基本不等式.在应用定理时应特别
注意定理成立的条件,避免因条件遗漏导致解题结果错误,例如
就要求,,而等号成立的条件是 .
例1 已知,是不相等的正数,,,试比较, 的大小.
解:因为,是不相等的正数,所以， ，
由得 ,
又,即 ,
所以,即 .
2.利用最值定理求最值的常见类型：
（1）和与积型与型 ,即已知和（或积）为定值，求积（或和）
的最值；
（2）平方和与积型与型 ，即已知平方和（或积）为定值，
求积（或平方和）的最值；
（3）平方和与和型与型 ,即已知平方和（或和）为定值，
求和（或平方和）的最值.
例2 已知,, .
（1）当时,求 的最小值;
解：当时, ,即,
所以,即 ,当且仅当时等号成立,
所以 的最小值为9.
例2 已知,, .
（2）当时,求 的最小值.
解：当时，，即 ,
所以 ,
当且仅当，即时等号成立，
所以 的最小值为5.
练习册
1.不等式 中,等号成立的条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 该不等式等号成立的条件为,即 ,故选D.
√
2.函数 有( )
A.最小值 B.最大值 C.最小值4 D.最大值4
[解析] 因为，所以 ，
当且仅当，即 时等号成立，
故函数有最小值4，无最大值.故选C.
√
3.已知，，若 ，则( )
A.的最大值为1 B. 的最大值为2
C.的最小值为1 D. 的最小值为2
[解析] 因为,所以 ，
所以，所以 的最大值为1，故A正确，B错误；
因为,所以，所以 ，
所以的最小值为 ，故C，D错误.
故选A.
√
4.若，则 的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，，则 ，
当且仅当，即 时取等号，故选C.
√
5.若 ，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，，
又 ，所以 .
√
6.（多选题）已知,,且 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A,因为,所以当,时, 不成立,
故A不正确;
对于B,因为,所以恒成立,当且仅当 时,等号成立,
故B正确;
对于C,因为,所以, ,则,当且仅当
时,等号成立,故C正确;
对于D,因为,所以,当,时，满足
,但,所以,故D不正确.故选 .
7.已知,，若，则 的最小值为___.
6
[解析] 因为,且，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
8.已知，，且，则 的最小值为___.
2
[解析] 因为，，且，即 ，
所以，当且仅当， 时取等号.
9.（13分）［2025·湖南益阳高一阶段练］
（1）已知，求 的最小值.
解：， ，
则 ,
当且仅当，即 时,等号成立,
的最小值为4.
9.（13分）［2025·湖南益阳高一阶段练］
（2）已知,，且，求 的最小值.
解：，,
，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为4.
（3）若，，证明: .
证明：，， ，
即，当且仅当 时，等号成立，原不等式得证.
10.［2025·四川遂宁高一期中］已知，，则， ，
， 中最大的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,，所以（当且仅当 时
取等号），（当且仅当 时取等号），
（当且仅当 时取等号），
则 .故选A.
11.（多选题）已知， 为非零实数，则下列不等式恒成立的
是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，为非零实数，所以 （当且仅当
时取等号）,则 ,即,故A恒成立；
对于B，当，异号时， ，故B不恒成立；
对于C， ，当且仅当，
即 时取等号，故C恒成立；
对于D，，当且仅当 时
取等号，故D恒成立.故选 .
12.［2025·广西钦州高一阶段练］已知，则 的最大值
为__.
[解析] 由题意得, ,可得，
当且仅当,即,或, 时,等号成立，
所以的最大值为 .
13.［2025·扬州一中高一月考］已知，，且 ，
则 的最大值为___.
[解析] 因为，，且 ，
所以，
当且仅当 且，即，时，等号成立，
故的最大值为 .
14.（15分）
（1）已知，求 的最大值.
解：因为，所以,所以 ，
故 ，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为 .
14.（15分）
（2）若，求 的最大值.
解： .
因为，所以， ，
所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以，故的最大值为 .
14.（15分）
（3）若,均为正实数，且满足，求 的最小值.
解：方法一：,均为正实数,,
,
则
,
当且仅当，即, 时等号成立,
的最小值为 .
方法二：， ，
， ，， ，
，
当且仅当，即 时等号成立，
的最小值为 .
15.［2025·浙江强基联盟高一月考］若正实数,满足 ，
则 的最大值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
因为 ，
所以，即 ，
所以，当且仅当 时取等号，
所以，所以的最大值是 ，
故选B.
16.（15分）已知,，且 .
（1）求的最小值，并求出相应, 的值.
解：由,，，得 ，
于是，解得，当且仅当 时取等号.
由解得，所以 的最小值为2，
此时 .
16.（15分）已知,，且 .
（2）是否存在实数,，使得成立？若存在，求出, 的
值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在实数,，使得成立，则 ，
因为,，，
所以 ，整理得 ，
由（1）知，，而 ，因此假设不成立，
所以不存在实数,，使得 成立.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.算术 几何 不小于
【诊断分析】 推导略
知识点二 1.（1）大 （2）小 2.（1）正数 （2）定值 定值
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 BC 变式 半径不小于半弦 拓展 变形略
探究点二 例2 （1）（2）1 变式 AD
探究点三 例3 （1）3 （2）2 变式 （1）D （2）A （3）
拓展 （1）A （2） （3）
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.BC 7.6 8.2
9.（1）4 （2）4 （3）证明略
10.A 11.ACD 12. 13.
14.（1） （2） （3）
15.B 16.（1）的最小值为2，此时.
（2）不存在实数,，使得成立2.2.1 利用基本不等式求最值
1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是 ( )
A.a=4 B.a=
C.a=- D.a=±
2.函数y=2x+(x>0)有 ( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值4 D.最大值4
3.已知x,y∈R,若x2+y2=2,则 ( )
A.xy的最大值为1
B.xy的最大值为2
C.xy的最小值为1
D.xy的最小值为2
4.若a>1,则a+的最小值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.若a>b>0,则下列不等式成立的是 ( )
A.a>b>>
B.a>b>>
C.a>>>b
D.a>>>b
6.(多选题)已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论正确的是 ( )
A.≥ B.ab≤
C.+≥2 D.≤
7.已知a>0,b>0,若ab=1,则9a+b的最小值为 .
8.已知a>0,b>0,且=2,则b+的最小值为 .
9.(13分)[2025·湖南益阳高一阶段练] (1)已知x>,求2x++1的最小值.
(2)已知a>0,b>0,且a+b=ab,求a+b的最小值.
(3)若x>0,y>0, 证明: x≥2xy-y.
10.[2025·四川遂宁高一期中] 已知a>0,b>0,则,, ,中最大的是( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)已知x,y为非零实数,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.xy≤ B.≥2
C.≥2 D.x2+y2≥2|xy|
12.[2025·广西钦州高一阶段练] 已知4a2+b2=6,则ab的最大值为 .
13.[2025·扬州一中高一月考] 已知a>0,b>0,且3a+7b=10,则ab的最大值为 .
14.(15分)(1)已知0(2)若x<-1,求的最大值.
(3)若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,求+的最小值.
15.[2025·浙江强基联盟高一月考] 若正实数a,b满足4a2+9b2=1,则的最大值是 ( )
A.1- B.1+
C.-1 D.
16.(15分)已知a>0,b>0,且a+b=.
(1)求a+b的最小值,并求出相应a,b的值.
(2)是否存在实数a,b,使得+=成立 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
2.2.1 利用基本不等式求最值
1.D [解析] 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D.
2.C [解析] 因为x>0,所以y=2x+≥2=4,当且仅当2x=,即x=1时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C.
3.A [解析] 因为x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤1,所以xy的最大值为1,故A正确,B错误;因为x2+y2+2xy=(x+y)2≥0,所以x2+y2≥-2xy,所以xy≥-1,所以xy的最小值为-1,故C,D错误.故选A.
4.C [解析] ∵a>1,∴a-1>0,则a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故选C.
5.C [解析] 因为a>b>0,所以a>,>b,又>,所以a>>>b.
6.BC [解析] 对于A,因为ab>0,所以当a<0,b<0时,≥不成立,故A不正确;对于B,因为ab>0,所以ab≤恒成立,当且仅当a=b时,等号成立,故B正确;对于C,因为ab>0,所以>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故C正确;对于D,因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,当a<0,b<0时,满足ab>0,但a+b<0,所以≤,故D不正确.故选BC.
7.6 [解析] 因为a>0,b>0且ab=1,所以9a+b≥2=6,当且仅当9a=b=3时,等号成立.
8.2 [解析] 因为a>0,b>0,且=2,即a=2b,所以b+=b+≥2=2,当且仅当b=1,a=2时取等号.
9.解:(1)∵x>,∴2x-1>0,
则2x++1=2x-1++2≥2+2=4,
当且仅当2x-1=,即x=1时,等号成立,
∴2x++1的最小值为4.
(2)∵a+b=ab≤,∴4(a+b)≤(a+b)2,∴a+b≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
∴a+b的最小值为4.
(3)证明:∵x>0,y>0,∴x+y≥2=2xy,
即x≥2xy-y,当且仅当x=y时,等号成立,原不等式得证.
10.A [解析] 因为a>0,b>0,所以≤=(当且仅当a=b时取等号),≤(当且仅当a=b时取等号),=≥=(当且仅当a=b时取等号),则≤≤≤.故选A.
11.ACD [解析] 对于A,因为x,y为非零实数,所以x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取等号),则x2+y2+2xy≥4xy,即xy≤,故A恒成立;对于B,当x,y异号时,<0,故B不恒成立;对于C,=|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时取等号,故C恒成立;对于D,x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x|·|y|=2|xy|,当且仅当|x|=|y|时取等号,故D恒成立.故选ACD.
12. [解析] 由题意得,6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2·2a·b,可得ab≤,当且仅当2a=b,即a=,b=或a=-,b=-时,等号成立,所以ab的最大值为.
13. [解析] 因为a>0,b>0,且3a+7b=10,所以ab=×3a×7b≤×=,当且仅当3a=7b且3a+7b=10,即b=,a=时,等号成立,故ab的最大值为.
14.解:(1)因为00,
故x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号,故x(4-3x)的最大值为.
(2)==
x+1+-4.因为x<-1,所以x+1<0,<0,所以x+1+=-≤-6,当且仅当-(x+1)=-,即x=-4时,等号成立,所以x+1+-4≤-10,故的最大值为-10.
(3)方法一:∵a,b均为正实数,a+2b=1,∴a+1>0,b>0,(a+1)+2b=2,则+=+=[(a+1)+2b]=≥=3+2,当且仅当=,即a=3-2,b=-1时等号成立,
∴+的最小值为3+2.
方法二:∵a+2b=1,∴a=1-2b,
∴1-2b>0,∴0>0,∴>0,
∴+=+=+=(1-b+b)=2+++1≥3+2=3+2,当且仅当=,即(1-b)2=2b2,即b=-1时等号成立,
∴+的最小值为3+2.
15.B [解析] =
==
2a+3b+1,因为2×2a×3b≤4a2+9b2,所以2×2a×3b+4a2+9b2≤2(4a2+9b2),即(2a+3b)2≤2,所以2a+3b≤,当且仅当2a=3b=时取等号,所以2a+3b+1≤+1,所以的最大值是+1,故选B.
16.解:(1)由a>0,b>0,a+b=,得=≤,
于是(a+b)3≥8,解得a+b≥2,当且仅当a=b时取等号.
由解得a=b=1,所以a+b的最小值为2,此时a=b=1.
(2)假设存在实数a,b,使得+=成立,则a+b=ab,因为a>0,b>0,=,所以a+b=·,整理得(a+b)3=4,
由(1)知,(a+b)3≥8,而4<8,
因此假设不成立,所以不存在实数a,b,使得+=成立.2.2.1 利用基本不等式求最值
【学习目标】
1.掌握基本不等式:(1)能描述基本不等式的内容;(2)能理解基本不等式的几何解释.
2.掌握基本不等式及其应用,能利用基本不等式求代数式的最大值或最小值.
◆ 知识点一 基本不等式
1.两个重要不等式
不等式 内容 等号成立的条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 当且仅当“ ”时取“=”
2.设a,b为正数,则称为a,b的 平均数,称为a,b的 平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
3.对公式a2+b2≥2ab及≤的理解
(1)实际上当a,b等于0时,基本不等式也成立,但是没有使用价值.
(2)“当且仅当”的含义:以≤为例,①当a=b时,≥取等号,即a=b =,②仅当a=b时,≥取等号,即= a=b.
【诊断分析】 已知a,b为正实数,利用不等式的性质推导基本不等式.
◆ 知识点二 最值定理
1.已知x,y都是正数.
(1)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最 值.
(2)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最 值2.
2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意:
(1)x,y必须是 .
(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ,即“和定积最大”;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 ,即“积定和最小”.
(3)等号成立的条件是否满足.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于正实数a,b,若a+b为定值,则ab有最小值. ( )
(2)两个负数的和为定值,则它们的积有最大值. ( )
(3)已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是50. ( )
(4)“a>0,b>0”是“≤”的充要条件. ( )
◆ 探究点一 对基本不等式的理解
例1 (多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0
B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R
C.a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0
D.a+b≥2成立的条件是ab>0
变式 如图所示,AB为半圆的直径,O为AB的中点,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交圆弧于D,连接OD,AD,BD.则基本不等式≤的几何解释如下:
由射影定理可知,CD=,而OD=;
因为OD≥CD,所以≥,当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立.
基本不等式≤的几何意义是 .
[素养小结]
(1)在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件.
(2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b.
拓展 结合例1及变式,尽可能写出基本不等式的几种变形.
◆ 探究点二 利用基本不等式求简单式子的最值
例2 (1)若x>0,求+x3的最小值.
(2)若x>0,求3--x的最大值.
变式 (多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若a,b>0,则+≥2=2
B.若x∈R,则 +≥2=2
C.若a∈R,a≠0,则+a≥2=2
D.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2
[素养小结]
利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
①一正:基本不等式≥成立的前提条件为a>0,b>0;
②二定:化不等式的一边为定值;
③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
◆ 探究点三 最值定理求最值
例3 (1)已知x>1,求x+的最小值.
(2)若a>0,b>0,且a+2b=4,求ab的最大值.
变式 (1) 已知x>0,y>0,2x+y=1,则xy的最大值是 ( )
A. B. C. D.
(2)已知x>-4,则2x+的最小值为 ( )
A.2-8 B.2+8
C.2 D.2+4
(3)已知0[素养小结]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略:
拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求最值应注意以下几个方面:①拼凑的技巧以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检测利用基本不等式的前提.
拓展 (1)若x>1,则的最小值为 ( )
A.2 B. C.4 D.2
(2)若正数a,b满足ab=a+b+3,分别求ab,a+b的取值范围.
(3)若a,b>0,且ab=a+2b+4,求a+b的最小值.
2.2.1 利用基本不等式求最值
【课前预习】
知识点一
1.≤ a=b
2.算术 几何 不小于
诊断分析
解:要证≤,只需证2≤a+b,只需证2-a-b≤0,只需证-(-)2≤0,只需证(-)2≥0,而(-)2≥0显然成立,当且仅当a=b时等号成立.
知识点二
1.(1)大 (2)小
2.(1)正数 (2)定值 定值
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
[解析] (1)当a,b为正实数时,若a+b为定值,则ab有最大值.
(2)设x<0,y<0,x+y=s(s<0,s为定值),则(-x)+(-y)≥2=2,当且仅当x=y时,等号成立,即2≤-s(-s>0),所以xy≤,所以xy有最大值.
(3)∵m2+n2≥2mn,当且仅当m=n=±5时等号成立,∴mn≤=50.
(4)当a=0,b=0时,不等式≤也成立,故“a>0,b>0”是“≤”的充分不必要条件.
【课中探究】
探究点一
例1 BC [解析] a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,故A错误,B正确;a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0,故C正确,D错误.故选BC.
变式 半径不小于半弦
拓展 解:(1)如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
推论:ab≤(a,b∈R).
(2)如果a>0,b>0,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取等号).
推论:ab≤(a>0,b>0);≥.
(3)≤≤≤(a>0,b>0).
探究点二
例2 解:(1)因为x>0,所以x3>0,
所以+x3≥2 =2 ,当且仅当=x3,
即x=时取等号,故+x3的最小值为2.
(2)因为x>0,所以3--x=3-≤3-2=3-2=1,当且仅当=x,即x=1时,等号成立,故3--x的最大值为1.
变式 AD [解析] ∵a,b>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;∵>0,∴+≥2=2,当且仅当=,即x2=-4 时取等号,显然不成立,故B错误;∵a∈R,a≠0,∴当a<0时,+a≥2=2不成立,故C错误;∵x,y∈R,xy<0,∴+=-≤-2,当且仅当-x=y时,等号成立,故D正确.故选AD.
探究点三
例3 解:(1)因为x>1,所以x-1>0,
所以x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,
即x=2时取等号,故x+的最小值为3.
(2)方法一:∵a>0,b>0,∴a+2b≥2,即2≤4,
∴ab≤2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,∴ab的最大值为2.
方法二:∵a>0,b>0,a+2b=4,
∴ab=(a×2b)≤×=2,当且仅当a=2b,
即a=2,b=1时取等号,∴ab的最大值为2.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)2xy≤=,所以xy≤,当且仅当2x=y,即x=,y=时取等号,所以xy的最大值是.故选D.
(2)因为x>-4,所以x+4>0,所以2x+=2(x+4)+-8≥2-8,当且仅当2(x+4)=,即x=-4时,等号成立,所以2x+的最小值为2-8.故选A.
(3)解:因为00,
所以x(1-3x)=·3x·(1-3x)≤=,
当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,
所以x(1-3x)的最大值为.
拓展 (1)A [解析] 因为x>1,所以x-1>0,所以==x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,故选A.
(2)解:∵ab=a+b+3≥2+3,
∴()2-2-3≥0,
即(-3)(+1)≥0,∴≥3,可得ab≥9.
∵a>0,b>0,
∴a+b+3=ab≤,即(a+b)2-4(a+b)-12≥0,∴a+b≥6.
(3)解:方法一:由ab=a+2b+4得a==2+,
因为a>0,b>0,所以2+>0,可得b>1,
所以b-1>0,所以a+b=b-1++3≥3+2,当且仅当b-1=,即b=1+时,等号成立,
所以a+b的最小值为3+2.
方法二:因为ab=a+2b+4,
所以a(b-1)=2b+4=2(b-1)+6,所以(a-2)(b-1)=6≤,
所以(a+b-3)2≥24,
所以a+b-3≥2,
所以a+b≥3+2,
即a+b的最小值为3+2.
