第2课时 利用单调性求最值
【学习目标】
理解函数的最大(小)值:(1)理解函数最大(小)值的定义;(2)能根据函数图象得出函数的最大(小)值;(3)对已经学过的简单函数,能根据函数的单调性求出其最大(小)值.
◆ 知识点一 函数的最大(小)值及几何意义
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D
条件 如果存在实数M满足: x∈D,都有 ; x0∈D,使得 如果存在实数m满足: x∈D,都有 ; x0∈D,使得
结论 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值 那么,我们称m是函数y=f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知f(x)的定义域为D,若 x∈D,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值. ( )
(2)因为不等式x2≥0总成立,且当x=0时等号成立,所以0是f(x)=x2的最小值. ( )
2.一个函数是否一定有最值 若一个函数有最值,则它的最值与值域有什么关系
◆ 知识点二 求函数最值的常用方法
(1)图象法:作出y=f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)运用已学函数的值域.
(3)运用函数的单调性
①若函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则ymax= ,ymin= .
②若函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则ymax= ,ymin= .
(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
【诊断分析】 要确定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先确定什么
◆ 探究点一 利用图象求函数的最值
例1 定义域为[-2,3]的函数f(x)的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 ( )
A.-1,2 B.0,2
C.-1,3 D.3,2
例2 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.
变式 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断该函数是否存在最大值和最小值.
[素养小结]
(1)分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小者,故求分段函数的最大值或最小值时,应先求各段上的最值,再比较,即得函数的最大值或最小值.
(2)若函数的图象容易作出,则画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并求其纵坐标,即得函数的最大值、最小值.
◆ 探究点二 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)=,求函数f(x)在区间[2,6]上的最大值与最小值.
变式 已知函数f(x)=x+.
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并利用定义证明;
(2)求函数f(x)在[2,7]上的最大值和最小值.
[素养小结]
1.利用函数的单调性求最值:
首先判断函数的单调性,然后利用单调性写出最值.
2.求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
◆ 探究点三 二次函数的最值
例4 已知函数f(x)=2x2-2ax+3.
(1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a).
(3)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值h(a).
变式 已知函数f(x)=-x2-2x+3,求f(x)在[m-1,m+1]上的最大值h(m).
[素养小结]
一元二次函数在闭区间上的最值问题的一般解法:
(1)先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外;
(2)当函数图象的对称轴在闭区间内时,函数在图象顶点处取得一个最值,另一个最值在距对称轴较远的端点处取得(有时需要讨论图象的对称轴在闭区间中点的左侧、右侧或过中点的情况);
(3)当函数图象的对称轴不在闭区间内时,最值在两个端点处取得.
◆ 探究点四 函数最值的实际应用
例5 调研发现:一棵某品种水果树的产量w(x)(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足的关系式为w(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)20x元.已知这种水果的市场售价为16元/千克,且市场需求始终供不应求.记一棵该水果树获得的利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数解析式.
(2)当投入的肥料费用为多少时,一棵该水果树获得的利润最大 最大利润是多少
变式 某商场以每件30元的价格购进一种商品,根据销售经验,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数m=100-2x,若要每天获得最大销售利润,则每件商品的售价应定为 元.
[素养小结]
对于实际应用问题,首先要审清题意,确定自变量和因变量的条件关系,建立数学模型,列出函数解析式,进而分析函数的性质,从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.
第2课时 利用单调性求最值
【课前预习】
知识点一
f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥m
f(x0)=m 纵坐标 纵坐标
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)若 x∈D,都有f(x)≤M,并且 x0∈D,使得f(x0)=M,则M是f(x)的最大值.
(2)依题意知f(x)=x2的最小值为0.
2.解:一个函数不一定有最值,例如y=x,x∈(1,2)没有最值.
若一个函数有最值,则它的最小值即为值域中的最小值,最大值即为值域中的最大值.
知识点二
(3)①f(b) f(a) ②f(a) f(b)
诊断分析
解:需要先确定函数f(x)在[-1,3]上的单调性,即确定a的正负,从而判定f(x)何时取得最大值,何时取得最小值.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 由题图可知,当x=-2时,f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-1;当x=3时,f(x)取得最大值,最大值为f(3)=3.故选C.
例2 解:作出f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,当x=2时,f(x)取得最大值2;当x=时,f(x)取得最小值-.
所以f(x)的最大值为2,最小值为-.
变式 解:当x-2≥0,即x≥2时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=-;当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-+.
所以y=
画出该函数的图象,如图.
由图象可知,函数y=|x-2|(x+1)在,[2,+∞)上单调递增,在上单调递减.
观察函数图象,可知该函数不存在最大值,也不存在最小值.
探究点二
例3 解:设2≤x1
则f(x1)-f(x2)=-=,∵2≤x1∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)变式 解:(1)f(x)=x+在区间(1,+∞)上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=.
由x1,x2∈(1,+∞),x10,x1-x2<0,x1x2>0,
则<0,
即f(x1)(2)由(1)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[2,7]上的最小值为f(2)=,最大值为f(7)=.
探究点三
例4 解:(1)当a=2时,f(x)=2x2-4x+3,函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1,且开口向上,
则f(x)=2x2-4x+3在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
又f(-1)=9,f(2)=3,所以函数f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,最大值为f(-1)=9,所以函数f(x)在区间[-1,2]上的取值范围为[1,9].
(2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴方程为x=,且开口向上.
当≤-1,即a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,
则g(a)=f(-1)=5+2a;
当-1<<1,即-2当≥1,即a≥2时,f(x)在[-1,1]上单调递减,则g(a)=f(1)=5-2a.
综上,g(a)=
(3)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴方程为x=,且开口向上.
当≤-1,即a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,则h(a)=f(1)=5-2a;
当-1<≤0,即-2当0<<1,即0当≥1,即a≥2时,f(x)在[-1,1]上单调递减,则h(a)=f(-1)=5+2a.
综上,h(a)=
变式 解:函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象的对称轴方程为x=-1,且开口向下.
①当m+1≤-1,即m≤-2时,函数f(x)在[m-1,m+1]上单调递增,此时h(m)=f(m+1)=-m2-4m;
②当m-1<-1③当m-1≥-1,即m≥0时,函数f(x)在[m-1,m+1]上单调递减,此时h(m)=f(m-1)=-m2+4.综上,f(x)在[m-1,m+1]上的最大值h(m)=
探究点四
例5 解:(1)由题意得f(x)=16w(x)-20x-10x=
(2)当0≤x≤2时,f(x)的最大值为f(2)=420;
当2变式 40 [解析] 设某商场每天获得销售利润为y元,则y=(x-30)m=(x-30)(100-2x)=-2(x-40)2+200,由题知30≤x≤50,所以当x=40时,y取得最大值200.所以若要每天获得最大销售利润,则每件商品的售价应定为40元.第2课时 利用单调性求最值
1.已知f(x)=,则f(x)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为 ( )
A., B.,1
C., D.,
2.函数f(x)=-x2+6x(0≤x≤5)的值域是( )
A.[0,5] B.[0,9]
C.[5,9] D.[0,+∞)
3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 ( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
4.函数f(x)=x -+1在[1,4]上的取值范围为 ( )
A. B.[0,1]
C. D.
5.某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+4x+16万元,每件商品的售价为28元,假设每月所生产的商品能全部售完,记当月生产商品所获得的总利润为w(x)万元,单件平均利润为万元,则下列说法正确的是 ( )
A.当一个月生产12万件时,当月的总利润最大,为144万元
B.当一个月生产12万件时,当月的总利润最大,为160万元
C.当一个月生产4万件时,当月的单件平均利润最大,为24元
D.当一个月生产4万件时,当月的单件平均利润最大,为16元
6.(多选题)若函数f(x)=x2-4x+1在区间A上的取值范围为[-3,1],则区间A可能为 ( )
A.[0,4] B.[2,4]
C.[1,4] D.[-3,5]
7.函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为 .
8.已知函数f(x)(x∈I),“ x∈I,f(x)≤2025”是“f(x)的最大值为2025”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
9.(13分)已知函数f(x)=x2+2x+2.
(1)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值;
(2)设h(x)=f(x)-2tx,当x∈[1,+∞)时,求函数h(x)的最小值g(t)的表达式.
10.[2025·贵阳高一阶段练] 已知函数f(x)=的值域为[0,+∞),则a的取值范围为 ( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.{1} D.[1,+∞)
11.已知函数f(x)=的最小值为f(1),则a的取值范围是 ( )
A.[1,5]
B.(5,+∞)
C.(0,5)
D.(-∞,1)∪(5,+∞)
12.已知a>0,x1,x2为方程x2+2x+a=0的两个实数根,则+的最大值为 .
13.[2025·大庆实验中学高一月考] 函数f(x)=2|x-1|+|x-a|,若函数f(x)的最小值是4,则a= .
14.(15分)某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x2-50x+8000,已知此生产线的年产量最大为300吨.
(1)当年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本.
(2)若每吨产品的平均出厂价为40万元,该产品产销平衡,那么当年产量为多少吨时,年利润最大 最大年利润是多少
15.[2025·徐州高一期中] 定义:min{a,b}表示a,b中的较小者.若函数y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}在区间[m,n]上的取值范围为[-1,0],则n-m的最大值为 .
16.(15分)[2025·南京五校联盟高一期中] 已知函数f(x)=x2-2ax-1,函数g(x)满足g(2x+1)=(2a-4)x+a-3.
(1)若对任意实数x,都有f(x)+g(x)>a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若存在x∈[1,3],使得f(x)-g(x)≤a成立,求实数a的取值范围;
(3)若对任意x>0,都有f(x)g(x)≥0恒成立,求实数a的取值集合.
第2课时 利用单调性求最值
1.A [解析] 因为函数f(x)=在区间[2,8]上单调递减,所以f(x)在区间[2,8]上的最小值为f(8)=,最大值为f(2)=.故选A.
2.B [解析] 函数f(x)=-x2+6x在[0,3)上单调递增,在(3,5]上单调递减,所以f(x)max=f(3)=9,又f(0)=0,f(5)=5,所以f(x)min=0,故函数f(x)的值域为[0,9].故选B.
3.C [解析] 当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,则a=2;当a<0时,由题意得a+1-(2a+1)=2,则a=-2.综上,a=±2.故选C.
4.C [解析] 由y=x在[1,4]上单调递增,且y=-在[1,4]上单调递增,可得f(x)= x-+1在[1,4]上单调递增,又f(1)=0,f(4)=,所以f(x)在[1,4]上的取值范围为,故选C.
5.D [解析] 由题意可得w(x)=28x-C(x)=-x2+24x-16=-(x-12)2+128,故当x=12时,w(x)取得最大值128.==24-≤24-2=16,当且仅当x=4时,等号成立.故当一个月生产12万件时,当月的总利润最大,为128万元;当一个月生产4万件时,当月的单件平均利润最大,为16元.故选D.
6.ABC [解析] 因为函数f(x)=x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,关于直线x=2对称,所以函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.当x∈[0,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(0)=f(4)=1,得函数在[0,4]上的取值范围为[-3,1];当x∈[2,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,得函数在[2,4]上的取值范围为[-3,1];当x∈[1,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,因为f(1)=-2f(5)=6,所以最大值为f(-3)=22,得函数在[-3,5]上的取值范围为[-3,22],根据以上的讨论可得区间A不可能为[-3,5].故选ABC.
7. [解析] f(x)===2-在[2,4]上单调递增,故f(x)在区间[2,4]上的最小值为f(2)=.
8.必要不充分 [解析] 由 x∈I,f(x)≤2025不一定能得到f(x)的最大值为2025,有可能不存在x0∈I,使得f(x0)=2025,所以不满足充分性;若f(x)的最大值为2025,则 x∈I,f(x)≤2025恒成立,所以必要性成立.所以“ x∈I,f(x)≤2025”是“f(x)的最大值为2025”的必要不充分条件.
9.解:(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-1,因为x∈[-2,2],所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递减,在[-1,2]上单调递增,故函数f(x)在[-2,2]上的最小值为f(-1)=1,最大值为f(2)=10.
(2)由题意得h(x)=x2+2(1-t)x+2,其图象开口向上,对称轴为直线x=t-1.
①当t-1≤1,即t≤2时,函数h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)在[1,+∞)上的最小值为h(1)=5-2t;
②当t-1>1,即t>2时,函数h(x)在[1,t-1]上单调递减,在[t-1,+∞)上单调递增,h(x)在[1,+∞)上的最小值为h(t-1)=-t2+2t+1.
综上,g(t)=
10.A [解析] 若函数f(x)=的值域为[0,+∞),则内层函数y=ax2+2x+1有意义,故内层函数大于或等于0.当a=0时,函数f(x)=,其定义域为,值域为[0,+∞),符合题意;当a>0时,函数y=ax2+2x+1的图象开口向上,若要满足题意,则需Δ=4-4a≥0,解得011.A [解析] 因为函数f(x)的最小值为f(1),所以函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,则a≥1,f(1)=3-2a.当x>1时,由基本不等式可得f(x)=x+-3a≥2-3a=8-3a,当且仅当x=4时,等号成立.由题意可得3-2a≤8-3a,解得a≤5.综上,1≤a≤5.故选A.
12.-2 [解析] 由题意可知解得013.5或-3 [解析] 当a≥1时,f(x)=2|x-1|+|x-a|=
则函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1+a-2=4,解得a=5>1,所以a=5;当a<1时,f(x)=2|x-1|+|x-a|=则函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-a=4,解得a=-3<1,所以a=-3.综上,a=5或-3.
14.解:(1)生产每吨产品的平均成本为万元,∵=+-50≥2-50=30,当且仅当=,即x=200时等号成立,
∴当年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本最低,最低平均成本为30万元.
(2)设年利润为R(x)万元,则R(x)=40x-y=40x-+50x-8000=-+90x-8000=-(x-225)2+2125(0∴当x=225时,R(x)有最大值,最大值为2125,∴当年产量为225吨时,年利润最大,最大年利润为2125万元.
15.2 [解析] 作出函数y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}的图象,如图中的实线所示,令1-|x-2|=-1,可得x=0或x=4,即点A(0,-1),E(4,-1),令(x-1)2-1=-1,可得x=1,即点B(1,-1),由图可知,当函数y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}在区间[m,n]上的取值范围是[-1,0],且当[m,n]=[0,2]时,n-m取到最大值2.
16.解:(1)函数g(x)满足g(2x+1)=(2a-4)x+a-3,
设2x+1=t,则x=,则g(t)=(2a-4)·+a-3=(a-2)t-1,即有g(x)=(a-2)x-1.
因为对任意实数x,都有f(x)+g(x)>a恒成立,
即有x2-2ax-1+(a-2)x-1>a,即x2-(a+2)x-a-2>0恒成立,
所以Δ=(a+2)2+4(a+2)<0,解得-6即a的取值范围是(-6,-2).
(2)存在x∈[1,3],使得f(x)-g(x)≤a成立,
即存在x∈[1,3],使得x2+(2-3a)x-a≤0成立,
设h(x)=x2+(2-3a)x-a,
可得h(1)≤0或h(3)≤0,即1+2-3a-a≤0或9+6-9a-a≤0,
解得a≥或a≥,所以a≥,即a的取值范围是.
(3)若对任意x>0,都有f(x)g(x)≥0恒成立,
即或对任意x>0恒成立.
由于f(x)是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=a,g(x)是过点的直线(a=2时不满足题意),
且f(0)=g(0)=-1,所以a>2,且f=0,可得a=;
当a<2时,不满足题意.故实数a的取值集合是.(共80张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时 利用单调性求最值
探究点一 利用图象求函数的最值
探究点二 利用函数的单调性求最值
探究点三 二次函数的最值
探究点四 函数最值的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解函数的最大（小）值:（1）理解函数最大（小）值的定义;
（2）能根据函数图象得出函数的最大（小）值;（3）对已经学过的
简单函数,能根据函数的单调性求出其最大（小）值.
知识点一 函数的最大（小）值及几何意义
前提 一般地，设函数的定义域为
条件 如果存在实数 满足： ，都有__________； ，使得___________ 如果存在实数 满足：
，都有
__________； ，使
得___________
结论 那么，我们称 是函数 的最大值 那么，我们称 是函数
的最小值
几何意 义 图象上最高点的________ 图象上最低点的______
_______
纵坐标
纵坐标
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知的定义域为,若,都有,则 是函数
的最大值.( )
×
[解析] 若,都有,并且,使得,
则 是 的最大值.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）因为不等式总成立,且当 时等号成立,所以0是
的最小值.( )
√
[解析] 依题意知 的最小值为0.
2.一个函数是否一定有最值？若一个函数有最值，则它的最值与值域
有什么关系？
解：一个函数不一定有最值，例如， 没有最值.
若一个函数有最值，则它的最小值即为值域中的最小值，最大值即
为值域中的最大值.
知识点二 求函数最值的常用方法
（1）图象法:作出 的图象,观察最高点与最低点,最高（低）
点的纵坐标即为函数的最大（小）值.
（2）运用已学函数的值域.
（3）运用函数的单调性
①若函数在定义域上单调递增,则 _____，
_____.
②若函数在定义域上单调递减,则_____,
_____.
（4）分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大
（小）的那个.
【诊断分析】
要确定在 上的最值,需要先确定什么
解:需要先确定函数在上的单调性，即确定 的正负,从而
判定 何时取得最大值,何时取得最小值.
探究点一 利用图象求函数的最值
例1 定义域为的函数 的图象如图所示，
则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.，2 B.0，2 C. ，3 D.3，2
[解析] 由题图可知，当时，
取得最小值，最小值为；
当时， 取得最大值，最大值为 .故选C.
√
例2 已知函数求函数 的最大值、最
小值.
解：作出 的图象，如图所示.
由图象可知，当时，取得最大值2；
当时， 取得最小值 .
所以的最大值为2，最小值为 .
变式 作出函数 的图象,说明函数的单调性,并判断
该函数是否存在最大值和最小值.
解：当，即 时，
；
当，即 时，
.
所以
画出该函数的图象，如图.
由图象可知，函数 在
，上单调递增，在 上单调递减.
观察函数图象，可知该函数不存在最大值，也不存在最小值.
［素养小结］
（1）分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上
最小值中的最小者,故求分段函数的最大值或最小值时,应先求各段上
的最值,再比较，即得函数的最大值或最小值.
（2）若函数的图象容易作出,则画出分段函数的图象,观察图象的最
高点与最低点,并求其纵坐标,即得函数的最大值、最小值.
探究点二 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数，求函数在区间 上的最大值与最
小值.
解：设 ,则，
，,, ，
,即，在区间 上单调递增，
在区间上的最小值为，最大值为 .
变式 已知函数 .
（1）判断在区间 上的单调性,并利用定义证明;
解：在区间上单调递增,证明如下:
,且 ,
则 .
由,,,得,, ,
则 ,即,
所以在区间 上单调递增.
变式 已知函数 .
（2）求函数在 上的最大值和最小值.
解：由（1）知在上单调递增,
所以在 上的最小值为,最大值为 .
［素养小结］
1.利用函数的单调性求最值：
首先判断函数的单调性,然后利用单调性写出最值.
2.求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最
大（小）值.
探究点三 二次函数的最值
例4 已知函数 .
（1）当时，求函数在区间 上的取值范围；
解：当时，，
函数 的图象的对称轴方程为 ，且开口向上，
则在上单调递减，在 上单调递增，
又，，
所以函数在区间 上的最小值为,最大值为，
所以函数在区间 上的取值范围为 .
例4 已知函数 .
（2）若函数在区间上的最小值为，求 .
解：函数的图象的对称轴方程为 ，且开
口向上.
当，即时，在 上单调递增，
则 ；
当，即时，在 上单调递减，在
上单调递增，则 ；
当，即时，在 上单调递减，
.
综上，
例4 已知函数 .
（3）求函数在区间上的最大值 .
解：函数的图象的对称轴方程为 ,
且开口向上.
当，即时，在 上单调递增，
；
当,即时,在上单调递减,
在上单调递增,且 ;
当,即时,在上单调递减,在 上单调
递增,且 .
当，即时，在 上单调递减，
则 .
综上,
变式 已知函数，求在 上的
最大值 .
解：函数 ，其图象的对称轴方
程为 ，且开口向下.
①当，即时，函数在 上单调
递增，此时 ；
②当，即时，函数 在
上单调递增，在 上单调递减，此时 ；
③当，即时，函数在 上单调递减，
此时.
综上，在 上的最大值
［素养小结］
一元二次函数在闭区间上的最值问题的一般解法：
（1）先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外；
（2）当函数图象的对称轴在闭区间内时，函数在图象顶点处取得一
个最值，另一个最值在距对称轴较远的端点处取得（有时需要讨论
图象的对称轴在闭区间中点的左侧、右侧或过中点的情况）；
（3）当函数图象的对称轴不在闭区间内时，最值在两个端点处取得.
探究点四 函数最值的实际应用
例5 调研发现：一棵某品种水果树的产量 （单位：千克）与肥
料费用 （单位：元）满足的关系式为
此外，还需要投入其他成本
（如施肥的人工费等） 元．已知这种水果的市场售价为16元/千
克，且市场需求始终供不应求．记一棵该水果树获得的利润为
（单位：元）．
（1）求 的函数解析式.
解：由题意得
例5 调研发现：一棵某品种水果树的产量 （单位：千克）与肥
料费用 （单位：元）满足的关系式为
此外，还需要投入其他成本
（如施肥的人工费等） 元．已知这种水果的市场售价为16元/千
克，且市场需求始终供不应求．记一棵该水果树获得的利润为
（单位：元）．
（2）当投入的肥料费用为多少时，一棵该水果树获得的利润最大？
最大利润是多少？
解：当时，的最大值为 ；
当 时，
,
当且仅当，即 时，等号成立．
故当投入的肥料费用为30元时，一棵该水果树获得的利润最大，
最大利润是430元．
变式 某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种
商品每天的销量（件）与售价（元）满足一次函数 ,
若要每天获得最大销售利润，则每件商品的售价应定为____元.
40
[解析] 设某商场每天获得销售利润为 元，
，
由题知，所以当时， 取得最大值200.
所以若要每天获得最大销售利润，则每件商品的售价应定为40元.
［素养小结］
对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件
关系，建立数学模型，列出函数解析式，进而分析函数的性质，从
而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.
1.图象法求最值或值域
函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标,函数最小值的几
何意义是函数图象最低点的纵坐标.
例1 已知函数, ，
设函数 .
（1）求 的解析式；
解：当时，, ，
.
当时,, ,.
所以
例1 已知函数, ，
设函数 .
（2）画出 的图象，指出其单调区间并求出其值域.
解： 的图象如图所示.
由图象可知函数的单调递减区间为， ，
单调递增区间为
的最小值为，最大值为4，故函数 的值域为 .
2.单调性法求最值或值域
利用单调性求函数的最值的步骤:第一步,利用函数单调性的定义判断
函数的单调性；第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值.
例2 已知，.若对任意，函数 在区间
上的最大值不超过最小值的2倍，求 的取值范围.
解：因为函数在上单调递减，而对任意 ,
,
所以函数在 上单调递减，
所以当时,
的最大值为 ,最小值为 .
由题意可得，对任意, 恒成立，
即对任意, 恒成立.
任取,,且 ,则
,
因为,所以, ,
,
所以，即在 上单调递减，
所以当时，，即,解得 ，
故的取值范围为 .
3.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
（1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；
（2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；
（3）区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
解题策略通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
例3 已知函数在区间 上单调递减，在区间
上单调递增.
（1）求 的值；
解：在区间 上单调递减，
在区间上单调递增，
的图象的对称轴方程为 ，即，解得 .
例3 已知函数在区间 上单调递减，在区间
上单调递增.
（2）求在区间 上的取值范围；
解：在 上单调递减，在上单调递增，
在区间上的最小值是 ，
又,，在区间上的最大值是 ，
故在区间上的取值范围为 .
例3 已知函数在区间 上单调递减，在区间
上单调递增.
（3）求在区间上的最小值与最大值 .
解：当时，在区间 上单调递减，
， ；
当时，， ；
当时，， .
综上所述，
例4 已知函数，，求函数 的最小值.
①
解： ， .
当时，函数 的图象如图①中实线所示，
函数在区间上单调递减，
函数 的最小值为 ；
②
当时，函数 的图象如图②中实线所示，
函数在区间上单调递减，
在区间 上单调递增，
函数的最小值为 ；
③
当时，函数 的图象如图③中实线所示，
在区间上单调递增，
函数 的最小值为 .
综上所述，
练习册
1.已知，则在区间 上的最小值与最大值分别
为 ( )
A.， B.，1 C.， D.，
[解析] 因为函数在区间上单调递减，
所以 在区间上的最小值为,最大值为 .
故选A.
√
2.函数 的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在上单调递增,在 上单调递减,
所以,
又,,所以 ,
故函数的值域为 .故选B.
√
3.若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数 的
值是( )
A.2 B. C.2或 D.0
[解析] 当时，由题意得，则 ；
当时，由题意得，则.
综上， .故选C.
√
4.函数在 上的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由在上单调递增，且在 上单调递增，
可得在上单调递增，
又， ，
所以在上的取值范围为 ，故选C.
√
5.某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为
万元，每件商品的售价为28元，假设每月所生
产的商品能全部售完，记当月生产商品所获得的总利润为 万元，
单件平均利润为 万元，则下列说法正确的是( )
A.当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为144万元
B.当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为160万元
C.当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为24元
D.当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元
√
[解析] 由题意可得
，
故当时， 取得最大值128.
，
当且仅当 时，等号成立.
故当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为128万元；
当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元.
故选D.
6.（多选题）若函数在区间 上的取值范围为
，则区间 可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 的图象是开口向上的抛物线,
关于直线对称,
所以函数在区间上单调递减,在 上单调递增.
当时,函数的最小值为 ,最大值为,
得函数在上的取值范围为;
√
√
√
当 时,函数的最小值为,最大值为,
得函数在 上的取值范围为;
当时,函数的最小值为 ,因为,
所以最大值为,所以函数在 上的取值范围为;
当时,最小值为 ,因为,
所以最大值为,得函数在 上的取值范围为,
根据以上的讨论可得区间不可能为 .
故选 .
7.函数在区间 上的最小值为__.
[解析] 在上单调递增，
故 在区间上的最小值为 .
8.已知函数，“，”是“ 的最大值为
2025”的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”
“既不充分也不必要”）
必要不充分
[解析] 由，不一定能得到 的最大值为2025，
有可能不存在，使得 ，所以不满足充分性；
若的最大值为2025，则， 恒成立，
所以必要性成立.
所以“,”是“ 的最大值为2025”的必要不充分条件.
9.（13分）已知函数 .
（1）求函数在区间 上的最大值与最小值；
解：函数的图象的对称轴为直线，因为 ，
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
故函数 在上的最小值为，最大值为 .
9.（13分）已知函数 .
（2）设，当时，求函数 的最小值
的表达式．
解：由题意得 ,其图象开口向上,对称轴为
直线 .
①当,即时,函数在上单调递增, 在
上的最小值为 ；
②当,即时,函数在 上单调递减,在
上单调递增,在 上的最小值为 .
综上,
10.［2025· 贵阳高一阶段练］已知函数 的值域
为，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若函数的值域为 ,
则内层函数有意义,故内层函数大于或等于0.
当 时,函数，其定义域为,值域为 ，
符合题意;
当时,函数 的图象开口向上,若要满足题意，
则需,解得;
当时,函数 的图象开口向下,不可能符合题意.
综上所述， .
故选A.
11.已知函数的最小值为，则 的取
值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数的最小值为，
所以函数在 上单调递减，则，.
当 时，由基本不等式可得
，当且仅当 时，等号成立.
由题意可得，解得.
综上， .
故选A.
12.已知，,为方程的两个实数根，则
的最大值为____.
[解析] 由题意可知解得 ，且
故.
因为在 上单调递增，
所以当时,取得最大值,所以 的最大值为 .
13.［2025·大庆实验中学高一月考］函数 ，
若函数的最小值是4，则 _______.
5或
[解析] 当 时,
则函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以,解得,所以 ；
当 时，
则函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以，解得，所以 .
综上，或 .
14.（15分）某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生
产的总成本（万元）与年产量 （吨）之间的函数关系式可以近似
地表示为 ，已知此生产线的年产量最大为300吨.
（1）当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最
低平均成本.
解：生产每吨产品的平均成本为 万元，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，
最低平均成本为30万元.
14.（15分）某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生
产的总成本（万元）与年产量 （吨）之间的函数关系式可以近似
地表示为 ，已知此生产线的年产量最大为300吨.
（2）若每吨产品的平均出厂价为40万元，该产品产销平衡，那么当
年产量为多少吨时，年利润最大？最大年利润是多少？
解：设年利润为 万元,
则
，
当时，有最大值，最大值为2125，
当年产量为225吨时，年利润最大，最大年利润为2125万元.
15.［2025·徐州高一期中］定义:,表示, 中的较小者.若函数
,在区间 上的取值范围为
,则 的最大值为___.
2
[解析] 作出函数, 的图象，
如图中的实线所示，
令,可得或,
即点 ,,
令,可得,即点 ,
由图可知,当函数,
在区间 上的取值范围是,
且当时, 取到最大值2.
16.（15分）［2025·南京五校联盟高一期中］ 已知函数
，函数满足 .
（1）若对任意实数,都有恒成立，求实数 的取值范围；
解：函数满足 ，
设,则 ，
，
即有 .
因为对任意实数,都有 恒成立，
即有,
即 恒成立，
所以，解得 ，
即的取值范围是 .
16.（15分）［2025·南京五校联盟高一期中］ 已知函数
，函数满足 .
（2）若存在，使得成立，求实数 的取值范围；
解：存在，使得 成立，
即存在，使得 成立，
设 ,可得或，
即 或 ，
解得或，所以 ，即的取值范围是 .
16.（15分）［2025·南京五校联盟高一期中］ 已知函数
，函数满足 .
（3）若对任意，都有恒成立，求实数 的取值集合.
解：若对任意，都有 恒成立，
即或对任意 恒成立.
由于是开口向上的抛物线，且对称轴方程为,
是过点的直线时不满足题意 ，
且，所以，且，可得 ；
当时，不满足题意.故实数的取值集合是 .
快速核答案 （导学案）
课前预习 知识点一 纵坐标 纵坐标
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ 2.不一定有最值，关系略
知识点二 （3） 【诊断分析】 的正负
课中探究 探究点一 例1 C 例2 最大值为2，最小值为 变式 如图，
函数在,上单调递增,在上单调递减.不存在最大值，也不存在最小值
探究点二 例3 最小值为,最大值为 变式（1）单调递增,证明略（2）,
探究点三 例4（1）
（2）（3）m> 变式
探究点四 例5 （1）
（2）当投入的肥料费用为30元时，一棵该水果树获得的利润最大，最大利润是430元 变式 40
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.ABC 7. 8.必要不充分
9.（1）最小值为,最大值为 （2）
10.A 11.A 12. 13.5或
14.（1）当年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本最低,最低平均成本为30万元.
（2） 当年产量为225吨时，年利润最大，最大年利润为2125万元.
15.2 16.（1）（2）（3） 