本章总结提升
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
1.若a>b,则(a-b)c>(b-a)c. ( )
2.若x>0,y>0,且x+y=2,则xy的最大值为1. ( )
3.若a>0,则函数y=ax2+ax-1的图象与x轴有两个交点. ( )
4.不等式-x2+x+12<0的解集是{x|x<-3或x>4}. ( )
5.若不等式x2-bx+3≥0的解集为R,则-2
6.甲、乙两辆车从A地沿同一路线到达B地,甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度a行走一半路程,用速度b行走另一半路程.若a≠b,则乙车先到达B地. ( )
◆ 题型一 不等式的性质与应用
[类型总述] (1)不等式性质的应用;(2)作差法比较两个数的大小.
例1 (1)已知a>0,b>0,且a≠b,M=+,N=a+b,则M与N的大小关系是 ( )
A.M≥N B.M>N
C.M≤N D.M(2)(多选题)已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是 ( )
A.若>,则a>b
B.若a>b且ab>0,则a2>b2
C.若a2>b2且ab>0,则>
D.若-1<2a+b<1,-1变式 (1)若A=-y2+4x-3,B=x2+2x+2y,则A,B的大小关系为 ( )
A.A>B B.AC.A=B D.无法确定
(2)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b>0,c|c|,则≥
C.已知-1≤a+b≤4,2≤a-b≤3,则≤3a-2b≤
D.若a,b,c为互不相等的正数,且a2+b2=2bc,则ac+b2>ab+bc
◆ 题型二 基本不等式及其应用
[类型总述] (1)利用基本不等式求最值;(2)利用基本不等式证明不等式;(3)基本不等式的实际应用.
例2 (1)(多选题)[2025·长郡中学高一期中] 已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是 ( )
A.xy的最大值为
B.+的最大值为2
C.+的最小值为
D.x2+y2的最大值为
(2)实数x,y满足x2+2xy-3y2=1,则x2+y2的最小值是 .
变式 (1)(多选题)[2025·广州一中高一期中] 下列选项正确的是 ( )
A.若x∈R,则的最小值是2
B.若ab<0,则+的最大值为-2
C.已知x,y>0,xy=x+y+3,则xy的取值范围是[9,+∞)
D.已知x,y>0,x+2y=xy,则2x+y的最小值为8
(2)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则 ( )
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
(3)已知x,y为实数,若4x2+xy+y2=1,则2x+y的最大值为 .
例3 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,且50≤x≤100.假设汽油的价格是每升8元,而卡车每小时耗油升,司机的工资是每小时80元.
(1)求这次行车总费用y(单位:元)关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用.
变式 如图是某水产养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小;
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过20米,则小网箱两相邻边长x,y分别为多少米时,可使网衣和筛网的合计造价最低
◆ 题型三 一元二次不等式及其应用
[类型总述] (1)一元二次不等式的解法;(2)一元二次不等式的解集与二次函数零点.
例4 (1)(多选题)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是 ( )
A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.当a<0时,不等式的解集为
C.当a<0时,不等式的解集为
D.当a=-时,不等式的解集为
(2)[2025·厦门一中高一月考] 若x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2A.-2B.-2C.-4
D.-变式 (1)(多选题)[2025·长郡中学高一月考] 已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的是 ( )
A.a<0
B.不等式cx2-bx+a<0的解集为
C.a+b+c<0
D.+的最小值为-4
(2)若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是 .
本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] 当c=0时,(a-b)c=(b-a)c=0.
2.√ [解析] 由2=x+y≥2(当且仅当x=y=1时等号成立),得xy≤1,所以xy的最大值为1.
3.√ [解析] 因为a>0,所以Δ=a2+4a>0,所以函数y=ax2+ax-1的图象与x轴有两个交点.
4.√ [解析] 由-x2+x+12<0得x2-x-12>0,即(x+3)(x-4)>0,解得x<-3或x>4.
5.× [解析] 依题意得Δ=(-b)2-4×3≤0,解得-2≤b≤2.
6.× [解析] 设从A地到B地的路程为s,甲车用的时间为t1,乙车用的时间为t2,则a+b=s,所以t1=,t2=+=,因为-=-==-<0,即t1【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)AD [解析] (1)因为M-N=-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)·=,又a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,所以-(a+b)>0,即M>N,故选B.
(2)对于A,因为c2+1>0,>,所以a>b,故A正确;对于B,a2-b2=(a+b)(a-b),由a>b且ab>0,可知a-b>0,但a+b的范围不确定,故无法判断a2与b2的大小,故B错误;对于C,不妨设a>b>0,则-=<0,即<,故C错误;对于D,令4a-b=m(2a+b)+n(a-b),则4a-b=(2m+n)a+(m-n)b,所以所以m=1,n=2,所以4a-b=(2a+b)+2(a-b),因为-1<2a+b<1,-1变式 (1)B (2)ACD [解析] (1)因为B-A=(x2+2x+2y)-(-y2+4x-3)=(x-1)2+(y+1)2+1>0,所以A(2)对于A,由ac2>bc2,得c2>0,故a>b,因此A正确;对于B,取a=4,b=3,c=-2,d=-1,则==,==,显然<,因此B错误;对于C,3a-2b=(a+b)+(a-b),因为-1≤a+b≤4,2≤a-b≤3,所以-≤(a+b)≤2,5≤(a-b)≤,则≤(a+b)+(a-b)≤,即≤3a-2b≤,因此C正确;对于D,由a,b,c为互不相等的正数,可得a2+b2>2ab,又a2+b2=2bc,所以2bc>2ab,即c>a,所以c(a+b)>a(a+b),即ac+bc>a2+ab,所以ac+2bc>a2+ab+bc,又a2+b2=2bc,所以ac+a2+b2>a2+ab+bc,即ac+b2>ab+bc,因此D正确.故选ACD.
题型二
例2 (1)BC (2)
[解析] (1)∵x>0,y>0且3x+2y=10,∴0(2)由x2+2xy-3y2=1,得(x+3y)(x-y)=1,则可设x+3y=t,x-y=,t≠0,所以x=,y=,所以x2+y2=≥=,当且仅当t2=时取等号,即x2+y2的最小值是.
变式 (1)BC (2)ACD (3)
[解析] (1)对于A,因为==+≥2=2,当且仅当=时等号成立,但是此时x无实数解,故A错误;对于B,ab<0,则+=-≤-2=-2,当且仅当a=-b时等号成立,故B正确;对于C,因为x,y>0且xy=x+y+3,所以xy=x+y+3≥2+3,即(+1)(-3)≥0,解得≥3或≤-1(舍去),所以xy≥9,当且仅当x=y=3时取等号,即xy的取值范围是[9,+∞),故C正确;对于D,因为x,y>0且x+2y=xy,所以+=1,所以2x+y=(2x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即x=y=3时取等号,故D错误.故选BC.
(2)对于A选项,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A选项正确;对于B选项,由基本不等式可得+=(3a+3b)=[(a+2b)+(2a+b)]=≥=,当且仅当a=b=时,等号成立,B选项错误;对于C选项,a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×==,当且仅当a=b=时,等号成立,C选项正确;对于D选项,(+)2=a+b+2≤2(a+b)=2,则+≤,当且仅当a=b=时,等号成立,D选项正确.故选ACD.
(3)因为4x2+y2≥4xy,当且仅当2x=y时等号成立,所以4x2+y2+xy≥5xy,当且仅当2x=y时等号成立,则1≥5xy,即xy≤,所以(2x+y)2=4x2+4xy+y2=1+3xy≤,所以-≤2x+y≤,即2x+y的最大值为.
例3 解:(1)卡车行驶时间为小时,则y=×8×+80×=130,所以这次行车总费用y关于x的表达式是y=130,50≤x≤100.
(2)由(1)知,y=130≥130×2=,当且仅当=,即x=12时等号成立,
故当x=12时,这次行车的总费用最低,最低费用为元.
变式 解:(1)依题意,4x·2y=108,
则xy=,设筛网总长度为L米,
则L=4x+6y,L=4x+6y≥2=2=36,
当且仅当即时,筛网总长度L最小,
所以每个小网箱的长为米,宽为3米时,围成的网箱中筛网总长度最小.
(2)方法一:依题意,4x·2y=160,
则xy=20,即y=,
设总造价为P元,则P=(8x+4y)×112+(4x+6y)×96=×112+×96=1280·≥1280×2=10 240,
由得解得2≤x≤5.
所以当且仅当x=,即x=4,y=5时,造价P最低,所以小网箱两条相邻边长分别为4米和5米时,可使网衣和筛网的合计造价最低.
方法二:依题意,4x·2y=160,则xy=20,设总造价为P元,则P=(8x+4y)×112+(4x+6y)×96=1280x+1024y=256(5x+4y)≥256×2=10 240,
由得
所以当且仅当5x=4y且xy=20,即x=4,y=5时,造价P最低.
所以小网箱两条相邻边长分别为4米和5米时,可使网衣和筛网的合计造价最低.
题型三
例4 (1)AD (2)D [解析] (1)当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确.由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为;若
即-(2)因为x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2变式 (1)AB (2)-2≤m<-1或30,故C错误;因为a<0,b=-a,c=-12a,所以-3a+4>4,则+=-6a=+2(-3a+4)-8≥2-8=-4,当且仅当=2(-3a+4),即a=1或a=时,等号成立,与a<0矛盾,所以+取不到最小值-4,故D错误.故选AB.
(2)不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1.当m>1时,-m<-1,解不等式得-m-1,解不等式得-1《全品学练考》(共39张PPT)
本章总结提升
题型一 不等式的性质与应用
题型二 基本不等式及其应用
题型三 一元二次不等式及其应用
答案核查
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
1.若，则 .( )
×
[解析] 当时， .
2.若,,且,则 的最大值为1.( )
√
[解析] 由（当且仅当 时等号成立）,
得,所以 的最大值为1.
3.若,则函数的图象与 轴有两个交点.( )
√
[解析] 因为,所以,
所以函数 的图象与 轴有两个交点.
4.不等式的解集是或 .( )
√
[解析] 由得,即 ,
解得或 .
5.若不等式的解集为,则 .( )
×
[解析] 依题意得,解得 .
6.甲、乙两辆车从地沿同一路线到达地，甲车一半时间的速度为 ，
另一半时间的速度为；乙车用速度行走一半路程，用速度 行走另
一半路程.若，则乙车先到达 地.( )
×
[解析] 设从地到地的路程为,甲车用的时间为 ,乙车用的时间为,
则,所以, ,
因为 ,
即,所以甲车先到达 地.
题型一 不等式的性质与应用
［类型总述］（1）不等式性质的应用;（2）作差法比较两个数的大小.
例1（1）已知,，且，， ，
则与 的大小关系是( )
A. B. C. D.
√
，
又
，且，所以，， ，
所以，即 ，故选B.
（2）（多选题）已知，， ，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若且，则
C.若且，则
D.若，，则
√
√
[解析] 对于A，因为，，所以 ，故A正确;
对于B，，由且 ，可知，
但的范围不确定，故无法判断与 的大小，故B错误;
对于C，不妨设，则，即 ，故C错误;
对于D，令 ，
,所以
所以 ，，所以，
因为 ,,所以 ，
即，故D正确.故选 .
变式（1）若,，则， 的大小关
系为( )
A. B. C. D.无法确定
[解析] 因为，所以 .故选B.
√
（2）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,,,则
C.已知,,则
D.若,,为互不相等的正数,且,则
[解析] 对于A,由,得,故 ,因此A正确;
对于B,取,,,,则, ,
显然,因此B错误;
√
√
√
对于C, ,因为,,
所以 , ,则 ,
即,因此C正确;
对于D,由,, 为互不相等的正数,可得,
又,所以，即 ,
所以,即 ,
所以,又 ,
所以,即 ,因此D正确.
故选 .
题型二 基本不等式及其应用
［类型总述］（1）利用基本不等式求最值;（2）利用基本不等式证
明不等式;（3）基本不等式的实际应用.
例2（1）（多选题）［2025·长郡中学高一期中］ 已知，
且 ，则下列结论正确的是( )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
√
√
[解析] ，且，， .
对于A，利用基本不等式得 ，化简得，
当且仅当，即,时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B, ，
当且仅当，即,时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C，，当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最小值为 ，故C正确；
对于D， ，
利用二次函数的性质知，当时， 取得最小值，
所以，
对任意 ，，，
故D错误.故选 .
（2）实数,满足，则 的最小值是_ ____.
[解析] 由，得 ,
则可设,,，所以, ,
所以，
当且仅当 时取等号，即的最小值是 .
变式（1）（多选题）［2025·广州一中高一期中］ 下列选项正确的
是( )
A.若，则 的最小值是2
B.若，则的最大值为
C.已知，，，则的取值范围是
D.已知，，，则 的最小值为8
[解析] 对于A，因为
，当且仅当时等号成立，
√
√
但是此时 无实数解，故A错误；
对于B，，则 ，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C,因为, 且,所以 ,
,解得或 （舍去）,
所以,当且仅当时取等号,即的取值范围是 ,
故C正确；
对于D,因为,且,所以 ,
所以 ,
当且仅当,即时取等号,故D错误.故选 .
（2）（多选题）设正实数，满足 ，则( )
A.有最大值 B. 有最小值3
C.有最小值 D.有最大值
[解析] 对于A选项，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得
，
√
√
√
当且仅当 时，等号成立，B选项错误；
对于C选项，
，当且仅当 时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，，
则 ，当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选 .
（3）已知,为实数，若，则 的最大值为
_____.
[解析] 因为,当且仅当 时等号成立，
所以,当且仅当时等号成立，
则 ,即,所以 ,
所以,即的最大值为 .
例3 运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米，且
．假设汽油的价格是每升8元，而卡车每小时耗油
升，司机的工资是每小时80元．
（1）求这次行车总费用（单位：元）关于 的表达式；
解：卡车行驶时间为 小时，
，
所以这次行车总费用关于的表达式是， .
例3 运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米，且
．假设汽油的价格是每升8元，而卡车每小时耗油
升，司机的工资是每小时80元．
（2）当 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
解：由（1）知， ，
当且仅当，即 时等号成立，
故当时，这次行车的总费用最低，最低费用为 元.
变式 如图是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避
免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽 设计为
多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
解：依题意， ，则，
设筛网总长度为 米，则 ，
，
当且仅当即时，筛网总长度 最小，
所以每个小网箱的长为 米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小.
变式 如图是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避
免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的
造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过20米，则小网箱两相邻
边长， 分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？
解：方法一：依题意， ，
则，即 ，设总造价为 元，
，
由得解得 .
所以当且仅当，即,时，造价 最低，
所以小网箱两条相邻边长分别为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计
造价最低.
方法二：依题意，，则，设总造价为 元，
，
由得
所以当且仅当且，即,时，造价 最低.
所以小网箱两条相邻边长分别为4米和5米时，可使网衣和筛网的合
计造价最低.
题型三 一元二次不等式及其应用
［类型总述］（1）一元二次不等式的解法;（2）一元二次不等式的
解集与二次函数零点.
例4（1）（多选题）关于的不等式 ,下列说
法正确的是( )
A.当时,不等式的解集为
B.当时,不等式的解集为
C.当时,不等式的解集为
D.当时,不等式的解集为
√
√
[解析] 当时,不等式为,解得 ,
所以不等式的解集为,故A正确.
由 可得,
当时,对应方程 的两根为,4,
若即,则原不等式的解集为 ;
若 即,则原不等式的解集为;
若 ,即,则原不等式的解集为 ,故B，C不正确,D正确.
故选 .
（2）［2025·厦门一中高一月考］若，是关于 的方程
的解，且满足，则 的取值范围
是( )
A. B.
C.或 D.
√
[解析] 因为，是关于的方程 的解，
,所以在 上有两个零点，
所以解得则，
所以 的取值范围是 .故选D.
变式（1）（多选题）［2025·长郡中学高一月考］ 已知关于 的不
等式的解集为 ，则下列说法正确的
是( )
A.
B.不等式的解集为
C.
D.的最小值为
√
√
[解析] 因为关于的不等式 的解集为，
所以,4是方程 的两根，且，故A正确；
所以解得 所以，
即，则 ，解得，
所以不等式 的解集为，故B正确；
，故C错误；
因为
，
当且仅当 ，即或时，等号成立，
与矛盾，所以 取不到最小值，故D错误.
故选 .
（2）若关于的不等式 的解集中恰有两个整
数,则实数 的取值范围是_________________________.
或
[解析] 不等式可化为 ,
由已知得.
当时,,解不等式得 ；
当时,,解不等式得 .
由不等式的解集中恰有两个整数可得或,
解得 或 .
快速核答案
知识辨析 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.×
素养提升 题型一 例1 （1）B （2）AD 变式 （1）B （2）ACD
题型二 例2 （1）BC （2） 变式 （1）BC （2）ACD （3） 例3 （1），/m>
（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元
变式 （1）每个小网箱的长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小
（2）小网箱两条相邻边长分别为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低
题型三 例4（1）AD （2）D 变式（1）AB （2）或