3.4 函数的应用(一)
【学习目标】
理解函数模型的应用: 能结合具体情境,合理选择已经学习过的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型,解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 一次函数、二次函数模型
1.正比例函数模型
解析式:y= .
2.一次函数模型
解析式:y= .
3.二次函数模型
解析式:y= .
◆ 知识点二 幂函数模型
解析式:y=axα+b,a,b,α为常数,α≠0,a≠0.
◆ 知识点三 分段函数模型
这个模型实际上是以上两种或多种模型的综合,其解析式形如f(x)=
◆ 知识点四 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.
这些步骤用框图表示如下:
◆ 探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 (1)(多选题) 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②,图③中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法,其中正确的说法是 ( )
A.图②对应的方案是:提高票价,并提高固定成本
B.图②对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本
C.图③对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变
D.图③对应的方案是:提高票价,并降低固定成本
(2)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x(x为正整数)年的各种费用总计为(2x2+10x)万元.
①该公司生产此盲盒几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年)
②该公司生产此盲盒几年年平均利润最大,最大为多少
[素养小结]
(1)一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.
(2)对于一次函数在实际问题中的应用题目,要认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域.
(3)在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题确定函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大值、最小值等问题.
◆ 探究点二 分段函数模型
例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.已知当月产量x(单位:台,x∈N*)超过400时,总收入R(单位:元)恒为80 000,当月产量x不超过400时,R与x满足R=ax2+400x,且当x=400时,R取得最大值80 000.
(1)将总收入R表示为月产量x的函数.
(2)将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数.
(3)当月产量为多少台时,每台仪器所获的利润最大 最大利润为多少元
变式 某公司生产一类电子芯片,且该电子芯片的年产量不超过35万件,每万件电子芯片的售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年.记每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)万元,已知当年产量不超过14万件时,f(x)=x2+4x;当年产量超过14万件时,f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润g(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).
(2)为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片
[素养小结]
解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值.
◆ 探究点三 幂函数模型
例3 (1)某类动物的新陈代谢率y与体重x满足y=kxα,其中k和α为正常数.该类动物某一个体在生长发育过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α的值为 ( )
A. B. C. D.
(2)某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的利润y1(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得利润0.25千万元;生产B芯片的利润y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.
①试分别求出生产A,B两种芯片的利润(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式.
②现在公司准备投入40千万元资金同时生产A,B两种芯片,可以获得的最大利润是多少
变式 (1)为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种加密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文x→密文y(加密),接收方由密文y→明文x.现在加密密钥为y=kx3(k∈R),且“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是 ( )
A. B.
C.2 D.
(2)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其投入广告费用x(万元)与药品利润y(万元)的函数关系式为y=xa (a为常数),其中x≤5.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年投入广告费用为5万元,预计今年药品利润为 万元.
[素养小结]
幂函数模型应用的求解策略:
(1)给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数解析式.
(2)根据题意,直接列出相应的函数解析式.
3.4 函数的应用(一)
【课前预习】
知识点一
1.kx(k≠0) 2.kx+b(k≠0)
3.ax2+bx+c(a≠0)
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BC [解析] 由图①可设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k>0,b<0,k为票价.当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由图②知,直线向上平移,k不变,即保持票价不变,b变大,则-b变小,即降低固定成本,故A错误,B正确;由图③知,直线与y轴的交点不变,即b不变,-b不变,即固定成本不变,直线斜率变大,即k变大,即提高票价,故C正确,D错误.故选BC.
(2)解:①设生产此盲盒x年的利润为y万元,则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(x∈N*),
由-2x2+40x-98>0,整理得x2-20x+49<0,解得10-②由①得年平均利润(单位:万元)为=-2+40≤-2×2+40=12,当且仅当x=,即x=7时等号成立,
所以该公司生产此盲盒7年年平均利润最大,最大为12万元.
探究点二
例2 解:(1)由题意可知80 000=4002a+400×400,解得a=-,所以R=
(2)当1≤x≤400,x∈N*时,P=-x2+400x-20 000-100x=-x2+300x-20 000,当x>400,x∈N*时,P=80 000-20 000-100x=60 000-100x,则P=
(3)设每台仪器所获的利润为W(单位:元),由(2)可得W==
当1≤x≤400,x∈N*时,W=300-≤300-2=100,当且仅当x=,即x=200时取等号;当x>400,x∈N*时,W=-100<50.故当x=200时,W取得最大值100,即当月产量为200台时,每台仪器所获的利润最大,最大利润为100元.
变式 解:(1)根据题意得,当0≤x≤14时,g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30;当14故g(x)=
(2)当0≤x≤14时,g(x)=-x2+12x-30,则当0≤x≤9时,g(x)单调递增,当9此时g(x)≤g(9)=-×81+12×9-30=24.当14因为24>10,所以当x=9时,g(x)取得最大值24,所以为使公司获得的年利润最大,每年应生产9万件该芯片.
探究点三
例3 (1)D [解析] 设该动物初始状态的体重和新陈代谢率分别为x1,y1,则y1=k,8y1=k(16x1)α=k·16α,所以=,所以16α=8,即24α=23,则4α=3,得α=.故选D.
(2)解:①设y1=mx(m>0),因为当x=1时,y1=0.25,所以m=0.25,所以y1=0.25x.
对于生产B芯片,因为函数y2=kxa(x>0)的图象过点(1,1),(4,2),所以解得所以y2=,
即y2=(x>0).
②设投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元生产A芯片,设公司所获的利润为f(x)千万元,则f(x)=0.25(40-x)+=-(-2)2+11,所以当=2,即x=4时,公司所获利润最大,最大利润为11千万元.
变式 (1)A (2)125 [解析] (1)由题可知加密密钥为y=kx3(k∈R),由已知可得,当x=4时,y=2,所以2=k×43,解得k==,故y=x3.令y=,即=x3,则x3=,即x=.故选A.
(2)因为去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,所以27=3a,得a=3,则y=x3,x≤5,故若今年投入广告费用为5万元,预计今年药品利润为53=125(万元).3.4 函数的应用(一)
1.把长为8 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是 ( )
A.4 cm2 B.3 cm2
C.2 cm2 D.2 cm2
2.某市家庭用水的用水量x(m3)和水费f(x)(元)满足关系式f(x)=已知某家庭2024年前四个月的用水量和水费如下表:
月份 用水量(m3) 水费(元)
一月 3.5 4
二月 4 4
三月 15 18
四月 20 25
若五月份该家庭使用了25 m3的水,则五月份的水费为 ( )
A.32元 B.33元
C.34元 D.35元
3.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:A)与电线半径r(单位:mm)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4 mm的电线时,电流强度为320 A,则电流通过半径为3 mm的电线时,电流强度为 ( )
A.60 A B.75 A
C.135 A D.240 A
4.某公司在甲、乙两地销售同一种产品,甲、乙两地的利润L1,L2(单位:万元)分别满足L1=0.506x-0.001 5x2,L2=0.2x,其中x(单位:件)为在当地的销量.若该公司在甲、乙两地共销售该产品150件,则该公司能获得的最大利润为 ( )
A.45.606万元 B.45.6万元
C.45.56万元 D.45.51万元
5.某地民用燃气执行“阶梯气价”,按照用气量收费,具体计费方法如下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元,则该户居民去年的用气量为 ( )
每户每年用气量 单价
不超过200 m3的部分 3.2元/m3
超过200 m3但不超过300 m3的部分 3.8元/m3
超过300 m3的部分 4.8元/m3
A.180 m3 B.220 m3
C.260 m3 D.320 m3
6.(多选题)某工厂对员工的计件工资标准进行改革,现制订了A,B两种计件工资核算方案,员工的计件工资y(单位:千元)与其生产的产品数量x(单位:百件)的函数关系如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.当某员工生产的产品件数为800时,该员工采用A,B方案核算的计件工资相同
B.当某员工生产的产品件数为500时,该员工采用A方案核算的计件工资更多
C.当某员工生产的产品件数为200时,该员工采用B方案核算的计件工资更多
D.当某员工生产的产品件数为1000时,该员工的计件工资最多为14 200元
7.果蔬批发市场批发某种水果,不少于100千克时,批发价为每千克2.5元,小王携带现金3000元到市场采购这种水果,并以此批发价买进,如果购买的水果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,则x与y的函数关系式为 .
8.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销时发现,这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系式为m=162-3x.若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为 元/件.
9.(多选题)在早高峰,某路口通过的车辆数m与时间t(单位:时)的关系式为m=+10,t∈[5,9].在早高峰这段时间内,给出下列结论,其中正确的是 ( )
A.通过该路口的车辆数m随着时间t的增加逐渐增多
B.早上6时和早上7时通过该路口的车辆数m相等
C.在任意时刻,通过该路口的车辆数m不会大于35
D.在任意时刻,通过该路口的车辆数m不会小于16
10.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表所示.若某户居民某月缴纳水费60元,则该月的用水量为 m3.
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
11.(13分)如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛,造价为2100元/m2;在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2;在两个三角形DEM和CFN上铺草坪,造价为40元/m2.设总造价为S(单位:元),AD的长为x(单位:m).
(1)设AH的长为y(单位:m),写出y关于x的函数解析式.
(2)当x为何值时,S最小 并求出这个最小值.
12.(15分)某乡镇充分利用当地自然资源,大力发展特色水果产业,将该镇打造成“水果小镇”.经调研发现:某种水果的单株产量W(单位:千克)与施用肥料量x(单位:千克)满足的关系式为W=肥料成本投入为4x元,其他成本投入(如培育、施肥等人工费)为6x元.已知该水果的售价为10元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数解析式.
(2)当施用肥料量为多少千克时,该水果的单株利润最大 单株利润的最大值是多少元
3.4 函数的应用(一)
1.D [解析] 设一段铁丝的长度为x cm(其中02.A [解析] 根据一月份用水量为3.5 m3,水费为4元,二月份用水量为4 m3,水费为4元,可知f(3.5)=f(4)=m=4.又三月份用水量为15 m3,水费为18元,四月份用水量为20 m3,水费为25元,所以解得所以f(x)=
所以f(25)=4+×(25-5)=32.故选A.
3.C [解析] 设I=kr3(k>0),由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k=5,所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135.故选C.
4.A [解析] 设该公司在甲地销售该产品x件,x∈[0,150],则该公司在乙地销售该产品(150-x)件,设总利润为L万元,则L=0.506x-0.001 5x2+0.2(150-x)=-0.001 5x2+0.306x+30,因为-=102,所以当x=102时,L取得最大值-0.001 5×1022+0.306×102+30=45.606,即该公司能获得的最大利润为45.606万元,故选A.
5.C [解析] 设该户居民去年的用气量为x m3,缴纳的燃气费为y元,则当0≤x≤200时,y=3.2x,令3.2x=868,解得x=271.25,不合题意;当200300时,y=3.2×200+3.8×(300-200)+4.8×(x-300)=4.8x-420,令4.8x-420=868,解得x=<300,不合题意.综上,x=260.故选C.
6.ACD [解析] 由题图易得,A正确,B错误;若某员工生产的产品件数为200,则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元,采用B方案核算的计件工资为×2×1000=(元),因为>3000,所以该员工采用B方案核算的计件工资更多,C正确;由题图可得当某员工生产的产品件数为1000时,该员工采用A方案核算的计件工资更多,当x>3(100x∈N)时,员工采用A方案核算的计件工资y(单位:千元)与其生产的产品数量x(单位:百件)的函数关系式为y=1.6x-1.8,则当x=10时,y=14.2,即当某员工生产的产品件数为1000时,该员工的计件工资最多为14 200元,D正确.故选ACD.
7.y=3000-2.5x(100≤x≤1200)
[解析] 由题意可知y=3000-2.5x,且最少买100千克,最多买=1200(千克),所以x与y的函数关系式为y=3000-2.5x(100≤x≤1200).
8.42 [解析] 设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,每天获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件.
9.BC [解析] 对于A,令f(t)=(t-6.5)2+,t∈[5,9],则f(t)在[5,6.5]内单调递减,在(6.5,9]内单调递增,所以m=+10在[5,9]内先增后减,故A错误;对于B,因为f(t)是二次函数,当t=6.5时,f(t)取得最小值,所以f(6)=f(7),所以早上6时和早上7时通过该路口的车辆数m相等,故B正确;对于C,因为f(t)的最小值是f(6.5)=,所以当t=6.5时,m取得最大值20+10=30,即在任意时刻,通过该路口的车辆数m不会大于35,故C正确;对于D,因为f(5)=×(5-6.5)2+=0.14,f(9)=×(9-6.5)2+=0.3,即f(5)10.16 [解析] 设该月的用水量为x m3,缴纳水费y元,则由题可知y=令y=60,可得x=16.
11.解:(1)由题意得4xy+x2=100,解得y=,由x>0,y>0,得0(2)由题意得AH=(0当且仅当2000x2=,即x=时取等号,
所以当x=时,S最小,且最小值为29 500.
12.解:(1)由题意知f(x)=10W-4x-6x=
(2)f(x)==
当0≤x≤2时,f(x)≤f(2)=80;当2当且仅当=1+x,即x=3时等号成立.
因为80<90,所以f(x)max=f(3)=90,
所以当施用肥料量为3千克时,该水果的单株利润最大,单株利润的最大值是90元.(共71张PPT)
3.4 函数的应用（一）
探究点一 一次函数、二次函数模型
探究点二 分段函数模型
探究点三 幂函数模型
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备用素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解函数模型的应用: 能结合具体情境,合理选择已经学习过的
正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型,
解决简单的实际问题.
知识点一 一次函数、二次函数模型
1.正比例函数模型
解析式: __________.
2.一次函数模型
解析式： ______________.
3.二次函数模型
解析式: ___________________.
知识点二 幂函数模型
解析式:,,, 为常数,, .
知识点三 分段函数模型
这个模型实际上是以上两种或多种模型的综合,其解析式形如
知识点四 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.
这些步骤用框图表示如下：
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1（1）（多选题） 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定
成本之差）记为,观影人数记为,关于 的函数图象如图①所示.由
于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②,图③
中的实线分别为调整后关于 的函数图象.给出下列四种说法,其中正
确的说法是( )
A.图②对应的方案是:提高票价,并提高固定成本
B.图②对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本
C.图③对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变
D.图③对应的方案是:提高票价,并降低固定成本
√
√
[解析] 由图①可设关于的函数解析式为,,,为票价.
当时,,则为固定成本.
由图②知,直线向上平移, 不变,即保持票价不变,变大,则 变小,
即降低固定成本,故A错误,B正确;
由图③知,直线与轴的交点不变,即不变, 不变,即固定成本不变,
直线斜率变大,即变大,即提高票价,故C正确,D错误.
故选 .
（2）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生
根，并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年
初用98万元购进一批盲盒生产线，每年可有50万元的总收入，已知
生产此盲盒（为正整数）年的各种费用总计为 万元.
①该公司生产此盲盒几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第
一年）？
解：设生产此盲盒年的利润为 万元,
,
由，整理得 ,
解得,
又,所以 ,
所以该公司生产此盲盒3年首次盈利.
（2）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生
根，并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年
初用98万元购进一批盲盒生产线，每年可有50万元的总收入，已知
生产此盲盒（为正整数）年的各种费用总计为 万元.
②该公司生产此盲盒几年年平均利润最大，最大为多少？
解：由①得年平均利润（单位：万元）为
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以该公司生产此盲盒7年年平均利润最大,最大为12万元.
［素养小结］
（1）一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用
“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.
（2）对于一次函数在实际问题中的应用题目,要认真读题、审题,弄
清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析
式,同时要特别注意定义域.
（3）在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题确定
函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方
法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大值、最小值等问题.
探究点二 分段函数模型
例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台
仪器需增加投入100元．已知当月产量（单位：台， ）超过
400时，总收入（单位：元）恒为，当月产量 不超过400
时，与满足，且当时， 取得最大值
80 000．
（1）将总收入表示为月产量 的函数.
解：由题意可知，解得 ,
所以
例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台
仪器需增加投入100元．已知当月产量（单位：台， ）超过
400时，总收入（单位：元）恒为，当月产量 不超过400
时，与满足，且当时， 取得最大值
80 000．
（2）将利润（单位：元）表示为月产量 的函数.
解：当， 时，
,
当，时，
,
则
例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台
仪器需增加投入100元．已知当月产量（单位：台， ）超过
400时，总收入（单位：元）恒为，当月产量 不超过400
时，与满足，且当时， 取得最大值
80 000．
（3）当月产量为多少台时，每台仪器所获的利润最大？最大利润为
多少元？
解：设每台仪器所获的利润为 （单位：元）,
由（2）可得
当, 时,
,
当且仅当，即时取等号；
当， 时，.
故当时， 取得最大值100,即当月产量为200台时，
每台仪器所获的利润最大，最大利润为100元.
变式 某公司生产一类电子芯片,且该电子芯片的年产量不超过35万
件,每万件电子芯片的售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分
为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年.记每生
产万件电子芯片需要投入的流动成本为 万元,已知当年产量不
超过14万件时, ;当年产量超过14万件时,
.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量 （单位：万件）
的函数解析式（注:年利润 年销售收入-固定成本-流动成本）.
解：根据题意得,当 时,
；
当 时,
.
故
变式 某公司生产一类电子芯片,且该电子芯片的年产量不超过35万
件,每万件电子芯片的售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分
为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年.记每生
产万件电子芯片需要投入的流动成本为 万元,已知当年产量不
超过14万件时, ;当年产量超过14万件时,
.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
（2）为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片
解：当时,,
则当 时, 单调递增,当时, 单调递减,
此时.
当 时,,
当且仅当 时,等号成立.
因为,所以当时, 取得最大值24,
所以为使公司获得的年利润最大,每年应生产9万件该芯片.
［素养小结］
解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件
在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最
大（小）值的最大（小）者为函数的最大（小）值.
探究点三 幂函数模型
例3（1）某类动物的新陈代谢率与体重满足，其中和
为正常数.该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初
始状态的16倍时，新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则 的值
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该动物初始状态的体重和新陈代谢率分别为， ，
则，，所以 ，
所以，即，则，得 .故选D.
√
（2）某公司研发的， 两种芯片都已经获得
成功，现在准备投入资金进行生产.经市场调查
与预测，生产芯片的利润 （千万元）与投
①试分别求出生产， 两种芯片的利润（千万元）与投入资金
（千万元）的函数关系式.
入的资金 （千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得利润
0.25千万元；生产芯片的利润（千万元）与投入的资金
（千万元）的函数关系式为 ，其图象如图所示.
解:设，
因为当 时，，
所以，所以 .
对于生产芯片,因为函数 的图象过点,,
所以 解得所以 ，即 .
（2）某公司研发的， 两种芯片都已经获得成
功，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与
预测，生产芯片的利润 （千万元）与投入的
②现在公司准备投入40千万元资金同时生产， 两种芯片，可以获
得的最大利润是多少？
资金 （千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得利润0.25
千万元；生产芯片的利润（千万元）与投入的资金 （千万元）
的函数关系式为 ，其图象如图所示.
解:设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产 芯片，
设公司所获的利润为 千万元，
则，
所以当 ,即 时,公司所获利润最大,最大利润为11千万元.
变式（1）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中
都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理
为：发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文 .
现在加密密钥为 ，且“4”通过加密后得到密文“2”，若
接受方接到密文“ ”，则解密后得到的明文是( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由题可知加密密钥为，
由已知可得,当 时,,所以,解得,故 .
令,即,则,即 .故选A.
√
（2）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其投入广告费用
（万元）与药品利润（万元）的函数关系式为为常数 ，
其中 .已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
若今年投入广告费用为5万元，预计今年药品利润为_____万元.
125
[解析] 因为去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
所以，得，则， ，
故若今年投入广告费用为5万元,预计今年药品利润为 （万元）.
［素养小结］
幂函数模型应用的求解策略:
（1）给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数
解析式.
（2）根据题意,直接列出相应的函数解析式.
1.直线型函数模型
我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每一个区
间内的变化率都一样.解题时,常设为:常函数型 为实数,且为常
数;正比例函数型 ;一次函数型
.
2.二次函数模型
在实际生活中普遍存在的诸如造价成本最低、产出利润最大、风险决
策、最优化等问题,都可以抽象为二次函数的最值问题.在解决实际应用
题时,需要列出二次函数的解析式,常用的方法有待定系数法、归纳法.
3.幂函数模型
常见的有反比例函数 和对勾函数
.
应用反比例函数求最值时常利用单调性求解,应用对勾函数求最值时
常利用单调性或基本不等式求解.
数学建模
1.函数模型应用的两个方面
（1）利用已知函数模型解决问题.
（2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对
某些发展趋势进行预测.
2.解函数应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论.
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数
学模型.
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论.
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.
例1 某地种植了一种水果，据调查，该水果每千克的售价为25元时，
年销售量为8万千克.
（1）经过市场调研，价格每提高1元，销售量将相应地减少0.2万千
克，若每千克的定价为元，求销售该种水果的年收入
（单位：万元）的表达式.
解：若每千克的定价为 元，
则年销售量为 （万千克），
故 .
例1 某地种植了一种水果，据调查，该水果每千克的售价为25元时，
年销售量为8万千克.
（2）在（1）的条件下，要使提价后销售该种水果的年收入不低于
原年收入的 ，则该水果每千克的定价最高应为多少元？
解：依题意得 ，
整理得，解得 ，
故要使提价后销售该种水果的年收入不低于原年收入的 ，
则该水果每千克的定价最高应为35元.
例1 某地种植了一种水果，据调查，该水果每千克的售价为25元时，
年销售量为8万千克.
（3）该地为提高年销售量，决定2023年末对该水果品质进行改良，
改良后将定价提高到每千克元，拟投入 万元
作为改良费用.请预测改良后，该水果2024年的年销售量至少应达到
多少万千克，才可能使2024年的年收入不低于改良前的年收入与改
良费用之和，并求出此时每千克水果的定价.
解：设该水果2024年的年销售量至少应达到 万千克，依题意知不等
式成立,所以 有解.
因为,当且仅当,即 时,等号成立,
则 ,
故该水果2024年的年销售量至少应达到11万千克,
才可能使2024年的年收入不低于改良前的年收入与改良费用之和,
此时每千克水果的定价为40元.
例2 某移动公司推出两种不同的通话套餐供客户选择：
套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费；
套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，
则按照0.2元/分钟计算话费.
（1）写出两种套餐对应的话费（单位：元）与月通话时长
（单位：分钟）之间的函数关系；
解：设月通话时长为分钟时，套餐一的话费为 元，
套餐二的话费为 元.
由题意可知， ，
即
例2 某移动公司推出两种不同的通话套餐供客户选择：
套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费；
套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，
则按照0.2元/分钟计算话费.
（2）如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算.
解：如果该用户选择套餐一，因为 ，
所以所需话费为80元；
如果该用户选择套餐二，因为 ，
所以所需话费为60元.
显然 ，因此他选择套餐二会更划算.
练习册
1.把长为 的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正
方形面积之和的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 设一段铁丝的长度为其中 ,
则另一段铁丝的长度为,
设两个正方形的面积之和为 ,则,
当且仅当时, 取得最小值2.
故选D.
√
2.某市家庭用水的用水量和水费 （元）满足关系式
已知某家庭2024年前四个月的用水量
和水费如下表:
月份 用水量 水费（元）
一月 3.5 4
二月 4 4
三月 15 18
四月 20 25
若五月份该家庭使用了 的水,则五月份的水费为( )
A.32元 B.33元 C.34元 D.35元
√
[解析] 根据一月份用水量为,水费为4元,二月份用水量为 ,
水费为4元,可知.
又三月份用水量为,水费为18元,四月份用水量为 ,水费为25元,
所以解得
所以
所以 .
故选A.
3.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线
时，其电流强度（单位：A）与电线半径（单位： ）的三次方
成正比.若已知电流通过半径为的电线时，电流强度为 ，
则电流通过半径为 的电线时，电流强度为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，由已知可得当时， ，
故有，解得，所以，
则当 时， .
故选C.
√
4.某公司在甲、乙两地销售同一种产品，甲、乙两地的利润,
（单位：万元）分别满足， ，其
中 （单位：件）为在当地的销量.若该公司在甲、乙两地共销售该
产品150件，则该公司能获得的最大利润为( )
A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元 D.45.51万元
√
[解析] 设该公司在甲地销售该产品件， ，
则该公司在乙地销售该产品件，设总利润为 万元，
则，
因为，所以当时，
取得最大值 ,
即该公司能获得的最大利润为45.606万元，故选A.
5.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如
下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的
用气量为( )
每户每年用气量 单价
不超过 的部分 3.2元/
超过但不超过 的部分 3.8元/
超过 的部分 4.8元/
A. B. C. D.
√
[解析] 设该户居民去年的用气量为,缴纳的燃气费为 元,则
当时,,令,解得 ,不合题意；
当 时,
,令 ,
解得,符合题意；
当 时,
,
令,解得,不合题意.
综上, . 故选C.
6.（多选题）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了， 两
种计件工资核算方案，员工的计件工资 （单位：千元）与其生产的产品
数量 （单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是( )
A.当某员工生产的产品件数为800时,该员工采用, 方案核
算的计件工资相同
B.当某员工生产的产品件数为500时,该员工采用 方案核算
的计件工资更多
C.当某员工生产的产品件数为200时,该员工采用 方案核算
的计件工资更多
D.当某员工生产的产品件数为1000时,该员工的计件工资最
多为14 200元
√
√
√
[解析] 由题图易得，A正确，B错误;
若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用 方案核算的计件工资
为3000元，采用 方案核算的计件工资为（元）,
因为 ,所以该员工采用 方案核算的计件工资更多,C正确;
由题图可得当某员工生产的产品件数为1000时,
该员工采用 方案核算的计件工资更多,
当时,员工采用方案核算的计件工资 （单位：千元）
与其生产的产品数量 （单位：百件）的函数关系式为,
则当时, ,
即当某员工生产的产品件数为1000时,
该员工的计件工资最多为14 200元,D正确.
故选 .
7.果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克
2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买
进，如果购买的水果为千克，小王付款后的剩余现金为元，则 与
的函数关系式为________________________________.
[解析] 由题意可知 ，
且最少买100千克，最多买（千克），
所以与 的函数关系式为 .
8.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销时发现，这种商品每
天的销量 （件）与售价 （元/件）之间的关系式为 .
若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为____元/件.
42
[解析] 设每天获得的销售利润为 元，
则，
所以当 时，每天获得的销售利润最大，
故该商品的售价应定为42元/件.
9.（多选题）在早高峰，某路口通过的车辆数与时间 （单位：时）
的关系式为, .在早高峰这段时间内，给
出下列结论，其中正确的是( )
A.通过该路口的车辆数随着时间 的增加逐渐增多
B.早上6时和早上7时通过该路口的车辆数 相等
C.在任意时刻，通过该路口的车辆数 不会大于35
D.在任意时刻，通过该路口的车辆数 不会小于16
√
√
[解析] 对于A，令,,
则在 内单调递减，在内单调递增，
所以 在内先增后减，故A错误；
对于B，因为 是二次函数，当时，取得最小值，
所以 ，所以早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等，
故B正确；
对于C，因为 的最小值是，
所以当时,取得最大值 ，
即在任意时刻，通过该路口的车辆数 不会大于35，故C正确；
对于D，因为 ，
，即，
所以当 时，取得最小值，
此时通过该路口的车辆数 小于16，故D错误.
故选 .
10.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶
梯水价”，计费方法如下表所示.若某户居民某月缴纳水费60元，则该
月的用水量为____ .
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 3元/
超过但不超过 的部分 6元/
超过 的部分 9元/
16
[解析] 设该月的用水量为，缴纳水费 元，
则由题可知
令，可得 .
11.（13分）如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由
两个相同的矩形和 构成的面积为的成轴对称的“ ”
形地域.计划在正方形上建一座花坛,造价为2100元/;在两个相同
的矩形 和上铺花岗岩地坪,造价为210元/;
在两个三角形和 上铺草坪,造价为40元/.
设总造价为（单位:元）,的长为 （单位: ）.
（1）设的长为（单位:）,写出关于 的函数解析式.
解：由题意得,解得,
由, ，得,所以 .
11.（13分）如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体
造型平面图是由两个相同的矩形和 构成的
面积为的成轴对称的“ ”形地域.计划在正方形
（2）当为何值时, 最小 并求出这个最小值.
上建一座花坛,造价为2100元/;在两个相同的矩形 和
上铺花岗岩地坪,造价为210元/; 在两个三角形和 上
铺草坪,造价为40元/.设总造价为（单位:元）,的长为
（单位: ）.
解：由题意得 ,
当且仅当，即 时取等号,
所以当时， 最小，且最小值为29 500.
,
12.（15分）某乡镇充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，
将该镇打造成“水果小镇”.经调研发现：某种水果的单株产量
（单位：千克）与施用肥料量 （单位：千克）满足的关系式为
肥料成本投入为 元，其他成本投入
（如培育、施肥等人工费）为 元.已知该水果的售价为10元/千克，
且销路畅通供不应求，记该水果的单株利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数解析式.
解：由题意知
12.（15分）某乡镇充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，
将该镇打造成“水果小镇”.经调研发现：某种水果的单株产量
（单位：千克）与施用肥料量 （单位：千克）满足的关系式为
肥料成本投入为 元，其他成本投入
（如培育、施肥等人工费）为 元.已知该水果的售价为10元/千克，
且销路畅通供不应求，记该水果的单株利润为 （单位：元）.
（2）当施用肥料量为多少千克时，该水果的单株利润最大？单株利
润的最大值是多少元？
解：
当时,;
当 时, ,
当且仅当，即 时等号成立.
因为,所以 ，
所以当施用肥料量为3千克时，该水果的单株利润最大，
单株利润的最大值是90元.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2. 3.
课中探究 探究点一 例1 （1）BC （2）①3年②7年, 12万元
探究点二 例2 （1）
（2）
（3）当月产量为200台时，每台仪器所获的利润最大，最大利润为100元
变式 （1）（2）9万件
探究点三 例3 （1）D （2）①,②11千万元
变式 （1）A （2）125
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.ACD
7. 8.42 9.BC 10.16
11.（1） （2） 当时，最小，且最小值为29 500
12.（1）
（2） 当施用肥料量为3千克时，该水果的单株利润最大，单株利润的最大值是90元
