3.1.1 第2课时 函数的概念（二）（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　函数的概念(二)
【学习目标】
　　1.会判断两个函数是否为同一个函数.
　　2.能正确使用区间表示数集.
　　3.会求一些简单函数的值域.
◆ 知识点一　区间表示
设a,b∈R,且a定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|x◆ 知识点二　同一个函数
1.函数的三要素:　　　　、　　　　　和　　　　.
2.如果两个函数的　　　　　　,并且　　　　　　　　　　,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗
◆ 探究点一　区间的应用
例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
(2){x|-1(3){x|2≤x≤8且x≠5};
(4){x|3[素养小结]
用区间表示数集时需注意:
(1)区间左端点值小于右端点值;
(2)区间两端点之间用“,”隔开;
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号;
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)下列集合不能用区间的形式表示的个数为 (　 )
①{0,1,5,10};②{x|21,x∈Q}.
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)已知[a,2-a2]为一确定区间,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.[-2,1] D.[-1,2]
◆ 探究点二　同一函数的判断
例2 (1)(多选题)下列各组函数中,两个函数是同一个函数的有 (　 )
A.f(x)=x0,g(x)=1
B.f(x)=|x|,g(x)=
C.f(x)=x2,g(x)=
D.f(x)=x2,g(t)=t2
(2)试判断函数y=·与函数y=是否为同一个函数,并说明理由.
变式 判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由.
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一条直角边的长为x cm,直角三角形的面积为y cm2,则表示y与x关系的函数y=x(20-x)和u=-v2+10v.
(2)f(x)=πx2(x>0)和圆的面积S关于圆的半径r的函数.
[素养小结]
判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点:
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
◆ 探究点三　求函数的值域
例3 求下列函数的值域.
(1)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3];
(2)f(x)=x-;
(3)f(x)=.
变式 求下列函数的值域:
(1)f(x)=(x>1);
(2)f(x)=.
[素养小结]
求函数值域时,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法,常用方法如下:
(1)观察法:对于一些比较简单的函数, 通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域.
(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.
(4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求原函数的值域.
拓展 求f(x)=的值域.
第2课时　函数的概念(二)
【课前预习】
知识点二
1.定义域　对应关系(解析式)　值域
2.定义域相同
对应关系(解析式)完全一致
诊断分析
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1,两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如图所示.
(2){x|-1(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8],用数轴表示如图所示.
(4){x|3变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)区间形式可以表示连续数集,是无限集.①②是自然数集的子集,③是空集,均为有限集,都不能用区间形式表示;④是图形的集合,不是数集;⑥Q是有理数集,数轴上大于1的有理数不是连续的;只有⑤能用区间的形式表示,区间形式为(-∞,0]∪[3,+∞).故选D.
(2)因为[a,2-a2]为一确定区间,所以a<2-a2,即a2+a-2<0,解得-2探究点二
例2　(1)BD　[解析] 对于A,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为R,所以两函数不是同一个函数;对于B,两函数的定义域都为R,且=|x|,所以两函数是同一个函数;对于C,函数f(x)=x2的定义域为R,而函数g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,所以两函数不是同一个函数;对于D,两函数的定义域都为R,且对应关系相同,所以两函数是同一个函数.故选BD.
(2)解:不是同一个函数.对于函数y=·,
由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1}.对于函数y=,由(x+1)(x-1)≥0,解得x≥1或x≤-1,故定义域为{x|x≥1或x≤-1}.显然两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.
变式　解:(1)不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同,但是前者的定义域为(0,20),后者的定义域为R.
(2)是同一个函数,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.
探究点三
例3　解:(1)f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,∵x∈[0,3],∴x-1∈[-1,2],∴-(x-1)2+2∈[-2,2],即函数f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]的值域为[-2,2].
(2)f(x)=x-=-,
∵≥0,∴-≥-,即函数f(x)=x-的值域为.
(3)方法一:因为f(x)===2+,且≠0,所以f(x)≠2,所以原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
方法二:令y=,则x=(y≠2),所以原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
变式　解:(1)由于f(x)===-2+(x>1),
因为x>1,所以x+1>2,则0<<,即0<<2,
故-2<-2+<0,所以f(x)的值域为(-2,0).
(2)因为f(x)==,
所以0≤f(x)≤,
所以原函数的值域为.
拓展　解:方法一:令y=,因为x∈R,所以关于x的方程(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0有解.
当y-1=0,即y=1时,x=0;
当y-1≠0时,Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,整理得3y2-10y+3≤0,可得≤y<1或1综上,原函数的值域为.
方法二:令y=,则y===1-.
当x=0时,y=1;当x≠0时,y=1-=1-,当x>0时,因为x+≥2,当且仅当x=1时取等号,所以0<≤,
所以≤1-<1,当x<0时,
因为x+≤-2,当且仅当x=-1时取等号,
所以-1≤<0,
所以1<1-≤3.
综上,原函数的值域为.第2课时　函数的概念(二)
1. 函数f(x)=的定义域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[-3,3]
B.(-3,3)
C.(-3,1)∪(1,3)
D.[-3,1)∪(1,3]
2.下列区间与集合{x|x<-2或x≥0}相对应的是 (　 )
A.(-2,0)
B.(-∞,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2)∪[0,+∞)
D.(-∞,-2]∪(0,+∞)
3.(多选题)[2025·荆州中学高一月考] 下列各组函数不是同一个函数的是 (　 )
A.f(x)=x2与g(x)=()4
B.f(x)=与g(x)=x-1
C.f(x)=1与g(x)=x0
D.f(x)=与g(x)=x
4.已知函数y=f(x),x∈[-2,2]的相关数据如下:
x [-2,0) 0 (0,2]
y 1 0 -2
设f(1)=m,f(x)的值域为M,则 (　 )
A.m=-2,M={-2,0,1}
B.m=-2,M={y|-2≤y≤1}
C.m=1,M={-2,0,1}
D.m=1,M={y|-2≤y≤1}
5.函数y=,x∈[0,2]的值域为 (　 )
A.[-2,0]
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.[0,1]
D.(-2,1)
6.(多选题)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是 (　 )
A.y=()2 B.y=+1
C.y= D.y=
7.已知区间(4p-1,2p+1),则p的取值范围为　　　　.
8.写出一个定义域为{x|x≠5},值域为{y|y≠-1}的函数f(x)=　　　　　　.
9.(13分)(1)求下列函数的值域:
①f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2];
②y=;
③y=;
④y=1+x+.
(2)若函数y=f(x)的值域是[-1,3],求函数g(x)=3-2f(x+1)的值域.
10.[2025·浙江精诚联盟高一月考] 已知函数f(x)的定义域和值域都是[0,1],则函数f()的定义域和值域分别为 (　 )
A.[1,]和[-1,0] B.[1,]和[0,1]
C.[-1,0]和[-1,0] D.[-1,0]和[0,1]
11.(多选题)已知函数f(x)=(m∈R)的定义域为P,值域为Q,则下列说法正确的是 (　 )
A.若m=0,则P=R
B.若m=2,则P=R
C.若m=0,则Q=[0,+∞)
D.若m=2,则Q=[2,+∞)
12.若函数f(x)和g(x)的值域相同,但定义域不同,则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)=x2+2,写出一个与f(x)是“同象函数”的函数g(x)=　　　　　.
13.y=的值域是　　　　　　　.
14.(15分)已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数f(x)的定义域和值域都是[1,m](m>1) 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
15.[2025·山东菏泽高一期中] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉.函数y=[x]称为高斯函数,其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=+,则函数y=[f(x)]的值域是　　　　.
16.(15分)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数y=3-2x的图象的稳定点;
(2)若函数y=的图象有两个关于原点对称的稳定点,求a的值及函数的图象的稳定点;
(3)已知函数y=ax2+(b+1)x+(b-4)(a≠0),若对任意实数b,函数的图象恒有两个相异的稳定点,求a的取值范围.
第2课时　函数的概念(二)
1.D　[解析] 由可得
故-3≤x≤3且x≠1,则函数f(x)=的定义域是[-3,1)∪(1,3].故选D.
2.C　[解析] x<-2可以表示为(-∞,-2),x≥0可以表示为[0,+∞).故选C.
3.ABC　[解析] 对于A,函数f(x)=x2的定义域为R,g(x)=()4的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数;对于B,函数f(x)==|x-1|,g(x)=x-1,所以两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数;对于C,函数f(x)=1的定义域为R,g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数;对于D,函数f(x)==x与g(x)=x的定义域与对应关系都相同,所以是同一个函数.故选ABC.
4.A　[解析] 由表可知f(1)=-2,即m=-2,函数的值域为{1,0,-2},故选A.
5.A　[解析] y===1-,因为x∈[0,2],所以x+1∈[1,3],所以∈[1,3],所以1-∈[-2,0],所以函数y=,x∈[0,2]的值域为[-2,0].故选A.
6.BC　[解析] 由题意知函数y=x+1的定义域为R,值域为R.y=()2的定义域为[-1,+∞),与函数y=x+1的定义域不同,不是同一个函数,故A错误;y=+1=x+1的定义域为R,定义域和对应关系与y=x+1均相同,是同一个函数,故B正确;y==x+1的定义域为R,定义域和对应关系与y=x+1均相同,是同一个函数,故C正确;y=的定义域为{x∈R|x≠1},与函数y=x+1的定义域不同,不是同一个函数,故D错误.故选BC.
7.(-∞,1)　[解析] 由题意得4p-1<2p+1,解得p<1,即p的取值范围为(-∞,1).
8.-1(答案不唯一)　[解析] 因为f(x)=的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0},所以函数f(x)=-1的定义域为{x|x≠5},值域为{y|y≠-1}.
9.解:(1)①f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3,因为x∈[-2,2],所以x-1∈[-3,1],所以(x-1)2∈[0,9],所以f(x)的值域为[-3,6].
②令t=x2-4x+6,得t=(x-2)2+2,
故t∈[2,+∞),
所以函数的值域为[,+∞).
③因为函数的定义域为{x|x≠1},y==5+,
所以函数的值域为{y|y≠5}.
④由题意y=1+x+=-()2++,
令=t,t∈[0,+∞),
则y=-t2+t+,
由一元二次函数的图象和性质可知y=-t2+t+在[0,1]上y随x的增大而增大,在(1,+∞)上y随x的增大而减小,
所以y≤-×12+1+=2,即函数y=1+x+的值域为(-∞,2].
(2)因为函数y=f(x)的值域是[-1,3],所以函数y=f(x+1)的值域是[-1,3],则y=-2f(x+1)的值域是[-6,2],
所以函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为[-3,5].
10.D　[解析] 因为函数f(x)的定义域为[0,1],则0≤≤1,即-1≤x≤0,所以函数f()的定义域为[-1,0].又函数f(x)的值域为[0,1],所以f()的值域为[0,1].故选D.
11.BC　[解析] 当m=0时,f(x)=,由x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2,则函数f(x)的定义域P=(-∞,0]∪[2,+∞),故A错误;又函数y=x2-2x的图象的对称轴方程为x=1,且在(-∞,0]上,y随x的增大而减小,在[2,+∞)上,y随x的增大而增大,所以当x=0或2时,(x2-2x)min=0,则x2-2x≥0,即≥0,则函数f(x)的值域Q=[0,+∞),故C正确.当m=2时,f(x)=,因为x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以函数f(x)的定义域P=R,故B正确;又x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以≥1,则函数f(x)的值域Q=[1,+∞),故D错误.故选BC.
12.+2(答案不唯一)　[解析] f (x)的定义域为R,因为x2+2≥2,所以f(x)的值域为[2,+∞).若g(x)=+2,则g(x)的定义域为[0,+∞),因为≥0,所以+2≥2,所以g(x)的值域为[2,+∞),所以f(x)与g(x)的值域相同,定义域不同,所以f(x)和g(x)=+2是“同象函数”.
13.∪(3,+∞)　[解析] 由y=,得(y-3)x2+(y-3)x-(y+1)=0.当y=3时,方程无解,不符合题意;当y≠3时,要使方程有解,只需Δ=(y-3)2+4(y-3)(y+1)≥0,即5y2-14y-3≥0,可得y≤-或y>3.故函数y=的值域为∪(3,+∞).
14.解:f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,1)且图象开口向上.
∵m>1,∴当x∈[1,m]时,f(x)随x的增大而增大,要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],
则有∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0,解得m=3或m=1(舍去),∴存在实数m=3满足条件.
15.{-1,0,1}　[解析] 令y=,由x∈R,得yx2+(3y-1)x+4y=0,
当y=0时,有x=0;当y≠0时,有Δ=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y+1=-(7y-1)(y+1)≥0,解得-1≤y≤,又y≠0,所以-1≤y<0或016.解:(1)令3-2x=x,得x=1,故函数y=3-2x的图象的稳定点为(1,1).
(2)设点(x0,x0)是稳定点,则x0=,即2+(a-3)x0-18=0,
由题意知该方程有两个根,且这两个根互为相反数,
故(a-3)2-4×2×(-18)>0,-=0,解得a=3.
由2-18=0,得x0=±3,
则稳定点为(-3,-3),(3,3).
(3)对任意实数b,函数的图象恒有两个相异的稳定点,
即关于x的方程ax2+(b+1)x+(b-4)=x恒有两个不相等的实数根,
即关于x的方程ax2+bx+(b-4)=0恒有两个不相等的实数根,则Δ1=b2-4a(b-4)>0恒成立,
即关于b的方程b2-4ab+16a>0恒成立,
所以Δ2=16a2-4×16a<0,解得03.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第2课时 函数的概念（二）
探究点一 区间的应用
探究点二 同一函数的判断
探究点三 求函数的值域
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会判断两个函数是否为同一个函数.
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求一些简单函数的值域.
知识点一 区间表示
设，，且 ,规定如下：
定义 符号 数轴表示
___________________________________
__________________________________
__________________________________
_____________________________________
定义 符号 数轴表示
___________________________________
___________________________________
____________________________________
____________________________________
续表
知识点二 同一个函数
1.函数的三要素:________、____________________和______.
2.如果两个函数的____________,并且____________________________,
即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
定义域
对应关系（解析式）
值域
定义域相同
对应关系（解析式）完全一致
【诊断分析】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.
如 与,两个函数的定义域和值域均为实数集 ,
但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同.
探究点一 区间的应用
例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来：
（1） ；
解:用区间表示为 ，用数轴表示如图所示.
（2）或 ；
解:或用区间表示为 ，用数
轴表示如图所示.
例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来：
（3）且 ；
解:且用区间表示为 ，用数轴表示如
图所示.
（4） .
解:用区间表示为 ，用数轴表示如图所示.
［素养小结］
用区间表示数集时需注意：
（1）区间左端点值小于右端点值；
（2）区间两端点之间用“，”隔开；
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（4）以“ ”“ ”为区间的一端时，这端必须用小括号.
变式（1）下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )
；,}； ； 是等边三角
形}；或；, }.
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 区间形式可以表示连续数集，是无限集.
①②是自然数集的子集，③是空集，均为有限集，都不能用区间形式表示；
④是图形的集合，不是数集；
是有理数集，数轴上大于1的有理数不是连续的；
只有⑤能用区间的形式表示，区间形式为 .故选D.
√
（2）已知为一确定区间，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为一确定区间，
所以 ，即，解得 .故选A.
√
探究点二 同一函数的判断
例2（1）（多选题）下列各组函数中,两个函数是同一个函数的
有( )
A., B.,
C., D.,
√
√
[解析] 对于A,的定义域为,的定义域为 ,
所以两函数不是同一个函数;
对于B，两函数的定义域都为 ,且,所以两函数是同一个函数；
对于C，函数 的定义域为，而函数的定义域为
，定义域不同，所以两函数不是同一个函数；
对于D，两函数的定义域都为 ，且对应关系相同，所以两函数是
同一个函数.
故选 .
（2）试判断函数与函数 是
否为同一个函数，并说明理由.
解：不是同一个函数.
对于函数 ，由解得，
故定义域为 .
对于函数，由，
解得或 ，故定义域为或 .
显然两个函数的定义域不同，故不是同一个函数.
变式 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由.
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 ，其中一条
直角边的长为，直角三角形的面积为，则表示与 关系的
函数和 .
解：不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同，但是前者的定
义域为，后者的定义域为 .
（2）和圆的面积关于圆的半径 的函数.
解：是同一个函数，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，
故是同一个函数.
［素养小结］
判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点：
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，
即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、
因变量是没有限制的.
（3）在化简解析式时，必须是等价变形.
探究点三 求函数的值域
例3 求下列函数的值域.
（1）， ；
解：，
，，
，
即函数，的值域为 .
例3 求下列函数的值域.
（2） ；
解： ，
， ，
的值域为 .
例3 求下列函数的值域.
（3） .
解：方法一:因为，且 ，
所以，所以原函数的值域为 ．
方法二:令，则 ，
所以原函数的值域为 ．
变式 求下列函数的值域：
（1） ;
解：由于 ,
因为,所以,则，即 ,
故,所以的值域为 .
变式 求下列函数的值域：
（2） .
解：因为 ，
所以 ，
所以原函数的值域为 ．
［素养小结］
求函数值域时,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法，常
用方法如下:
（1）观察法：对于一些比较简单的函数, 通过对解析式的简单变形
和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.
（2）配方法：若函数是二次函数形式，即可化为
型的函数，则可通过配方再结合二次函数
的性质求值域.
（3）分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为
“反比例函数类”的形式,便于求值域.
（4）换元法:对于一些无理函数如 ,通过换元
把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求原
函数的值域.
拓展 求 的值域．
解：方法一:令，因为，
所以关于的方程 有解.
当，即时， ；
当时， ，
，可得或 ．
综上，原函数的值域为 ．
方法二:令，则 .
当时，；当时， ，
时，因为，当且仅当 时取等号，
，所以，
当 时，因为，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ．
综上，原函数的值域为 ．
同一个函数
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才是同一个函数.根据它们
之间的关系,判断两个函数是否为同一个函数,主要看它们的定义域和对
应关系是否相同,因为只要定义域相同、对应关系相同,则值域就相同.
1.求函数值域的方法
（1）代入法
根据函数的定义域结合函数的对应关系求出函数的值域.
例1 求函数, 的值域.
解:当时,;当时,;当时,;当 时,.
所以函数,的值域为 .
（2）整体换元法
根据函数解析式求出函数的值域.
例2 已知函数，求函数 的值域.
解： ,
设，则，且 ，
得 ,
,, 函数的值域为 .
2.函数建模法
在日常生活、生产中,函数就在我们身边,它的应用是非常广泛的,解题
时,应弄清题意,将实际问题中内在的、本质的联系抽象转化为数学问
题,进而建立函数模型,最后通过对数学问题的求解来解决实际问题.
练习册
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由可得
故且,则函数的定义域是 .
故选D.
√
2.下列区间与集合或 相对应的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 可以表示为,可以表示为 .故选C.
√
3.（多选题）［2025·荆州中学高一月考］ 下列各组函数不是同一个
函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
√
√
√
[解析] 对于A,函数的定义域为, 的定义域为
,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数;
对于B,函数, ,
所以两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数;
对于C,函数的定义域为 , 的定义域为
,两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数;
对于D,函数与 的定义域与对应关系都相同,
所以是同一个函数.
故选 .
4.已知函数， 的相关数据如下：
0
1 0
设，的值域为 ，则( )
A.，，0，
B.，
C.，，0，
D.，
√
[解析] 由表可知，即，函数的值域为，0， ，
故选A.
5.函数， 的值域为( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
因为 ，所以，所以，
所以 ，所以函数，的值域为 .
故选A.
√
6.（多选题）下列函数中，与函数 是同一个函数的
是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意知函数的定义域为，值域为 .
的定义域为，与函数 的定义域不同，
不是同一个函数，故A错误；
的定义域为 ,定义域和对应关系与 均相同，
是同一个函数，故B正确；
的定义域为 ，定义域和对应关系与均
相同，是同一个函数，故C正确；
的定义域为，与函数 的定义域不同，
不是同一个函数，故D错误.故选 .
7.已知区间，则 的取值范围为________．
[解析] 由题意得，
解得，即 的取值范围为 .
8.写出一个定义域为，值域为的函数
______________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为的定义域为，值域为 ，
所以函数的定义域为，值域为 .
9.（13分）
（1）求下列函数的值域：
①, ;
解：，因为 ，
所以，所以，所以的值域为 .
② ；
解：令，得 ，故 ，
所以函数的值域为 .
（1）求下列函数的值域：
③ ；
解：因为函数的定义域为， ，
所以函数的值域为 .
（1）求下列函数的值域：
④ .
解：由题意 ，
令， ，则 ，
由一元二次函数的图象和性质可知在上随 的
增大而增大，在上随 的增大而减小，
所以，即函数 的值域为
.
9.（13分）
（2）若函数的值域是，求函数
的值域.
解： 因为函数的值域是，
所以函数 的值域是，
则的值域是 ，
所以函数的值域为 .
10.［2025·浙江精诚联盟高一月考］已知函数 的定义域和值域都
是，则函数 的定义域和值域分别为( )
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 因为函数的定义域为，则 ，
，所以函数的定义域为.
又函数 的值域为，所以的值域为 .故选D.
√
11.（多选题）已知函数的定义域为 ，
值域为 ，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
√
√
[解析] 当时，，由，解得
或，则函数的定义域 ，故A错误；
又函数的图象的对称轴方程为，且在上，
随的增大而减小，在上，随的增大而增大，
所以当 或2时,,则,即 ，
则函数的值域，故C正确.
当 时，，因为 ，
所以函数的定义域 ，故B正确；
又 ，所以 ，
则函数的值域，故D错误.
故选 .
12.若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和
是“同象函数”．已知函数，写出一个与 是“同象函
数”的函数 ______________________.
（答案不唯一）
[解析] 的定义域为，因为,所以 的值域为.
若，则的定义域为，
因为 ，所以，所以的值域为，
所以与 的值域相同，定义域不同，
所以和 是“同象函数”.
13. 的值域是___________________.
[解析] 由,得 .
时,方程无解,不符合题意;
当 时,要使方程有解,只需,
即 ,可得或.
故函数的值域为 .
14.（15分）已知函数，是否存在实数 ，使得函
数的定义域和值域都是？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
解： 的图象的对称轴为直线，
顶点坐标为 且图象开口向上.
， 当时，随的增大而增大，
要使 的定义域和值域都是 ，则有
,即 ,解得或（舍去），
存在实数 满足条件.
15.［2025·山东菏泽高一期中］高斯是德国著名的数学家,近代数学
奠基者之一,享有“数学王子”的美誉.函数 称为高斯函数,其中
,表示不超过的最大整数,例如:, .已知函
数,则函数 的值域是_________.
,0,
[解析] 令,由,得 ,
当时,有;当 时,有
，
解得,又,所以或 .
综上可得,则,
故 的值域是,0, .
16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函
数的图象的稳定点.
（1）求函数 的图象的稳定点；
解：令，得，
故函数 的图象的稳定点为 .
16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函
数的图象的稳定点.
（2）若函数的图象有两个关于原点对称的稳定点，求 的
值及函数的图象的稳定点；
解：设点是稳定点，则 ,即 ，
由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数,
故，，解得 .
由，得 ，
则稳定点为， .
16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函
数的图象的稳定点.
（3）已知函数 ，若对任意实数
，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求 的取值范围.
解：对任意实数 ，函数的图象恒有两个相异的稳定点，
即关于的方程 恒有两个不相等的实数根，
即关于的方程 恒有两个不相等的实数根，
则 恒成立，
即关于的方程 恒成立，
所以，解得 .
快速核答案 （导学案）
课前预习 知识点二 1.定义域 对应关系（解析式） 值域
2.定义域相同 对应关系（解析式）完全一致 【诊断分析】 不一定
课中探究 探究点一 例1 （1）. .
（2）. .
（4）. 变式 （1）D （2）A
探究点二 例2 （1）BD （2）不是同一个函数.理由略
变式 （1）不是同一个函数.理由略 （2）是同一个函数.理由略
探究点三 例3 （1） （2） （3）
变式 （1） （2） 拓展 快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.ABC 4.A 5.A 6.BC 7. 8.（答案不唯一）
9（1）① ② ③ ④ （2）
10.D 11.BC 12.（答案不唯一） 13.
14. 存在实数满足条件
15.,0,
16.（1）/m> （2）.稳定点为，
（3）