第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】
能够根据函数的奇偶性和单调性解决求解析式、比较大小、解不等式等问题.
◆ 知识点 函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a
2.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a3.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a4.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a以上a,b的符号相同.
◆ 探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1 (1)若函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x2,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x2-x+1,试求f(x)和g(x)的解析式.
变式 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,若当x≥0时,f(x)=x2+4x,则当x∈R时,函数f(x)的解析式是 .
(2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(x)-g(x)= .
[素养小结]
利用函数奇偶性求解析式的方法:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应设在哪个区间上.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
◆ 探究点二 利用函数单调性与奇偶性比较大小
例2 已知函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则 ( )
A.fB.f(2)C.f(2)D.f(-1)变式 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是 .
[素养小结]
解决比较大小问题时应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.
◆ 探究点三 函数单调性与奇偶性解不等式
例3 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围.
变式 (1)[2025·宜昌高一期中] 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[-5,0]时,函数f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 ( )
A.(-5,-2)
B.(0,2)
C.(-5,-2)∪(0,2)
D.(-2,0)∪(2,5)
(2)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥f(2x)的解集为 ( )
A.
B.
C.[-1,1]
D.∪{-1}
[素养小结]
(1) 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,先把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)利用函数的奇偶性和单调性解不等式时要注意两点:
①奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.
②确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这个区间上解不等式.
第2课时 奇偶性的应用
【课前预习】
知识点
1.单调递增 相同 2.单调递减 相反
3.-M 4.N
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意可知f(0)=0.
令x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x3+x2,所以f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,
又因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x3-x2,
即当x<0时,f(x)=x3-x2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=
(2)以-x代替条件等式中的x,则有f(-x)+g(-x)=3x2+x+1,
又f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,所以-f(x)+g(x)=3x2+x+1.
又f(x)+g(x)=3x2-x+1,所以f(x)=-x,g(x)=3x2+1.
变式 (1)f(x)=
(2)-x2+2x-3 [解析] (1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2+4x,∴当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x=f(x),即当x<0时,f(x)=x2-4x,故f(x)的解析式是f(x)=
(2)根据题意,f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(-x)+g(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3,又由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有-f(x)+g(x)=x2-2x+3,变形可得f(x)-g(x)=-x2+2x-3.
探究点二
例2 B [解析] ∵函数f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)变式 f(-1)[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上是增函数,∴f(-1)探究点三
例3 解:(1)∵函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,∴f(0)=0.
当0则当-3≤x<0时,0<-x≤3,f(x)=-f(-x)=-=-x2+x,
又f(0)=0满足f(x)=x2+x,
故f(x)=
(2)当0≤x≤3时,f(x)=x2+x=(x+1)2-,则f(x)在[0,3]上单调递增,又函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,∴函数f(x)在[-3,3]上单调递增.∵f(a+1)+f(2a-1)>0,
∴f(a+1)>-f(2a-1)=f(1-2a),
则解得0即a的取值范围是(0,2].
变式 (1)D (2)D [解析] (1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由f(x)在[-5,0]上的图象知f(x)在[-5,5]上的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5).故选D.
(2)因为f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,所以2b+1-b=0,解得b=-1,所以函数f(x)的定义域为[-2,2].又因为f(x)在[2b,0]上单调递增,即f(x)在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减.因为f(x-1)≥f(2x),所以整理得
解得≤x≤1或x=-1,所以原不等式的解集为∪{-1}.故选D.第2课时 奇偶性的应用
1.已知f(x)是定义在区间[-7,7]上的偶函数,且其在[0,7]上的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)有两个单调递增区间
B.函数f(x)有两个单调递减区间
C.函数f(x)在其定义域内有最大值6
D.函数f(x)在其定义域内有最小值-6
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(2,-3)
3.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x-1,则当x<0时,f(x)= ( )
A.x-1 B.-x+1
C.-x-1 D.x+1
4.(多选题)[2025·青岛高一期中] 下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.f(x)= B.g(x)=|x|
C.m(x)=x2 D.n(x)=
5.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是 ( )
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
6.已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且在区间[a,b](a8.若定义在R上的奇函数f(x)同时也是增函数,且f(2m)+f(m-9)>0,则实数m的取值范围是 .
9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(x-4).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象,并根据图象指出f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在区间上的最值.
10.[2025·河北唐山高一期中] 已知函数f(x)=x3,则不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集为 ( )
A.(0,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-2,1)
11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x+2)f(x)<0的解集为 ( )
A.(2,+∞)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
12.已知定义在R上的函数f(x)=x3+x5,则关于x的不等式f(x2-3)+f(-5-2x)<0的解集为 .
13.[2025·重庆部分学校高一期中] 设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上单调递减,若f(1-m)14.(15分)[2025·湖南长郡中学高一期中] 已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=-.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(-3,3)上的单调性并加以证明;
(3)解不等式f(x+1)-≥0.
15.已知函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且f(-2)=0,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,则不等式f(x)<0的解集为 .
16.(15分)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,满足f(1)=1,且当m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有>0.
(1)判断函数f(x)的单调性;(结论不要求证明)
(2)解不等式f(3)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
第2课时 奇偶性的应用
1.C [解析] 根据偶函数f(x)在[0,7]上的图象,作出函数f(x)在[-7,0]上的图象,如图所示.由图可知函数f(x)有三个单调递增区间,三个单调递减区间,且在其定义域内有最大值6,但最小值不是-6.故选C.
2.A [解析] 由题意知f(-x)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-2,所以点(3,-2)一定在函数f(x)的图象上.
3.C [解析] 若x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-1,又f(x)为偶函数,故当x<0时,f(x)=f(-x)=-x-1.故选C.
4.BC [解析] 函数f(x)=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)=为奇函数,不满足题意;函数g(x)=|x|的定义域是(-∞,+∞),且g(-x)=|-x|=|x|=g(x),所以函数g(x)=|x|为偶函数,当x∈(0,+∞)时,g(x)=|x|=x在(0,+∞)上单调递增,满足题意;函数m(x)=x2的定义域是(-∞,+∞),且m(-x)=(-x)2=x2=m(x),所以函数m(x)=x2为偶函数,m(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意;因为函数n(x)=的定义域是[0,+∞),所以函数n(x)=是非奇非偶函数,不满足题意.故选BC.
5.B [解析] ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-3)=f(3),又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(-3)=f(3)>f(1)>f(0).故选B.
6.A [解析] 由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②,①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A.
7.3 -4 [解析] ∵函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递减.∵f(x)在区间[a,b](a8.m>3 [解析] ∵f(x)是奇函数,∴不等式f(2m)+f(m-9)>0等价于f(2m)>-f(m-9)=f(9-m),又f(x)在R上是增函数,∴2m>9-m,解得m>3.
9.解:(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(-x-4)=x(x+4),
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x(x+4),
所以f(x)=
(2)作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞).
(3)由图可知,f(x)在[-5,-2)上单调递增,在上单调递减,
所以当x=-2时,f(x)在区间上取得最大值4.
当x=-5时,f(-5)=5×(-5+4)=-5,
当x=时,f=×=-,因为-5<-,所以当x=-5时,f(x)在区间上取得最小值-5.
综上,f(x)在区间上的最大值为4,最小值为-5.
10.B [解析] f(x)=x3的定义域为R,易知f(x)为奇函数且为增函数.由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),则1-m0,解得m<-2或m>1.故选B.
11.A [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,所以当x<-2或x>2时,f(x)<0,当-20.由(x+2)f(x)<0,得或
所以或
解得x>2,所以不等式(x+2)f(x)<0的解集为(2,+∞),故选A.
12.(-2,4) [解析] 由y=x3和y=x5均在R上单调递增,得f(x)在R上单调递增.因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-x3-x5=-f(x),所以f(x)为奇函数.由f(x2-3)+f(-5-2x)<0,得f(x2-3)<-f(-5-2x),即f(x2-3)13. [解析] 因为函数f(x)为奇函数,且f(x)在[0,3]上单调递减,所以函数f(x)在[-3,3]上单调递减,又f(1-m)解得-2≤m<,即m∈.
14.解:(1)由题意可知即解得a=b=1,经检验符合题意.
(2)由(1)可知f(x)=-,设-3=
,
∵-30,x1x2-9<0,+9>0,+9>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-3,3)上单调递减.
(3)由题易知f(-1)=,又f(x+1)≥,∴f(x+1)≥f(-1),
由(2)可知f(x)在(-3,3)上单调递减,
∴解得-4∴不等式f(x+1)-≥0的解集为{x|-415.(-2,0)∪(2,+∞) [解析] 因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,不妨设x1,x2∈(0,+∞)且x10恒成立,令g(x)=xf(x),x≠0,则g(x1)-g(x2)=x1f(x1)-x2f(x2)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以g(x)为偶函数,且g(x)在(-∞,0)上单调递增.由f(-2)=0,可得g(2)=g(-2)=-2f(-2)=0,所以当x<-2或x>2时,g(x)<0,当-20.不等式f(x)<0,即为<0,当x>0时,不等式可化为g(x)<0,可得x>2,当x<0时,不等式可化为g(x)>0,可得-216.解:(1)因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(n)=-f(-n),
则=>0,
当m,n∈[-1,1]时,-n∈[-1,1],
则Δy=f(m)-f(-n),Δx=m-(-n),>0,
则Δy与Δx同号,即函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)为[-1,1]上的增函数,
又f即-(3)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1]恒成立,
则f(x)max≤t2-2at+1,
又f(x)max=f(1)=1,
所以t2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立.
令g(a)=t2-2at=-2ta+t2,
则即解得t≤-2或t≥2或t=0,
故实数t的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.(共66张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
探究点二 利用函数单调性与奇偶性比较
大小
探究点三 函数单调性与奇偶性解不等式
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能够根据函数的奇偶性和单调性解决求解析式、比较大小、解
不等式等问题.
知识点 函数的奇偶性与单调性
1.若为奇函数且在区间上单调递增，则 在
上__________,即在对称区间上单调性______.
2.若为偶函数且在区间上单调递增，则 在
上__________,即在对称区间上单调性______.
3.若为奇函数且在区间上有最大值为，则 在
上有最小值为_____.
单调递增
相同
单调递减
相反
4.若为偶函数且在区间上有最大值为，则 在
上有最大值为___.
以上, 的符号相同.
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1（1）若函数为上的奇函数,当时, ,求
的解析式.
解：由题意可知 .
令,则,因为当时, ,
所以 ,
又因为函数为奇函数,所以 ,
即当时, .
故函数的解析式为
（2）已知，分别是 上的奇函数和偶函数，且
，试求和 的解析式.
解：以代替条件等式中的，
则有 ，
又，分别是 上的奇函数和偶函数，
所以 ．
又，
所以， ．
变式（1）已知是定义在上的偶函数,若当 时,
,则当时,函数 的解析式是
___ ________ ________ _____________.
[解析] 是定义在上的偶函数,且当时,,
当时,,则 ,
即当时,，
故 的解析式是
（2）已知，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且
，则 _____________.
[解析] 根据题意， ，
，
又由 ，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
得 ，，
则有 ,变形可得 .
［素养小结］
利用函数奇偶性求解析式的方法：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应设在哪个区间上.
（2）要利用已知区间的解析式进行代入.
（3）利用的奇偶性写出或，从而解出.
探究点二 利用函数单调性与奇偶性比较大小
例2 已知函数为偶函数,且在区间 上单调递增,
则( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数为偶函数，,
又 在区间上单调递增,且 ,
,故选B.
√
变式 已知是定义在上的奇函数，且在区间 上单调递增，
则，， 的大小关系是_______________________.
[解析] 是定义在上的奇函数,且在区间 上单调递增，
在上是增函数， .
［素养小结］
解决比较大小问题时应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间
上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相
反的单调性.
探究点三 函数单调性与奇偶性解不等式
例3 已知函数是定义在上的奇函数，当 时，
.
（1）求函数 的解析式；
解： 函数是定义在上的奇函数， .
当时， ,
则当时, ,
,
又满足 ,
故
例3 已知函数是定义在上的奇函数，当 时，
.
（2）若，求实数 的取值范围.
解：当时，,
则在 上单调递增，
又函数是定义在上的奇函数,
函数 在上单调递增.
,
,
则解得 ,即的取值范围是 .
变式（1）［2025·宜昌高一期中］已知奇函数的定义域为 ，
当时，函数的图象如图所示，则不等式 的解
集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是奇函数，
所以在 上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象知在 上的图象如图所示，
则不等式的解集为 .
故选D.
（2）已知是定义在上的偶函数,且在 上单调递
增,则 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为是定义在上的偶函数,
所以 , 解得,所以函数的定义域为.
又因为在 上单调递增,即在上单调递增,
所以在 上单调递减.
因为,所以整理得
解得或，所以原不等式的解集为 .
故选D.
［素养小结］
（1） 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，先把已知不
等式转化成或的形式，再根据函数的奇
偶性与单调性列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响.
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式时要注意两点:
①奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原
点对称的两个区间上单调性相反.
②确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这个区
间上解不等式.
1.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常
将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周
期性来确定另一区间上的单调性，即先实现区间的转换，再利用单
调性解决相关问题.
例1（1）函数在 上单调递减，且为奇函数.若
，则满足的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一（特殊函数法）：由题意，不妨设 ，
因为，所以，解得 .故选D.
方法二（特殊值法）：假设可取，则有 ，
又因为，所以与矛盾，
故 不是不等式的解，排除A，B，C.故选D.
方法三（直接法）：根据题意,为奇函数,若 ,则，
因为在 上单调递减，且，
所以 ，即，解得 .
故选D.
（2）定义域为的函数满足 ，且对任意
，恒成立.设, ,
，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，定义域为的函数满足 ，
所以的图象关于直线 对称，
则,
又对任意 ，恒成立，
所以在区间 上单调递增.
又因为, ,
且 ，
所以，所以 .故选C.
（3）已知函数是偶函数， 是
奇函数，它们的定义域均为 ，且它们在
上的图象如图所示，则不等式 的解
集是__________________.
[解析] 如图所示，作出函数 与在 上的图象.
由图可知，当时，
, 的函数值异号，
所以不等式 的解集为 .
2.函数的奇偶性是函数对称性的一个特殊情况，将函数的对称性推广
到一般情况.
例2（1）函数 图象的对称中心为_______.
[解析] 设函数图象的对称中心为 ,
令
,
为奇函数, ,即解得
所以函数 图象的对称中心为 .
（2）已知的图象关于点 中心对称.
①求函数 的解析式；
解： .
因为的图象是由反比例函数 的图象向右
平移个单位长度（平移过程中 为正表示右移,为负表示左移），
再向下平移个单位长度得到（平移过程中 为正表示下移,为负表示
上移）的，
而反比例函数图象的对称中心为 ，
图象的对称中心为，
所以 解得
所以 .
（2）已知的图象关于点 中心对称.
②计算和 的值.
解：因为的图象关于点 中心对称，
所以 .
令，所以 ，
同理 ，
所以 .
练习册
1.已知是定义在区间上的偶函数，且其在 上的图象如
图所示，下列说法正确的是( )
A.函数 有两个单调递增区间
B.函数 有两个单调递减区间
C.函数 在其定义域内有最大值6
D.函数在其定义域内有最小值
√
[解析] 根据偶函数在上的图象，
作出函数在 上的图象，如图所示.
由图可知函数 有三个单调递增区间,三个单调递减区间,且在其定义域
内有最大值6，但最小值不是 .
故选C.
2.已知是定义在上的奇函数, ,则下列各点中一定在函
数 的图象上的是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知,所以 ,
所以点一定在函数 的图象上.
√
3.已知函数为偶函数,当时，,则当 时,
( )
A. B. C. D.
[解析] 若,则,所以,
又 为偶函数，故当时， .
故选C.
√
4.（多选题）［2025·青岛高一期中］ 下列函数既是偶函数又在
上单调递增的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域是 ，
又,所以函数 为奇函数,不满足题意；
函数的定义域是 ,且，
所以函数 为偶函数，当时，
在 上单调递增，满足题意；
√
√
函数的定义域是 ,且，
所以函数 为偶函数,在上单调递增,满足题意；
因为函数 的定义域是，
所以函数 是非奇非偶函数，不满足题意.
故选 .
5.若函数是上的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列
关系成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 是上的偶函数，，
又 在区间上单调递增， .
故选B.
√
6.已知函数为奇函数，函数 为偶函数，
，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 由 ①,得，
因为为奇函数, 为偶函数,所以, ,
所以，
得 ，所以，则 .
故选A.
√
7.已知函数是奇函数，在 上单调递减，且在区间
上的取值范围为，则在区间 上的最
大值为___，最小值为___.
3
-4
[解析] 函数是奇函数，在上单调递减，
在上也单调递减.
在区间 上的取值范围为
在区间上的最大值为 ，最小值为
在区间上也单调递减，
故 在区间上的最大值为 ，
最小值为 .
8.若定义在上的奇函数 同时也是增函数，且
，则实数 的取值范围是_______.
[解析] 是奇函数，
不等式 等价于，
又在 上是增函数，，解得 .
9.（13分）已知函数是定义在
上的奇函数，且当 时，
.
（1）求函数 的解析式；
解：当时， ，
,
又因为 是奇函数，
，所以 ，
所以
9.（13分）已知函数是定义在
上的奇函数，且当 时，
.
（2）在如图所示的平面直角坐标系
中作出函数 的图象，并根据图象
指出 的单调递增区间；
解：作出函数 的图象如图所示.
由图可知，函数的单调递增区间为和 .
9.（13分）已知函数是定义在
上的奇函数，且当 时，
.
（3）求在区间 上的最值.
解：由图可知，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，在区间 上取得最大值4.
当 时， ，
当时， ，
因为,所以当时，
在区间上取得最小值 .
综上，在区间上的最大值为4，
最小值为 .
10.［2025·河北唐山高一期中］已知函数 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 的定义域为，易知 为奇函数且为增函数.
，得 ，
则，即，解得或 .故选B.
√
11.已知函数是定义在上的偶函数，在 上单调递增，且
，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是定义在上的偶函数，在 上单调递增，
所以在上单调递减，
又因为 ，所以，
所以当或时， ,当时，.
由，得 或
所以或 解得,
所以不等式的解集为 ，故选A.
12.已知定义在上的函数，则关于 的不等式
的解集为_______.
[解析] 由和均在上单调递增，得在 上单调递增.
因为的定义域为,,所以 为奇函数.
由，得 ，
即，可得，解得 ，
故原不等式的解集为 .
13.［2025·重庆部分学校高一期中］设定义在上的奇函数
在区间上单调递减，若，则实数 的取值范围
为_______.
[解析] 因为函数为奇函数，且在 上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又 ，则
解得，即 .
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（1）求, 的值；
解：由题意可知即解得 ，
经检验符合题意.
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（2）判断函数在 上的单调性并加以证明；
解：由（1）可知，设 ，
，
,
,, , ，
，即 ，
在 上单调递减.
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（3）解不等式 .
解：由题易知，又, ，
由（2）可知在 上单调递减，
解得 ，
不等式的解集为 .
15.已知函数是定义域为 的奇函数，且
，若对任意的,，且 ，都有
，则不等式 的解集为________________.
[解析] 因为对任意的,,且 ,都有，
不妨设,且 ，则恒成立，
令, ,则，
所以函数在 上 单调递减，
又函数为定义在 上的奇函数，
所以为偶函数，且在上单调递增.
由 ，可得，
所以当或 时，,当且时，.
不等式 ,即为,当时,不等式可化为,
可得,当时,不等式可化为,可得,
所以不等式 的解集为 .
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（1）判断函数 的单调性;（结论不要求证明）
解：因为 为奇函数,所以 ,所以 ,
则 ,
当，时, ,
则,, ,
则与同号,即函数在 上单调递增.
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（2）解不等式 ；
解：由（1）知函数为 上的增函数,
又,则得
即,所以不等式的解集为 .
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（3）若对任意, 恒成立,求实
数 的取值范围.
解：若对任意 恒成立,
则 ,
又 ,
所以对任意 恒成立.
令 ,
则即解得或或 ,
故实数的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.单调递增 相同 2.单调递减 相反 3. 4.
课中探究 探究点一 例1 （1）
（2），
变式 （1） （2）
探究点二 例2 B 变式
探究点三 例3 （1）（2）
变式 （1）D （2）D
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.C 4.BC 5.B 6.A 7.3 -4 8.
9.（1） （2）如图
和 （3）最大值为 4，最小值为10.B 11.A 12. 13.
14.（1）15.
16.（1）函数在上单调递增（2） （3）