3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
【学习目标】
理解函数的表示法:(1)熟练掌握函数表示的三种常用方法:解析法、图象法与列表法;(2)对于具体函数,能选择一种适当的方法将其表示出来;(3)对一些简单函数,能根据函数的解析式画出函数图象.
◆ 知识点一 函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 定 义
解析法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
2.三种表示方法的优缺点比较
优 点 缺 点
解析法 一是简明、抽象地揭示了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系,且揭示变量间的变化关系不够全面
(续表)
优 点 缺 点
图象法 直观形象地揭示出变量间的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大、不够精确
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. ( )
(2)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. ( )
(3)若f(x+1)=3x+2,则f(x)=3x-1. ( )
(4)函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是直线. ( )
◆ 知识点二 函数图象的平移变换
(1)左加右减:将函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
(2)上加下减:将函数y=f(x)的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
◆ 探究点一 函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求该彩电的销售量x(台)与收款额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
变式 (1)已知函数y=f(x)由下表给出,则f[f(3)-2]的值为 ( )
x x≤0 0y 1 2 3
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知完成某项任务的时间t(单位:分钟)与参加此项任务的人数x之间的关系式为t(x)=ax+.当x=2时,t=100;当x=14时,t=28.若参加此项任务的人数不能超过20,则函数t(x)的解析式为 .
[素养小结]
理解函数表示法的三个要点:
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方法表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
◆ 探究点二 函数的图象
例2 作出下列函数的图象.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2];
(4)y=|x+3|.
[素养小结]
1.一般地,作函数图象有以下三个步骤:
(1)列表;(2)描点;(3)连线.
2.作函数图象时应注意以下几点:
(1)在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
◆ 探究点三 函数解析式的求法
角度1 待定系数法求解析式
例3 (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)是二次函数,满足f(x+1)+f(2x-1)=-5x2-x,求函数f(x)的解析式.
变式 已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=-2x2-2x+1
B.f(x)=-2x2+2x+1
C.f(x)=-2x2-2x-1
D.f(x)=2x2-2x+1
[素养小结]
已知函数f(x)的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
角度2 换元法(或配凑法)求解析式
例4 (1)[2025·西安高一期中] 已知f(-1)=x-2,则g(x)=f(x+1)的解析式为 ( )
A.g(x)=(x+1)2-1(x≥-2)
B.g(x)=(x+1)2+1(x≥-1)
C.g(x)=x2-1(x≥-1)
D.g(x)=x2+1(x≥0)
(2)若f=,则当x≠0,且x≠1时,函数f(x)的解析式为f(x)= .
变式 (1)已知f(x+2)=2x+3,求f(x).
(2)已知f()=2x-3,求f(x).
[素养小结]
已知f[g(x)]=h(x)求f(x)的解析式,常用的方法有两种:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)得到一个含t的解析式,即可得函数f(x)的解析式,注意换元后新元的取值范围.
(2)配凑法,即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可得f(x)的解析式.注意g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.
角度3 方程组法求函数解析式
例5 (1)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4,则f(x)= .
(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,求f(x)的解析式.
变式 (1)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式.
(2)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1,求f(x)的解析式.
[素养小结]
已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组,通过解方程组求出f(x).
拓展 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则f(2024)= ( )
A.0 B.1
C.2024 D.2025
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
【课前预习】
知识点一
1.解析式 表格 图象
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)如f(x)=的图象就不是连续的曲线.
(2)两函数的定义域不同,则图象不同.
(3)因为f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(4)y=3x-1为一次函数,其图象是一条直线,因为f(x)的定义域为[1,5],所以f(x)的图象为线段.
【课中探究】
探究点一
例1 解:列表法:
x 1 2 3 4 5
y 3000 6000 9000 12 000 15 000
x 6 7 8 9 10
y 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
图象法:
解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
变式 (1)B (2)t(x)=x+(0(2)由题意知解得
所以t(x)=x+,又因为x≤20,x为正整数,所以函数t(x)的定义域是{x|0探究点二
例2 解:(1)列表:
x 0 1 2
y 1 3 5
描点、连线,y=2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示.
(2)列表:
x 2 3 4
y 1
描点、连线,y=,x∈[2,+∞)的图象如图所示.
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
描点、连线,y=x2+2x,x∈[-2,2]的图象如图所示.
(4)列表:
x -4 -3 -2 -1 0
y 1 0 1 2 3
描点、连线,y=|x+3|的图象如图所示.
探究点三
例3 解:(1)由题意,设函数f(x)=ax+b(a≠0).∵3f(x+1)-f(x)=2x+9,
∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9,
∴解得∴函数f(x)的解析式为f(x)=x+3.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(x+1)+f(2x-1)=5ax2+(3b-2a)x+2(a+c)=-5x2-x,
∴解得∴f(x)的解析式为f(x)=-x2-x+1.
变式 A [解析] 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,又f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+1-(ax2+bx+1)=4x,即-2ax+a-b=4x,故解得a=b=-2,则f(x)的解析式为f(x)=-2x2-2x+1.故选A.
例4 (1)A (2)(x≠0,且x≠1) [解析] (1)已知f(-1)=x-2=(-1)2-1,设t=-1≥-1,所以f(t)=t2-1,t≥-1.要使g(x)=f(x+1)有意义,则需x+1≥-1,解得x≥-2,所以g(x)=(x+1)2-1(x≥-2).故选A.
(2)设t=(t≠0,且t≠1),则x=,∴f(t)==,∴f(x)=(x≠0,且x≠1).
变式 解:(1)因为f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以f(x)=2x-1.
(2)方法一(换元法):
令t=,则t≥0,x=t2+1,
f(t)=2(t2+1)-3,所以f(x)=2(x2+1)-3(x≥0).
方法二(配凑法):
f()=2()2+2-3=2()2+2-3,所以f(x)=2x2-3+2(x≥0).
例5 (1)3x+ [解析] ∵2f(x)+f(-x)=3x+4①,∴2f(-x)+f(x)=-3x+4②,由①②可得f(x)=3x+.
(2)解:在f(x)=2f·-1中,用代替x,得f=2f(x)·-1.
由消去f得f(x)=+(x>0).
变式 解:(1)在2f+f(x)=x(x≠0)①中,用替换x,得2f(x)+f=(x≠0)②,
由②得f=-2f(x)③,将③代入①,可得f(x)=-(x≠0),
所以f(x)的解析式为f(x)=-(x≠0).
(2)令x-1=t,则1-x=-t,x=t+1,
所以
可得f(t)=2t2+t+1,即f(x)的解析式为f(x)=2x2+x+1.
拓展 D [解析] 令x=y=0,可得-2f(0)=-2,所以f(0)=1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3①,将上式中的y全部换成-y,可得-f(-y)-2f(y)=-y-3②,联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2024)=2024+1=2025,故选D.3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.已知函数f(x)的对应值如表所示,则f[f(2)]等于 ( )
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 3 6 5 4 2 7
A.4 B.5
C.6 D.7
2.函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)= ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
3.已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于 ( )
A.π2 B.π
C. D.不能确定
4.函数f(x)=|x-1|-1的图象是 ( )
A B C D
5.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.[2025·重庆巴蜀中学高一期中] 函数f(x)满足f=x,则f(x)= ( )
A. B.
C. D.
7.列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过离A地300 km的C地,假设列车匀速前进,5 h后到达B地,则列车与C地间的距离y(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的函数图象为 ( )
A B C D
8.设f(x)=,则f[f(x)]= .
9.(13分)作出下列函数的图象.
(1)y=x-1,x∈Z,且|x|≤4;
(2)y=x2,x≥-1.
10.[2025·烟台高一期中] 已知函数y=与y=bx+c在同一坐标系下的大致图象如图所示,则函数y=ax2+bx+c的图象可能为 ( )
A B C D
11.(多选题)已知函数f(-1)=2x+-3,则 ( )
A.f(1)=7
B.f(x)=2x2+5x,x∈[0,+∞)
C.f(x)的最小值为-
D.f(x)的图象与x轴只有1个交点
12.已知函数f(x)=2x+3,g(x)=3x-k(k∈R).若f[g(x)]=g[f(x)]恒成立,则k= .
13.[2025·衡水高一期中] 如图,网格纸上的小正方形的边长均为1,一次函数f(x)的图象不仅平分正方形ABCD的面积,也平分矩形EFGH的面积,则f(x)= ,函数y=f[f(x)]的零点为 .
14.(15分)(1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式.
(2)已知f(+2)=x+4,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)满足f(x)+3f(-x)=2x2-4x,求函数f(x)的解析式.
(4)已知f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式.
15.(多选题)将某几何图形置于坐标系xOy中,直线l:x=t从左向右扫过,将该几何图形分成两部分,其中位于直线l左侧部分的面积为S,若函数S=f(t)的大致图象如图所示,则该几何图形可以是 ( )
A B C D
16.(1)已知f1(x)=,对于一切正整数n,都有fn+1(x)=f1[fn(x)],若f3(x0)=f6(x0),则f2025(x0)= .
(2)已知函数f(x)满足2f-f=x,则f(x)= .
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.D [解析] 由表可知f(2)=5,f(5)=7,所以f[f(2)]=f(5)=7,故选D.
2.A [解析] 方法一:令2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A.
方法二:设2x+1=t,则x=,f(t)=-3×+1=t2-2t+,即f(x)= x2-2x+,∴f(3)= -6+=-1.
3.B [解析] 因为π2∈R,所以f(π2)=π.
4.B [解析] 将y=|x|的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到f(x)=|x-1|-1的图象,故选B.
5.B [解析] 由题图可得f(3)=1,∴=1,∴f=f(1)=2.故选B.
6.A [解析] 设t=,则t+2tx=1-2x,即x=,代入f=x,可得f(t)=,故f(x)=.故选A.
7.C [解析] ∵列车匀速前进,∴列车的行驶速度v==100(km/h),∴列车在出发=3(h)后到达C地,此时距离C地0 km,即函数图象经过点(3,0),由此可排除A,B,D,故选C.
8.(x≠0且x≠1) [解析] f[f(x)]===(x≠0且x≠1).
9.解:(1)y=x-1的定义域为{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},函数图象如图所示.
(2)y=x2的定义域为{x|x≥-1},列表如下:
x -1 0 1 2
y 1 0 1 4
描点、连线,可得y=x2,x≥-1的图象如图所示.
10.D [解析] 从图象可知,函数y=的图象分布在第二、四象限,则a<0,一次函数y=bx+c的图象从左到右是上升的,且图象与y轴的交点位于正半轴上,则b>0,c>0,所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴为直线x=-,且->0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点位于正半轴上,D选项中的图象合乎题意.故选D.
11.AD [解析] 令t=-1≥-1,得=t+1,则x=(t+1)2,所以f(t)=2(t+1)2+(t+1)-3=2t2+5t,故f(x)=2x2+5x,x∈[-1,+∞),则f(1)=7,故A正确,B错误.f(x)=2x2+5x=2-,所以f(x)min=f(-1)=-3,f(x)的图象与x轴只有1个交点,故C错误,D正确.故选AD.
12.-6 [解析] 函数f(x)=2x+3,g(x)=3x-k(k∈R),由f[g(x)]=g[f(x)]恒成立,得2(3x-k)+3=3(2x+3)-k恒成立,可得-2k+3=9-k,解得k=-6.
13.-x+ - [解析] 如图,由图可知正方形ABCD的对称中心的坐标为(2,4),矩形EFGH的对称中心的坐标为.当且仅当一次函数f(x)的图象经过这两个对称中心时,正方形ABCD与矩形EFGH的面积恰能各自被其平分.设f(x)=ax+b,则解得则f(x)=-x+;又由f[f(x)]=-+=0,解得x=-,则函数y=f[f(x)]的零点为-.
14.解:(1)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1.
又因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,所以解得所以f(x)=x2-x+1.
(2)方法一(换元法):令t=+2, 则x=(t-2)2,t≥2,
故f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).
方法二(配凑法):f(+2)=x+4=x+4+4-4=(+2)2-4.
因为+2≥2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).
(3)因为f(x)+3f(-x)=2x2-4x,
所以f(-x)+3f(x)=2(-x)2-4(-x)=2x2+4x,两式联立消去f(-x)可得f(x)=x2+2x.
(4)令y=x,则f(x-x)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,
所以f(x)=x2+x+1.
15.BC [解析] 由已知图象可知面积S的增速经历三种变化,首先面积S的增速越来越大,之后面积S匀速增加,最后面积S的增速越来越小.对于A选项,由圆的性质可知,面积S的增速先越来越大,后越来越小,A选项错误;对于B选项,首先面积S的增速越来越大,之后面积S匀速增加,最后面积S的增速越来越小,B选项正确;对于C选项,首先面积S的增速越来越大,之后面积S匀速增加,最后面积S的增速越来越小,C选项正确;对于D选项,首先面积S的增速越来越小,之后面积S匀速增加,最后面积S的增速越来越大,D选项错误.故选BC.
16.(1)-1± (2)(x≠1)
[解析] (1)由f1(x)=,得f2(x)==x,∴f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=x,….由f3(x0)=f6(x0)得=x0,解得x0=-1±,∴f2025(x0)==x0=-1±.
(2)由2f-f=x①,得2f-f=-x②,由①②得3f=x,则f=x(x≠0),令1+=t,则x=(t≠1),所以f(t)=(t≠1),故f(x)=(x≠1).(共68张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
探究点一 函数的表示方法
探究点二 函数的图象
探究点三 函数解析式的求法
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解函数的表示法：（1）熟练掌握函数表示的三种常用方法:
解析法、图象法与列表法;（2）对于具体函数,能选择一种适当的方
法将其表示出来;（3）对一些简单函数，能根据函数的解析式画出
函数图象.
知识点一 函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 定 义
解析法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出______来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用______表示两个变量之间的对应关系
解析式
表格
图象
2.三种表示方法的优缺点比较
优 点 缺 点
解 析 法 一是简明、抽象地揭示了变量间 的关系;二是可以通过解析式求出 任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不
是所有的函数都可以用解析
法表示
列 表 法 不通过计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的
有限值的对应关系，且揭示
变量间的变化关系不够全面
图 象 法 直观形象地揭示出变量间的变化 情况，有利于通过图形研究函数 的某些性质 只能近似地求出自变量所对
应的函数值，有时误差较
大、不够精确
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
[解析] 如 的图象就不是连续的曲线.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数与 的图象相同.( )
×
[解析] 两函数的定义域不同，则图象不同.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若，则 .( )
√
[解析] 因为，所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数， 的图象是直线.( )
×
[解析] 为一次函数，其图象是一条直线，
因为 的定义域为，所以 的图象为线段.
知识点二 函数图象的平移变换
（1）左加右减：将函数的图象沿轴向左 或向右
平移个单位长度得到函数 的图象.
（2）上加下减：将函数的图象沿轴向上 或向下
平移个单位长度得到函数 的图象.
探究点一 函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求该彩电的销售
量（台）与收款额 （元）之间的函数关系，分别用列表法、图象
法、解析法表示出来.
解：列表法：
1 2 3 4 5
3000 6000 9000 12 000 15 000
6 7 8 9 10
18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
图象法：
解析法：，，2，3， ， .
变式（1）已知函数由下表给出，则 的值
为 ( )
1 2 3
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由表格可得，故 .
故选B.
√
（2）已知完成某项任务的时间 （单位：分钟）与参加此项任务的
人数之间的关系式为.当时，；当
时，.若参加此项任务的人数不能超过20，则函数 的解析
式为_ _______________________________.
[解析] 由题意知解得 所以，
又因为，为正整数，
所以函数 的定义域是，，
所以函数 的解析式为 .
［素养小结］
理解函数表示法的三个要点：
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方法
表示函数，都必须满足函数的概念.
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数
的角度描述函数.
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方
法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
探究点二 函数的图象
例2 作出下列函数的图象.
（1）， ；
解：列表：
0 1 2
1 3 5
描点、连线，, 的图象如图所示.
例2 作出下列函数的图象.
（2）， ；
解：列表：
2 3 4
1
描点、连线，， 的图象如图所示.
例2 作出下列函数的图象.
（3）， ；
解：列表：
0 1 2
0 0 3 8
描点、连线，, 的图象如图所示.
例2 作出下列函数的图象.
（4） .
解：列表：
0
1 0 1 2 3
描点、连线， 的图象如图所示.
［素养小结］
1.一般地,作函数图象有以下三个步骤:
（1）列表；（2）描点；（3）连线.
2.作函数图象时应注意以下几点：
（1）在定义域内作图；
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个
图象；
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点
等，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
探究点三 函数解析式的求法
角度1 待定系数法求解析式
例3（1）已知是一次函数，且满足 ，
求 的解析式.
解：由题意，设函数
，
，即 ，
解得 函数的解析式为 .
（2）已知是二次函数，满足 ,
求函数 的解析式.
解：设 ,
,
解得
的解析式为 .
变式 已知为二次函数,且满足, ,则
的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,因为,所以 ，
,
所以 ，
即，故解得，
则 的解析式为 .
故选A.
√
［素养小结］
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出
的解析式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定
系数，进而求出函数解析式.
角度2 换元法（或配凑法）求解析式
例4（1）［2025·西安高一期中］已知 ，则
的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 已知 ,设,
所以,.
要使 有意义,则需,解得,
所以 .
故选A.
√
（2）若，则当，且时，函数 的解析式为
_ ___________________.
，且
[解析] 设，且，则，
，
，且 .
变式（1）已知,求 .
解：因为,所以 .
（2）已知，求 .
解：方法一（换元法）
令，则， ，
，
所以 .
方法二（配凑法）
，所以 .
［素养小结］
已知求的解析式，常用的方法有两种：
（1）换元法，即令，解出，代入得到一个含的解析
式，即可得函数的解析式，注意换元后新元的取值范围.
（2）配凑法，即从的解析式中配凑出“”，即用来表
示，然后将解析式中的用代替即可得的解析式.注意
的取值范围即为的定义域.
角度3 方程组法求函数解析式
例5（1）已知函数满足，则
_ ______.
[解析] ①，
，
由①②可得 .
（2）已知函数的定义域为，且 ，
求 的解析式.
解：在中，用代替，得.
由消去得 .
变式（1）已知满足，求 的解析式.
解：在中，
用替换 ，得 ，
由②得③，
将③代入①，可得 ，
所以的解析式为 .
（2）已知，求 的解析式.
解：令，则， ，
所以
可得，即的解析式为 .
［素养小结］
已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另
外一个等式构成方程组，通过解方程组求出.
拓展 已知函数的定义域为 ，且
，则 ( )
A.0 B.1 C.2024 D.2025
[解析] 令，可得,所以,
再令 可得 ，
即,
将上式中的全部换成 ，可得,
联立①②可得 ,所以 ,
故选D.
√
函数图象的判断
要判断图象是否为某个函数的图象,首先要明确这个图象是否满足函
数的三要素.另外还需注意:①图象上的点的坐标 都满足关系
;②满足关系的点 都在其图象上.
1.待定系数法
已知函数解析式的类型求其解析式时,通常利用待定系数法求解.
例1（1）已知是一次函数，且,则
__________________.
或
[解析] 设 ,则
,
或
或 .
（2）已知为二次函数，且 ，求
的解析式.
解：设 ，
则 ，
所以解得所以 .
2.函数与方程法
在已知函数关系中含有可以对称代换的式子时,常用解方程（组）法
求其解析式.
例2 若,求 .
解:由已知得 ,
所以 ,
联立①②消去，得 .
例3 已知函数的定义域为，并且对任意实数， 都有
，求 的解析式.
解：令，则，所以 ，
令，则 ，
整理得，，即 .
3.特殊值法
练习册
1.已知函数的对应值如表所示，则 等于( )
0 1 2 3 4 5
3 6 5 4 2 7
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由表可知,,所以 ,故选D.
√
2.函数，则 ( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 方法一：令，得，则 .
故选A.
方法二：设，则 ，
，即，
.
√
3.已知，则 等于( )
A. B. C. D.不能确定
[解析] 因为，所以 .
√
4.函数 的图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 将 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位
长度，得到 的图象，故选B.
√
5.如图，函数的图象是曲线 ，其中点
，，的坐标分别为，， ，
则 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题图可得， ，
.故选B.
√
6.［2025·重庆巴蜀中学高一期中］函数满足 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，即 ，
代入，可得，故 .
故选A.
√
7.列车从地出发直达外的地，途中要经过离地 的
地，假设列车匀速前进，后到达地，则列车与地间的距离
（单位：）与行驶时间（单位： ）的函数图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 列车匀速前进， 列车的行驶速度 ，
列车在出发后到达地，此时距离地 ，
即函数图象经过点 ，由此可排除A,B,D，故选C.
√
8.设,则 __________________.
且
[解析] 且 .
9.（13分）作出下列函数的图象.
（1），，且 ；
解:的定义域为，，， ，
0，1，2，3， ，函数图象如图所示.
9.（13分）作出下列函数的图象.
（2）， .
解:的定义域为 ，列表如下：
0 1 2
1 0 1 4
描点、连线，可得, 的图象如图所示.
10.［2025·烟台高一期中］已知函数 与
在同一坐标系下的大致图象如图所示，
则函数 的图象可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从图象可知，函数 的图象分布在第二、四象限，则，
一次函数 的图象从左到右是上升的，且图象与 轴的交点位
于正半轴上，则， ，
所以二次函数 的图象开口向下，
，且，
二次函数的图象与 轴的交
点位于正半轴上，D选项中的图象合乎题意.
故选D.
11.（多选题）已知函数 ，则( )
A. B.，
C.的最小值为 D.的图象与 轴只有1个交点
[解析] 令，得，则 ，
所以，
故 ，，则 ，故A正确，B错误.
，所以 ，
的图象与轴只有1个交点，故C错误，D正确.故选 .
√
√
12.已知函数, .若
恒成立，则 ____.
[解析] 函数, ，
恒成立，得 恒成立，
可得，解得 .
13.［2025·衡水高一期中］如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，
一次函数的图象不仅平分正方形 的面积，也平分矩形
的面积，则_ _________，函数 的零点为
_ ____.
[解析] 如图，由图可知正方形 的对称中心的坐
标为，矩形的对称中心的坐标为 .
当且仅当一次函数 的图象经过这两个对称中心时，
正方形与矩形 的面积恰能各自被其平分.
设，则解得 则；
又由 ，解得，
则函数的零点为 .
14.（15分）
（1）已知二次函数满足，且 ，求
函数 的解析式.
解：由题意设，
因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，
即，所以解得
所以 .
14.（15分）
（2）已知，求 的解析式.
解：方法一（换元法）令,则， ，
故， ，
所以函数的解析式为 .
方法二（配凑法）
.
因为，所以函数的解析式为 .
14.（15分）
（3）已知函数满足，求函数 的
解析式.
解：因为 ，
所以 ，
两式联立消去可得 .
（4）已知是定义在上的函数， ，并且对任意的实数
，都有，求函数 的解析式.
解：令，则 ，
所以 .
15.（多选题）将某几何图形置于坐标系中，直线 从左向
右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线 左侧部分的面积
为，若函数 的大致图象如图所示，则该几何图形可以
是 ( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由已知图象可知面积 的增速经历三种变化，首先面积的增速
越来越大，之后面积 匀速增加，最后面积 的增速越来越小.
对于A选项,由圆的性质可知，面积 的增速先越来越大，后越来越小，
A选项错误；
对于B选项,首先面积 的增速越来越大，之后面积
匀速增加，最后面积 的增速越来越小，B选项正确；
对于C选项,首先面积的增速越来越大，之后面积
匀速增加，最后面积 的增速越来越小，C选项正确；
对于D选项, 首先面积 的增速越来越小，之后面积
匀速增加，最后面积的增速越来越大，D选项错误.故选 .
16.（1）已知,对于一切正整数,都有 ,
若,则 _________.
[解析] 由,得,
, ,,, .
由得 ,解得,
.
（2）已知函数满足，则
_ _____________.
[解析] 由,得②,
由①②得,则,
令 ,则,所以,
故 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.解析式 表格 图象
【诊断分析】（1）×（2）×（3）√（4）×
课中探究 探究点一 例1 列表法略，图象法略，
解析法：，，2，3， ，
变式 （1）B （2）
探究点二 例2 图象略
探究点三 角度1 例3 （1） （2） 变式 A
角度2 例4（1）A （2），且
变式 （1） （2）
角度3 例5 （1） （2）
变式 （1） （2） 拓展 D
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.且
9.（1） （2）
10.D 11.AD 12. 13. 14.（1）
（2） （3） （4）
15.BC 16.（1） （2）
