3.3 幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念,体会从具体情境中抽象出幂函数概念的过程,了解幂函数的定义,能识别幂函数.
2.掌握五个特殊的幂函数的图象和性质,能正确画出幂函数y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,描述它们的变化规律,讨论它们的性质.
◆ 知识点一 幂函数的概念
一般地,函数 叫作幂函数,其中x是 ,α是常数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=-x2是幂函数. ( )
(2)函数y=不是幂函数. ( )
(3)函数y=x-1是幂函数. ( )
◆ 知识点二 幂函数的图象与性质
1.在同一直角坐标系中,函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=x-1;⑤y=的图象如图.
2.五个幂函数的性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 在(-∞,+∞) 上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调
图象经 过的定 点坐标
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ( )
(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( )
(3)当0
(4)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( )
2.通过观察前面5个幂函数的图象,哪个象限一定有幂函数的图象 哪个象限一定没有幂函数的图象
◆ 探究点一 幂函数的概念
例1 (1)(多选题)下列函数中,是幂函数的是 ( )
A.y=x3 B.y=x5+1
C.y= D.y=
(2)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)= ( )
A.2 B.
C. D.
变式 (1)已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(2,4),则k+α= .
(2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=8f(2),则f(1)+f= .
[素养小结]
判定一个函数为幂函数的依据是该函数的解析式为y=xα(α为常数)的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这三个条件,这是我们解决某些问题的隐含条件.
◆ 探究点二 幂函数的图象
例2 (1)已知幂函数f(x)=x-4,则该函数的大致图象是 ( )
A B C D
(2)图中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象,已知α取-2,-,,2四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为 ( )
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
变式 (1)若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>b>c D.a>c>b
(2)已知点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,分别求x的值或取值范围,使f(x)>g(x);f(x)=g(x);f(x)[素养小结]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则:
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3等)来判断.
◆ 探究点三 幂函数的单调性的应用
角度1 比较幂的大小
例3 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.,0.;
(2)1.,0.;
(3)(-0.31)2,0.352.
变式 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.
(1)(-1.5)3,(-1.4)3;(2),.
[素养小结]
解决比较幂的大小问题的策略:
(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;
(2)若指数不同,则可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较大小,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.
角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2a+1)变式 若幂函数f(x)的图象过点(2,8),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是 .
[素养小结]
解决幂函数性质的综合应用问题,应注意以下两点:
(1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
(2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
3.3 幂函数
【课前预习】
知识点一
y=xα 自变量
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数.
(2)根据幂函数的定义可知,函数y==|x|不是幂函数.
(3)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数.
知识点二
2.{x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞)
{y|y≠0} [0,+∞) 奇 偶 奇 奇
非奇非偶 递增 递减 递增 递增
递减 递减 递增 (1,1)
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
[解析] (1)在幂函数y=xα中,只有当α>0时,其图象才过点(0,0).
(2)由幂函数的定义及图象知,只有当α>0时,幂函数的图象才与坐标轴相交,且交点是原点.
(3)当0(4)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.
2.解:第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ACD (2)C [解析] (1)由幂函数的定义知,只有A,C,D是幂函数,故选ACD.
(2)设f(x)=xα,则f(2)=2α=,解得α=-,所以f(x)=,所以f(8)==.故选C.
变式 (1)3 (2) [解析] (1)由幂函数的定义知k=1,又f(x)的图象过点(2,4),所以4=2α,得α=2,则k+α=3.
(2)由函数f(x)是幂函数,可设f(x)=xα,又f(4)=8f(2),所以4α=8×2α,即22α=23+α,所以2α=3+α,得α=3,所以f(x)=x3,则f(1)+f=13+=.
探究点二
例2 (1)D (2)B [解析] (1)函数f(x)=x-4的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,B;因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时,f(x)单调递减,排除C.故选D.
(2)令x=2,则22>>>2-2,故曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为2,,-,-2.故选B.
变式 (1)C [解析] 由题图可知a>1>b>0>c,故选C.
(2)解:设f(x)=xα,g(x)=xβ.因为()α=2,(-2)β=-,所以α=2,β=-1,所以f(x)=x2,g(x)=x-1.
在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象,如图所示.
由图可知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);
当x=1时,f(x)=g(x);当x∈(0,1)时,f(x)探究点三
例3 解:(1)因为y=在[0,+∞)上单调递增,1.1>0.9,所以1.>0..
(2)因为y=在(0,+∞)上单调递减,1.1>0.9,所以1.<0..
(3)因为(-0.31)2=0.312,且函数y=x2在[0,+∞)上单调递增,0.31<0.35,所以0.312<0.352,即(-0.31)2<0.352.
变式 解:(1)设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数,∵-1.5<-1.4,
∴(-1.5)3<(-1.4)3.
(2)设g(x)=,则g(x)在(-∞,0)上单调递减,
∵-1.5<-1.4<0,∴>.
例4 解:(1)由已知得2m2-6m+5=1,解得m=1或m=2.
当m=1时,f(x)=;
当m=2时,f(x)=.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴m=1不符合题意,m=2符合题意,
∴f(x)=.
(2)由(1)得f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,又f(2a+1)∴解得-≤a<,
∴a的取值范围为.
变式 (2,+∞) [解析] 设幂函数f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(2,8),所以2α=8,可得α=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2,所以满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞).3.3 幂函数
1.若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,),则实数m= ( )
A.2 B.3 C.-1 D.
2.已知幂函数f(x)的图象经过点(-3,-27),则f= ( )
A. B. C. D.
3.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若幂函数的图象经过点,则该幂函数的解析式为y=
B.所有幂函数的图象均过点(0,0)
C.幂函数一定具有奇偶性
D.任何幂函数的图象都不经过第四象限
4.图中给出了四个幂函数的图象,它们所对应的函数分别是 ( )
A.①y=,②y=x2,③y=x3,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1
5.[2025·杭州重点中学高一期中] 已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa为偶函数,则a= ( )
A.-1或2 B.2
C.-1 D.1
6.(多选题)已知函数f(x)=xα(α为常数),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象恒过定点(1,1)
B.当α=-1时,函数f(x)是减函数
C.当α=3时,函数f(x)是奇函数
D.当α=时,函数f(x)的值域为(0,+∞)
7.若幂函数y=(m2-3m+3)xm-3的图象不过原点,则实数m= .
8.[2025·温州中学高一期中] 已知幂函数f(x)的图象经过第二象限,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,则一个符合要求的f(x)= .
9.(13分)比较下列各组数的大小:
(1)5.3-5和5.4-5;(2)-8-3和-;
(3)和.
10.如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则 ( )
A.m,n都是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n都是偶数,且>1
11.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增,则不等式f(x+5)A.(-∞,-5)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C.(-1,5)
D.(-5,1)
12.已知幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限,则α= .
13.当x∈(0,+∞)时,函数y=m单调递减,则m的取值范围为 .
14.(15分)[2025·无锡江阴一中高一月考] 已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0,+∞)上单调递减,m∈R.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若(2-a>(2a-1,求实数a的取值范围.
15.设函数φ(x)的定义域为D,如果存在区间[a,b]∈D,使得φ(x)在[a,b]上的取值范围为[a,b]且单调,则称[a,b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)= ;
(2)若函数φ(x)=2f(x+1)-k存在保值区间,则实数k的取值范围是 .
16.(15分)[2025·安徽六安一中高一阶段练] 已知函数f(x)=(2m2+m)xm为幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,令g(x)=[f(x)]2-(3a+1)·f(x)+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1时,求函数g(x)在区间[1,4]上的取值范围;
(3)若存在x∈[1,4],使得g(x)≤0能成立,求实数a的取值范围.
3.3 幂函数
1.D [解析] 因为幂函数f(x)=xm的图象过点(2,),所以f(2)=2m=,故m=.故选D.
2.C [解析] 设幂函数f(x)=xα,则(-3)α=-27,解得α=3,所以f(x)=x3,故f=.故选C.
3.AD [解析] 对于A,设幂函数的解析式为y=xα,因为该幂函数的图象经过点,所以2=,解得α=-,则该幂函数的解析式为y= ,故A正确;对于B,幂函数y=的图象不过点(0,0),故B错误;对于C,幂函数y=不具有奇偶性,故C错误;对于D,任何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确.故选AD.
4.B [解析] y=x3的定义域为R且为奇函数,其图象应为①;y=x2的图象为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为②;y=的定义域为[0,+∞)且为增函数,其图象应为③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,其图象应为④.故选B.
5.B [解析] 因为幂函数f(x)=(a2-a-1)xa为偶函数,所以a2-a-1=1且a为偶数,所以a=2.故选B.
6.AC [解析] f(1)=1α=1,A正确;当α=-1时,f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,在定义域上不单调,B错误;当α=3时,f(x)=x3的定义域为R,又f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,C正确;当α=时,f(x)=的值域为[0,+∞),D错误.故选AC.
7.1或2 [解析] 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,经检验,均符合题意.
8.x-2(答案不唯一) [解析] 例如f(x)=x-2=,可知f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)>0,所以幂函数f(x)的图象经过第二象限,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意.
9.解:(1)函数y=x-5在(0,+∞)上单调递减,
因为5.3<5.4,所以5.3-5>5.4-5.
(2)-8-3=-,函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,
因为>,所以>,
所以-8-3<-.
(3)=,=,函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,
因为>,所以<,即<.
10.B [解析] 由图象可看出y=为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,故∈(0,1)且m为偶数,又m,n∈N*且互质,故n是奇数.故选B.
11.B [解析] 因为函数f(x)=(a2-2a-2)xa(a∈R)为幂函数,所以a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,又幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增,所以a=3,此时f(x)=x3在R上是增函数.因为f(x+5)5或x<-1,所以不等式f(x+5)12.3 [解析] 由题意得α2-α+=1,解得α=或α=3.当α=时,f(x)==的图象不经过第三象限,不符合题意;当α=3时,f(x)=x3的图象经过第三象限,符合题意.故α=3.
13.(-∞,0)∪(0,2) [解析] 由题意得m≠0.当m>0时,因为函数y=m在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m<0,解得00,解得m<0或m>2(舍).综上,m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2).
14.解:(1)因为函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1是幂函数,
所以m2+3m-9=1,
解得m=2或m=-5.
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-1<0,即m<1,
所以m=-5,故f(x)=x-6.
(2)由(1)可知m=-5,
所以不等式为(2-a>(2a-1.
设函数g(x)=,
则函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以解得1所以实数a的取值范围为(1,2).
15.(1) (2)[1,2) [解析] (1)因为幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增,所以
解得p=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)==.
(2)函数φ(x)=2-k在[-1,+∞)上是增函数,若存在保值区间[a,b](a≥-1),则即φ(x)=x,也就是方程2-k=x在[-1,+∞)上有两个不等的实根,令=t≥0,则x=t2-1,所以t2-2t-1+k=0在[0,+∞)上有两个不等的实根.令g(t)=t2-2t-1+k,则即解得1≤k<2,故实数k的取值范围是[1,2).
16.解:(1)因为幂函数f(x)=(2m2+m)xm在区间(0,+∞)上单调递增,
所以解得m=,故f(x)=.
(2)当a=1时,g(x)=[f(x)]2-4f(x)+3,
令t=f(x),因为x∈[1,4],所以t∈[1,2],可得y=t2-4t+3=(t-2)2-1,t∈[1,2],
所以函数y=(t-2)2-1在区间[1,2]上单调递减,
当t=2时,ymin=-1,
当t=1时,ymax=0,
所以函数g(x)在区间[1,4]上的取值范围为[-1,0].
(3)令t=f(x),因为x∈[1,4],所以t∈[1,2],g(x)≤0可转化为t2-(3a+1)t+3≤0,
可得3a≥t+-1,其中t∈[1,2],由题意知3a≥.
由基本不等式可得t+-1≥2-1=2-1,
当且仅当t=,即t=时,等号成立,所以a≥,故实数a的取值范围为.(共75张PPT)
3.3 幂函数
探究点一 幂函数的概念
探究点二 幂函数的图象
探究点三 幂函数的单调性的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备用素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解幂函数的概念，体会从具体情境中抽象出幂函数概念的过程,
了解幂函数的定义,能识别幂函数.
2.掌握五个特殊的幂函数的图象和性质,能正确画出幂函数 ,
,,, 的图象,描述它们的变化规律,讨论它们的
性质.
知识点一 幂函数的概念
一般地,函数________叫作幂函数,其中是________, 是常数.
自变量
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是幂函数.( )
×
[解析] 根据幂函数的定义可知， 不是幂函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数 不是幂函数.( )
√
[解析] 根据幂函数的定义可知,函数 不是幂函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数 是幂函数.( )
√
[解析] 根据幂函数的定义可知， 是幂函数.
知识点二 幂函数的图象与性质
1.在同一直角坐标系中，函数 ；
；；； 的
图象如图.
2.五个幂函数的性质
解析式
定义域 __________ ________
值域 ________ __________ ________
奇偶性 ____函数 ____函数 ____函数 ____函数 ________
函数
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
解析 式
单调 性 在 上单调 ______ 在 上单 调______， 在 上 单调 __________ 在 上单调 ______ 在 上 单调 ______，在 上单 调 ___________ 在
上单调
______
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
续表
解析 式
图象 经过 的定 点坐 标 ______
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）幂函数的图象都过点和点 .( )
×
[解析] 在幂函数 中，只有当时，其图象才过点 .
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )
√
[解析] 由幂函数的定义及图象知，只有当 时，幂函数的图象才
与坐标轴相交，且交点是原点.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）当时，的图象在 的图象的下方.( )
×
[解析] 当时，的图象在 的图象的上方.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）当时,幂函数 是定义域上的减函数.( )
×
[解析] 如函数在定义域 上不是减函数.
2.通过观察前面5个幂函数的图象，哪个象限一定有幂函数的图象？
哪个象限一定没有幂函数的图象？
解:第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
探究点一 幂函数的概念
例1（1）（多选题）下列函数中，是幂函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由幂函数的定义知,只有A，C，D是幂函数,故选 .
√
√
√
（2）已知幂函数的图象过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ，则，解得 ，
所以，所以 .故选C.
√
变式（1）已知幂函数 的图象过点,则 ___.
3
[解析] 由幂函数的定义知,又的图象过点,
所以 ,得,则 .
（2）若函数是幂函数，且满足，则
___．
[解析] 由函数是幂函数，可设 ，
又 ，所以 ，即，
所以 ，得 ，所以，
则 .
［素养小结］
判定一个函数为幂函数的依据是该函数的解析式为
（ 为常数）的形式,且需满足:（1）指数为常数;（2）底数为自变
量;（3）系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这三个
条件,这是我们解决某些问题的隐含条件.
探究点二 幂函数的图象
例2（1）已知幂函数 ，则该函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
因为，所以函数 为偶函数，
其图象关于轴对称，排除A，B；
因为，，所以当 时， 单调递减，排除C.
故选D.
√
（2）图中的曲线是幂函数 在第一象限的大致
图象，已知 取，，，2四个值，则曲线 ，
，，对应的 的值依次为( )
A.，，，2 B.2，，，
C.，,2， D.2，，，
[解析] 令,则,
故曲线,,,对应的 的值依次为2,,, .故选B.
√
变式（1）若三个幂函数， ，
在第一象限内的图象如图所示，则 ，
， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可知 ，故选C.
（2）已知点与点分别在幂函数, 的图象上,
分别求的值或取值范围,使;; .
解：设,.
因为,,所以 , ,
所以, .
在同一平面直角坐标系中作出， 的图象,如图所示.
由图可知,当时, ;
当时,;当时, .
［素养小结］
解决幂函数图象问题应把握的两个原则:
（1）依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在上,指数越大,
幂函数图象越靠近轴（简记为指大图低）;在上,指数越大,幂
函数图象越远离轴（简记为指大图高）.
（2）依据图象确定幂指数 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一
象限内的图象（类似于或或等）来判断.
探究点三 幂函数的单调性的应用
角度1 比较幂的大小
例3 比较下列各题中两个值的大小.
（1）, ;
解：因为在上单调递增,,所以 .
（2）, ;
解：因为在上单调递减,,所以 .
例3 比较下列各题中两个值的大小.
（3）， .
解：因为，且函数在 上单调递增，
，所以，即 .
变式 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.
（1）， ；
解：设，则在上为增函数,
， .
（2）， .
解：设，则在 上单调递减，
， .
［素养小结］
解决比较幂的大小问题的策略：
（1）若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；
（2）若指数不同，则可采用中间值法或估值法，如先与0比较大小，
若都大于0，再与1比较大小，直到比较出所有数的大小，若中间值
法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小.
角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数在 上单调递增.
（1）求 的解析式；
解：由已知得，解得或 .
当时， ；当时， .
在 上单调递增，
不符合题意， 符合题意， .
例4 已知幂函数在 上单调递增.
（2）若，求实数 的取值范围.
解：由（1）得是定义在 上的增函数，
，
解得 ，
的取值范围为 .
变式 若幂函数的图象过点 ，则满足不等式
的实数 的取值范围是________.
[解析] 设幂函数 ，因为的图象过点 ，
，可得，所以.
因为在 上为增函数，
所以由，得，解得 ，
所以满足不等式的实数的取值范围是 .
［素养小结］
解决幂函数性质的综合应用问题，应注意以下两点：
（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇
偶性等；
（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
1.幂函数的判断方法
幂函数是指底数为自变量,指数为常数 ,即 的函数.在幂函数
的定义里,要注意两个“1”,即, 的系数都是1,而且只有一项.在高中
数学中只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数,值得注意的是,并不
是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,在这两类函数中,只有
, 是幂函数.
2.常见的幂函数的性质
（1）所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点 ;
（2）当时,幂函数的图象都过原点,且在区间 上单调递增.
（3）当时,幂函数在区间 上单调递减.
（4）无论 为何值,幂函数的图象一定经过第一象限,一定不经过第
四象限.
（5）若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
利用幂函数的性质求参数,主要是利用幂函数 的单调性和奇
偶性确定 的值.
例1 已知幂函数的图象关于 轴对称.
（1）求实数 的值；
解：因为函数是幂函数，
所以 ，即，解得或1，
又因为函数 的图象关于轴对称，所以函数 是偶函数.
当时， 是偶函数，满足题意；
当时，是奇函数，不满足题意.
综上所述，实数 的值为 .
例1 已知幂函数的图象关于 轴对称.
（2）若不等式成立，求实数 的取值范围.
解：设,则函数在定义域 内单调递减，
由，可得解得 ，
所以实数的取值范围为 .
例2 已知幂函数 是其定义域上的增
函数.
（1）求函数 的解析式.
解：因为 是幂函数，
，解得或 .
当时，,此时函数 不是其定义域上的增函数，
不符合题意；
当时，,此时函数是其定义域 上的增函数，
符合题意.故 .
例2 已知幂函数 是其定义域上的增
函数.
（2）若函数，，是否存在实数 使得
的最小值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
解：，令，
因为 ，所以 ，
则令， .
①当，即时，函数在 上为增函数，
，解得 ，符合题意；
②当，即时，在 上单调递减，
在上单调递增，
所以 ，解得 ，不符合题意；
③当，即时，函数在 上为减函数，
，解得 ，不符合题意.
综上所述，存在，使得 的最小值为0.
练习册
1.若幂函数的图象过点，则实数 ( )
A.2 B.3 C. D.
[解析] 因为幂函数的图象过点 ，
所以，故 .故选D.
√
2.已知幂函数的图象经过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设幂函数，则，解得 ，
所以，故 .故选C.
√
3.（多选题）下列说法正确的是( )
A.若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为
B.所有幂函数的图象均过点
C.幂函数一定具有奇偶性
D.任何幂函数的图象都不经过第四象限
√
√
[解析] 对于A，设幂函数的解析式为 ,
因为该幂函数的图象经过点，所以 ，解得 ，
则该幂函数的解析式为 ，故A正确；
对于B,幂函数的图象不过点 ，故B错误；
对于C,幂函数 不具有奇偶性，故C错误；
对于D,任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确.
故选 .
4.图中给出了四个幂函数的图象，它们所对应的函数分别是( )
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
√
[解析] 的定义域为且为奇函数，其图象应为①；
的图象为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为②;
的定义域为且为增函数，其图象应为③;
的定义域为,且在, 上单调递减，
其图象应为④.故选B.
5.［2025·杭州重点中学高一期中］已知幂函数
为偶函数，则 ( )
A.或2 B.2 C. D.1
[解析] 因为幂函数 为偶函数，
所以且为偶数，所以 .故选B.
√
6.（多选题）已知函数 为常数 ,则下列说法正确的
是( )
A.函数的图象恒过定点
B.当时，函数 是减函数
C.当时，函数 是奇函数
D.当时，函数的值域为
√
√
[解析] ,A正确;
当时,在 , 上单调递减,在定义域上不单调,
B错误;
当时, 的定义域为,又,
所以函数 是奇函数,C正确;
当时,的值域为,D错误.
故选 .
7.若幂函数的图象不过原点,则实数
_______.
1或2
[解析] 由幂函数的定义得,解得或 ，
经检验，均符合题意.
8.［2025·温州中学高一期中］已知幂函数 的图象经过第二象限，
且在区间上单调递减，则一个符合要求的 ______
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 例如,可知的定义域为 ,且，
所以幂函数的图象经过第二象限,且 在区间 上单调递减，
符合题意.
9.（13分）比较下列各组数的大小：
（1）和 ；
解：函数在 上单调递减，
因为，所以 .
（2）和 ；
解：，函数在 上单调递增，
因为，所以 ,所以 .
9.（13分）比较下列各组数的大小：
（3）和 .
解：,,函数在 上单调递减，
因为，所以，即 .
10.如图所示是函数， 且互质）的图象，则( )
A.,都是奇数,且
B.是偶数,是奇数,且
C.是偶数,是奇数,且
D.，都是偶数,且
√
[解析] 由图象可看出为偶函数,且在 上单调递增,
故且为偶数,又,且互质,故 是奇数.
故选B.
11.已知幂函数在 上单调递增，
则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数 为幂函数，
，解得或 ，
又幂函数在上单调递增，
所以 ,此时在上是增函数.
因为 ,所以,解得或 ，
所以不等式的解集为 .
故选B.
√
12.已知幂函数 的图象经过第三象限，则
___.
3
[解析] 由题意得,解得或.
当 时，的图象不经过第三象限，不符合题意；
当 时，的图象经过第三象限，符合题意.
故 .
13.当时，函数单调递减，则 的取值范围
为_______________.
[解析] 由题意得.
当时，因为函数 在上单调递减,
所以,解得;
当 时,因为函数在上单调递减,
所以 ,解得或（舍）.
综上，的取值范围为 .
14.（15分）［2025·无锡江阴一中高一月考］ 已知幂函数
在上单调递减， .
（1）求 的解析式；
解：因为函数 是幂函数，
所以 ，解得或 .
因为函数在上单调递减，所以，即 ，
所以，故 .
14.（15分）［2025·无锡江阴一中高一月考］ 已知幂函数
在上单调递减， .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：由（1）可知 ，
所以不等式为 .
设函数 ，
则函数的定义域为，且函数在 上单调递减，
所以解得 ，
所以实数的取值范围为 .
15.设函数的定义域为，如果存在区间，使得 在
上的取值范围为且单调，则称为函数 的保值区间.
已知幂函数在 上单调递增.
（1）函数的解析式为 ____；
[解析] 因为幂函数在 上单调递增，
所以 解得，
所以函数的解析式为 .
15.设函数的定义域为，如果存在区间，使得 在
上的取值范围为且单调，则称为函数 的保值区间.
已知幂函数在 上单调递增.
（2）若函数存在保值区间，则实数 的取值范
围是______.
[解析] 函数在 上是增函数，
若存在保值区间，则即 ，
也就是方程在 上有两个不等的实根，
令，则，
所以在 上有两个不等的实根.
令，
则 即解得，
故实数的取值范围是 .
16.（15分）［2025·安徽六安一中高一阶段练］ 已知函数
为幂函数，且在区间 上单调递增，令
.
（1）求函数 的解析式；
解：因为幂函数在区间 上单调递增，
所以解得，故 .
16.（15分）［2025·安徽六安一中高一阶段练］ 已知函数
为幂函数，且在区间 上单调递增，令
.
（2）当时，求函数在区间 上的取值范围；
解：当时， ，
令，因为，所以 ，
可得， ，
所以函数在区间 上单调递减，
当时， ，
当时， ，
所以函数在区间上的取值范围为 .
16.（15分）［2025·安徽六安一中高一阶段练］ 已知函数
为幂函数，且在区间 上单调递增，令
.
（3）若存在，使得能成立，求实数 的取值范围.
解：令，因为，
所以， 可转化为 ，
可得，其中，
由题意知 .
由基本不等式可得 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以,故实数 的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 自变量 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√
知识点二 2. 奇 偶 奇 奇
非奇非偶 递增 递减 递增 递增 递减 递减 递增
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2. 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
课中探究 探究点一 例1 （1）ACD （2）C 变式 （1）3 （2）
探究点二 例2 （1）D （2）B 变式 （1）C （2）当时,
;当时,;当时,.
探究点三 角度1 例3 （1） （2） （3）
变式 （1）（2）
角度2 例4 （1）（2） 变式
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.AD 4.B 5.B 6.AC 7.1或2 8.（答案不唯一）
9.（1）（2）（3）
10.B 11.B 12.3 13.
14.（1）（2）
15.（1） （2）
16.（1）（2）（3） 