(共64张PPT)
2.2.2 基本不等式的简单应用
探究点一 “1”的代换求最值
探究点二 利用基本不等式证明不等式
探究点三 基本不等式在实际问题中的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能利用基本不等式证明一些简单的不等式.
2.会用基本不等式解决现实生活中的一些简单的最大（小）值问题.
知识点一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明不等式的形式.
若符合基本不等式的条件,则可以直接利用基本不等式或最值定理证
明.若不符合基本不等式的条件,则可以对代数式进行拆项、变形、配
凑等,使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件,则要分析
等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件含有“1”时，要注意
“1”的代换.最后要注意等号是否取到.
知识点二 基本不等式在实际问题中的应用
用基本不等式解决实际问题时的常用思路
（1）理解题意,设好变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变
量定义为函数;
（2）建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值
或最小值问题;
（3）根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;
（4）结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
探究点一 “1”的代换求最值
例1（1）已知,且，求 的最小值.
解：因为 ，
所以 ，
当且仅当，即， 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
（2）已知，且，求 的最小值.
解：因为，， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即， 时，等号成立，
所以 的最小值为6.
变式（1）设,且，求 的最小值.
解：由 ，
可得 ，
当且仅当，即, 时取等号，
故的最小值为 .
（2）已知，，且，求 的最小值.
解：由，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即, 时取等号，
故 的最小值为18.
（3）已知，，且，求 的最小值.
解：因为， ，所以, ，
又 ，所以
，
当且仅当 ，即, 时取等号，
故的最小值为 .
［素养小结］
常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或
积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解
最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
探究点二 利用基本不等式证明不等式
例2（1）设，，，求证： .
证明：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当 时取等号），
（当且仅当
时等号成立）,
.
（2）已知，，均为正数且不全相等，且 ，求证：
.
证明： ，
，
当且仅当 时取等号，
又，，不全相等，即，， 中至少有一个成立，
式中等号不成立， .
变式 设，，均为正数，且 .
证明：
（1） ；
证明：因为，， ，
所以 ，
即，
当且仅当 时等号成立，
故 .
变式 设，，均为正数，且 .
证明：
（2） .
证明： 因为,, 均为正数，
所以，， ，
所以 ，
得，
当且仅当 时等号成立，
故 .
［素养小结］
在利用基本不等式证明不等式的过程中，常常需要把数、式合理地
拆成两项或多项或恒等地变形拼凑成适合的数、式，以便于利用基
本不等式.
探究点三 基本不等式在实际问题中的应用
例3 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙
（墙的长度没有限制）的矩形菜园．
（1）若菜园的面积为，则， 为何值时，
所用篱笆的总长最小
解：由已知可得，所以， .
设所用篱笆的总长为，则 ，
,当且仅当,即 时等号成立，
此时，所以当， 时，所用篱笆的总长最小.
例3 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）
的矩形菜园．
（2）若所用篱笆的总长为，求 的最小值．
解：由已知可得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即，时等号成立，
所以 的最小值为 .
所以，
变式 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积
（图中阴影部分）为，上、下空白各宽 ，左、右空白各
宽，则四周空白部分面积的最小值是____ .
56
[解析] 设阴影部分的长为，则宽为 ，
设四周空白部分的面积是 .
当且仅当，即 时等号成立，
故四周空白部分面积的最小值为 .
由题意，得 ,
［素养小结］
利用基本不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问
题转化为数学问题，再利用数学知识解决问题.
1.利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
（1）注意基本不等式成立的条件；
（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否取到；
（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等
式模型，再使用.
2.利用基本不等式解决实际问题的重点是将实际问题转化为能利用最
值定理求最值的问题上来.
1.在利用基本不等式求最值时，“1”的代换是常用的方法，当没办法
直接利用时，也会结合配凑法和“1”的代换共同使用，但难度略大.
例1（1）已知，是实数，，，且，则 的
最小值为___.
1
[解析] 因为，，且 ，
所以，
又 ，当且仅当时取等号，所以，
故 的最小值为1.
（2）已知正实数，满足，则 的最小值为___.
8
[解析] 令，，则 ，，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
故 的最小值为8.
（3）若正数，满足，则 的最小值为____.
16
[解析] ，，， ，
，
当且仅当 ，即，时取等号，
故 的最小值为16.
2.三个实数应用基本不等式
例2 已知,, 为不全相等的正实数,求证:
.
证明：,,,
（当且仅当 时取等号）,
（当且仅当时取等号）,
（当且仅当 时取等号）,
（当且仅当 时取等
号）,即 ，
又,,不全相等, 取不到等号, .
3.解决实际应用问题,关键是弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模
型.利用基本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量
的实际含义.
例3 ［2025·河南省实验中学高一期中］已知长方形
的周长为8.
（1）如图①，若点在线段上运动，点在线段 上运动，且
,，求 面积的最大值.
解：当时，.
设 ，则 ，
由基本不等式得， ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以面积的最大值为 .
（2）如图②，将沿向上折叠，使点到点的位置，
交于点，那么 的面积是否存在最大值 若存在，求出该最
大值；若不存在，请说明理由.
解：因为,, ，
所以 ，所以 .
设，则， ，
在中，有 ，
解得 ，
则 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以的面积存在最大值，最大值为 .
例4 近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现
象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的
常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量
（千辆/时）与电动自行车的平均速度 （千米/时）（注：国家规定
电动自行车最大设计速度为25千米/时）关系式为
.
（1）若电动自行车流量不少于10千辆/时，求 的取值范围；
解：由电动自行车流量不少于10千辆/时，得 ，
化简可得，解得 ，
又因为电动自行车的最大设计速度为25千米/时，故 ，
所以若电动自行车流量不少于10千辆/时，则 .
例4 近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现
象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的
常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量
（千辆/时）与电动自行车的平均速度 （千米/时）（注：国家规定
电动自行车最大设计速度为25千米/时）关系式为
.
（2）当电动自行车流量最大时，求 的值并估计电动自行车流量
的最大值（精确到 ）.
解： ,
由基本不等式可得 ，
当且仅当，即时， 取到最小值，
此时电动自行车流量有最大值，最大值为 ,
故当平均速度 为20千米/时时，电动自行车流量取得最大值，
最大值约为14.3千辆/时.
练习册
1.已知正数,满足，则 的最小值是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
[解析] 因为正数,满足 ，
所以 ，
当且仅当，即,时取等号，
所以 的最小值是8.故选A.
√
2.用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面
积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设矩形模型一条边的长为,相邻边的长为 ，
，，由题意可得，所以 .
设矩形模型的面积为,则，
当且仅当 时等号成立，故选C.
√
3.已知，，且 ，则下列各式中值最大的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，
所以， ，所以，
又，所以 .
因为，所以 的值最大，故选D.
√
4.［2025·福州三中高一月考］“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时， 不成立，充分性不成立；
当时，有且， ，
即，得，必要性成立.
所以“”是“ ” 的必要不充分条件.故选B.
√
5.（多选题）若， ，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,根据基本不等式可知时, ,
当且仅当时等号成立,所以 ,故A恒成立；
对于B,当,时,,当且仅当 时等号成立,
,当且仅当 时等号成立,
所以,当且仅当 时等号成立,故B恒成立；
√
√
√
对于C, ,
当且仅当时等号成立,故C恒成立；
对于D,当时, , 故D不恒成立.
故选 .
6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月的产量为 ，第二个月
产量的增长率为，第三个月产量的增长率为 ，若这两个月产量的
平均增长率为，其中，， 均大于零，则( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得 ，
则，
又 ，
当且仅当时取等号，所以 .故选B.
√
7.若，，且，则使 恒成立的实
数 的最大值是___.
9
[解析] 由，可得，
又， ，
所以
（当且仅当时等号成立），即的最小值为9.
若 恒成立，则，故实数 的最大值是9.
8.已知,,，则 的最小值为 ____.
32
[解析] 因为,, ，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故 的最小值为32.
9.（13分）如图所示，动物园要围成相同面
积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，
其他各面用钢筋网围成.
（1）若所用钢筋网的总长为，则, 的
值分别为多少时，每间虎笼的面积最大？
解：由题知,即，每间虎笼的面积为 ,
所以，
当且仅当 时等号成立，
所以当,的值分别为 ,3时，每间虎笼的面积最大.
9.（13分）如图所示，动物园要围成相同面
积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，
其他各面用钢筋网围成.
（2）若每间虎笼的面积为，则, 的
值分别为多少时，所用钢筋网的总长最小？
解：由题知，所用钢筋网的总长为 ,
所以，
当且仅当 ,即 时等号成立，
所以当, 的值分别为6,4时，所用钢筋网的总长最小.
10.若，则 的最小值为( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，
所以 的最小值为 ，故选A.
11.［2025·武汉二中高一月考］在中，内角，， 的对边分
别为，，，若的周长为3，则 的最小值为( )
A. B. C.3 D.
[解析] 由题意可得， ，
所以，
当且仅当 时取等号.故选C.
√
12.（多选题）如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在 的中点
正北方向25米处立起一根旗杆，在的中点 正东方向40米处立
起一根旗杆，且，， 三点在同一条直线上，那么该矩形绿地的
周长可能为( )
A.米 B.米 C.米 D. 米
√
√
[解析] 如图，设矩形的中心为 .
设米， 米，
由题意知，则,
又米，所以，
化简得. 设矩形绿地的周长为 米，
则 ，
当且仅当 时取等号.
结合选项知，该矩形绿地的周长可能为米，米.故选 .
13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产
品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间 （单位：年）
的关系式为 ，则当每台机器运转___年时，年平
均利润最大.
5
[解析] 每台机器运转年的年平均利润为 万元，
由题知，且 ，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当 时等号成立，
所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大.
14.（15分）
（1）已知，，，求 的最小值.
解：因为，, ，
所以
，
当且仅当 ，即,时取等号，
故的最小值为 .
14.（15分）
（2）已知,,都是正实数,且 ,求证： .
证明：因为，，都是正实数，且 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 .
15.［2025·杭州二中高一月考］已知,,为正数，且 ，
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知
，
当且仅当 时取等号.故选C.
√
16.（15分）［2025·武汉部分中学高一期中］如图，
在公路的两侧规划两个全等的公园，其中 ，
，，为健身步道，， 为绿化
带，， .
（1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何设计使公园面积最小？
，段的造价为每米3万元，， 段的造价为每米4万元，
绿化带的造价为每平方米2万元，设的长为米,的长为 米.
解：依题意得， ，
即 ，
因为 ，
所以，可得 ，
当且仅当，即, 时，等号成立，
此时公园的面积 ，
故的长为8米, 的长为6米时，公园面积最小.
16.（15分）［2025·武汉部分中学高一期中］如图，
在公路的两侧规划两个全等的公园，其中 ，
，，为健身步道，， 为绿化
带，， .
（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道的长至少为多少？
，段的造价为每米3万元，， 段的造价为每米4万元，
绿化带的造价为每平方米2万元，设的长为米,的长为 米.
解：依题意得， ，
所以 ,
所以 ，
当且仅当，即， 时，等号成立，
此时 ，故健身步道的长至少为14米.
所以 ，
快速核答案（导学案）
课前预习
课中探究
探究点一 例1（1）9 （2）6 变式 （1）
（2）18（3）
探究点二 例2 （1）证明略（2）证明略 变式 （1）证明略（2）证明略
探究点三 例3 （1）
，
（2）
变式 56
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.D 4.B 5.ABC 6.B 7.9 8.32 9.（1）
,3 （2）6,4
10.A 11.C 12.CD 13.5 14.（1）
（2）证明略 15.C
16.（1）
的长为8米,
的长为6米时，公园面积最小 （2）14米2.2.2 基本不等式的简单应用
1.已知正数x,y满足+=1,则2x+y的最小值是 ( )
A.8 B.6
C.4 D.2
2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为 ( )
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
3.已知0
A.a2+b2 B.2
C.2ab D.a+b
4.[2025·福州三中高一月考] “a=b”是“=”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+1>a
B.≥4
C.(a+b)≥4
D.a2+9>6a
6.某食品加工厂生产某种食品,第一个月的产量为100 kg,第二个月产量的增长率为a,第三个月产量的增长率为b,若这两个月产量的平均增长率为x,其中a,b,x均大于零,则 ( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
7.若x>0,y>0,且4x+y=xy,则使x+y-m≥0恒成立的实数m的最大值是 .
8.已知a>0,b>0,3a+b=,则+的最小值为 .
9.(13分)如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)若所用钢筋网的总长为36 m,则x,y的值分别为多少时,每间虎笼的面积最大
(2)若每间虎笼的面积为24 m2,则x,y的值分别为多少时,所用钢筋网的总长最小
10.若0A.3+2 B.3-2
C.4 D.4
11.[2025·武汉二中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的周长为3,则+的最小值为 ( )
A. B.
C.3 D.
12.(多选题)如图,某小区拟建造一个矩形绿地,如果在AB的中点M正北方向25米处立起一根旗杆E,在BC的中点N正东方向40米处立起一根旗杆F,且E,B,F三点在同一条直线上,那么该矩形绿地的周长可能为 ( )
A.40米 B.60米
C.80米 D.90米
13.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25,则当每台机器运转 年时,年平均利润最大.
14.(15分)(1)已知a>0,b>0,a+b=4,求+的最小值.
(2)已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=3,求证:++≥3.
15.[2025·杭州二中高一月考] 已知a,b,c为正数,且a+2b+c=2,则+的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)[2025·武汉部分中学高一期中] 如图,在公路AB的两侧规划两个全等的公园,其中AC,BC,AD,BD为健身步道,△ABC,△ABD为绿化带,△ABC≌△BAD,∠ACB=∠BDA=90°.已知AC,BD段的造价为每米3万元,AD,BC段的造价为每米4万元,绿化带的造价为每平方米2万元,设AC的长为x米,BC的长为y米.
(1)若健身步道与绿化带的费用一样,则如何设计使公园面积最小
(2)若公园建设总费用为74万元,则健身步道的长至少为多少
2.2.2 基本不等式的简单应用
1.A [解析] 因为正数x,y满足+=1,所以2x+y=(2x+y)=2+++2≥2+4=8,当且仅当=,即x=2,y=4时取等号,所以2x+y的最小值是8.故选A.
2.C [解析] 设矩形模型一条边的长为x cm,相邻边的长为y cm,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.设矩形模型的面积为S cm2,则S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,故选C.
3.D [解析] 因为02ab,所以2ab2,所以a+b的值最大,故选D.
4.B [解析] 当a=b<0时,=不成立,充分性不成立;当=时,有a≥0且b≥0,a+b-2=0,即(-)2=0,得a=b,必要性成立.所以“a=b”是“=”的必要不充分条件.故选B.
5.ABC [解析] 对于A,根据基本不等式可知a>0时,a2+1≥2a>a,当且仅当a=1时等号成立,所以a2+1>a,故A恒成立;对于B,当a>0,b>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时等号成立,b+≥2=2,当且仅当b=1时等号成立,所以≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故B恒成立;对于C,(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故C恒成立;对于D,当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选ABC.
6.B [解析] 根据题意得100(1+a)(1+b)=100(1+x)2,则1+x=,又≤=1+,当且仅当a=b时取等号,所以x≤.故选B.
7.9 [解析] 由4x+y=xy,可得+=1,又x>0,y>0,所以x+y=(x+y)=5+≥5+2=9(当且仅当y=2x=6时等号成立),即x+y的最小值为9.若x+y-m≥0恒成立,则m≤9,故实数m的最大值是9.
8.32 [解析] 因为a>0,b>0,3a+b=,所以+=×(6a+2b)=18+++2≥20+2=32,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,故+的最小值为32.
9.解:(1)由题知4x+6y=36,即2x+3y=18,每间虎笼的面积为xy m2,
所以xy=×2x×3y≤×=,当且仅当2x=3y=9时等号成立,所以当x,y的值分别为,3时,每间虎笼的面积最大.
(2)由题知xy=24,所用钢筋网的总长为(4x+6y)m,所以4x+6y≥2=2=48,当且仅当4x=6y,
即2x=3y=12时等号成立,
所以当x,y的值分别为6,4时,所用钢筋网的总长最小.
10.A [解析] 因为00,所以+=[2a+(1-2a)]=2+++1≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=时取等号,所以+的最小值为3+2,故选A.
11.C [解析] 由题意可得,a+b+c=3,所以+=(a+b+c)=≥=3,当且仅当a+b=2c时取等号.故选C.
12.CD [解析] 如图,设矩形ABCD的中心为O.设MB=x米,BN=y米,由题意知△EMB∽△BNF,则=,又EM=25米,NF=40米,所以=,化简得xy=1000.设矩形绿地的周长为l米,则l=2(2x+2y)≥2×2=8×10=80,当且仅当x=y=10时取等号.结合选项知,该矩形绿地的周长可能为80米,90米.故选CD.
13.5 [解析] 每台机器运转x年的年平均利润为万元,由题知=18-,且x∈N*,由基本不等式可得x+≥2=10,所以≤18-10=8,当且仅当x=5时等号成立,所以当每台机器运转5年时,年平均利润最大.
14.解:(1)因为a+b=4,a>0,b>0,
所以+=[(a+1)+(b+1)]=
≥
=,
当且仅当=,
即a=,b=时取等号,故+的最小值为.
(2)证明:因为a,b,c都是正实数,且a+b+c=3,所以++=(a+b+c)=≥=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,
所以++≥3.
15.C [解析] 易知+=[(a+b)+(b+c)]·=≥=,当且仅当b+c=2(a+b)时取等号.故选C.
16.解:(1)依题意得,3x+4y=2×xy(x>0,y>0),即3x+4y=xy,
因为3x+4y≥2=4,
所以4≤xy,可得xy≥48,
当且仅当3x=4y,即x=8,y=6时,等号成立,此时公园的面积S=2×xy=xy=48,
故AC的长为8米,BC的长为6米时,公园面积最小.
(2)依题意得,6x+8y+2xy=74,
所以3x+4y+xy=37,
所以(x+4)(y+3)=49,
所以2x+2y=2(x+4)+2(y+3)-14≥2-14=2-14=14,当且仅当x+4=y+3,即x=3,y=4时,等号成立,此时2x+2y=14,
故健身步道的长至少为14米.2.2.2 基本不等式的简单应用
【学习目标】
1.能利用基本不等式证明一些简单的不等式.
2.会用基本不等式解决现实生活中的一些简单的最大(小)值问题.
◆ 知识点一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则可以直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则可以对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件,则要分析等式条件和所证不等式之间的联系,当等式条件含有“1”时,要注意“1”的代换.最后要注意等号是否取到.
◆ 知识点二 基本不等式在实际问题中的应用
用基本不等式解决实际问题时的常用思路
(1)理解题意,设好变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
◆ 探究点一 “1”的代换求最值
例1 (1) 已知x>0,y>0且x+4y=1,求+的最小值.
(2) 已知x>0,y>0且x+y=1,求+的最小值.
变式 (1) 设x>0,y>0且x+y=2,求+的最小值.
(2) 已知x>0,y>0,且x+8y=xy,求x+2y的最小值.
(3)已知a>2,b>-1,且a+b=2,求+的最小值.
[素养小结]
常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
◆ 探究点二 利用基本不等式证明不等式
例2 (1)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
(2)已知a,b,c均为正数且不全相等,且a+b+c=1,求证:++>10.
变式 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)++≥1;
(2)++≤1 .
[素养小结]
在利用基本不等式证明不等式的过程中,常常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形拼凑成适合的数、式,以便于利用基本不等式.
◆ 探究点三 基本不等式在实际问题中的应用
例3 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.
(1)若菜园的面积为72 m2,则x,y为何值时,所用篱笆的总长最小
(2)若所用篱笆的总长为30 m,求z=+的最小值.
变式 如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积(图中阴影部分)为72 dm2,上、下空白各宽2 dm,左、右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
[素养小结]
利用基本不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识解决问题.
2.2.2 基本不等式的简单应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为x+4y=1,所以+=(x+4y)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
所以+的最小值为9.
(2)因为x>0,y>0,x+y=1,
所以0当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
所以+的最小值为6.
变式 解:(1)由x+y=2,可得+=(x+y)=≥=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号,
故+的最小值为.
(2)由x+8y=xy,可得+=1,
所以x+2y=(x+2y)=++10≥2+10=18,当且仅当=,
即x=12,y=3时取等号,
故x+2y的最小值为18.
(3)因为a>2,b>-1,
所以a-2>0,b+1>0,
又a+b=2,所以+=[(a-2)+(b+1)]=6++≥6+2,
当且仅当=,
即a=,b=时取等号,
故+的最小值为6+2.
探究点二
例2 证明:(1)∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取等号),∴(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
(2)∵a+b+c=1,∴++=++=4+++≥4+2+2+2=10(*),当且仅当a=b=c=时取等号,
又a,b,c不全相等,即a≠b,a≠c,c≠b中至少有一个成立,
∴(*)式中等号不成立,∴++>10.
变式 证明:(1)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立,
故++≥1.
(2)因为a,b,c均为正数,
所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,所以2a+2b+2c≥2+2+2,得++≤a+b+c,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故++≤1.
探究点三
例3 解:(1)由已知可得xy=72,所以y=,x>0.
设所用篱笆的总长为C m,则C=x+2y,所以C=x+≥2=24,当且仅当x=,即x=12时等号成立,
此时y==6,所以当x=12,y=6时,所用篱笆的总长最小.
(2)由已知可得x+2y=30,
所以x+2(y+1)=32,
所以[x+2(y+1)]=1,所以z=+=[x+2(y+1)]=≥=,当且仅当2·=,
即x=,y=时等号成立,所以z的最小值为.
变式 56 [解析] 设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,设四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56,当且仅当x=,即x=12时等号成立,故四周空白部分面积的最小值为56 dm2.