3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
【学习目标】
理解函数的单调性:(1)能在用文字语言、图形语言描述函数单调性的基础上,用符号语言刻画函数的单调性;(2)能利用函数的单调性画函数图象,能根据函数图象写出函数的单调区间;(3)对简单函数,能根据图象直接求出函数的单调区间;(4)能根据函数单调性的定义证明简单函数的单调性.
◆ 知识点一 增函数与减函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1
图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是
(续表)
增函数 减函数
差商 结构 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,>0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,<0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=-是增函数. ( )
(2)已知f(x)在区间I上单调递增,且x1,x2∈I,若f(x1)(3)函数f(x)的定义域为D,如果定义域内某个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么f(x)在区间I上单调递减. ( )
◆ 知识点二 单调性与单调区间
(1)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ,区间I叫作y=f(x)的 .
(2)单调区间与单调性的关系
一般地, 函数单调性的定义,是对函数在某个范围内增加或减少的性质、图象上升或下降的趋势的一种描述,而这个“范围”不-定局限于某个区间,所以若判断一个函数的单调性,以在定义域内的某个子集来研究,这个子集可以是区间,也可以不是区间,如N*.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是[1,+∞). ( )
(2)函数y=x2的单调递增区间是 (0,+∞). ( )
2.画出函数y=的图象,结合图象判断下列说法是否正确.
(1)函数y=是减函数;(2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
◆ 探究点一 确定函数的单调区间
例1 如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的单调区间.
变式 (1)函数r=f(p)的图象如图所示,则该函数的定义域和单调区间分别是 ( )
A.[-5,0],[2,6)和[-5,0]∪[2,6]
B.[-5,0]∪[2,6)和[-5,0]∪[2,6)
C.[-5,0],[2,6)和(-5,0)∪(2,6)
D.[-5,0]∪[2,6)和[-5,0],[2,6)
(2)函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为 .
[素养小结]
由图象确定函数单调区间的方法及注意事项:
(1)图象从左向右上升,则函数单调递增;图象从左向右下降,则函数单调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.
(3)区间端点的写法:对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调问题,因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点.
◆ 探究点二 函数单调性的证明
例2 (1)已知函数f(x)=x+,求证:f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)判断并证明函数f(x)=x2+在区间(1,+∞)上的单调性.
变式 判断函数f(x)=在区间(-∞,0),(0,1)上的单调性,并用定义证明.
[素养小结]
1.利用定义证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式;
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号;
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性.
2.利用复合函数的单调性求单调区间的步骤
(1)求函数定义域;(2)找出外层函数f(t)与内层函数g(x);(3)先判断外层函数的单调性,再在定义域上判断内层函数的单调性;(4)内外两层函数在某个区间上单调性相反,则该区间是单调递减区间;反之,若单调性相同,则是单调递增区间.
拓展 (1)函数y=的单调递增区间为 .
(2)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,判断并证明f(x)的单调性.
◆ 探究点三 函数单调性的应用
例3 (1)若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围为 ( )
A.[2,3) B.[2,3]
C.[2,6) D.[2,6]
(2) 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.
①若函数f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是 ;
②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为 .
(3)已知函数f(x)对于任意的x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有<0,则f(2),f(π),f(3)的大小关系为 .
变式 (1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为 .
(2)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)[素养小结]
(1)对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性问题中所涉及的参数问题,要根据这些函数的图象、性质进行讨论.
(2)解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,其关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.但需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
【课前预习】
知识点一
f(x1)f(x2)
上升的 下降的
诊断分析
(1)× (2)√ (3)×
[解析] (1)f(x)=-在区间(0,+∞)和(-∞,0)上均单调递增,但在定义域上不单调递增,故f(x)不是增函数.
(2)根据增函数的定义可知结论正确.
(3)函数f(x)的定义域为D,如果对定义域内某个区间I上任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么f(x)在区间I上单调递减.
知识点二
单调性 单调递增区间或单调递减区间
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)若函数y=f(x)的单调递减区间是I,则[1,+∞)为I的子集.
(2)函数y=x2的图象开口向上,对称轴方程为x=0,故函数y=x2的单调递增区间是 (0,+∞).
2.解:y=的图象如图所示.
(1)中说法是错误的,从左向右看,函数y=的图象不是下降的.
(2)中说法是错误的,函数y=的单调递减区间应是(-∞,0),(0,+∞),不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).
【课中探究】
探究点一
例1 解:由图象知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].
变式 (1)D (2),
[解析] 定义域是函数自变量p的取值范围,即为[-5,0]∪[2,6),函数的单调递增区间有2个,不能用并集表示,即[-5,0],[2,6).故选D.
(2)y=x2-3|x|+1=
由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示,由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为,.
探究点二
例2 解:(1)证明:设0因为00,x1x2-1<0,x1x2>0,
所以(x2-x1)·<0,
即f(x2)同理,设10,
即f(x1)(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下:设1因为x2>x1>1,所以x2-x1>0,x2+x1>2,x1x2>1,所以0<<1,
所以0<<2,所以-2<-<0,所以x2+x1->0,
所以f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
变式 解:f(x)=在区间(0,1)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.
证明:①设x1则f(x1)-f(x2)=-==.
∵x10,+1>0,x2+x1<0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)②设0∵0∴x2-x1>0,x2+x1>0,(+1)(+1)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)=在区间(0,1)上单调递减.
拓展 (1)(-∞,-1] [解析] 由x2+2x+4=(x+1)2+3>0得,函数的定义域是R,设u=x2+2x+4,则u=x2+2x+4在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,∵y=在(0,+∞)上单调递减,∴函数y=的单调递增区间是(-∞,-1].
(2)解:f(x)在R上单调递减.
证明如下:任取x1,x2∈R,且x10.
因为f(x+y)-f(x)=f(y),
所以f(x+y)-f(x)=f[(x+y)-x],
令x2=x+y,x1=x,
则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
所以f(x2)-f(x1)<0,
即f(x2)探究点三
例3 (1)B (2)①(-∞,-4] ②-4
(3)f(π)f(3)>f(π)) [解析] (1)因为函数f(x)=是定义在R上的增函数,所以
解得2≤a≤3,即实数a的取值范围为[2,3].故选B.
(2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-a-1].
①由f(x)在(-∞,3]上单调递增,得3≤-a-1,解得a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4].
②由题意得-a-1=3,解得a=-4.
(3)因为函数f(x)对于任意的x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,因为π>3>2,所以f(π)变式 (1)(-4,-2) (2)
[解析] (1)函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-,要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调,只需1<-<2,解得-4(2)由题知解得0第1课时 函数的单调性
1.如图是函数y=f(x)的图象,其定义域为[-2,+∞),则函数f(x)的单调递减区间是 ( )
A.[-1,0)
B.[1,+∞)
C.[-1,0),[1,+∞)
D.[-1,0)∪[1,+∞)
2.下列函数中在[0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=-x B.y=x+1
C.y=x2-2x D.y=
3.设函数y=f(x)的定义域为D,开区间I D,则“ x1∈I, x2∈I且x1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2025·唐山高一期末] 函数f(x)=x2+ax-5在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.(-∞,1]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
5.已知函数f(x)=,则函数f(x) ( )
A.在(-2,+∞)上单调递增
B.在(-2,+∞)上单调递减
C.在(1,+∞)上单调递增
D.在(1,+∞)上单调递减
6.[2025·赤峰二中高一月考] 若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,3] C.(2,3] D.[2,3]
7.函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间是 .
8.[2025·北京交大附中高一月考] 定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则f(1),f(2),f(3)的大小关系为 .
9.(13分)已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.
(1)画出该函数的图象,并写出该函数的单调区间;
(2)求该函数的值域.
10.[2025·华师大一附中高一月考] 设函数f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
11.(多选题)存在函数f(x)满足 ( )
A.y=f(x)是增函数,y=f[f(x)]也是增函数
B.y=f(x)是减函数,y=f[f(x)]也是减函数
C.y=f(x)是增函数,但y=af(x)(a>0)是减函数
D.对任意的a∈R,f(a)≠a,但f[f(x)]=x
12.已知函数f(x)=|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)是定义在[-2,4]上的增函数,且f(1-m)14.(15分)已知函数f(x)=.
(1)若a=4,判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,写出a的取值范围并证明.
15.[2025·江苏盐城高一阶段练] 已知f(x)=x2-(2a-1)x+1,对 x1,x2∈[1,+∞)都有≥1成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
16.(15分)已知f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x>0时,f(x)>-1,且f(1)=1.
(1)求f(0)和f(-1)的值;
(2)证明:函数f(x)在R上单调递增;
(3)求不等式f(-3x2+2x)+3f(x)>0的解集.
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.C [解析] 由图可知,f(x)的单调递减区间为[-1,0),[1,+∞),故选C.
2.B [解析] 对于A,y=-x在[0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,y=x+1在R上单调递增,所以也在[0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,y=x2-2x在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,y=在(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选B.
3.B [解析] 根据题意,若函数y=f(x)在I上单调递增,则 x1∈I, x2∈I且x14.D [解析] f(x)=x2+ax-5图象的对称轴方程为x=-,由题意可得-≤-1,解得a≥2.故选D.
5.D [解析] f(x)===1+(x≠1),所以函数f(x)的图象可由反比例函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.因为y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减.故选D.
6.D [解析] 由题意可得
解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围是[2,3].故选D.
7. [解析] y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象如图所示,观察图象知函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间为.
8.f(3)9.解:(1)f(x)=-x2+2|x|+3=画出函数f(x)的图象如图所示.
由函数f(x)的图象得,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)因为f(1)=f(-1)=4,
所以由函数f(x)的图象可得,f(x)的值域为(-∞,4].
10.A [解析] 作出函数f(x)=
的大致图象,如图,可知函数f(x)=
在R上为增函数,故由f(a2-3)>f(a-1)可得a2-3>a-1,即a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
11.AD [解析] 对于A,根据复合函数的单调性可知,因为y=f(x)是增函数,所以y=f[f(x)]也是增函数,A正确;对于B,根据复合函数的单调性可知,因为y=f(x)是减函数,所以y=f[f(x)]是增函数,B错误;对于C,因为y=f(x)是增函数,所以y=af(x)(a>0)也是增函数,C错误;对于D,令f(x)=-,其定义域为{x|x≠0},满足f(a)=-≠a,但是f[f(x)]=f=-=x,D正确.故选AD.
12.(-∞,1] [解析] 依题意,函数f(x)=显然函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此[1,+∞)是[a,+∞)的子集,则a≤1,所以a的取值范围是(-∞,1].
13. [解析] 由题意得解得14.解:(1)当a=4时,f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
证明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=
,
由x2>x1>2,得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,所以f(x1)-f(x2)=>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,则a>-2.
证明如下:任取x3,x4∈(2,+∞),且x3则f(x3)-f(x4)=-=
=
,
由x4>x3>2,得x4-x3>0,x4-2>0,x3-2>0,
由a>-2得a+2>0,
所以f(x3)-f(x4)=>0,即f(x3)>f(x4),
所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
15.B [解析] 由≥1,
得-1≥0,
则≥0,设函数g(x)=f(x)-x,则对 x1,x2∈[1,+∞)都有≥0成立,所以函数g(x)=x2-2ax+1在区间[1,+∞)上单调递增,所以≤1,解得a≤1,则a∈(-∞,1].故选B.
16.解:(1)因为对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
所以令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)+1,所以f(0)=-1;
令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)+1,
因为f(1)=1,所以f(-1)=-3.
(2)证明:任取x1,x2∈R且x1因为当x>0时,f(x)>-1,所以x2-x1>0,f(x2-x1)>-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+1>0,
即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在R上单调递增.
(3)由于f(2x)=f(x)+f(x)+1=2f(x)+1,f(3x)=f(2x)+f(x)+1=3f(x)+2,
所以f(-3x2+2x)+3f(x)=f(-3x2+2x)+f(3x)-2>0,
即f(-3x2+2x)+f(3x)+1-3>0,得f(-3x2+2x+3x)>3,所以原不等式可化为f(-3x2+2x+3x)>3.
由f(x+y)=f(x)+f(y)+1和f (1)=1可得,f(2)=f(1)+f(1)+1=3,所以f(-3x2+2x+3x)>f(2),
由 (2)得f(x)为增函数,所以-3x2+2x+3x>2,即3x2-5x+2<0,即(x-1)(3x-2)<0,解得3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
探究点一 确定函数的单调区间
探究点二 函数单调性的证明
探究点三 函数单调性的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解函数的单调性:（1）能在用文字语言、图形语言描述函数
单调性的基础上,用符号语言刻画函数的单调性;（2）能利用函数的
单调性画函数图象,能根据函数图象写出函数的单调区间;（3）对简
单函数,能根据图象直接求出函数的单调区间;（4）能根据函数单调
性的定义证明简单函数的单调性.
知识点一 增函数与减函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ，
当 时，都有________ ___________， 那么就称函数 在区间 上单调递增.特别 地，当函数 在它的定义 域上单调递增时，我们就称 它是增函数 当 时，都有_________
__________，
那么就称函数 在
区间 上单调递减.特别地，当
函数 在它的定义域上单调
递减时，我们就称它是减函数
增函数 减函数
图象 描述 ________________________________________ 自左向右看图象是________ _________________________________________
自左向右看图象是________
差商 结构 ， ，
上升的
下降的
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是增函数.( )
×
[解析] 在区间和 上均单调递增,
但在定义域上不单调递增,故 不是增函数.
（2）已知在区间上单调递增,且,,若 ,则
.( )
[解析] 根据增函数的定义可知结论正确.
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的定义域为,如果定义域内某个区间 上存在两个自
变量,,当时,有,那么在区间 上单调递
减.( )
×
[解析] 函数的定义域为,如果对定义域内某个区间 上任意两个自
变量,,当时,都有,那么在区间 上单调递减.
知识点二 单调性与单调区间
（1）如果函数在区间 上单调递增或单调递减，那么就说
函数在这一区间具有（严格的）________，区间 叫作
的____________________________.
（2）单调区间与单调性的关系
一般地，函数单调性的定义,是对函数在某个范围内增加或减少的性
质、图象上升或下降的趋势的一种描述，而这个“范围”不-定局限于
某个区间，所以若判断一个函数的单调性，以在定义域内的某个子
集来研究，这个子集可以是区间,也可以不是区间,如 .
单调性
单调递增区间或单调递减区间
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若函数在上单调递减，则函数 的单调递减
区间是 .( )
×
[解析] 若函数的单调递减区间是，则为 的子集.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数的单调递增区间是 .( )
√
[解析] 函数的图象开口向上，对称轴方程为 ，
故函数的单调递增区间是 .
2.画出函数 的图象，结合图象判断下列说法是否正确.
（1）函数是减函数；（2）函数 的单调递减区间是
.
解： 的图象如图所示.
（1）中说法是错误的，从左向右看，函数 的图象不是下降的.
（2）中说法是错误的，函数的单调递减区间应是 ,，
不能写成 .
探究点一 确定函数的单调区间
例1 如图所示为函数 ，
的图象，指出它的单调
区间.
解：由图象知，函数 的
单调递增区间为 ，
单调递减区间为， .
变式（1）函数 的图象如图所示，
则该函数的定义域和单调区间分别是( )
A.,和
B.和
C.,和
D.和,
[解析] 定义域是函数自变量的取值范围，即为 ，
函数的单调递增区间有2个，不能用并集表示，即, .故选D.
√
（2）函数 的单调递减区间为________________.
，
[解析]
由此画出函数 的图象如图所示,
由图可知,函数 的单调递减区间为
, .
［素养小结］
由图象确定函数单调区间的方法及注意事项:
（1）图象从左向右上升,则函数单调递增;图象从左向右下降,则函数
单调递减.
（2）单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“ ”,
而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.
（3）区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确
定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间
时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，
单调区间就不包括这些点.
探究点二 函数单调性的证明
例2（1）已知函数，求证：在 上单调递减，在
上单调递增.
证明：设 ,
.
因为，所以,, ，
所以 ，即，
所以在 上单调递减.
同理，设，则 ，
即，故在 上单调递增.
（2）判断并证明函数在区间 上的单调性.
解:函数在上单调递增.证明如下：设 ,
，
因为,所以,， ,
所以 ,所以，所以，
所以 ，所以，
所以函数在 上单调递增.
变式 判断函数在区间， 上的单调性，并用
定义证明.
解：在区间上单调递减，在 上单调递增.
证明：①设 ，
则 .
，，， ， ,
，即，
在 上单调递增.
②设 ，
.
，
，， ，
，即 .
在区间 上单调递减.
［素养小结］
1.利用定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值：设，是定义域内的任意两个值，且；
（2）作差变形：作差，并通过因式分解、通分、配方、
有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
（3）定号：确定的符号；
（4）结论：根据的符号与定义确定单调性.
2.利用复合函数的单调性求单调区间的步骤
（1）求函数定义域；
（2）找出外层函数与内层函数 ；
（3）先判断外层函数的单调性，再在定义域上判断内层函数的单调性；
（4）内外两层函数在某个区间上单调性相反，则该区间是单调递减
区间；反之，若单调性相同，则是单调递增区间.
拓展（1）函数 的单调递增区间为__________.
[解析] 由得，函数的定义域是 ，
设，
则在 上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
函数的单调递增区间是 .
（2）已知函数的定义域为，对于任意的, ，都有
，当时，，判断并证明 的
单调性.
解：在 上单调递减.
证明如下：任取,，且,则 .
因为 ，
所以 ，
令, ，则 .
因为当时，，且，
所以 ，所以 ，即，
所以函数在 上单调递减.
探究点三 函数单调性的应用
例3（1）若函数是定义在 上的增函数，
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是定义在 上的增函数，
所以
解得，即实数的取值范围为 .故选B.
√
（2）已知函数 .
[解析] ，
因此函数的单调递增区间为 ．
①若函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围是
__________；
[解析] 由在上单调递增，得，解得 ，
故实数的取值范围是 ．
（2）已知函数 .
[解析] ，
因此函数的单调递增区间为 ．
②若函数的单调递增区间是，则实数 的值为____．
[解析] 由题意得，解得 .
（3）已知函数对于任意的, ，都有
，则,, 的大小关系为__________________
______________________.
或
[解析] 因为函数对于任意的, ，
都有，
所以在区间 上单调递减，
因为，所以 .
变式（1）若函数在区间上不单调，则实数
的取值范围为_________．
[解析] 函数的图象的对称轴方程为，
要使函数 在区间上不单调，只需，
解得，
故 的取值范围是 .
（2）已知函数在定义域 上是减函数，且
，则实数 的取值范围为______.
[解析] 由题知解得,
故所求 的取值范围是 .
［素养小结］
（1）对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性问题中所涉及
的参数问题,要根据这些函数的图象、性质进行讨论.
（2）解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,其关键是利用单调
性“脱去”函数符号“”,从而转化为熟悉的不等式.但需要注意的是,不
要忘记函数的定义域.
1.对函数单调性的理解
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域内的不同
区间上可以有不同的单调性.
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的,
有以下几个特征:一是任意性,即任意取, ,“任意”二字绝不能丢掉,
证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定
;三是属于同一个单调区间.
（3）单调性能使自变量取值的不等关系和函数值的不等关系正逆互
推,即由单调递增（减）且 .
（4）并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义域上既有单调
递增区间又有单调递减区间,则此函数在定义域上不具有单调性.
2.单调性的判断方法
（1）定义法:利用定义严格判断.
（2）图象法:作出函数的图象,用数形结合的思想确定函数的单调区间.
（3）用两个函数和（差）的单调性的规律判断:“增增增”“减 减
减”“增-减增”“减-增 减”.
1.图象法
单调性反映在图象上,图象在区间 上的部分从左到右是上升（下降）
的,说明函数在 上单调递增（减）.
例1 函数 的单调递减区间为______________ .
，
[解析] 如图所示，画出函数 的图象，
由图可得函数 的单调递减区间为
， .
2.定义法
可利用函数单调性的定义,建立关于参数的不等式（组）或方程
（组）,同时注意利用数形结合的思想,运用逆向思维思考问题.
例2 已知函数,判断函数在 上的单调性，
并用单调性的定义加以证明.
解：当时，函数在上单调递增；
当 时，函数在 上单调递减.
证明如下：当时，设 ,
则 ,
,,
, , ,
则，即 ，
故函数在 上单调递增.
同理可证当时，函数在 上单调递减.
3.脱“ ”法
根据函数的单调性解决某些不等式问题.
例3 ［2025·华师大一附中高一月考］已知定义在 上的函数
，，满足对,，等式
恒成立，且当时， .
（1）求， 的值；
解：令，得 ，
.
令，得 ，
令,，得，即 ，
.
例3 ［2025·华师大一附中高一月考］已知定义在 上的函数
，，满足对,，等式
恒成立，且当时， .
（2）解关于的不等式： .
解：设任意的,,且，则 ，
，
，
，
，即 ，
函数在 上单调递增.
令，得 ，
不等式可转化为 ，
解得 ，
不等式的解集为 .
练习册
1.如图是函数 的图象，其定义域为
，则函数 的单调递减区间是( )
A. B.
C., D.
[解析] 由图可知，的单调递减区间为 ，故选C.
√
2.下列函数中在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，在 上单调递减，故A错误；
对于B,在上单调递增,所以也在 上单调递增,故B正确；
对于C，在上单调递减，在 上单调递增，
故C错误；
对于D，在 上单调递减，故D错误.故选B.
√
3.设函数的定义域为，开区间，则“，
且，都有”是“在 上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 根据题意，若函数在上单调递增，
则 ，且，都有 ，必要性成立；
反之，取函数开区间，
而函数在 上不单调，充分性不成立.
所以“，且 ，都有”是
“在 上单调递增”的必要不充分条件.故选B.
4.［2025· 唐山高一期末］函数在 上单
调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 图象的对称轴方程为 ，
由题意可得，解得 .故选D.
√
5.已知函数，则函数 ( )
A.在上单调递增 B.在 上单调递减
C.在上单调递增 D.在 上单调递减
[解析] ，
所以函数 的图象可由反比例函数 的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度得到.
因为在和 上单调递减，
所以在和 上单调递减.故选D.
√
6.［2025· 赤峰二中高一月考］若函数
是上的增函数，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得
解得，所以实数的取值范围是 .故选D.
√
7.函数 的单调递增区间是______.
[解析]
作出该函数的图象如图所示，
观察图象知函数的
单调递增区间为 .
8.［2025·北京交大附中高一月考］定义在上的函数 ，对任意
，，有，则,, 的大小关
系为 __________________.
[解析] 定义在上的函数，对任意， ，
有，
则函数在上单调递减，
， .
9.（13分）已知函数 .
（1）画出该函数的图象,并写出该函数的单调区间;
解:
画出函数 的图象如图所示.
由函数的图象得，
函数 的单调递增区间为， ，
单调递减区间为， .
9.（13分）已知函数 .
（2）求该函数的值域.
解:因为 ，
所以由函数的图象可得，的值域为 .
10.［2025·华师大一附中高一月考］设函数
若，则实数 的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 作出函数 的大致图象，如图，
可知函数 在上为增函数，
故由可得 ，
即，解得或，
即实数 的取值范围是 .
故选A.
11.（多选题）存在函数 满足( )
A.是增函数， 也是增函数
B.是减函数， 也是减函数
C.是增函数，但 是减函数
D.对任意的，，但
√
√
[解析] 对于A，根据复合函数的单调性可知，因为 是增函数，
所以 也是增函数，A正确；
对于B，根据复合函数的单调性可知，因为是减函数，
所以 是增函数，B错误；
对于C，因为是增函数，所以 也是增函数，
C错误；
对于D，令，其定义域为 ，满足，
但是，D正确.
故选 .
12.已知函数为常数.若在区间 上单调递
增,则 的取值范围是________.
[解析] 依题意,函数
显然函数在 上单调递减，在上单调递增,
因为在区间 上单调递增，
因此是的子集，则,
所以 的取值范围是 .
13.已知函数是定义在上的增函数，且 ，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 由题意得解得，
则实数 的取值范围是 .
14.（15分）已知函数 .
（1）若，判断函数在 上的单调性，并利用单调性
的定义证明你的结论；
解:当时，在 上单调递减.
证明如下：任取,，且 ，
则 ，
由，得,, ，
所以 ，即，
所以函数在 上单调递减.
14.（15分）已知函数 .
（2）若函数在区间上单调递减，写出 的取值范围并证明.
解:若函数在区间上单调递减，则 .
证明如下：任取,，且 ，
则 ，
由，得,, ,
由得 ，
所以，即 ，
所以函数在 上单调递减.
15.［2025·江苏盐城高一阶段练］已知 ，
对,都有成立，则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ,得 ,则，
设函数，则对 ,都有成立，
所以函数 在区间上单调递增，
所以，解得 ，则 .故选B.
16.（15分）已知的定义域为,对任意, ,都有
,当时,,且 .
（1）求和 的值;
解：因为对任意, , ,都有 ,
所以令,则,所以 ;
令,,则 ,
因为,所以 .
16.（15分）已知的定义域为,对任意, ,都有
,当时,,且 .
（2）证明:函数在 上单调递增;
证明：任取,且 ,
,
因为当时,,所以, ,
所以 ,即,
所以函数在 上单调递增.
16.（15分）已知的定义域为,对任意, ,都有
,当时,,且 .
（3）求不等式 的解集.
解：由于 ，
,
所以 ，
即,得 ,
所以原不等式可化为 .
由和 可得,
,
所以 ,
由（2）得为增函数,所以 ,
，即,解得 ,
所以不等式的解集为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 上升的 下降的
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
知识点二 单调性 单调递增区间或单调递减区间
【诊断分析】1.（1）× （2）√ 2. （1）错误（2）错误
课中探究 探究点一 例1 函数的单调递增区间为，单调递减区间
为, 变式 （1）D （2），
探究点二 例2 （1）证明略（2）单调递增.证明略
变式 在区间上单调递减，在上单调递增.证明略
拓展 （1） （2）在上单调递减.证明略
探究点三 例3 （1）B （2）① ② （3） 或
变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7. 8.
9.（1） 函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，（2）
10.A 11.AD 12. 13.
14.（1）当时,在上单调递减.证明略（2）.证明略
15.B 16.（1）; （2）证明略 （3） 