(共69张PPT)
2.3.1 二次函数与一元二次方程、
不等式
探究点一 解一元二次不等式
探究点二 解含参数的一元二次不等式
探究点三 三个“二次”的关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解一元二次不等式的概念.
2.（1）了解二次函数的零点定义,能发现二次函数零点与方程根
的关系;（2）会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性
及根的个数.
3.能借助二次函数的图象,初步认识一元二次不等式与二次函数、
一元二次方程的联系.
4.理解一元二次不等式的解法:能够借助二次函数求解一元二次
不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
知识点一 一元二次不等式
1.定义：一般地，我们把只含有______未知数,并且未知数的最高次
数是___的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式
是_________________________________，其中，， 均为常数，
.
一个
2
或
2.解集：使一元二次不等式成立的未知数的值叫作一元二次不等式的
解,所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集.
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数 ，我们把使
的_______叫作二次函数 的零点.
实数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不等式是关于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 当时,原不等式为,此时 不
是关于 的一元二次不等式.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）不等式的解集为 .( )
√
[解析] 因为 ,所以不等式
的解集是 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）二次函数的零点为与 .( )
×
[解析] 令，解得， ，所以二次函数
的零点为 ,3.
知识点三 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
的图象 _______________________ _____________________ ______________________
的根 有两个不相等的实 数根 ， 有两个相等的实数 根 没有实数
根
的解集 ________________ _________ _ ___________ ___
的解集 ________________ ___ ___
或
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一元二次方程的两根为, ,则一
元二次不等式的解集为 .( )
×
[解析] 当时,解集为,
当时,解集为 或 .
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若一元二次方程 没有实数根，则一元
二次不等式的解集为 .( )
√
[解析] 若一元二次方程 没有实数根，
则一元二次不等式的解集为 .
2.函数 的图象如图所示,根据图象,你能
说出方程 的解吗 你能说出不等式
的解集吗 的解集呢
解：方程的解是或 .
的解集是或.
不等式 的解集是 .
探究点一 解一元二次不等式
例1 求下列不等式的解集.
（1） ；
解：方程的两根为， .
结合二次函数 的图象知，
原不等式的解集为或 .
例1 求下列不等式的解集.
（2） ；
解：原不等式可化为，方程 的
两根为，.结合二次函数 的图象知，
原不等式的解集为或 .
（3） .
解：由原不等式得，即 ，
解方程，得 .
结合二次函数的图象知,原不等式的解集为 .
变式 求下列不等式的解集.
（1） ;
解：原不等式可化为 ，
因为,所以方程 无实数根，
又二次函数 的图象开口向上，结合图象得原不等式
的解集为 .
（2） ;
解：不等式化为，即 ，
方程的根为，
所以不等式 的解集为 ．
变式 求下列不等式的解集.
（3） ；
解：原不等式等价于
不等式①可化为,解得或 ;
不等式②可化为,解得 .
故原不等式的解集为或 .
变式 求下列不等式的解集.
（4） .
解：原不等式可化为 ，
方程的两根为， ，
所以不等式的解集为 .
［素养小结］
求一元二次不等式解集的通法：
（1）化成标准形式
或
，其中
;
（2）求
,解方程，画图象；
（3）根据图象写出解集.
注：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，可以直接由方程
的根及不等号方向得到解集.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2（1）解关于的不等式 ．
解：原不等式等价于，
方程 的两根为, .
当时，原不等式的解为 ；
当 时，原不等式无解；
当时，原不等式的解为 ．
综上，当时，原不等式的解集是 ；
当时，原不等式的解集是 ；
当时，原不等式的解集是 ．
（2）解关于的不等式 .
解：当时，不等式化为，解得 ；
当时，不等式化为，解得或 ；
当时，，不等式化为 ,
解得 ；
当时，不等式化为 ，此时无解；
当时，，不等式化为 ,
解得 .
综上，当时，不等式的解集是 ；
当时，不等式的解集是 ;
当时，不等式的解集是 ；
当时，不等式无解；
当 时，不等式的解集是 .
变式 解关于的不等式 .
解： ，下面分三种情况讨论.
①当，即时，方程 无实数根，
所以原不等式的解集为 .
②当，即或时，方程 的两个根为
， ，所以原不等式的
解集为 .
③当,即或时,方程 有两个相等的实数根，
当时，原不等式的解集为，且 ，
当时，原不等式的解集为，且 .
综上，当时，原不等式的解集为；
当或 时，原不等式的解集为
；
当时，原不等式的解集为，且；
当 时，原不等式的解集为，且 .
［素养小结］
含参数的一元二次不等式的解法
探究点三 三个“二次”的关系
例3 已知关于的不等式 .
（1）若不等式的解集为，求实数 的值；
解：由关于的不等式的解集为 ,
得和1是方程的两个实根，且 ，
由根与系数的关系可得，解得 .
例3 已知关于的不等式 .
（2）若不等式的解集为，求实数 的取值范围．
解：当时，不等式等价于 ，显然成立；
当时，要使不等式的解集为，只需
解得 .
综上可知，实数的取值范围为 .
变式（1）（多选题）已知一元二次不等式 的解集
为 ,则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为不等式的解集为 ,
所以且即对于选项A, ,故A正确;
对于选项B, ,故B错误;
对于选项C, ,故C正确;
对于选项D, ,故D正确.
故选 .
（2）已知函数的图象与轴交于 ,
两点，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数的图象与 轴交于，
两点，所以2和6是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式即为.
因为 ,所以不等式可化为,解得或 ，
所以不等式的解集为 ,故选D.
［素养小结］
三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转
化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函
数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题.
拓展 （多选题）已知关于的不等式 的解集
是,其中 ,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 的
解集为,
,且, 是一元二次方程 的两个根,
则 , ,故A，D正确;
√
√
√
原不等式可化为,其解集为 ,
而函数 的两个零点分别为 ,1,且图象开口向下,
作出函数的大致图象与直线 ,
如图,由图知, ,故B错误,C正确.故选 .
1.对一元二次不等式概念的理解
一元二次不等式概念中的关键词:一元,即只包含一个未知数,其他元
素均为常数;
二次,即未知数的最高次数必须为2,且最高次项的系数不能为0.
2.关于一元二次不等式的解法
（1）在解一元二次不等式时,需求所对应的一元二次方程的根,可借
用求根公式法或十字相乘法,再结合对应的二次函数的图象写出解集.
（2）解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
①化标准：通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
②判别式：对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判
别式.
③求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有
无实根.
④画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
⑤写解集：根据图象写出不等式的解集.
3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系
一元二次方程与一元二次不等式都是二次函数的特例.当二次函数
的函数值 时,得一元二次方程
;当二次函数 的函
数值或时,得一元二次不等式 或
;而是与 的“分水岭”,它们之
间形成不可分割的内在关系.
1.解一元二次不等式常利用数形结合,设相应的二次函数的图象开口
向上,并与 轴相交,则有口诀:大于取两边;小于取中间.
例1 不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，所以 ，
故选C.
√
2.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为
三个层次：第一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实
数根的讨论,即判别式,, ;第三层次是根的大小的讨论.
例2 已知函数 .
（1）若，求不等式 的解集；
解：当时，化为 ，
解得， 原不等式的解集为 .
例2 已知函数 .
（2）已知，求不等式 的解集.
解：当时， ，
当，即时，解得或 ；
当，即时，解得 ；
当，即时，解得或 .
综上所述，当时，不等式的解集为 ;
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
例3 ［2025·镇江高一期中］已知二次函数
，其中 .
（1）若二次函数的两个零点，满足 ，求
的值；
解：由的两个根为， ，
可得, ，
由，可得 ，
即 ，
解得或 .
例3 ［2025·镇江高一期中］已知二次函数
，其中 .
（2）求不等式 的解集.
解：由 ，
可得 .
当,即时,不等式的解集为 ；
当,即 时,不等式的解集为 ；
当,即 时,不等式的解集为 .
练习册
1.已知二次函数 的图象如图所示，
则不等式 的解集是( )
A. B.或
C. D.或
[解析] 由题图易知不等式 的解集是 .
故选A .
√
2.不等式 的解集为( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 解可得或 ，
所以，不等式的解集为或 .
故选C.
√
3.若,是方程的两个实数根，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,是方程的两个实数根，
，，
.
故选B.
√
4.若，则不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 不等式可化为，
因为，所以，故解集是 .
√
5.已知集合， ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得， ，
.故选A.
√
6.若关于的不等式 的解集为
，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由条件知，为方程 的两根，
，.
由，可得 .
故选A.
√
7.［2025·武钢三中高一月考］已知 能使不等式
成立，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为能使不等式 成立，
所以，解得 .
8.已知关于的二次函数 有两个零点，且一个
零点大于2，一个零点小于2，则实数 的取值范围为____________．
[解析] 由题意得，二次函数 的图象开口向上，
又一个零点大于2，一个零点小于2，
，整理得，解得 .
所以实数的取值范围为 ．
9.（13分）
（1）解关于的不等式 .
解： .
①若，则原不等式可化为，解得 ；
②若，则原不等式可化为,解得 或 ；
③若，则原不等式可化为 ，解得 .
综上所述，当时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为 .
9.（13分）
（2）解关于的不等式 .
解：①当，即 时，
的图象与 轴至多有1个交点，且图象开口向上，
因此，不等式的解集为 .
②当，即或 时，
的图象与 轴有两个交点，且图象开口向上，
令，得， ，
因此,不等式 的解集为 .
综上所述，当时，不等式 的解集为 ；
当或时，
不等式 的解集为 .
10.若，且，，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得，则由，得 ，
故，
又,,所以和 是方程的两个根，
故，即 .故选B.
√
11.（多选题）［2025·湖南雅礼中学高一期中］ 已知二次函数
,,为常数,且 的部分图象如图所示,
则( )
A.
B.
C.
D.不等式 的解集为
√
√
√
[解析] 该二次函数的图象开口向上,故 ,
该二次函数的图象与轴的交点为, ,
,故A正确;
对于B， ,故B错误;
对于C， ,故C正确;
对于D，不等式可化为,
即 ,即,其解集为,
故D正确.故选 .
,即, .
12.关于的不等式的解集不是空集,则实数 的取值范
围是_______________.
或
[解析] 关于的不等式的解集不是空集,
即关于 的不等式有解,
所以,解得 或 .
13.［2025·安徽皖江名校高一月考］设方程 的两根是
,，若不等式的解集是 ，则
的值是____.
19
[解析] 由不等式的解集是 ，
可知方程的两根为，2，所以, ，
所以,，所以即为 ,
所以,或，，于是 .
14.（15分）［2025·丽水高一期中］ 已知不等式 的
解集为 .
（1）解不等式 ；
解： 不等式的解集为 ，
，且，3是方程 的两根，
则,，可得， ，
则不等式即为，
，解得或 ，
故不等式的解集为 .
14.（15分）［2025·丽水高一期中］ 已知不等式 的
解集为 .
（2）若，当时，解关于 的不等式
.
解：若，则 ，
故不等式即为 ，
即为，
又， 不等式可化为 ，
方程的两根为，，
又， 所求不等式的解集为 .
15.（多选题）若关于的不等式 的解集中恰
有两个整数，则 的值可能为( )
A. B. C.0 D.1
√
√
[解析] 不等式 ，
显然，当时，原不等式的解集为 ，
由于解集中恰有两个整数，则，解得;
当 时，原不等式的解集为 ，
由于解集中恰有两个整数，则，解得，
因此的取值范围是 或，
显然选项A，C不可能，B，D可能.故选 .
16.（15分）［2025·重庆一中高一期中］ 已知集合
，集合,， .
（1）若，求实数 的值；
解：由题意可知，方程 有两个不等实根
， ，
所以，
解得 或 .
由根与系数的关系可得， ，
所以 ，
即，解得（舍去）或，
故实数 的值为4.
16.（15分）［2025·重庆一中高一期中］ 已知集合
，集合,， .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：由题得方程在区间 上有两个不
等实根，所以
解得 ，
因此，实数的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.一个 2
或
知识点二 实数
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
知识点三
或
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ 2.方程
的解是
或
.不等式
的解集是
或
.不等式
的解集是
.
课中探究 探究点一 例1 （1）
或
（2）或
/m> （3）
变式 （1） （2） （3）或 （4）
探究点二 例2 （1）当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是 ；
当时，原不等式的解集是．
（2）当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是;
当时，不等式的解集是；当时，不等式无解；
当时，不等式的解集是.
变式 当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，且；
当时，原不等式的解集为，且.
探究点三 例3 （1） （2） 变式 （1）ACD （2）D 拓展 ACD
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.A 7. 8.
9.（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
（2）当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为.
10.B 11.ACD 12.或 13.19 14.（1）
（2） 15.BD 16.（1）4 （2）2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解
集是 ( )
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>1}
C.{x|-2≤x≤1}
D.{x|x≤-2或x≥1}
2.不等式(x-1)(x+3)>0的解集为 ( )
A.{x|x>6或x<-3}
B.{x|-3C.{x|x>1或x<-3}
D.{x|-63.若a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2+2a+b= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.若00的解集是 ( )
A.
B.
C.
D.
5.已知集合A={x|x2-3x-18<0},B={x|x2-16≤0},则A∩B= ( )
A.{x|-3C.{x|-4≤x≤4} D.{x|-4≤x<6}
6.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1A. B.
C. D.
7.[2025·武钢三中高一月考] 已知x=2能使不等式(k-1)x2-kx-4≥0成立,则实数k的取值范围是 .
8.已知关于x的二次函数y=x2+kx+k2+k-4有两个零点,且一个零点大于2,一个零点小于2,则实数k的取值范围为 .
9.(13分)(1)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a<1).
(2)解关于x的不等式x2+kx+6≥0.
10.若ab≠1,且3a2-7a-2=0,2b2+7b-3=0,则的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
11.(多选题)[2025·湖南雅礼中学高一期中] 已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则 ( )
A.abc>0
B.a+b>0
C.a+b+c<0
D.不等式cx2-bx+a>0的解集为
12.关于x的不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
13.[2025·安徽皖江名校高一月考] 设方程x2+bx+c=0的两根是x1,x2,若不等式x2-bx+c<0的解集是{x|-314.(15分)[2025·丽水高一期中] 已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-2(1)解不等式cx2+bx+a<0;
(2)若a=1,当m<0时,解关于x的不等式mx2-(m-2b)x+2a>0.
15.(多选题)若关于x的不等式x2+(a-2)x-2a<0的解集中恰有两个整数,则a的值可能为 ( )
A. B.
C.0 D.1
16.(15分)[2025·重庆一中高一期中] 已知集合A={x|x2+(2-m)x+3-m=0},集合B={x1,x2},B A.
(1)若+=6,求实数m的值;
(2)若02.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
1.A [解析] 由题图易知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-22.C [解析] 解(x-1)(x+3)=0可得x=-3或x=1,所以,不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}.故选C.
3.B [解析] ∵a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,∴a2+a-3=0,a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=3-1=2.故选B.
4.A [解析] 不等式(a-x)>0可化为(x-a)<0,因为05.A [解析] 由题意得A={x|-36.A [解析] 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2.由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,可得a=.故选A.
7.k≥4 [解析] 因为x=2能使不等式(k-1)x2-kx-4≥0成立,所以4(k-1)-2k-4≥0,解得k≥4.
8.-39.解:(1)ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0.
①若a=0,则原不等式可化为-x+1<0,解得x>1;
②若a<0,则原不等式可化为(x-1)>0,解得x<或x>1;
③若0综上所述,当a<0时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当0(2)①当Δ=k2-24≤0,即-2≤k≤2时,二次函数y=x2+kx+6的图象与x轴至多有1个交点,且图象开口向上,因此,不等式x2+kx+6≥0的解集为R.
②当Δ=k2-24>0,即k<-2或k>2时,二次函数y=x2+kx+6的图象与x轴有两个交点,且图象开口向上,
令x2+kx+6=0,得x1=,x2=,
因此,不等式x2+kx+6≥0的解集为.
综上所述,当-2≤k≤2时,不等式x2+kx+6≥0的解集为R;
当k<-2或k>2时,不等式x2+kx+6≥0的解集为.
10.B [解析] 根据题意得b≠0,则由2b2+7b-3=0,得2+-=0,故3-7×-2=0,又3a2-7a-2=0,ab≠1,所以a和是方程3x2-7x-2=0的两个根,故a·=-,即=-.故选B.
11.ACD [解析] 该二次函数的图象开口向上,故a>0,该二次函数的图象与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,即b=-a,c=-2a.对于A,abc=a·(-a)·(-2a)=2a3>0,故A正确;对于B,a+b=a-a=0,故B错误;对于C,a+b+c=a-a-2a=-2a<0,故C正确;对于D,不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0,即2x2-x-1<0,即(2x+1)(x-1)<0,其解集为,故D正确.故选ACD.
12.a>4或a<-4 [解析] 关于x的不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,即关于x的不等式x2+ax+4<0有解,所以Δ=a2-4×1×4>0,解得a>4或a<-4.
13.19 [解析] 由不等式x2-bx+c<0的解集是{x|-314.解:(1)∵不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-2∴a>0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两根,
则1=-,-6=,可得b=-a,c=-6a,则不等式cx2+bx+a<0即为-6ax2-ax+a<0,∴6x2+x-1>0,解得x<-或x>,
故不等式cx2+bx+a<0的解集为.
(2)若a=1,则b=-a=-1,
故不等式mx2-(m-2b)x+2a>0即为mx2-(m+2)x+2>0,
即为(mx-2)(x-1)>0,又m<0,∴不等式可化为(x-1)<0,
方程(x-1)=0的两根为x1=,x2=1,又<0<1,∴所求不等式的解集为.
15.BD [解析] 不等式x2+(a-2)x-2a<0 (x+a)(x-2)<0,显然a≠-2,当a<-2时,原不等式的解集为{x|2-2时,原不等式的解集为{x|-a16.解:(1)由题意可知,方程x2+(2-m)x+3-m=0有两个不等实根x1,x2,
所以Δ=(2-m)2-4(3-m)=m2-8>0,解得m<-2或m>2.
由根与系数的关系可得x1+x2=m-2,x1x2=3-m,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(m-2)2-2(3-m)=m2-2m-2=6,
即m2-2m-8=0,解得m=-2(舍去)或m=4,故实数m的值为4.
(2)由题得方程x2+(2-m)x+3-m=0在区间(0,2)上有两个不等实根,所以
解得2因此,实数m的取值范围是2【学习目标】
1.了解一元二次不等式的概念.
2.(1)了解二次函数的零点定义,能发现二次函数零点与方程根的关系;(2)会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
3.能借助二次函数的图象,初步认识一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系.
4.理解一元二次不等式的解法:能够借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
◆ 知识点一 一元二次不等式
1.定义:一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
2.解集:使一元二次不等式成立的未知数的值叫作一元二次不等式的解,所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集.
◆ 知识点二 二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式mx2+2x-3<0是关于x的一元二次不等式. ( )
(2)不等式x2-2x+3>0的解集为R. ( )
(3)二次函数y=x2-x-6的零点为(-2,0)与(3,0). ( )
◆ 知识点三 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R. ( )
2.函数y=x2-x-6的图象如图所示,根据图象,你能说出方程x2-x-6=0的解吗 你能说出不等式x2-x-6>0的解集吗 x2-x-6<0的解集呢
◆ 探究点一 解一元二次不等式
例1 求下列不等式的解集.
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)<0;
(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
变式 求下列不等式的解集.
(1)-2x2+3x-2<0; (2)4x2-x+3≤3x+2;
(3)-20.
[素养小结]
求一元二次不等式解集的通法:
(1)化成标准形式(ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a>0);
(2)求Δ, 解方程,画图象;
(3)根据图象写出解集.
注:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,可以直接由方程的根及不等号方向得到解集.
◆ 探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2 (1)解关于x的不等式x2-(2+a)x+2a<0.
(2)解关于x的不等式mx2+(m-2)x-2>0.
变式 解关于x的不等式2x2+ax+2>0(a∈R).
[素养小结]
含参数的一元二次不等式的解法
◆ 探究点三 三个“二次”的关系
例3 已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.
(1)若不等式的解集为,求实数k的值;
(2)若不等式的解集为R,求实数k的取值范围.
变式 (1)(多选题)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2A.a<0 B.c<0
C.a+b+c=0 D.a-b+2c>0
(2)已知函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,则不等式cx2+2bx-a<0的解集为 ( )
A.{x|-6B.
C.
D.
[素养小结]
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题.
拓展 (多选题)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0
B.-3C.x2-x1>4
D.x1x2+3<0
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
【课前预习】
知识点一
1.一个 2 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0
知识点二
实数x
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)当m=0时,原不等式为2x-3<0,此时mx2+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式.
(2)因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式x2-2x+3>0的解集是R.
(3)令x2-x-6=0,解得x=-2,x=3,所以二次函数y=x2-x-6的零点为-2,3.
知识点三
{x|xx2}
R {x|x1诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)当a>0时,解集为{x|x1x2}.
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
2.解:方程x2-x-6=0的解是x=-2或x=3.不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}.不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0,方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
(3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,即9x2-12x+4>0,解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=.结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知,原不等式的解集为.
变式 解:(1)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实数根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,结合图象得原不等式的解集为R.
(2)不等式化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,方程(2x-1)2=0的根为x=,所以不等式4x2-x+3≤3x+2的解集为.
(3)原不等式等价于不等式①可化为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1;不等式②可化为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0,
方程3x2-5x+2=0的两根为x1=,x2=1,所以不等式3x2-5x+2<0的解集为.
探究点二
例2 解:(1)原不等式等价于(x-a)(x-2)<0,方程(x-a)(x-2)=0的两根为x1=a,x2=2.
当a<2时,原不等式的解为a当a=2时,原不等式无解;
当a>2时,原不等式的解为2综上,当a<2时,原不等式的解集是{x|a当a=2时,原不等式的解集是 ;
当a>2时,原不等式的解集是{x|2(2)当m=0时,不等式化为-2x-2>0,解得x<-1;
当m>0时,不等式化为(mx-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>;
当-2当m=-2时,不等式化为(x+1)2<0,此时无解;
当m<-2时,0>>-1,不等式化为(x+1)<0,解得-1综上,当m=0时,不等式的解集是{x|x<-1};
当m>0时,不等式的解集是;
当-2当m=-2时,不等式无解;当m<-2时,不等式的解集是.
变式 解:Δ=a2-16,下面分三种情况讨论.
①当Δ<0,即-4②当Δ>0,即a>4或a<-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=(-a-),x2=(-a+),所以原不等式的解集为.
③当Δ=0,即a=4或-4时,方程2x2+ax+2=0有两个相等的实数根,
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1},
当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.
综上,当-44或a<-4时,原不等式的解集为;
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.
探究点三
例3 解:(1)由关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为,得-和1是方程2kx2+kx-=0的两个实根,且k>0,由根与系数的关系可得-×1=,解得k=.
(2)当k=0时,不等式等价于-<0,显然成立;
当k≠0时,要使不等式的解集为R,只需解得-3综上可知,实数k的取值范围为-3变式 (1)ACD (2)D [解析] (1)因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20,故B错误;对于选项C,a+b+c=a+a+(-2a)=0,故C正确;对于选项D,a-b+2c=a-a+2(-2a)=-4a>0,故D正确.故选ACD.
(2)因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,由根与系数的关系得解得所以不等式cx2+2bx-a<0即为-12ax2-8ax-a<0.因为a>0,所以不等式可化为12x2+8x+1>0,解得x<-或x>-,所以不等式的解集为,故选D.
拓展 ACD [解析] 由题意得a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1-2,其解集为{x|x14,故B错误,C正确.故选ACD.