3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【学习目标】
掌握函数的奇偶性:(1)掌握奇函数与偶函数的定义和图象特征,能从函数图象直观地判断函数是否具有奇偶性;(2)能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;(3)能利用函数的奇偶性画函数图象和计算函数值.
◆ 知识点 函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且
定义域 关于 对称
图象 特征 关于 对称 关于 对称
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. ( )
(2)函数y=x2+1,x∈(-2,2]是偶函数. ( )
(3)存在一个既是奇函数,也是偶函数的函数. ( )
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数. ( )
(5)奇函数f(x)的定义域为R,若f(-2)=3,则f(2)=-3. ( )
◆ 探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
(4)f(x)=+.
变式 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
(2)f(x)=|x-1|+|x+1|.
[素养小结]
判断函数的奇偶性,可以从两个角度入手,一是利用定义,探究f(x)和f(-x)的关系;二是利用奇偶函数的和差积商的性质:奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数,偶函数×偶函数=偶函数.
拓展 设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 ( )
A.y=f(x+1)+1
B.y=f(x-1)+1
C.y=f(x+1)-1
D.y=f(x-1)-1
◆ 探究点二 奇偶函数的图象特征
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.现已画出函数f(x)在y轴右侧的图象,如图所示.
(1)请补充完整函数f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)当a为何值时,方程f(x)=a有两个不同的实数根、三个不同的实数根、四个不同的实数根
变式 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)补全f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
[素养小结]
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称;
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题.
◆ 探究点三 利用函数奇偶性求值
例3 (1)若函数f(x)=x2(x-a)为奇函数,则实数a的值为 .
(2)已知f(x)=x5+ax3+bx,且f(-2)=10,则f(2)= .
变式 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .
(2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1)+g(1)的值为 .
[素养小结]
1.利用奇偶性求参数的常见类型:
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解.
2.已知f(a)求f(-a),通过判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数,利用函数的奇偶性找出f(a)与f(-a)的关系即可.
3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【课前预习】
知识点
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
原点 y轴 原点
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)例如f(x)=x2,存在x=0,使f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数.
(2)函数y=x2+1,x∈(-2,2]的定义域不关于原点对称,所以该函数不是偶函数.
(3)存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,也是偶函数.
(4)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
(5)因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以 f(2)=-3.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4 [-4,4),∴函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)由得-3≤x≤3且x≠0,则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3],关于原点对称.
∵f(x)===,∴f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
(3)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x>0时,f(x)=x2+2x,∴当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-2x=f(x);∵当x<0时,f(x)=x2-2x,
∴当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+2x=f(x).故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x),
故函数f(x)是偶函数.
(4)由得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1}.
∵f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x),∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
变式 解:(1)f(x)的定义域为R.当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0.
故f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,因为f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数.
拓展 D [解析] 对于A,f(x+1)+1=+1,其定义域为{x|x≠-2},不关于原点对称,故y=f(x+1)+1不是奇函数;对于B,f(x-1)+1=+1=2-,其定义域为{x|x≠0},设g(x)=2-,不满足g(-x)=-g(x),故y=f(x-1)+1不是奇函数;对于C,f(x+1)-1=-1,其定义域为{x|x≠-2},不关于原点对称,故y=f(x+1)-1不是奇函数;对于D,f(x-1)-1=-1=-,其定义域为{x|x≠0},设h(x)=-,满足h(-x)=-h(x),故y=f(x-1)-1是奇函数.故选D.
探究点二
例2 解:(1)补充完整函数f(x)的图象,如图所示.
(2)由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)由图可知,当a=-1或a>0时,方程f(x)=a有两个不同的实数根;当a=0时,方程f(x)=a有三个不同的实数根;当-1
变式 解:(1)因为奇函数的图象关于原点对称,所以补全函数f(x)的图象如图所示.
(2)当x>0时,由xf(x)>0得f(x)>0,所以0当x<0时,由xf(x)>0得f(x)<0,所以-2综上,不等式xf(x)>0的解集为(-2,0)∪(0,2).
探究点三
例3 (1)0 (2)-10 [解析] (1)由题意可得f(-x)=-f(x),即(-x)2(-x-a)=-x2(x-a),整理可得-ax2=ax2,故a=0.
(2)因为f(x)=x5+ax3+bx的定义域为R,且f(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-f(x),所以f(x)是奇函数,又因为f(-2)=10,所以f(2)=-f(-2)=-10.
变式 (1) 0 (2)-1 [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,且a-1<2a,解得a=.由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,得b=0.
(2)由题意知f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)+1,即f(x)+g(x)=-x3-x+1,所以f(1)+g(1)=-1-1+1=-1.3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.下列说法中错误的是 ( )
A.奇函数的图象关于坐标原点对称
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数一定满足f(0)=0
D.偶函数的图象不一定与y轴相交
2.(多选题)下列四个函数图象中为奇函数图象的是 ( )
A B C D
3.设f(x)=-x3+(a-2)x2+x是定义在R上的奇函数,则a= ( )
A.2 B.-2
C.0 D.-1
4.函数f(x)=2x-的图象关于 ( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.直线y=x对称
D.坐标原点对称
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x-1,则f(1)= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
6.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.y=f(x)g(x)为奇函数
B.y=|f(x)|g(x)为偶函数
C.y=f(x)|g(x)|为偶函数
D.y=|f(x)g(x)|为偶函数
7.已知函数f(x)=ax2+bx+c,x∈[-2a-5,1]是偶函数,则a+2b= .
8.已知函数f(x)是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函数,当x≥1时,f(x)=4x-x2,则f(-2)= .
9.(13分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x5-x;
(2)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];
(3)g(x)=.
(4)f(x)=
10.已知函数f(x)的图象如图所示,则y=f(|x|)+1的大致图象是 ( )
A B C D
11.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若f(x)在[0,5]上的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(2,5] B.[-5,2)∪(2,5]
C.(-2,0)∪(2,5] D.[-5,0)∪(2,5]
12.已知函数f(x)=ax3+bx+1,且f(-2026)=10,则f(2026)= .
13.已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(5)>f(2),则f(-2)与f(-5)的大小关系是f(-2) f(-5).(填“>”“=”或“<”)
14.(15分)已知奇函数f(x)的定义域为R,且当x<0时,f(x)=x2+2x+1.
(1)在图中的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的值域和单调区间.
15.已知函数f(x)=(pq≠0),若存在正实数a,使得函数f(x)在区间[-a,a]上有最大值M及最小值m,则M+m= .
16.(15分)[2025·温州中学高一期中] 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f,且当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断f+f的正负,并说明理由.
3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.C [解析] 根据奇偶函数的性质知A,B中说法正确;对于C,如f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数f(x)是奇函数,它的图象不过原点,故C中说法错误;对于D,如g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数g(x)是偶函数,它的图象不与y轴相交,故D中说法正确.故选C.
2.BD [解析] 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.结合选项可知,A,C中的图象关于y轴对称,为偶函数的图象,故排除A,C;B,D中的图象关于原点对称,为奇函数的图象,故B,D正确.故选BD.
3.A [解析] 因为f(x)=-x3+(a-2)x2+x是定义在R上的奇函数,所以由奇函数的性质可得f(x)+f(-x)=-x3+(a-2)x2+x-(-x)3+(a-2)(-x)2-x=2(a-2)x2=0恒成立,所以a=2.故选A.
4.D [解析] 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=-2x+=-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于坐标原点对称.故选D.
5.D [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x-1,所以f(1)=-f(-1)=-(-1-1)=2,故选D.
6.ABD [解析] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴y=|f(x)|为偶函数,y=|g(x)|为偶函数,∴y=f(x)g(x)为奇函数,y=|f(x)|g(x)为偶函数,y=f(x)|g(x)|为奇函数,y=|f(x)g(x)|为偶函数.故选ABD.
7.-2 [解析] 根据题意,函数f(x)=ax2+bx+c,x∈[-2a-5,1]是偶函数,所以-2a-5+1=0,解得a=-2,故f(x)=-2x2+bx+c,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=-2x2-bx+c=f(x)=-2x2+bx+c,解得b=0,故a+2b=-2.
8.-4 [解析] 因为函数f(x)是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函数,当x≥1时,f(x)=4x-x2,所以f(2)=4×2-22=4,故f(-2)=-f(2)=-4.
9.解:(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)5-(-x)=-x5+x=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)因为函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,
由|x+2|-2≠0,得x≠0,所以g(x)的定义域为{x|-1≤x≤1且x≠0},关于原点对称,则x+2>0,所以g(x)==.
因为g(-x)==-=-g(x),所以g(x)为奇函数.
(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
①当x=0时,-x=0,
所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x);
②当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x);
③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).
综上,函数f(x)为奇函数.
10.D [解析] 在y轴左侧作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象,得到y=f(|x|)的图象,再将y=f(|x|)的图象向上平移一个单位长度,得到y=f(|x|)+1的图象.故选D.
11.C [解析] 由题图得,当x>0时,f(x)<0的解为20,所以0<-x<2,解得-212.-8 [解析] 根据题意,设g(x)=f(x)-1=ax3+bx,其定义域为R,由g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x),可得g(x)为奇函数.因为g(x)=f(x)-1,所以f(x)=g(x)+1,由f(-2026)=g(-2026)+1=10,解得g(-2026)=9,故g(2026)=-9,所以f(2026)=g(2026)+1=-8.
13.> [解析] 因为f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,所以f(5)=-f(-5),f(2)=-f(-2),又f(5)>f(2),所以-f(-5)>-f(-2),即f(-2)>f(-5).
14.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可得函数f(x)的值域为R,
单调递增区间为(-1,0),(0,1),
单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).
15.15 [解析] f(x)==
+.令g(x)=,其定义域为R,g(-x)==-g(x),即g(x)为奇函数,即函数g(x)在区间[-a,a]上满足g(x)max +g(x)min=0,又f(x)max=g(x)max+,f(x)min=g(x)min+,所以M+m=+=15.
16.解:(1)证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0,令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数.
(2)f+f>0,理由如下:
因为f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,
所以f+f=f-f=f=f=-f,
当x∈(-1,0)时,f(x)<0,
即f<0,所以f+f=-f>0.(共68张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
探究点一 函数奇偶性的判断
探究点二 奇偶函数的图象特征
探究点三 利用函数奇偶性求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握函数的奇偶性:
（1）掌握奇函数与偶函数的定义和图象特征,能从函数图象直观地判
断函数是否具有奇偶性;
（2）能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（3）能利用函数的奇偶性画函数图象和计算函数值.
知识点 函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数 的定义 域为，如果 ，都有 ，且_____________ 一般地，设函数 的定义
域为，如果 ，都有
，且
_______________
定义域 关于______对称
原点
偶函数 奇函数
图象特 征 关于_____对称 ______________________________________ 关于______对称
___________________________________
轴
原点
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于函数，若存在，使 ，则函数
一定是奇函数.( )
×
[解析] 例如，存在，使 ，
但函数 不是奇函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数, 是偶函数.( )
×
[解析] 函数, 的定义域不关于原点对称,
所以该函数不是偶函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）存在一个既是奇函数，也是偶函数的函数.( )
√
[解析] 存在， 既是奇函数，也是偶函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是
偶函数.( )
×
[解析] 函数， 的定义域关于原点对称，
但它既不是奇函数，也不是偶函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）奇函数的定义域为，若，则 .( )
√
[解析] 因为是奇函数，所以,所以 .
探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
（1）, ；
解： 函数的定义域不关于原点对称,即存在 ,而,
函数, 既不是奇函数，也不是偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性:
（2） ；
解：由得且,
则 的定义域为 ，关于原点对称.
，
，故 是奇函数.
例1 判断下列函数的奇偶性:
（3）
解：易知函数的定义域为 ,关于原点对称.
当时,,
当时, ,故;
当时, ,
当时,,故 .
故对任意,均有 ,故函数 是偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性:
（4） .
解：由得，则的定义域为, .
，，即,
既是奇函数，也是偶函数.
变式 判断下列函数的奇偶性:
（1）
解：的定义域为.
当时, ,则;
当时, ,则;
当时, .
故 为奇函数.
变式 判断下列函数的奇偶性:
（2） .
解：的定义域是 ，
因为 ，
所以 是偶函数.
［素养小结］
判断函数的奇偶性，可以从两个角度入手，
一是利用定义，探究和的关系；
二是利用奇偶函数的和差积商的性质：
奇函数奇函数奇函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数×奇函数
偶函数，奇函数×偶函数奇函数，偶函数×偶函数偶函数.
拓展 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，，其定义域为 ，
不关于原点对称，故 不是奇函数；
对于B，，其定义域为 ，
设,不满足,故 不是奇函数；
对于C，，其定义域为 ，
不关于原点对称，故 不是奇函数；
对于D,,其定义域为,设 ，
满足，故 是奇函数.故选D.
探究点二 奇偶函数的图象特征
例2 已知函数是定义在上的偶函数，且当 时，
.现已画出函数在 轴右侧的图象，如图所示.
（1）请补充完整函数 的图象；
解：补充完整函数 的图象，如图所示.
例2 已知函数是定义在 上的偶函数，且
当时，.现已画出函数
在 轴右侧的图象，如图所示.
（2）根据图象写出函数 的单调递增区间；
解：由图可知，函数 的单调递增区间
为， .
例2 已知函数是定义在 上的偶函数，且
当时，.现已画出函数
在 轴右侧的图象，如图所示.
（3）当为何值时，方程 有两个不同的
实数根、三个不同的实数根、四个不同的实数根？
解：由图可知,当或时,
方程 有两个不同的实数根；
当时，方程 有三个不同的实数根；
当时，方程 有四个不同的实数根.
变式 定义在上的奇函数在 上的图象如图所示.
（1）补全 的图象；
解:因为奇函数的图象关于原点对称，
所以补全函数 的图象如图所示.
变式 定义在上的奇函数在 上的图象如图所示.
（2）解不等式 .
解:当时，由得，所以 ；
当时，由得，所以 .
综上，不等式的解集为 ．
［素养小结］
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，
偶函数 图象关于轴对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小
及解不等式等问题.
探究点三 利用函数奇偶性求值
例3（1）若函数为奇函数，则实数 的值为___.
0
[解析] 由题意可得 ，
即，整理可得，
故 .
（2）已知，且，则 _____.
[解析] 因为的定义域为 ，
，
所以是奇函数,又因为 ,所以 .
变式（1）若函数 是偶函数，且其定义域
为，则__， ___.
0
[解析] 因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以 ，且，解得.
由函数 为偶函数，得 .
（2）已知，分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，则 的值为____.
[解析] 由题意知 ，
即，
所以 .
［素养小结］
1.利用奇偶性求参数的常见类型：
（1）定义域含参数：奇（偶）函数的定义域为，根据定义
域关于原点对称，利用求参数.
（2）解析式含参数：根据或列式，比
较系数利用待定系数法求解.
2.已知求，通过判断的奇偶性或构造已知奇偶性的函
数，利用函数的奇偶性找出与的关系即可.
1.判断函数奇偶性的步骤
①先求定义域,看是否关于原点对称.
②在定义域关于原点对称的条件下再判断与 的关系.若
,则函数为偶函数;若,则函数 为奇
函数.
2.函数奇偶性的运算性质
设,的定义域分别是, ,在它们的公共定义域上,一般具有
下列结论:
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:中,的值域是 的定义域的子集.
判断函数的奇偶性除了定义法之外,还可以利用函数图象来判断，遇
到分段函数，还需要分类讨论判断.
例1（1）已知函数 ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数的图象关于点 中心对称，
所以将 的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后，
所得图象关于坐标原点中心对称，所以 是奇函数.
故选B.
√
（2）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，函数是奇函数，但是 在和 上
单调递减，在定义域上不具有单调性，故A错误；
对于B，函数 是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，函数 是偶函数，故C错误；
对于D，函数 的图象如图，
所以 在其定义域内既是奇函数又是增函数,故D正确.
故选D.
例2（1）（多选题）设和分别是定义在 上的奇函数和偶函
数，则下列函数中必为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A,因为,所以 为偶函数,
故A错误；
对于B,设,则 ,
所以,故 为奇函数,故B正确；
对于C,设,则 ,
所以,故 为偶函数,故C错误；
对于D,设 ,则
,所以为奇函数,故D正确.
故选 .
（2）［2025·南昌高一期中］ 已知函数 的定义域为
，对任意,且 ，都
满足 .
①求， ；
解：函数的定义域为 ，
对任意,且 ，
都满足 ，
令，，得 ， .
令，，得 ， .
（2）［2025·南昌高一期中］ 已知函数 的定义域为
，对任意,且 ，都
满足 .
②判断 的奇偶性；
解：的定义域为 ，关于原点对称.
对任意非零实数,,，
令， ，可得 .
令，得 ，
故 ，满足偶函数的定义，
是偶函数.
（2）［2025·南昌高一期中］ 已知函数 的定义域为
，对任意,且 ，都
满足 .
③当时，，且 ，求不等式
的解集.
解： 对任意，且，有， ，
由②知 ，
在区间 上单调递增.
， .
，
，
是定义域为的偶函数，
且在区间 上单调递增，
原不等式转化为 ，
解得或或 ，
原不等式的解集为 .
练习册
1.下列说法中错误的是( )
A.奇函数的图象关于坐标原点对称
B.图象关于 轴对称的函数是偶函数
C.奇函数一定满足
D.偶函数的图象不一定与 轴相交
√
[解析] 根据奇偶函数的性质知A，B中说法正确；
对于C，如，，易得函数 是奇函数，
它的图象不过原点，故C中说法错误；
对于D，如 ，，易得函数是偶函数，
它的图象不与 轴相交，故D中说法正确．故选C．
2.（多选题）下列四个函数图象中为奇函数图象的是( )
A. B. C. D.
[解析] 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称.
结合选项可知，A，C中的图象关于 轴对称，为偶函数的图象，
故排除A，C；
B，D中的图象关于原点对称，为奇函数的图象，故B，D正确.
故选 .
√
√
3.设是定义在上的奇函数,则 ( )
A.2 B. C.0 D.
[解析] 因为是定义在 上的奇函数,
所以由奇函数的性质可得恒成立,所以 .
故选A.
√
4.函数 的图象关于( )
A.轴对称 B.直线 对称
C.直线 对称 D.坐标原点对称
[解析] 函数的定义域为 ，
因为，
所以函数 是奇函数，
则函数 的图象关于坐标原点对称.
故选D.
√
5.设是定义在上的奇函数，且当时， ，则
( )
A. B. C.0 D.2
[解析] 因为是定义在上的奇函数,且当时, ,
所以 ,故选D.
√
6.（多选题）设函数，的定义域都为，且 是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.为奇函数 B. 为偶函数
C.为偶函数 D. 为偶函数
[解析] 是奇函数，是偶函数，
为偶函数，为偶函数，
为奇函数， 为偶函数，
为奇函数，为偶函数.
故选 .
√
√
√
7.已知函数, 是偶函数,则
____.
[解析] 根据题意,函数, 是偶函数,
所以,解得,故,
因为 是偶函数,所以 ,
解得,故 .
8.已知函数是定义在上的奇函数，当
时，，则 ____.
[解析] 因为函数是定义在 上的奇函数,
当时,,所以 ,
故 .
9.（13分）判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：的定义域为 ，关于原点对称.
又，故 为奇函数.
（2）， ；
解：因为函数的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数.
9.（13分）判断下列函数的奇偶性：
（3） .
解：由，得 ，
由，得，
所以的定义域为 且，关于原点对称，
则，所以 .
因为，所以 为奇函数.
9.（13分）判断下列函数的奇偶性：
（4）
解：函数的定义域为 ，关于原点对称.
①当时， ，
所以，，所以 ；
②当时， ，
所以 ；
③当时， ，
所以 .
综上，函数 为奇函数.
10.已知函数的图象如图所示，
则 的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 在轴左侧作函数的图象关于 轴对称的图象，得到
的图象，再将 的图象向上平移一个单位长度，
得到 的图象.故选D.
√
11.设奇函数的定义域为，若在 上的图象如图所
示，则不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图得，当时，的解为 ，
因为函数为奇函数，所以当时，若，即 ，
，所以，解得 ，
所以不等式的解集是 .
故选C.
√
12.已知函数，且，则
____.
[解析] 根据题意，设,其定义域为 ，
,可得 为奇函数.
因为，所以 ，
由，解得 ，
故，所以 .
13.已知是定义在上的奇函数，且，则
与的大小关系是___（填“ ”“”或“ ”）
[解析] 因为是定义在上的奇函数，
所以 ，，
又，所以 ，即 .
14.（15分）已知奇函数的定义域为 ，且
当时， ．
（1）在图中的平面直角坐标系中画出函数
的图象；
解：函数 的图象如图所示.
14.（15分）已知奇函数的定义域为 ，且
当时， ．
（2）写出函数 的值域和单调区间．
解：由图象可得函数的值域为 ，
单调递增区间为， ，
单调递减区间为，
15.已知函数，若存在正实数 ，使得
函数在区间上有最大值及最小值，则 ____.
15
[解析] .
令，其定义域为 ,
,即为奇函数,
即函数 在区间上满足,
又 , ,
所以 .
16.（15分）［2025·温州中学高一期中］ 定义在 上的函数
满足：对任意的,，都有 ，且
当时， .
（1）求证： 是奇函数；
证明：函数的定义域为 ，关于原点对称.
令，得，即，
令 ，可得，即，
所以 为奇函数.
16.（15分）［2025·温州中学高一期中］ 定义在 上的函数
满足：对任意的,，都有 ，且
当时， .
（2）判断 的正负，并说明理由.
解： ，理由如下：
因为为定义在 上的奇函数，
所以 ，
当时， ，即，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 原点 轴 原点
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
课中探究 探究点一 例1 （1）m>既不是奇函数，也不是偶函数
（2）奇函数（3）偶函数（4）m>既是奇函数,也是偶函数
变式（1）奇函数（2）偶函数 拓展 D 探究点二 例2 （1）.
（2）, （3）当或时,方程有两个不同的实数根；
当时,方程有三个不同的实数根；
当时,方程有四个不同的实数根 变式 （1）. .
（2）
探究点三 例3 （1）0 （2） 变式 （1） 0 （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.BD 3.A 4.D 5.D 6.ABD 7. 8.
9.（1）m>为奇函数（2）非奇非偶函数 （3）奇函数（4）奇函数
10.D 11.C 12. 13. 14.（1）如图. .
（2）函数的值域为,单调递增区间为,,
单调递减区间为,
15.15 16.（1）证明略 （2）,理由略
