第2课时 分段函数
【学习目标】
理解分段函数:(1)分段函数是一种重要的函数模型,在实际问题中经常运用;(2)能用分段函数正确表示一些相关的函数问题.
◆ 知识点 分段函数
对于一个函数来说,在定义域的不同区间上对应关系不同,它的图象由几条曲线共同组成,这样的函数我们称为分段函数.
【诊断分析】 分段函数在不同区间上的对应关系不同,那么分段函数是由几个不同的函数构成的吗
◆ 探究点一 分段函数求值
例1 已知函数f(x)=
(1)求f(-2),f(1),f[f(2)]的值;
(2)若f(m)=10,求m的值;
(3)求不等式f(n)≤5的解集.
变式 (1)已知f(x)=则f+f的值为 ( )
A.-2 B.4
C.2 D.-4
(2)[2025·天津东丽区高一期中] 已知函数 f(x)=若f(m)>m,则实数m的取值范围是 .
[素养小结]
(1)求分段函数的函数值的方法:
先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值的方法:
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检验.
◆ 探究点二 分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)=
(1)若f(a)=2,求a的值;
(2)请在如图所示的坐标系中画出函数f(x)的图象,并根据图象说出函数f(x)的值域.
变式 已知函数f(x)=1+(-2
(1)用分段函数的形式表示该函数,并画出该函数的图象;
(2)根据图象写出该函数的值域.
例3 给定函数f(x)=x+4,g(x)=(x+2)2,x∈R.
(1)在如图所示的直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象;
(2)记M(x)=结合图象写出函数M(x)的解析式,并求M(x)的最小值.
变式 已知f(x)=max,其中max{c,b}=若f(a)≤4,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-2,2]
B.[-2,0)
C.[-2,0)∪
D.[-2,0)∪
[素养小结]
1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数的形式,然后分段作出函数图象.
2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,可先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.
第2课时 分段函数
【课前预习】
知识点
诊断分析
解:不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同区间上对应关系不同,所以分段函数是一个函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为函数f(x)=所以f(-2)=-3×(-2)+3=9,f(1)=-3×1+3=0,f[f(2)]=f(22-2×2)=f(0)=-3×0+3=3.
(2)当m>1时,由m2-2m=10,解得m=1+或m=1-(舍去);
当m≤1时,由-3m+3=10,解得m=-.所以m的值为-或1+.
(3)当n>1时,由n2-2n≤5,解得1-≤n≤1+,故1故-≤n≤1.所以原不等式的解集为.
变式 (1)B (2)m<-1或m>0
[解析] (1)因为f(x)=所以f=,所以f+f=f+f=2×+f=+f=+f=+f=+2×=4,故选B.
(2)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,∴m≤-2;当-2m,则m<-1或m>0,∴-2m,则m>1,所以m≥2.综上,m的取值范围是m<-1或m>0.
探究点二
例2 解:(1)当a<0时,f(a)=<0,不合题意,舍去.
当0≤a≤3时,由f(a)=a2-2a=2,解得a=1+或a=1-(舍).
当a>3时,由f(a)=-a+6=2,解得a=4.
综上,a=1+或a=4.
(2)f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)的值域为(-∞,3].
变式 解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1;
当-2函数f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,f(x)的值域为[1,3).
例3 解:(1)对于f(x)=x+4,过点(-4,0),(0,4)作一条直线即可得到f(x)的图象.
g(x)=(x+2)2的图象是对称轴方程为x=-2,开口向上的抛物线,过点(-4,4),(-3,1),(-2,0),(-1,1),(0,4)作平滑的曲线可得g(x)的图象.f(x),g(x)的图象如图所示.
(2)由(x+2)2=x+4,得x2+3x=0,
∴x=0或x=-3.
结合图象,可得M(x)的解析式为M(x)=
由图可知,当x=-3时,M(x)min=(-3+2)2=1.
变式 D [解析] 由题意,f(x)=max=当a≥1时,不等式f(a)≤4,即a2≤4,解得-2≤a≤2,又a≥1,则1≤a≤2;当01.已知函数f(x)=则f[f(1)]= ( )
A.1 B.3
C.-3 D.-1
2.函数y=+x的图象是 ( )
A B C D
3.已知函数f(x)=则f的值为 ( )
A.- B.
C. D.
4.(多选题)[2025·山东东营高一阶段练] 已知函数f(x)=若f(x)=20,则x的取值可以是 ( )
A.3 B.20 C.-3 D.5
5.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥(x-1)2的解集为 ( )
A.[0,3] B.[-1,3]
C.[0,2] D.[-1,2]
6.国内某快递公司规定:重量在1000 g以内的包裹的邮资标准如下表:
运送距离x(km) 0邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人要快递800 g的包裹到距其1200 km的某地,那么他应付的邮资是 ( )
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
7.已知狄利克雷函数D(x)=则D[D()]= .
8.[2025·南京六校高一月考] 已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)的值为 .
9.(13分)已知函数f(x)=2+(-2(1)用分段函数的形式表示该函数,并画出该函数的图象;
(2)根据图象写出该函数的值域(不需要写解答过程).
10.若定义运算a*b=则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)的值域为 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.[1,+∞) D.(-∞,4)
11.(多选题)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 ( )
A.f[f(-1)]=1
B.若f(x)=3,则x的值是
C.f(x)<1的解集为(-∞,1)
D.f(x)的值域为(-∞,4)
12.已知函数f(x)=若f[f(a)]=2,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.1 C. D.2
13.[2025·德州高一期末] 定义min{a,b}=已知f(x)=-x2+2x,g(x)=-x+1,记函数M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值是 .
14.(15分)已知f(x)=
(1)若 f(a)=,求a的值;
(2)若 f[f(k)]=,求k的值.
15.(多选题)如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当点P沿A→B→C→M运动时(P与A,M不重合),点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象是 ( )
A B C D
16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[π]=3,[-1.08]=-2.定义函数f(x)=x-[x],则函数f(x)的最小值为 ;若函数y=f(x)的图象与直线y=m有无数个交点,则满足条件的m的取值范围为 .
第2课时 分段函数
1.B [解析] 由题意知f(1)=1+2=3,则f[f(1)]=f(3)=6-3=3.故选B.
2.D [解析] y=+x=
结合一次函数的图象可知A,B,C错误,D正确.故选D.
3.D [解析] 因为f(x)=
所以f=f=f==.故选D.
4.CD [解析] 当x≤0时,f(x)=2x2+2=20,可得x=-3;当x>0时,f(x)=4x=20,解得x=5.故选CD.
5.C [解析] 原不等式等价于或
解得0≤x≤2,故选C.
6.C [解析] 通过邮资标准表可得,当x=1200时,y=7.00.故选C.
7.1 [解析] ∵狄利克雷函数D(x)=∴D[D()]=D(0)=1.
8.1或0 [解析] 依题意得,或或则
无解,由解得a=4,则f(5-a)=f(1)==1.由
解得a=6,则f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0.
9.解:(1)当2≤x≤3时,f(x)=2+=1;
当-2∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示.
(2)f(x)的值域为[1,5).
10.A [解析] 由a*b=得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)=
当x∈[-2,1]时,g(x)=-x+2∈[1,4],当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,g(x)=-(x+1)2+5∈(-∞,4),故g(x)的值域为(-∞,4],故选A.
11.ABD [解析] 对于A,因为f(x)=则f(-1)=-1+2=1,所以f[f(-1)]=f(1)=12=1,故A正确.对于B,当x≤-1时,f(x)=x+2=3,解得x=1(舍);当-112.C [解析] 令f(a)=t,则f(t)=2.因为当t≥0时,f(t)=-t2≤0,所以t2+t=2(t<0),即t2+t-2=0(t<0),可得t=-2,所以f(a)=-2.因为当a<0时,f(a)=a2+a=-≥-,所以a≥0,则-a2=-2,可得a=.故选C.
13. [解析] 由f(x)≤g(x),得-x2+2x≤-x+1,化简得2x2-5x+2≥0,解得x≤或x≥2,所以M(x)=M(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在上随x的增大而增大,所以M(x)≤M=-+1=,M(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在[2,+∞)上随x的增大而减小,所以M(x)≤M(2)=-4+4=0,M(x)=-x+1在上随x的增大而减小,所以M(2)14.解:(1)当a>0时,由f(a)=a+2=, 得a=;
当a≤0时,由f(a)=a2=,解得a=(舍)或a=-.
所以a=或a=-.
(2)令f(k)=t,则f(t)=.
当t>0时,由f(t)=t+2=,得t=,所以f(k)=.
当k>0时,由f(k)=k+2=,得k=-(舍);
当k≤0时,由f(k)=k2=,解得k=-或k=(舍).
当t≤0时,由f(t)=t2=,解得t=(舍)或t=-.
当k>0时,由f(k)=k+2=-,得k=-(舍);
当k≤0时,f(k)=k2=-无实数解.
综上所述,k=-.
15.A [解析] 当点P在AB上(不包括点A,但包括点B)时,f(x)=·x·1=,x∈(0,1];当点P在BC上(不包括点B,但包括点C)时,f(x)=AB2-AD·DM-AB·BP-CP·CM=12-×1×-×1×(x-1)-(2-x)×=-x+,x∈(1,2];当点P在CM上(不包括点C,M)时,f(x)=×1=-x+,x∈.所以f(x)=画出函数f(x)的图象,如图所示.故选A.
16.0 [0,1) [解析] 当x∈[-2,-1)时,f(x)=x-[x]=x+2,当x∈[-1,0)时,f(x)=x-[x]=x+1, 当x∈[0,1)时,f(x)=x-[x]=x,当x∈[1,2)时,f(x)=x-[x]=x-1,当x∈[2,3)时,f(x)=x-[x]=x-2,当x∈[3,4)时,f(x)=x-[x]=x-3,…,以此类推,可得f(x)=x-[x]的图象如图所示,由图知,函数f(x)的最小值为0,f(x)的值域为[0,1),所以若函数y=f(x)的图象与直线y=m有无数个交点,则m∈[0,1).(共60张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
探究点一 分段函数求值
探究点二 分段函数的图象及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解分段函数:（1）分段函数是一种重要的函数模型,在实际问
题中经常运用;（2）能用分段函数正确表示一些相关的函数问题.
知识点 分段函数
对于一个函数来说,在定义域的不同区间上对应关系不同,它的图象由
几条曲线共同组成,这样的函数我们称为分段函数.
【诊断分析】
分段函数在不同区间上的对应关系不同,那么分段函数是由几个不同
的函数构成的吗
解：不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同区间上
对应关系不同,所以分段函数是一个函数.
探究点一 分段函数求值
例1 已知函数
（1）求，， 的值；
解：因为函数
， ，
.
例1 已知函数
（2）若，求 的值；
解：当时，由，
解得 或 （舍去）；
当时，由，解得.
所以的值为 或 .
例1 已知函数
（3）求不等式 的解集.
解：当时，由，解得 ，
故；
当时，由，解得 ，故.
所以原不等式的解集为 .
变式（1）已知则 的值
为( )
A. B.4 C.2 D.
[解析] 因为所以,
所以 ,故选B.
√
（2）［2025·天津东丽区高一期中］已知函数
若,则实数 的取值范围是
________________.
或
[解析] 当时，恒成立， ；
当时，，则或 ，
或；
当时， ，则，所以.
综上，的取值范围是或 .
［素养小结］
（1）求分段函数的函数值的方法:
先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.
当出现的形式时,应从内到外依次求值.
（2）求某条件下自变量的值的方法:
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量
的值,切记代入检验.
探究点二 分段函数的图象及应用
例2 已知函数
（1）若，求 的值；
解:当时， ，不合题意，舍去.
当时,由,解得 或 (舍).
当时，由，解得 .
综上，或 .
例2 已知函数
（2）请在如图所示的坐标系中画出函数 的图象，并根据图象说
出函数 的值域.
解: 的图象如图所示，由图可知的值域为 .
变式 已知函数 .
（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；
解：当时， ；
当时， .
故
函数 的图象如图所示.
变式 已知函数 .
（2）根据图象写出该函数的值域.
解：由（1）知，的值域为 .
例3 给定函数,, .
（1）在如图所示的直角坐标系中画出函数, 的图象；
解：对于，过点,作一条直线即可得到
的图象.
的图象是对称轴方程为 ，
开口向上的抛物线，过点,, ,
,作平滑的曲线可得 的图象.
， 的图象如图所示.
例3 给定函数,, .
（2）记结合图象写出函数 的解析式，
并求 的最小值.
解：由，得 ，
或 .
结合图象，可得的解析式为
由图可知，当时， .
变式 已知，其中,若 ，
则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意,
当 时,不等式,即,解得,
又,则 ;
当时,不等式,即,解得或,
又 , 则;
当时,不等式,即,解得 ,
又,则.
综上,实数的取值范围是 .故选D.
［素养小结］
1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉
绝对值符号,将函数转化为分段函数的形式,然后分段作出函数图象.
2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,可先
不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图
时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.
关于分段函数
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.
（2）研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在
作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个
函数的图象.
（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的
并集，写定义域时，区间端点应不重不漏.
（4）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一
段的解析式求解.
例1（1）函数 的定义域为_________________，值域
为_______________.
[解析] 定义域为.
当时， ，
当时，，所以函数的值域为 .
（2）函数 的图象如图所示，则函数
的解析式为
_ ______________________________________.
[解析] 当 时,
设 ,
由题图得解得
;
当 时,设,由题图得
解得故;
当 时, .
综上所述,
例2 已知若，则 的取值范围是
___________________.
[解析] 当时，，
由，得 ，解得，故；
当时，，
由 ，得，解得，故.
综上， 的取值范围是 .
例3 如图，已知正方形的边长为4，点从
出发，沿线段,,运动到点（不包括点 ,
），用表示点的运动路程，表示 的面
积，求函数 的解析式．
解：当点在（不包括点，但包括点 ）上运动，
即时，；
当点在 （不包括点，但包括点）上运动，
即 时，；
当点在（不包括点 ，）上运动，即时，
.
综上可知，
练习册
1.已知函数则 ( )
A.1 B.3 C. D.
[解析] 由题意知,则 .故选B.
√
2.函数 的图象是( )
A. B. C. D.
[解析]
结合一次函数的图象可知A，B，C错误，D正确.故选D.
√
3.已知函数则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
所以 .故选D.
√
4.（多选题）［2025·山东东营高一阶段练］ 已知函数
若，则 的取值可以是( )
A.3 B.20 C. D.5
[解析] 当时,,可得;
当 时,,解得.故选 .
√
√
5.已知函数则不等式 的解集
为( )
A. B. C. D.
[解析] 原不等式等价于
或
解得 ，故选C.
√
6.国内某快递公司规定：重量在 以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离 …
邮资 （元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人要快递的包裹到距其 的某地，那么他应付的
邮资是( )
A.5.00元 B.6.00元 C.7.00元 D.8.00元
[解析] 通过邮资标准表可得，当时， .故选C.
√
7.已知狄利克雷函数则 ___.
1
[解析] 狄利克雷函数
.
8.［2025·南京六校高一月考］已知函数
若，则 的值为______.
1或0
[解析] 依题意得，或或
则 无解，
由解得，则 .
由 解得，
则 .
9.（13分）已知函数
.
（1）用分段函数的形式表示该函数,并画出该函数
的图象；
解：当时， ；
当时， .
函数 的图象如图所示.
9.（13分）已知函数 .
（2）根据图象写出该函数的值域（不需要写解答过程）.
解：的值域为 .
10.若定义运算 则函数
的值域为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由得
当时,,
当 时, ,
故的值域为 ，故选A.
11.（多选题）已知函数则下列关于函数
的结论正确的是( )
A. B.若，则的值是
C.的解集为 D.的值域为
√
√
√
[解析] 对于A,因为则 ,
所以,故A正确.
对于B,当 时, ,解得（舍）;
当时, , 解得（舍）或.
的解为 ,故B正确.
对于C,当时,,解得;
当 时, ,解得
,故C错误.
对于D,当 时, ;
当时, .
故的值域为,故D正确.故选 .
12.已知函数若，则实数 的值为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 令，则.
因为当时， ，
所以，即，可得 ，
所以.
因为当时， ，
所以,则，可得 .故选C.
√
13.［2025·德州高一期末］定义, 已知
，，记函数 ,
，则 的最大值是__.
[解析] 由，得 ，
化简得，解得或 ，
所以
在上随的增大而增大，
所以 ，
在上随 的增大而减小，
所以，
在上随 的增大而减小,
所以，得 .
综上，，所以的最大值是 .
14.（15分）已知
（1）若，求 的值；
解：当时，由,得 ；
当时，由,解得（舍）或 .
所以或 .
14.（15分）已知
（2）若，求 的值.
解：令，则 .
当时，由，得,所以 .
当时，由,得 （舍）；
当时，由，解得或 （舍）.
当时，由，解得（舍）或 .
当时，由，得 （舍）；
当时， 无实数解.
综上所述， .
15.（多选题）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是 的
中点，当点沿运动时与，不重合，点 经过
的路程与的面积之间的函数 的图象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当点在上（不包括点，但包括点 ）时,
,；
当点在 上（不包括点，但包括点 ）时，
,；
当点在 上（不包括点，）时，
,.
所以
画出函数 的图象，如图所示.故选A.
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命
名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过 的最大整数，
则称为高斯函数，例如, .定义函数
，则函数的最小值为___；若函数 的图象
与直线有无数个交点，则满足条件的 的取值范围为______.
0
[解析] 当 时，，
当 时，，
当 时， ，
当时， ，
当时，，
当 时，， ，
以此类推，可得 的图象如图所示，由图知，函数的
最小值为0，的值域为 ，所以若函数的图象与直线
有无数个交点，则 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 【诊断分析】不是
课中探究 探究点一 例1（1）,或
（3） 变式 （1）B （2）或
探究点二 例2 （1）或 （2）
. 变式 （1）
（2）
例3 （1）.
（2） 变式 D
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.D 4.CD 5.C 6.C 7.1 8.1或0
9.（1） （2）
10.A 11.ABD 12.C 13.
14.（1）或 （2）
15.A 16.0 