滚动习题(三)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.不等式-x2-x+2≥0的解集为 ( )
A.{x|-2
B.{x|x<-2或x≥1}
C.{x|-2≤x≤1}
D.{x|x≤-2或x≥1}
2.已知a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)<0
C.b20
3.若m=x2+y2,n=2(x+y-1),则m与n的大小关系是 ( )
A.mC.m>n D.m≥n
4.“a>2”是“关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解”的 ( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充分不必要条件
5.[2025·广州一中高一月考] 已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤3},则≥0的解集为 ( )
A.
B.{x|-3≤x≤2}
C.
D.
6.[2025·湖南湘潭高一期中] 已知x∈(0,5),则-x的最小值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.[2025·人大附中高一期中] 小明和小强做一个数学游戏,规则如下:首先由小明和小强各出一个实数a和b,满足ab≠1,然后由裁判对a和b分别进行两种数学运算:
(1)乘法运算:a×b=ab;
(2)“*”运算:a*b=.
若a×b=a*b,则判定小强获胜;若a×b≠a*b,则判定小明获胜.
现有下面三个结论:
①若小明和小强都出正数,则小明不可能获胜;
②若小明和小强都出负数,则小强有可能获胜;
③若小明出负数,则小强总能出一个正数使自己获胜.
其中正确结论的序号为 ( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3A.a<0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>6}
D.不等式cx2+bx+a<0的解集为
9.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式错误的是 ( )
A.a2+b2≤8 B.≤
C.+≤2 D.+≤1
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.设实数x,y满足1≤x≤2,6≤y≤8,则的取值范围是 .
11.[2025·唐山高一期中] 已知某商品的原价为a元,由于市场原因,先降价p%(012.[2025·宁波中学高一月考] 已知a,b满足a2+ab-2b2=1,则3a2-2ab的最小值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)[2025·北京西城区高一期末] 已知实数a,b满足-1(1)求a+b和ab的取值范围;
(2)证明:1+ab>a+b.
14.(15分)如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD,其长为36米,宽为24米,现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为a米与b米且均不小于3米,要求“转角处(图中矩形AEFG)”的面积为12平方米.
(1)试用a表示草坪的面积S(a),并指出a的取值范围.
(2)如何设计人行道的宽度a,b才能使草坪的面积最大 并求出草坪的最大面积.
15.(15分)[2025·北师大附属实验中学高一月考] 已知关于x的方程x2-(2m+4)x+m2=0有两个不相等的正实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若+=7,求m的值;
(3)若+=2,求m的取值范围.
滚动习题(三)
1.C [解析] 由-x2-x+2≥0,得x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1,∴解集为{x|-2≤x≤1}.故选C.
2.A [解析] 由得又b>c,∴ab>ac,故A一定成立.∵b-a<0,c<0,∴c(b-a)>0,故B不成立.若b2=0,则可验证C不成立,而ac<0,a-c>0,∴ac(a-c)<0,故D不成立.故选A.
3.D [解析] m-n=x2+y2-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2≥0,所以m≥n,当且仅当x=y=1时取等号.故选D.
4.D [解析] 若关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解,则Δ=(a+2)2-8a=(a-2)2>0,得a≠2.由“a>2”可以推出“a≠2”,由“a≠2”不能推出“a>2”,所以“a>2”是“关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解”的充分不必要条件.故选D.
5.D [解析] 因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤3},所以a<0且-2,3是ax2+bx+c=0的根,所以所以b=-a,c=-6a,a<0,则≥0可转化为≥0,即≤0,解得-16.C [解析] 由题意得5-x>0,则-x=+5-x-5≥2-5=3,当且仅当=5-x,即x=1时,等号成立.故-x的最小值为3.故选C.
7.B [解析] 对于①,若a=1,b=2,则a×b=2,a*b==-3,此时a×b≠a*b,故小明获胜,故①错误;对于②,若a=-1,b=-1-,则a×b=1+,a*b===+1,此时a×b=a*b,故小强获胜,故②正确;对于③,由a<0,b>0以及a*b=a×b可得=ab,故+=1-ba,故ab2+b+1=0,故Δ=-4a>0,则b=,由于b>0,取b=,因此对任意的a<0,总能找到b=,使得a*b=a×b,故③正确.故选B.
8.ABD [解析] 由于不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-30,故A,B均正确;对于C,不等式bx+c>0即为ax-6a>0,故x-6<0,即x<6,故C错误;对于D,不等式cx2+bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1<0,解得-9.ABD [解析] 对于A,由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,又a+b=4,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,即a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时等号成立,故A中不等式错误;对于B,由a+b=4可得a+b=4≥2,即010.3≤≤8 [解析] 因为1≤x≤2,所以≤≤1,又因为6≤y≤8,所以×6≤≤1×8,即3≤≤8,所以的取值范围是3≤≤8.
11.低于 [解析] 由题意可得第一次降价后的售价为a(1-p%)元,第二次提价后的售价为a(1-p%)(1+p%)元,因为012.2 [解析] 由a2+ab-2b2=1,得(a+2b)(a-b)=1,令a+2b=m,则a-b=,解得a=+,则3a-2b=a+2(a-b)=+,因此3a2-2ab=a(3a-2b)==≥=2,当且仅当m2=,即m2=4时取等号,所以3a2-2ab的最小值为2.
13.解:(1)因为-1当-1当0当0又当a=0或b=0时,ab=0.
综上,-1(2)证明:因为1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b),又-1则0<1-a<2,0<1-b<2,
所以1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b)>0,即1+ab>a+b.
14.解:(1)由条件知ab=12,所以b=,因为b≥3,a≥3,所以b=≥3,得a≤4,所以3≤a≤4,所以S(a)=(36-2a)(24-b)=(36-2a)=-48+888,所以S(a)=-48+888(3≤a≤4).
(2)由(1)知,S(a)=-48+888≤-48×2+888=600,当且仅当=a,即a=3时取等号,即a=3,b=4时,S(a)取得最大值600.所以当人行道的宽度a=3,b=4时才能使草坪的面积最大,且草坪的最大面积为600平方米.
15.解:(1)由题意知Δ=(2m+4)2-4m2=16m+16>0,则m>-1,
x1+x2=2m+4>0,则m>-2,
x1x2=m2>0,则m≠0,所以m>-1且m≠0.
(2)+===7,
整理得5m2-16m-16=0,
解得m=4或m=-,经检验符合题意.
(3)(+)2=x1+x2+2=2m+4+2=2m+4+2|m|.
①当-1因此+=2,符合题意;
②当m>0时,(+)2=2m+4+2m=4m+4>4,
因此+>2,不符合题意.
综上,m的取值范围是-1《全品学练考》(共29张PPT)
滚动习题（三）范围
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.不等式 的解集为( )
A. B.或
C. D.或
[解析] 由，得 ，即，
解得，
解集为 .故选C.
√
2.已知，，满足且 ，那么下列选项中一定成立的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得又， ，故A一定成立．
，，，故B不成立．
若 ，则可验证C不成立.
而，， ，故D不成立．
故选A.
√
3.若，，则与 的大小关系是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
所以，当且仅当 时取等号.故选D.
√
4.“”是“关于的不等式 有解”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件
[解析] 若关于的不等式 有解，
，得.
由“ ”可以推出“”，由“”不能推出“”，
所以“”是“关于 的不等式 有解”的充分
不必要条件.故选D.
√
5.［2025·广州一中高一月考］已知关于的不等式
的解集为，则 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为不等式的解集为 ，
所以且，3是的根，所以
所以，，，则可转化为 ，
即，解得 .故选D.
6.［2025·湖南湘潭高一期中］已知，则 的最小值
为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
[解析] 由题意得 ，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立.
故 的最小值为3.故选C.
√
7.［2025·人大附中高一期中］小明和小强做一个数学游戏，规则如
下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足 ，然后由裁
判对和 分别进行两种数学运算：
（1）乘法运算： ；
（2）“*”运算： .
若，则判定小强获胜；若 ，则判定小明获胜.
现有下面三个结论：
①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜；
②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜；
③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜.
其中正确结论的序号为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
√
[解析] 对于①,若,，则, ，
，故小明获胜，故①错误；
对于②,若 ,，则,
，此时，故小强获胜，故②正确；
对于③,由 , 以及可得,故 ，
故，故 ，
则，由于，取 ，
因此对任意的,总能找到，使得 ，
故③正确.故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.已知关于的不等式的解集为 ，
则( )
A.
B.
C.不等式的解集为
D.不等式的解集为
√
√
√
[解析] 由于不等式的解集为 ，
所以和是 的两个实数根,
所以故, ,
，故A，B均正确；
对于C,不等式即为,故,即 ,故C错误；
对于D,不等式即为 ,
即，解得，故D正确.故选 .
9.若,,且 ,则下列不等式错误的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，由 可得
,
又 ,所以,即,
当且仅当 时等号成立,故A中不等式错误;
√
√
√
对于B，由 可得,即,所以,
当且仅当 时等号成立,故B中不等式错误;
对于C，由 可得,
所以可得 ,即,
当且仅当 时等号成立,故C中不等式正确;
对于D,易知
,
即,当且仅当时等号成立,故D中不等式错误.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.设实数,满足,，则 的取值范围是__________.
[解析] 因为，所以，
又因为 ，所以，即，
所以的取值范围是 .
11.［2025·唐山高一期中］已知某商品的原价为 元，由于市场原因，
先降价出售，一段时间后，再提价 出售，则该
商品提价后的售价______该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”）
低于
[解析] 由题意可得第一次降价后的售价为 元，
第二次提价后的售价为元，
因为 ，所以，
所以 ,
即该商品提价后的售价低于该商品的原价.
12.［2025·宁波中学高一月考］已知，满足 ，则
的最小值为___.
2
[解析] 由，得 ，
，则，解得 ，
，因此 ，
当且仅当，即时取等号，所以 的最小值为2.
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）［2025·北京西城区高一期末］ 已知实数， 满足
， .
（1）求和 的取值范围；
解：因为,,所以 .
当,时,, ,此时 ；
当,时,,
此时 ,所以 ；
当,时,,
此时 ,所以 ；
当,时, ；
又当或时, .
综上, .
13.（13分）［2025·北京西城区高一期末］ 已知实数, 满足
， .
（2）证明： .
证明：因为，
又 ， ，
则， ，
所以，即 .
14.（15分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩
形空地 ，其长为36米，宽为24米，现要在此空
地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道
宽度为米与 米且均不小于3米，要求“转角处
（图中矩形 ）”的面积为12平方米.
（1）试用表示草坪的面积，并指出 的取值范围.
解：由条件知,所以，
因为, ，所以，得，
，
.
14.（15分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩
形空地 ，其长为36米，宽为24米，现要在此空
地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道
宽度为米与 米且均不小于3米，要求“转角处
（图中矩形 ）”的面积为12平方米.
（2）如何设计人行道的宽度， 才能使草坪的面积最大？并求出草
坪的最大面积.
解：由(1)知,，
当且仅当，即时取等号，
时， 取得最大值600.
所以当人行道的宽度, 时
才能使草坪的面积最大，
且草坪的最大面积为600平方米.
15.（15分）［2025·北师大附属实验中学高一月考］ 已知关于 的方
程有两个不相等的正实数根, .
（1）求 的取值范围；
解：由题意知，则 ，
，则 ，
，则 ，
所以且 .
15.（15分）［2025·北师大附属实验中学高一月考］ 已知关于 的方
程有两个不相等的正实数根, .
（2）若，求 的值；
解： ，
整理得 ，
解得或 ，经检验符合题意.
15.（15分）［2025·北师大附属实验中学高一月考］ 已知关于 的方
程有两个不相等的正实数根, .
（3）若，求 的取值范围.
解： .
①当时， ，
因此 ，符合题意；
②当时， ，
因此 ，不符合题意.
综上，的取值范围是 .
快速核答案
一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.C 7.B
二、8.ABD 9.ABD
三、10. 11.低于12.2
四、13.（1）， （2）证明略
14.（1） （2）当人行道的宽度,
时才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为600平方米
15.（1）且 （2）或 （3）