(共87张PPT)
2.3.2 一元二次不等式的简单应用
探究点一 分式不等式的解法
探究点二 不等式恒成立问题
探究点三 一元二次不等式的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够利用转化思想理解并掌握分式不等式的解法.
2.会用判别式法、分离参数法等方法解决不等式中的恒成立、能
成立问题.
3.会用一元二次不等式解决简单的实际问题,初步体会一元二次
不等式的现实意义.
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式（组）,或者变形转
化为一元一次不等式组.
____________________;
____________________;
_ _____________________;
_ ____________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不等式的解集为或 .( )
×
[解析] 解得或 ，
故不等式的解集为或 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若,则 .( )
√
[解析] 因为,所以 .
知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况:
恒成立 _ _______;
恒成立 _ _______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,,满足则一元二次方程 有
两个负实数根.( )
×
[解析] 在所给条件下,一元二次方程 不一定有两个
负实数根,可以有两个正实数根,如 的两个根是2和4.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）“一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是“
”.( )
×
[解析] 若一元二次不等式的解集为,则
所以“一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是
“， ”.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若一元二次方程 有一正一负两个实数根,则
.( )
√
[解析] 若一元二次方程 有一正一负两个实数根,
则由根与系数的关系知,即 .
知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系;
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式
问题;
3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
探究点一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式.
（1） ;
解：因为,所以 ,
则，解得或,
所以不等式 的解集是或 .
例1 解下列不等式.
（2） .
解：不等式，即，所以 ，
所以解得或 ，
所以原不等式的解集为或 .
变式（1）不等式 的解集是_________________.
[解析] 等价于,即,
解得 或,
故原不等式的解集为 .
（2）若关于的不等式的解集为，则关于 的不
等式 的解集为__________________.
或
[解析] 由题意得为方程的根，
，即
的解集为， ，
等价于，解得 或，
不等式的解集为或 .
［素养小结］
（1）对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式（组）
或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分
（不要去分母）,使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方
法求解.
探究点二 不等式恒成立问题
例2（1）若不等式的解集为，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.
√
[解析] 由题意知，不等式的解集为 ，
即为不等式在 上恒成立.
当,即时,不等式 恒成立，满足题意；
当,即 时,需满足
即 解得.
综上可得，实数的取值范围是 .故选B.
（2）若关于的不等式 的解集不为空
集,则实数 的取值范围为( )
A. B.
C.或 D.或
√
变式（1）已知函数 的图象都在
轴的上方,则实数 的取值范围为___________.
[解析] 由,解得或.
当 时,函数为一次函数,不符合题意;
当时,函数为常函数,此时 ,符合题意;
当且 时,函数为二次函数,
解得 .
综上, .
（2）［2024·河北唐山高一期中］若不等式 的解集
不为空集，则 的取值范围是_______________.
或
[解析] 因为不等式 的解集不为空集，
所以，解得或 .
（3）若对任意， 恒成
立，求实数 的取值范围.
解：由题意得，对任意 ，
，即 恒成立，
.
［素养小结］
要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、
最值法等. 在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中，除了要对二次
项系数是不是零进行分类讨论外，还要搞清谁是主元，谁是参数．一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
探究点三 一元二次不等式的实际应用
例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为 千瓦时.本年度
计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电
价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用
户期望电价的差成反比,且比例系数为 .该地区电力的成本价为0.3元/
千瓦时.
（1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益（元）与实际电价
（元/千瓦时）的关系式.
解：依题意知,若下调后的实际电价为 元/千瓦时,
则本年度用电量增至 千瓦时,
所以 .
例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为 千瓦时.本年度
计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电
价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用
户期望电价的差成反比,且比例系数为 .该地区电力的成本价为0.3元/
千瓦时.
（2）设 ,当电价最低定为多少时,可保证电力部门的收益比
上年度至少增长
附:收益实际用电量 （实际电价-成本价）.
解：依题意,有
,
整理得,可得 ，
故当电价最低定为0.6元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上年度
至少增长 .
变式 如图所示,将一个矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛
,要求在射线上,在射线上,且对角线过点 ,已知
米,米,设 米.
（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米,求 的取值范围；
解：由已知得，由,可得 ,
即,则,
则矩形花坛 的面积为 .
根据题意得,所以 ,
,
又，所以或,所以的取值范围是或 .
变式 如图所示,将一个矩形花坛 扩建成
一个更大的矩形花坛,要求在射线
上, 在射线上,且对角线过点,已知
米, 米,设 米.
（2）现要在扩建部分铺上大理石,则当 的值
为多少时,用料最省
解：根据题意可得,扩建部分的面积, ,令 ,
则 ,
当且仅当 ，即时,等号成立,所以当 时,用料最省.
［素养小结］
解不等式应用题,一般可按四步进行:
①审题,找出关键量和不等关系;
②引进数学符号,用不等式表示不等关系;
③解不等式;
④回到实际问题.
1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步
代换,最后转化到可解的常见不等式上来.
2.解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二
次函数的图象求解.
（1）三个“二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还
可以确定参数的值或范围.
（2）与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、三个
“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图象的运用.
3.解一元二次不等式应用题的关键是构造一元二次不等式模型，选择
其中起关键作用的未知量为，用 来表示其他未知量，根据题意，
列出不等关系再求解.
1.分式不等式的解法
（1）分式不等式或 的求解可应用同解原理,转化为
整式不等式求解.
（2）简单的分式不等式在求解时多化为或 的形式,
在变形的过程中,要注意等价性,如 或
但不等价于 ,要注意这一点.
例1 不等式 的解集为_______________．
[解析] 不等式等价于解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
2.不等式恒成立与能成立问题
含参数的一元二次不等式在某区间上恒成立,常有两种处理方法:一是
利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离出参数再去求函数的
最值.
含参数的一元二次不等式在某区间上能成立，常用的处理方法有：
若在给定区间上存在实数，使 成立，则只需在给定区间上
；
若在给定区间上存在实数，使 成立，则只需在给定区间上
.
例2 已知,，且，若对于任意的， ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为__________.
[解析] 因为,，且 ，
所以 .
又，
当且仅当，即, 时，等号成立，
所以的最小值为1，所以有 ，解得 .
3.一元二次不等式的应用题
例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12
万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产
品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为 ，同时预计年销售
量增加的比例为，已知年利润（出厂价-投入成本） 年销售量.
例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12
万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产
品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为 ，同时预计年销售
量增加的比例为，已知年利润（出厂价-投入成本） 年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润 （单位：万元）与投入成本增加的
比例 的关系式.
解:由题意得
，
整理得 .
例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12
万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产
品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为 ，同时预计年销售
量增加的比例为，已知年利润（出厂价-投入成本） 年销售量.
（2）为使本年度的年利润比上年度的年利润有所增加，则投入成本
增加的比例 应在什么范围内？
解:要使本年度的年利润比上年度的年利润有所增加，
只需
即解得 ，
所以投入成本增加的比例的取值范围为 .
4.一元二次方程根的分布三大题型
（1）一元二次方程的根“相对于0”的位置分布.
①方程有两个不等正根，
②方程有两个不等负根,
③方程有一个正根和一个负根 .
例4（1）已知方程 有两个不相等的正根，则
实数 的取值范围是___________.
[解析] 因为方程 有两个不相等的正根，
有两个不相等的正根，
解得 .
（2）关于的方程至少有一个负实数根,求 的取值范围.
解：①当时，，解得 ，满足条件.
②当 时，显然0不是方程的根，设方程的两个实数根为， .
若方程有两个异号实根，则解得 ；
若方程有两个负实数根（包含两根相同的情况），
则解得 .
综上，若方程至少有一个负实数根，则 .
（2）一元二次方程的根“相对于一个非0常数 ”的位置分布.
分布情况 两根都小于 ， 即 ， 两根都大于 ， 即 ， 一根小于 ，一根
大于 ，即
大致图象 ___________________________________ ___________________________________ ____________________________________
求解策略
分布情况 两根都小于 ， 即 ， 两根都大于 ， 即 ， 一根小于 ，一根
大于 ，即
大致图象 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
续表
分布情况 两根都小于 ， 即 ， 两根都大于 ， 即 ， 一根小于 ，一根
大于 ，即
求解策略
综合求解策 略 不讨论
续表
例5（1）已知方程 的一个实根小于2，另一个
实根大于2,则实数 的取值范围为__________.
[解析] 因为方程 的一个实根小于2，另一个实
根大于2,所以，解得 .
（2）方程的一个根小于 ，另一个根大
于1,则 的取值范围为____________.
[解析] 由题意得即
所以 .
（3）关于的方程的两根均大于1，则实数 的取值
集合为___.
[解析] 设关于的方程的两根为，，则 ，
若两根均大于1，则，与已知矛盾，
故不存在实数 ，使关于的方程的两根均大于1，
即实数的取值集合为 .
（4）已知关于的方程.当 为何值时：
①方程的一个根大于1，另一个根小于1
解：二次函数 的图象是开口向上的抛物线，
若方程的一个根大于1，另一个根小于1,
则 ，解得,所以的取值范围是 .
（4）已知关于的方程.当 为何值时：
②方程的一个根大于 且小于1，另一个根大于2且小于3
解：若方程的一个根大于 且小于1,另一个根大于2
且小于3,则
解得，所以的取值范围是 .
（3）一元二次方程的根“相对于两个非0常数, ”的位置分布.
根的分布 图象 限定条件
在区间 内没有实根 __________________________
___________________________________ ，
或
根的分布 图象 限定条件
在区间 内没有实根 ______________________________________
____________________________________
续表
根的分布 图象 限定条件
在区间 内没有实根 __________________________________
在区间 内有且只有一个 实根 __________________________________
续表
根的分布 图象 限定条件
在区间 内有且只有一个 实根 _________________________________
在区间 内有两个不等实 根 _____________________________________
续表
例6（1）已知一元二次方程的两根都在 内，则
实数 的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 由题意可得解得 ，
因此实数的取值范围是 .故选B.
√
（2）已知二次函数有两个零点， .
①若,求实数 的取值范围；
解：根据题意可知，二次函数 的图象开
口向上，
若，则 即
解得，故实数的取值范围是 .
（2）已知二次函数有两个零点， .
②若,求实数 的取值范围.
解：由题意得
解得 ，故实数的取值范围是 .
练习册
1.不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由不等式，可得
解得 .故选C.
√
2.已知集合,集合 ,则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为集合 ,
或,
所以 , 故选A.
√
3.关于的不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，即 ，
解得，所以不等式的解集为 .故选D.
√
4.若关于的不等式的解集为，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为关于的不等式的解集为 ，
所以，解得 .故选A.
√
5.［2025·福州高一期中］某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台
灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏；若销售单价每提高1元，则
日销售量将减少2盏.现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少
于400元的销售收入，则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，且 ，
即，解得，所以 .故选C.
√
6.（多选题）不等式对任意的 恒成立，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 可整理为 ，
根据二次函数的性质有 ，
故A正确；
当,时，满足 ，即原不等式成立，故B错误；
由，得，所以 ，故C正确；
，故D正确.故选 .
√
√
√
7.已知关于的不等式恒成立,则 的取值范围
是__________.
[解析] 当时,不等式即为 ,恒成立;
时,要使不等式 恒成立,
解得.
综上,的取值范围是 .
8.限速 的盘山公路上两车相撞.经测量，甲车的刹车距离略大
于，乙车的刹车距离略小于 .经查询，甲、乙车的刹车距离
，（单位：）与行驶速度,（单位： ）分别满足
和 ，则____车应负主要
责任.
甲
[解析] 由题意得 即
所以 .
由题意得即
所以.因为限速 ，所以甲车超速了，
所以甲车应负主要责任.
9.（13分）解下列不等式:
（1） ;
解：,,即,即 ,
该不等式等价于且,解得或,
原不等式的解集为 .
9.（13分）解下列不等式:
（2） .
解：不等式可化为，即 ，
于是或解得或 ，
原不等式的解集为或 .
10.已知命题“,”是假命题,则实数 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为命题“， ”是假命题,
所以命题“, ”是真命题,
所以,解得 .故选D.
√
11.在上定义运算:，若存在 ，使
得不等式成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
,
，使得不等式 成立,
,.
由 ,可得当时,取得最大值6,
所以 ,解得 .故选C.
√
12.当时，关于的不等式 恒成立，
则 的取值范围是______.
[解析] 方法一：令，依题意， 在
时恒成立，由于二次函数的图象开口向上，
若，即，当时，随 的增大而增大，
，解得，不合题意；
若 ，即，当时，随 的增大而减小，
，解得，所以；
当 时，只需判别式，解得，
所以 .
综上所述，的取值范围是 .
方法二：当时，关于的不等式 恒
成立，即恒成立，所以 ，
，当且仅当，即时等号成立，所以 .
13.甲厂以 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得利润 元．要使生产该
产品2小时获得的利润不低于3000元，则 的最小值是___．
3
[解析] 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，
则，整理得 ，
又，所以，可得，
故 的最小值是3.
14.（15分）已知函数，不等式 的解集为
，， ．
（1）求和 的值；
解：因为不等式的解集为 ，
所以1和为方程的两根，
所以 解得 ．
14.（15分）已知函数，不等式 的解集为
，， ．
（2）若当时，函数的图象恒在 图
象的上方，求实数 的取值范围．
解：由题意知当时， 恒成立，
两边同除以得， ．
令，则上述不等式等价于， ,
所以有 ,
， ，
所以当时，，所以实数的取值范围为 ．
15.（多选题）已知，关于 的一元二次不等式
有6个整数解，则 的可能取值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
√
√
[解析] 由 ，
，
作出该函数的图象如图所示.
由图可知，当时，
恰有6个整数解，分别为，，，3，4，5，
又，故 的可能取值为13，14，15，故选 .
16.（15分）［2025·南阳六校高一期中］ 数字经济是以数据资源为
关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合
应用推动全要素数字化转型的新经济形态.现有一人工智能企业生产
制造人形机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固
定成本为1000万元；②材料成本为万元，其中 为每月生
产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，
最低为多少万元？
解：设平均每个人形机器人的成本为 万元，
根据题意有 ，
当且仅当，即 时取等号，
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，
最低为30万元.
16.（15分）［2025·南阳六校高一期中］ 数字经济是以数据资源为
关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合
应用推动全要素数字化转型的新经济形态.现有一人工智能企业生产
制造人形机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固
定成本为1000万元；②材料成本为万元，其中 为每月生
产人形机器人的个数.
（2）若每个人形机器人的售价为 万元，假设生产出来的每
个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确
保每月的利润不低于400万元？
解：设月利润为 万元，
则 ，
由题知，整理得 ，
所以 ，所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，
才能确保每月的利润不低于400万元.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】 （1）× （2）√
知识点二
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
课中探究 探究点一 例1 （1）
或
（2）或
变式 （1）
（2）
或
探究点二 例2 （1）B （2）C
变式 （1）
（2）
或
（3）
探究点三 例3 （1）
（2）0.6元/千瓦时
变式 （1）
或
（2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.ACD 7.
8.甲
9.（1）
（2）
或
10.D 11.C 12. 13.3 14.（1）（2） 15.CD
16.（1）所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，
最低为30万元
（2）该企业每月生产不少于70个人形机器人,才能确保每月的利润不低于400万元2.3.2 一元二次不等式的简单应用
【学习目标】
1.能够利用转化思想理解并掌握分式不等式的解法.
2.会用判别式法、分离参数法等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.
3.会用一元二次不等式解决简单的实际问题,初步体会一元二次不等式的现实意义.
◆ 知识点一 可转化为一元二次不等式的简单
分式不等式
简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式(组),或者变形转化为一元一次不等式组.
>0 ;
<0 ;
≥0 ;
≤0 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}. ( )
(2)若<0,则(1-x)(x+1)<0. ( )
◆ 知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ;
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a,b,c满足则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个负实数根. ( )
(2)“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“Δ<0”. ( )
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实数根,则ac<0. ( )
◆ 知识点三 用一元二次不等式解决实际问题
的步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系;
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;
3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
◆ 探究点一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式.
(1)<0;
(2)≤1.
变式 (1)不等式>-2的解集是 .
(2)若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为 .
[素养小结]
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方法求解.
◆ 探究点二 不等式恒成立问题
例2 (1)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,则实数m的取值范围是 ( )
A.-2C.m<-2或m≥2 D.m<2
(2)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为 ( )
A.-2C.a<-2或a≥ D.a≤-2或a≥
变式 (1)已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为 .
(2)[2024·河北唐山高一期中] 若不等式x2-2ax+1<0的解集不为空集,则a的取值范围是 .
(3)若对任意a∈{a|-1≤a≤1},ax2-(2a+3)x+6>0恒成立,求实数x的取值范围.
[素养小结]
要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、最值法等. 在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中,除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
◆ 探究点三 一元二次不等式的实际应用
例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比,且比例系数为k.该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
附:收益=实际用电量×(实际电价-成本价).
变式 如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,设AN=x米.
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,求x的取值范围;
(2)现要在扩建部分铺上大理石,则当x的值为多少时,用料最省
[素养小结]
解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系;③解不等式;④回到实际问题.
2.3.2 一元二次不等式的简单应用
【课前预习】
知识点一
(ax+b)(cx+d)>0
(ax+b)(cx+d)<0
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)≥0 解得x>1或x≤0,故不等式的解集为{x|x>1或x≤0}.
(2)因为<0,所以(1-x)(x+1)<0.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)在所给条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0不一定有两个负实数根,可以有两个正实数根,如x2-6x+8=0的两个根是2和4.
(2)若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则所以“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“a>0,Δ<0”.
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实数根,则由根与系数的关系知<0,即ac<0.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为<0,所以>0,
则(x-4)(x+3)>0,解得x<-3或x>4,所以不等式<0的解集是{x|x<-3或x>4}.
(2)不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,所以解得x≥1或x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.
变式 (1) (2){x|x<-1或x>2} [解析] (1)>-2等价于>0,即(4x-7)(x-2)>0,解得x<或x>2,故原不等式的解集为.
(2)由题意得x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,∴=>0等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1,∴不等式的解集为{x|x<-1或x>2}.
探究点二
例2 (1)B (2)C [解析] (1)由题意知,不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,即为不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在R上恒成立.当m-2=0,即m=2时,不等式-4<0恒成立,满足题意;当m-2≠0,即m≠2时,需满足即解得-2(2)①当a2-4=0,即a=±2时,若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,不是空集;若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意.
②当a2-4≠0,即a≠±2时,若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有解得-2变式 (1)1≤k<19 (2)a<-1或a>1 [解析] (1)由k2+4k-5=0,解得k=-5或k=1.当k=-5时,函数为一次函数,不符合题意;当k=1时,函数为常函数,此时y=3,符合题意;当k≠-5且k≠1时,函数为二次函数,则解得1(2)因为不等式x2-2ax+1<0的解集不为空集,所以Δ=4a2-4>0,解得a>1或a<-1.
(3)解:由题意得,对任意a∈{a|-1≤a≤1},ax2-2ax-3x+6>0,
即(x2-2x)a-3x+6>0恒成立,
∴
∴-3探究点三
例3 解:(1)依题意知,若下调后的实际电价为x元/千瓦时,则本年度用电量增至千瓦时,
所以y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%)(0.55≤x≤0.75),整理得x2-1.1x+0.3≥0(0.55≤x≤0.75),可得0.6≤x≤0.75,故当电价最低定为0.6元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
变式 解:(1)由已知得x>3,由DC∥AM,可得=,即=,则AM=,则矩形花坛AMPN的面积为AM·AN=.
根据题意得>54,所以2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0,
又x>3,所以39,所以x的取值范围是39.
(2)根据题意可得,扩建部分的面积S=-12,x>3,
令t=x-3(t>0),则S=-12=4t++12≥2+12=36,当且仅当4t=,
即t=3时,等号成立,所以当x=6时,用料最省.2.3.2 一元二次不等式的简单应用
1.不等式≤0的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=,则A∩B= ( )
A.{x|-2C.{x|03.关于x的不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x<2}
B.{x|x>2}
C.{x|0D.{x|14.若关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,则实数a的取值范围为 ( )
A.a≤-5 B.a≤-2
C.a>-5 D.a≥-5
5.[2025·福州高一期中] 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,则每天能卖出30盏;若销售单价每提高1元,则日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是 ( )
A.15≤x<16 B.15C.156.(多选题)不等式x2+bx+c≥2x+b对任意的x∈R恒成立,则 ( )
A.b2-4c+4≤0 B. b≤0
C.c≥1 D. b+c≥0
7.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,则k的取值范围是 .
8.限速40 km/h的盘山公路上两车相撞.经测量,甲车的刹车距离略大于9 m,乙车的刹车距离略小于10 m.经查询,甲、乙车的刹车距离s1,s2(单位:m)与行驶速度v1,v2(单位:km/h)分别满足s1=0.01-0.25v1和s2=0.005+0.05v2,则 车应负主要责任.
9.(13分)解下列不等式:
(1)≤1;
(2)≤x-2.
10.已知命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为 ( )
A.a<0 B.0≤a≤4
C.a≥4 D.011.在R上定义运算:a b=(a+1)b,若存在x∈{x|1≤x≤2},使得不等式(m-x) (m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.-2C.-312.当-4≤x≤0时,关于x的不等式x2+ax+15-a≥0恒成立,则a的取值范围是 .
13.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,则x的最小值是 .
14.(15分)已知函数y=x2-3x+b,不等式y<0的解集为{x|1(1)求b和t的值;
(2)若当1≤x≤4时,函数y=x2-3x+b的图象恒在y=kx2图象的上方,求实数k的取值范围.
15.(多选题)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-8|x|+a≤0有6个整数解,则a的可能取值为 ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
16.(15分)[2025·南阳六校高一期中] 数字经济是以数据资源为关键要素,以现代信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态.现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本为1000万元;②材料成本为万元,其中x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为多少万元
(2)若每个人形机器人的售价为万元,假设生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元
2.3.2 一元二次不等式的简单应用
1.C [解析] 由不等式≤0,可得解得-2.A [解析] 因为集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-21},所以A∩B={x|-23.D [解析] 由<2,得-2=<0,即(x-1)(x-2)<0,解得14.A [解析] 因为关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,所以Δ=(-4)2-4(-a-1)≤0,解得a≤-5.故选A.
5.C [解析] 由题意可得x>15,且[30-2(x-15)]x≥400,即x2-30x+200≤0,解得10≤x≤20,所以156.ACD [解析] x2+bx+c≥2x+b可整理为x2+(b-2)x+c-b≥0,根据二次函数的性质有Δ=(b-2)2-4(c-b)=b2-4c+4≤0,故A正确;当b=1,c=2时,满足Δ≤0,即原不等式成立,故B错误;由Δ≤0,得c≥+1,所以c≥1,故C正确;b+c≥+b+1=≥0,故D正确.故选ACD.
7.0≤k≤1 [解析] 当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0即为8≥0,恒成立;当k≠0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,只需
解得08.甲 [解析] 由题意得
即所以v1>45.由题意得即
所以09.解:(1)∵≤1,∴-1≤0,即≤0,即≥0,
该不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.
(2)不等式≤x-2可化为-(x-2)≤0,即≤0,
于是或解得0≤x<2或x≥4,
∴原不等式的解集为{x|0≤x<2或x≥4}.
10.D [解析] 因为命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,所以Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得011.C [解析] (m-x) (m+x)<4,即(m-x+1)(m+x)=m2-x2+m+x<4,则存在x∈{x|1≤x≤2},使得不等式m2+m12.a≤6 [解析] 方法一:令y=x2+ax+15-a,依题意,y≥0在x∈{x|-4≤x≤0}时恒成立,由于二次函数的图象开口向上,若-≤-4,即a≥8,当-4≤x≤0时,y随x的增大而增大,所以y最小值=16-4a+15- a≥0,解得a≤,不合题意;若-≥0,即a≤0,当-4≤x≤0时,y随x的增大而减小,所以y最小值=15-a≥0,解得a≤15,所以a≤0;当0方法二:当-4≤x≤0时,关于x的不等式x2+ax+15-a≥0恒成立,即a≤恒成立,所以a≤,又==1-x+-2≥2-2=6,当且仅当1-x=,即x=-3时等号成立,所以a≤6.
13.3 [解析] 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,则2×100≥3000,整理得5x-14-≥0,又1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,可得3≤x≤10,故x的最小值是3.
14.解:(1)因为不等式y<0的解集为{x|1所以1和t为方程x2-3x+b=0 的两根,所以解得b=t=2.
(2)由题意知当1≤x≤4时,x2-3x+2>kx2恒成立,两边同除以x2得,k<-+1.
令n=,则上述不等式等价于k<2n2-3n+1,≤n≤1,
所以有k<(2n2-3n+1)最小值,令s=2n2-3n+1=2-,≤n≤1,
所以当n=时,s最小值=-,所以实数k的取值范围为k<-.
15.CD [解析] 由x2-8|x|+a≤0,得a≤-x2+8|x|,令y=-x2+8|x|=作出该函数的图象如图所示.由图可知,当1216.解:(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元,
根据题意有y==++10≥2+10=30,当且仅当=,即x=100时取等号,所以该企业每月的产量为100个时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)设月利润为W万元,则W=x-1000-10x-=+13x-1000,由题知+13x-1000≥400,整理得x2+130x-14 000≥0,
所以x≥70,所以该企业每月生产不少于70个人形机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.