3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
1.[2025·江苏南京六校高一月考] 下列各图象中,可作为函数图象的是 ( )
A B C D
2.下列关于函数y=f(x)的说法正确的是 ( )
①y是x的函数;②x是y的函数;③对于不同的x,y也不同;④f(a)表示当x=a时,f(x)的函数值是一个常数.
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
3.已知函数f(x)=,若f(a)=2,则a的值为 ( )
A. B. C. D.-
4.(多选题)集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是 ( )
A B C D
5.[2025·北师大附属实验中学高一月考] 函数f(x)=的定义域为 ( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x>1}
C.{x|x<1或x>1}
D.{x|0≤x<1或x>1}
6.已知集合M={-2,1,2,4},N={1,2,4,8,16},下列四个对应关系,能构成从M到N的函数的是 ( )
A.f:x→y=2x B.f:x→y=x+3
C.f:x→y=2|x| D.f:x→y=x2-2
7.已知函数f(x)=,则f[f(16)]= .
8.已知函数f(x)由下表给出,若f(x0)=f(1)+f(3)·f(4),则x0= .
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 2
9.(13分)(1)求下列函数的定义域.
①y=;
②y=·;
③y=;
④y=.
(2)已知f(x-1)的定义域为{x|2≤x≤3},求f(3x+2)的定义域.
10.[2025·江苏南通高一期中] 已知函数f(x-1)的定义域为{x|2A.{x|1C.{x|111.(多选题)在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.若记圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…小数点后面第n位上的数字为y,则y是关于n的函数,记为y=f(n).设此函数的定义域为A,值域为B,则关于此函数,下列说法正确的是 ( )
A.-2 A
B.3.14∈B
C.f(4)=5
D.B={x∈N|x<10}
12.某位同学暑假期间要在八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计划是:第一天记忆300个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量.则该同学记忆的单词总个数y与记忆天数x的函数关系式为 .
13.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数k的取值范围是 .
14.(15分)试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2(015.(多选题)定义在R上的函数f(x),对于任意的x,y都有f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则 ( )
A.f(0)=1 B.f(-1)=-2
C.f(2)f(3)=64 D.f(10)=2f(9)
16.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2),f,f(3),f的值.
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f之间有什么关系 证明你的发现.
(3)求f(2)+f+f(3)+f+…+f(2025)+f的值.
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
1.A [解析] 由一个x值对应唯一一个y值可知A正确,B,C,D错误.故选A.
2.A [解析] 易知①④正确,②错误;根据函数的定义知,对于不同的x,y可以相同,例如f(x)=1,故③错误.故选A.
3.A [解析] 由f(a)=2,得=2,解得a=.故选A.
4.AC [解析] 选项A,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应,故是函数;选项B,集合A中存在数3在集合B中没有对应的,故不是函数;选项C,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个与之对应,故是函数;选项D,集合A中存在数5在集合B中有2个数与之对应,故不是函数.故选AC.
5.D [解析] 由解得x≥0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为{x|0≤x<1或x>1}.故选D.
6.C [解析] A选项,当x=-2时,y=-4,而-4 N,故A错误;B选项,当x=4时,y=4+3=7,而7 N,故B错误;C选项,当x=±2时,y=4∈N,当x=1时,y=2∈N,当x=4时,y=8∈N,故y=2|x|满足要求,C正确;D选项,当x=1时,y=12-2=-1,而-1 N,D错误.故选C.
7.2 [解析] ①由题意知,在f(x)=中,f(16)==4,∴f[f(16)]=f(4)==2.
8.2 [解析] f(x0)=f(1)+f(3)·f(4)=1+1×2=3,则x0=2.
9.解:(1)①由题意知,解得x≤0且x≠-,
∴其定义域为.
②由题意知,解得x=1,∴其定义域为{x|x=1}.
③由题意知,解得x<0,且x≠-1,
∴其定义域为{x|x<0且x≠-1}.
④由题意知,解得x≤4且x≠1且x≠3,∴其定义域为{x|x≤4且x≠1且x≠3}.
(2)在函数f(x-1)中,2≤x≤3,则1≤x-1≤2,
因此在函数f(3x+2)中,1≤3x+2≤2,解得-≤x≤0,
所以函数f(3x+2)的定义域为.
10.B [解析] 函数f(x-1)的定义域为{x|211.ACD [解析] 根据函数的定义可知,定义域为N*,值域为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},f(4)=5,故选ACD.
12.y=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10} [解析] 根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,则y=300+(x-1)×50=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10}.
13.k≥ [解析] 由题可得,kx2-4x+3≥0对任意x∈R恒成立,当k=0时,不满足题意;当k≠0时,要使kx2-4x+3≥0对任意x∈R恒成立,则有解得k≥.所以实数k的取值范围是k≥.
14.解:某地“桃花节”观赏人数逐年增加,设2023年的观赏人数为10万人次,观赏人数的年平均增长率为x(015.AD [解析] 令x=1,y=0得f(1+0)=f(1)f(0),因为f(1)=2,所以2=2f(0),即f(0)=1,故A正确;令x=-1,y=1得f(-1+1)=f(-1)f(1),即f(0)=f(-1)f(1),所以1=2f(-1),所以f(-1)=,故B错误;f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=2×2=4,f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=2×4=8,所以f(2)f(3)=4×8=32,故C错误;f(5)=f(2+3)=f(2)f(3)=4×8=32,f(10)=f(5+5)=f(5)f(5)=32×32,f(4)=f(2+2)=f(2)f(2)=4×4=16,f(9)=f(5+4)=f(5)f(4)=32×16,所以f(10)=2f(9),故D正确.故选AD.
16.解:(1)因为f(x)==1-,所以f(2)=1-=,f=1-=,f(3)=1-=,f=1-=.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f=1.
证明如下:f(x)+f=+=+=1.
(3)由(2)知f(x)+f=1,所以f(2)+f=1,f(3)+f=1,f(4)+f=1,…,f(2025)+f=1,所以f(2)+f+f(3)+f+…+f(2025)+f=2024.(共58张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念（一）
探究点一 函数概念的理解
探究点二 求函数的定义域
探究点三 求函数的值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解函数概念:（1）能够利用图示法描述两个实数集的元素之
间的对应关系去理解函数;（2）对于具体函数,能正确分清函数的定
义域、对应关系与值域这三个要素;（3）对于给定的函数,能根据自
变量的值计算对应的函数值.
知识点一 函数的有关概念
函数的概 念 一般地，设，是______________，如果对于集合 中
的_____________，按照某种确定的对应关系 ，在集合
中都有_______________和它对应，那么就称________
______为从集合到集合 的一个函数
函数的记 法 ______________
定义域 叫作自变量， 的___________叫作函数的定义域
非空的实数集
任意一个数
唯一确定的数
,
取值范围
值域 与的值相对应的 值叫作函数值，函数值的集合______
____________
叫作函数的值域，值域是集合 的子集.
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的定义域中的任何一个数可以对应值域中不同的 .( )
×
[解析] 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数 ，在值域中都
有唯一确定的数 与之对应.
（2）对于函数,其定义域就是集合,值域就是集合 .( )
×
[解析] 由函数定义可知，定义域就是集合,但值域是集合 的子集.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的定义域和值域一定是无限数集.( )
×
[解析] 函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，
但一定不是空集，如函数，定义域为，值域为 .
（4）函数的值域为 .( )
×
[解析] 的值域为 .
2.如果函数 的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
解:不确定，例如函数的定义域为，，，值域为 ，，
则对应关系可能为或 .
知识点二 常见函数的定义域、值域
1.一次函数 的定义域为___，值域为___.
2.反比例函数 的定义域为_________________，值域为
_________________.
3.二次函数 的定义域为___.当_______时,值
域为_ _____________;当______时,值域为______________.
或
或
探究点一 函数概念的理解
角度1 函数的判断
例1（1）（多选题）下列各图象中，是函数图象的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A，由图可知，有很大部分的有两个 的值与其对应，
所以不是函数图象，所以A错误；
对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个 的值和它对应，
所以是函数图象，所以B正确；
对于C，由图可知，有很大部分的有两个 的值与其对应，所以不
是函数图象，所以C错误；
对于D，由图可知，定义域内的每一个 都只有一个 的值和它对应，
所以是函数图象，所以D正确.
故选 .
（2）（多选题） 给出下列四个对应关系，其中能构成函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，每一个自变量都有唯一确定的数与之对应，可以构
成函数，A正确；
对于B，自变量3没有对应的数，不能构成函数，B错误；
对于C，自变量2同时对应了两个数，不能构成函数，C错误；
对于D，每一个自变量都有唯一确定的数与之对应，可以构成函数，
D正确.故选 .
√
√
变式 （多选题）以下从到 的对应关系表示函数的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.,，, ,
√
√
[解析] 对于A选项，因为 ,而0没有倒数，故A选项错误；
对于B选项，因为任意实数的绝对值都是非负数，即集合 中的每一
个数在集合 中都有唯一确定的数与之对应，故B选项正确；
对于C选项，因为每个正数的平方根都有两个，即集合中的每个数
在集合 中都有两个数与之对应，故C选项错误；
对于D选项，因为,当,时，
有, ,且每个对应唯一的值，故必有成立,故D选项
正确.
故选 .
［素养小结］
1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于轴的直线；
（2）在定义域内平行移动直线；
（3）若与图形有且只有一个交点，则是函数，若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法
角度2 构建问题情境
例2 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 来描述．
解：已知正方形的面积为，求正方形的边长，则 .
变式 构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式
来描述.
解：已知长方形的面积为220，其中一边的长为 ，求长方形
的另一边的长，则 .
探究点二 求函数的定义域
例3（1）函数 的定义域为________________.
[解析] 要使函数 有意义，
解得，
所以函数 的定义域为 .
（2）函数 的定义域为________________.
且
[解析] 由题得解得且，
故函数 的定义域为且 .
变式 求下列函数的定义域.
（1） ;
解：由题意可得解得且 ,
故该函数的定义域为且 .
（2） .
解：由题意得解得 ，
故该函数的定义域是 .
［素养小结］
求函数的定义域应关注三点：
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准
则一般是：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；
要求.
（2）不对解析式化简变形，以免定义域发生变化.
（3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式
构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
拓展（1）已知函数的定义域为 ，则
实数 的取值范围为_ _________.
[解析] 的定义域为 ，
在上恒成立.
当时， 恒成立，符合题意；
当时， ，
解得.
综上， .
（2）已知函数的定义域是 ,则
的定义域是 _______________.
[解析] 的定义域是,
令 , 解得,
的定义域是 .
（3）已知函数的定义域为 ,则函数
的定义域为 ________________.
[解析] 函数的定义域为,
所以 ，则，
对于函数,得 ,故,
所以函数的定义域为 .
探究点三 求函数的值
例4 已知函数且， .
（1）求， 的值；
解： ， .
， .
（2）求 的值.
解： .
变式（1）若函数，则 的值是___.
3
[解析] 在中，令，得 .
（2）已知函数，.若 ，则
___.
2
[解析] 函数，， ，
则，解得 .
［素养小结］
求函数值的方法及关注点：
（1）方法：①已知的解析式时，只需用替换解析式中的即得
的值；②求的值应遵循由里往外的原则.
（2）关注点：用来替换解析式中的数必须是函数定义域内的值，
否则求值无意义.
拓展 设函数的定义域为， ，
若，则 等于( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] ，令，则 ，
即，可得；
令 ，则，即，
可得；
令 , ，可得 .
故选D.
理解函数的概念应关注五点
（1）“,是非空的实数集”,一方面强调了,只能是实数集,即, 中
的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就
是说定义域为空集的函数是不存在的.
（2）理解函数的概念时要注意,函数的定义域是非空数集 ,但函数的
值域不一定是非空数集,而是集合 的子集.
（3）函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.即对于非空
数集中的任意一个（任意性）元素 ,按照某种确定的对应关系，在
非空数集中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 与之对应.这
“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
（4）仅仅是函数符号,不是表示“等于与的乘积”, 也
不一定就是解析式.
（5）除外,有时还用,,, 等符号来表示函数.
整体法
根据函数解析式或实际问题求出函数的自变量的取值范围.
例1 设函数的定义域为 ，要使函数
有定义，则 的取值范围为___________.
[解析] 由题知函数 的定义域为
且.
当时，应有 ，所以；
当时，应有，所以.
故 的取值范围是 .
例2 已知三次函数 ,
且,,,则
( )
A.2024 B.2028 C.2032 D.2036
[解析] 设,则 ,
所以 ,
所以,所以 .
故选D.
√
练习册
1.［2025·江苏南京六校高一月考］下列各图象中，可作为函数图象
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由一个值对应唯一一个 值可知A正确，B，C，D错误.故选A.
√
2.下列关于函数 的说法正确的是( )
是的函数；是的函数；③对于不同的，也不同；
表示当时， 的函数值是一个常数.
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
[解析] 易知①④正确,②错误；
根据函数的定义知,对于不同的 ,可以相同,例如 ,故③错误.
故选A.
√
3.已知函数，若，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，解得 .故选A.
√
4.（多选题）集合，与对应关系如图所示，则 是从集合
到集合 的函数的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 选项A，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个数与之
对应，故是函数；
选项B，集合中存在数3在集合 中没有对应的，故不是函数；
选项C，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个与之对应，
故是函数；
选项D，集合中存在数5在集合 中有2个数与之对应，故不是函数.
故选 .
5.［2025·北师大附属实验中学高一月考］函数 的定义
域为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 由解得且，
所以函数 的定义域为或 .故选D.
√
6.已知集合,1,2,,,2,4,8， ，下列四个对应关系，
能构成从到 的函数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] A选项，当时，，而 ，故A错误；
B选项，当时，，而 ，故B错误；
C选项，当时，，当时，，
当 时，，故满足要求，C正确；
D选项，当 时，，而 ，D错误.
故选C.
√
7.已知函数，则 ___.
2
[解析] ①由题意知，在中， ，
.
8.已知函数由下表给出，若，则 ___.
1 2 3 4
1 3 1 2
2
[解析] ，则 .
9.（13分）
（1）求下列函数的定义域.
① ；
解：由题意知，解得且 ，
其定义域为 .
② ；
解：由题意知，解得， 其定义域为 .
（1）求下列函数的定义域.
③ ；
解：由题意知，解得，且 ，
其定义域为且 .
④ .
解：由题意知，解得且且，
其定义域为且且 .
9.（13分）
（2）已知的定义域为，求 的定义域.
解： 在函数中，，则 ，
因此在函数中，，解得 ，
所以函数的定义域为 .
10.［2025·江苏南通高一期中］已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为( )
A.} B. }
C. D.
[解析] 函数的定义域为，故 ，
若函数有意义，则解得 ，
则函数的定义域为 }.故选B.
√
11.（多选题）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的
少年能将圆周率 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当
主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位
上的数字．若记圆周率
小数点后
面第位上的数字为，则是关于的函数，记为 ．设此函
数的定义域为，值域为 ，则关于此函数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 根据函数的定义可知，定义域为，值域为 ，1，2，3，4，
5，6，7，8，，，故选 ．
12.某位同学暑假期间要在八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计
划是:第一天记忆300个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的
单词的基础上增加50个新单词的记忆量.则该同学记忆的单词总个数
与记忆天数 的函数关系式为________________________________.
,
[解析] 根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词,第一天后的每一
天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,
, .
13.已知函数的定义域为，则实数 的取值范
围是______.
[解析] 由题可得，对任意恒成立，
当 时，不满足题意；
当时，要使对任意 恒成立，
则有解得.
所以实数的取值范围是 .
14.（15分）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式
描述．
解：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2023年的观赏人数为10万
人次，观赏人数的年平均增长率为 ，预计2025年的观赏
人数为万人次，那么， .
15.（多选题）定义在上的函数,对于任意的, 都有
,且 ,则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 令,得,因为 ,
,即,故A正确;
令， 得,即,
所以 ,所以,故B错误;
,
,
所以 ，故C错误;
,
,
,
,
所以 ，故D正确.
故选 .
16.（15分）已知函数 .
（1）求，，， 的值.
解:因为，所以 ，
，， .
16.（15分）已知函数 .
（2）由（1）中求得的结果，你能发现与 之间有什么关系？
证明你的发现.
解:由（1）中求得的结果发现 .
证明如下： .
16.（15分）已知函数 .
（3）求 的值.
解:由（2）知,
所以, ,
, , ,
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 非空的实数集 任意一个数 唯一确定的数
, 取值范围
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× （4）× 2.不确定
知识点二 1. 2.或 或
3.
课中探究 探究点一 角度1 例1（1）BD （2）AD 变式 BD 角度2 例2略 变式略
探究点二 例3 （1） （2）且
变式 （1）且 （2）
拓展 （1） （2） （3）
探究点三 例4 （1）（2） 变式(1)3 (2)2 拓展 D
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.A 4.AC 5.D 6.C 7.2 8.2 9（1）①
② ③且 ④且且（2）
10.B 11.ACD 12., 13.
14. 某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2023年的观赏人数为10万人次，观
赏人数的年平均增长率为，预计2025年的观赏人数为万人次，那
么，. 15.AD
16.（1），，， （2）证明略
（3）3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
【学习目标】
理解函数概念:(1)能够利用图示法描述两个实数集的元素之间的对应关系去理解函数;(2)对于具体函数,能正确分清函数的定义域、对应关系与值域这三个要素;(3)对于给定的函数,能根据自变量的值计算对应的函数值.
◆ 知识点一 函数的有关概念
函数的概念 一般地,设A,B是 ,如果对于集合A中的 ,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 和它对应,那么就称 为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
定义域 x叫作自变量,x的 叫作函数的定义域
值域 与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合 叫作函数的值域,值域是集合B的子集.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的定义域中的任何一个数x可以对应值域中不同的y. ( )
(2)对于函数f:A→B,其定义域就是集合A,值域就是集合B. ( )
(3)函数的定义域和值域一定是无限数集. ( )
(4)函数y=1+x2的值域为{y|y>1}. ( )
2.如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗
◆ 知识点二 常见函数的定义域、值域
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域为 ,值域为 .
2.反比例函数y=(k≠0)的定义域为 ,值域为 .
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 .当 时,值域为 ;当 时,值域为 .
◆ 探究点一 函数概念的理解
角度1 函数的判断
例1 (1)(多选题)下列各图象中,是函数图象的是 ( )
A B C D
(2)(多选题) 给出下列四个对应关系,其中能构成函数的是 ( )
A B C D
变式 (多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是 ( )
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x|
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2
[素养小结]
1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l;
(2)在定义域内平行移动直线l;
(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数,若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法
角度2 构建问题情境
例2 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y=来描述.
变式 构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=(x>0)来描述.
◆ 探究点二 求函数的定义域
例3 (1)函数f(x)=+的定义域为 .
(2)函数f(x)=+的定义域为 .
变式 求下列函数的定义域.
(1)y=(x-1)0+;
(2)f(x)=+.
[素养小结]
求函数的定义域应关注三点:
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般是:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形,以免定义域发生变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
拓展 (1)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为 .
(2)已知函数y=f(x)的定义域是{x|-2≤x≤3},则y=f(2x-1)的定义域是 .
(3)已知函数f(2x-1)的定义域为{x|-1≤x≤2},则函数f(1-x)的定义域为 .
◆ 探究点三 求函数的值
例4 已知函数f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f[g(2)]的值.
变式 (1)若函数g(x+2)=2x+3,则g(2)的值是 .
(2)已知函数f(x)=,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a= .
[素养小结]
求函数值的方法及关注点:
(1)方法:①已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值;②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义.
拓展 设函数y=f(x)的定义域为{x|x>0},f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=6,则f(3)等于 ( )
A. B.2 C. D.
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
【课前预习】
知识点一
非空的实数集 任意一个数x
唯一确定的数y f:A→B
y=f(x),x∈A 取值范围A
{f(x)|x∈A}
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)根据函数的定义,对于定义域中的任意一个数x,在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
(2)由函数定义可知,定义域就是集合A,但值域是集合B的子集.
(3)函数的定义域和值域不一定是无限集合,也可以是有限集,但一定不是空集,如函数f(x)=x,定义域为{1},值域为{1}.
(4)y=1+x2的值域为{y|y≥1}.
2.解:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系可能为f(x)=x2或f(x)=|x|.
知识点二
1.R R
2.{x|x<0或x>0} {y|y<0或y>0}
3.R a>0 a<0
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BD (2)AD [解析] (1)对于A,由图可知,有很大部分的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以A错误;对于B,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y的值和它对应,所以是函数图象,所以B正确;对于C,由图可知,有很大部分的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以C错误;对于D,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y的值和它对应,所以是函数图象,所以D正确.故选BD.
(2)对于A,每一个自变量都有唯一确定的数与之对应,可以构成函数,A正确;对于B,自变量3没有对应的数,不能构成函数,B错误;对于C,自变量2同时对应了两个数,不能构成函数,C错误;对于D,每一个自变量都有唯一确定的数与之对应,可以构成函数,D正确.故选AD.
变式 BD [解析] 对于A选项,因为0∈M,而0没有倒数,故A选项错误;对于B选项,因为任意实数的绝对值都是非负数,即集合M中的每一个数在集合N中都有唯一确定的数与之对应,故B选项正确;对于C选项,因为每个正数的平方根都有两个,即集合M中的每个数在集合N中都有两个数与之对应,故C选项错误;对于D选项,因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,当x≥2,x∈N*时,有y≥2,y∈N*,且每个x对应唯一的y值,故必有y∈N*成立,故D选项正确.故选BD.
例2 解:已知正方形的面积为x(x>0),求正方形的边长y,则y=.
变式 解:已知长方形的面积为220,其中一边的长为x(x>0),求长方形的另一边的长y,则y=(x>0).
探究点二
例3 (1){x|-1≤x≤1} (2){x|x≥0且x≠1} [解析] (1)要使函数f(x)=+有意义,则需满足解得-1≤x≤1,所以函数f(x)=+的定义域为{x|-1≤x≤1}.
(2)由题得解得x≠1且x≥0,故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}.
变式 解:(1)由题意可得解得x>-1且x≠1,故该函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
(2)由题意得解得-4拓展 (1)0≤m≤ (2) (3){x|-2≤x≤4}
[解析] (1)f(x)=的定义域为R,所以mx2+3mx+m+1≥0在R上恒成立.当m=0时,1≥0恒成立,符合题意;当m≠0时,mx2+3mx+m+1≥0,所以
解得0(2)∵y=f(x)的定义域是{x|-2≤x≤3},∴令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定义域是.
(3)函数f(2x-1)的定义域为{x|-1≤x≤2},所以-1≤x≤2,则-3≤2x-1≤3,对于函数f(1-x),得-3≤1-x≤3,故-2≤x≤4,所以函数f(1-x)的定义域为{x|-2≤x≤4}.
探究点三
例4 解:(1)∵f(x)=,
∴f(2)==.
∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
(2)f[g(2)]=f(6)==.
变式 (1)3 (2)2 [解析] (1)在g(x+2)=2x+3中,令x=0,得g(2)=3.
(2)∵函数f(x)=,g(x)=ax2-x(a∈R),∴g(1)=a-1,则f[g(1)]=f(a-1)==1,解得a=2.
拓展 D [解析] f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=3,则f(3)+f(3)=f(9),即2f(3)=6,可得f(3)=3;令x=y=,则f()+f()=f(3),即2f()=3,可得f()=;令x=3,y=,可得f(3)=f(3)+f()=3+=.故选D.
