拓展微课(一) 对勾函数的图象与性质
[题目溯源]
(《必修第一册92页探究与发现》)探究函数y=x+的图象与性质.
函数y=x+是由正比例函数和反比例函数求和组成的新的函数,它的图象形状酷似对勾,因此称为“对勾函数”,也称为“对号函数”,它是高中数学中一种非常重要又极为特殊的函数,尤其是对勾函数的单调性和最值问题更是应用广泛.
典型例题
例 (1)讨论函数f(x)=x+的定义域、值域、单调性、奇偶性,并画出函数图象.
(2)若对勾函数f(x)=x+,写出函数f(x)的单调区间(不必证明)并作出函数f(x)的图象.
[总结拓展]
根据函数f(x)=x+的性质,结合f(x)=x+在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象,类比写出函数f(x)=x+(k>0)的图象与性质.
函数 f(x)=x+(k>0)
图象
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,-2]∪[2,+∞)
奇偶性 奇函数
单调性 在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,0),(0,)上单调递减
渐近线 直线y=x和x=0
拓展微课(一) 对勾函数的图象与性质
例 解:(1)①依题意,要使函数f(x)=x+有意义,只需x≠0,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
②当x>0时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立;当x<0时,-x>0,->0,所以f(x)=x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时等号成立.综上,函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
③首先讨论f(x)=x+在(0,+∞)上的单调性.
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1
则f(x1)-f(x2)=-=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
当00,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减;
当11,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)同理可得,函数f(x)=x+在(-1,0)上单调递减,在(-∞,-1)上单调递增.
综上,函数f(x)=x+在(-1,0),(0,1)上单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增.
④因为函数f(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=(-x)+=-f(x),所以函数f(x)=x+为奇函数.
⑤先作出f(x)=x+在(0,+∞)上的图象,列表:
x … 1 2 3 4 …
x+ … 2 …
描点并用光滑的曲线连接它们,再利用奇偶性作出f(x)=x+在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象,如图所示.
(2)函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[2,+∞);单调递减区间是[-2,0),(0,2].
函数f(x)的图象如图所示.拓展微课(一) 对勾函数的图象与性质
一、选择题
1.函数y=x+(x≥2)的最小值为 ( )
A.2 B.2
C.3 D.
2.(多选题)[2025·重庆部分学校高一期末] 已知函数f(x)=x+,则下列说法中正确的有( )
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为[2,+∞)
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1)
3.若不等式x2+ax+1>0对任意x∈(0,2]恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
4.(多选题)已知函数f(x)=x+,下列结论正确的有 ( )
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞)
C.f(x)在(-2,0)∪(0,2)上单调递减
D.f(x)的图象关于原点对称
5.(多选题)已知y=x+,则下列说法正确的是 ( )
A.当x≥2时,y的最小值是2
B.当x>0时,y的最小值是2
C.当x=时,y取得最小值
D.当x<0时,y没有最小值
6.[2025·浙南名校联盟高一月考] 已知函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,则a的取值范围为 ( )
A.[0,1) B.(-∞,1)
C.(-∞,0] D.[-1,1)
二、填空题
7.关于x的方程x2-ax+4=0在区间[0,1]内有解,则a的取值范围是 .
8.若对勾函数f(x)=x+(t>0)对于任意的k∈Z,都有f≤f,则实数t的最大值为 .
9.形如f(x)=x+(k>0)的函数被我们称为“对勾函数”,具有如下性质:该函数在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.已知函数f(x)=x+(010.[2025·镇江高一期末] 已知f(x)=,g(x)=x2-tx+,若对任意x1∈[1,2],总存在x2∈[2,3],使得g(x1)>f(x2)成立,则实数t的取值范围为 .
三、解答题
11.(13分)因为函数y=x+(t>0)的图象形状像对勾,所以我们称形如“y=x+(t>0)”的函数为“对勾函数”,该函数具有如下性质:在(0,]上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(1)已知f(x)=2x+-5,x∈[1,3],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2-mx+4,若对任意x1∈[1,3],总存在x2∈[1,3],使得g(x2)12.(15分)[2025·苏州高一期中] 已知函数f(x)=x+.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
(2)记g(x)=|f(x)-5|.
(i)讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.再直接写出g(x)在(0,+∞)上的单调区间.
(ii)是否存在这样的区间[a,b](a>0),使得g(x)在[a,b]上是单调函数,且g(x)的取值范围是 若存在,求出区间[a,b];若不存在,请说明理由.
拓展微课(一) 对勾函数的图象与性质
1.C [解析] 由对勾函数的性质可知y=x+在[2,+∞)上单调递增,所以ymin=2+=3,故选C.
2.ACD [解析] 对于A,要使函数f(x)=x+有意义,则x≠0,因此f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),A正确;对于B,f(-1)=-2,因此f(x)的值域不为[2,+∞),B错误;对于C,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=-x+=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,C正确;对于D,由对勾函数的图象知,f(x)在(-1,0),(0,1)上单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,因此f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),D正确.故选ACD.
3.A [解析] 不等式x2+ax+1>0对任意x∈(0,2]恒成立,等价于x+>-a对任意x∈(0,2]恒成立,记f(x)=x+,x∈(0,2],则不等式等价于f(x)min>-a.由对勾函数的单调性知,f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=2,故-a<2,解得a>-2.故选A.
4.ABD [解析] 对于A,要使函数f(x)=x+有意义,则x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以A正确.对于B,当x>0时,可得x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以f(x)≥4;当x<0时,可得x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=-,即x=-2时等号成立,所以f(x)≤-4.故函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),所以B正确.对于C,函数f(x)=x+在(-2,0),(0,2)上单调递减,所以C不正确.对于D,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=-x-=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以D正确.故选ABD.
5.BD [解析] 由对勾函数的性质可知y=x+在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减,y在定义域上无最小值,也无最大值.对于A,当x≥2时,y=x+单调递增,y=x+在x=2时取得最小值,故A错误;对于B,当x>0时,y=x+≥2=2,当且仅当x=时取等号,故B正确;对于C,当x=,即x=±时,y取不到最小值,故C错误;对于D,当x<0时,根据对勾函数的单调性知y没有最小值,故D正确.故选BD.
6.B [解析] 因为函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,所以解得a<1,故a的取值范围为(-∞,1),故选B.
7.[5,+∞) [解析] 当x=0时,方程无解.关于x的方程x2+4=ax在(0,1]内有解,等价于关于x的方程x+=a在(0,1]内有解.设g(x)=x+,x∈(0,1],则g(x)在(0,1]上单调递减,所以g(x)≥g(1)=5,故a≥5.
8. [解析] 因为f≤f,所以f-f≤0,所以k-+-k--=-1≤0,即≤1.当k2-<0,即-0,即k>或k<-时,t≤k2-恒成立,因为k∈Z,所以t≤=.综上,-≤t≤,所以实数t的最大值为.
9.1 [解析] 因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-=-f(x),所以f(x)=x+(00,所以f(2)>f(1),所以f(2)-f()=2+-2=,解得a=1(舍去)或a=9(舍去).综上可得,a=1.
10. [解析] 若对任意x1∈[1,2],总存在x2∈[2,3],使得g(x1)>f(x2)成立,则g(x1)min>f(x2)min.当x∈[2,3]时,令s=x2∈[4,9],h(s)==s+-2,由对勾函数的单调性可知,函数h(s)=s+-2在[4,9]上单调递增,所以当s∈[4,9]时,h(s)min=h(4)=,即当x∈[2,3]时,f(x)min=,故当x∈[1,2]时,g(x)min>,即g(x)=x2-tx+>对任意的x∈[1,2]恒成立,所以t11.解:(1)f(x)=2x-1+-4,令2x-1=m,
∵1≤x≤3,∴1≤m≤5,则h(m)=m+-4,
由对勾函数的性质,可得h(m)在[1,2]上单调递减,
在(2,5]上单调递增,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增.
∵f(1)=1,f=0,f(3)=,
∴f(x)的值域为.
(2)由(1)知f(x)的值域为,若对任意x1∈[1,3],总存在x2∈[1,3],使得g(x2)只需g(x)=x2-mx+4<0在[1,3]上有解,即m>,x∈[1,3].
令u(x)=x+,x∈[1,3],
则u(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
∴u(x)的最小值为u(2)=4,∴m>4,即实数m的取值范围为(4,+∞).
12.解:(1)函数f(x)是奇函数.证明如下:
因为函数f(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x+=-=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(2)(i) x1,x2∈(0,+∞),x1由00,
当x2≤2时,x1x2<4,
则f(x1)>f(x2),函数f(x)在(0,2)上单调递减;
当x1≥2时,x1x2>4,
则f(x1)综上,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
当x>0时,g(x)==
因此函数g(x)在(0,1),(2,4)上单调递减,在[1,2],[4,+∞)上单调递增.
(ii)由(i)知,函数g(x)在(0,1),(2,4)上单调递减,在[1,2],[4,+∞)上单调递增,
假设存在区间[a,b](a>0)符合题意.
①当[a,b] (0,1)时,g(x)在[a,b]上单调递减,
则即
化简得(a-b)(a+b-5)=0,
因为a,b∈(0,1),a所以(a-b)(a+b-5)=0不成立,故不存在满足题意的区间;
②当[a,b] [1,2]时,g(x)在[a,b]上单调递增,
则即
所以a,b是方程-x-+5=x,即3x2-10x+8=0的两个实根,
所以a=,b=2,故存在区间满足题意;
③当[a,b] (2,4)时,g(x)在[a,b]上单调递减,则
即
化简得(a-b)(a+b-5)=0,
因为2由-a-+5=(5-a),得a2-5a+8=0,Δ=25-32=-7<0,方程无解,故不存在满足题意的区间;
④当[a,b] [4,+∞)时,g(x)在[a,b]上单调递增,
则即
所以a,b是方程x+-5=x,即x2-10x+8=0的两个实根,此方程在[4,+∞)上只有一个解,故不存在满足题意的区间.
综上,存在区间[a,b](a>0),使得g(x)在[a,b]上是单调函数,且g(x)的取值范围是,该区间为.(共43张PPT)
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典型例题
练习册
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答案核查【练】
［题目溯源］
（《必修第一册92页探究与发现》）探究函数 的图象与性质.
函数 是由正比例函数和反比例函数求和组成的新的函数，
它的图象形状酷似对勾，因此称为“对勾函数”，也称为“对号函数”，
它是高中数学中一种非常重要又极为特殊的函数，尤其是对勾函数
的单调性和最值问题更是应用广泛.
例（1）讨论函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性，
并画出函数图象.
解：①依题意，要使函数有意义，只需 ，
所以函数的定义域为 .
②当时,,当且仅当 时等号成立；
当时，， ，
所以 ，
当且仅当时等号成立.
综上，函数的值域为 .
③首先讨论在 上的单调性.
任取，且 ，
则 .
当时，因为， ，
所以，即，
所以函数在 上单调递减；
当时,因为， ,
所以 ，即,
所以函数在 上单调递增.
同理可得,函数在上单调递减,
在 上单调递增.
综上，函数在，上单调递减，
在 ， 上单调递增.
④因为函数的定义域为 ，
关于原点对称，且，
所以函数 为奇函数.
⑤先作出在 上的图象，列表：
… 1 2 3 4 …
… 2 …
描点并用光滑的曲线连接它们，再利用奇偶性
作出在 上的图象，
如图所示.
（2）若对勾函数，写出函数 的单调区间
（不必证明）并作出函数 的图象.
解：函数的单调递增区间是， ；
单调递减区间是， .
函数 的图象如图所示.
［总结拓展］
根据函数的性,质结合 在上
的图象，类比写出函数 的图象与性质.
函数
图象 _____________________________________
定义域
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在，上单调递增，在 ，
上单调递减
渐近线 直线和
续表
练习册
一、选择题
1.函数 的最小值为( )
A.2 B. C.3 D.
[解析] 由对勾函数的性质可知在 上单调递增，
所以 ，故选C.
√
2.（多选题）［2025·重庆部分学校高一期末］ 已知函数
，则下列说法中正确的有( )
A.的定义域为
B.的值域为
C. 是奇函数
D.的单调递减区间为和
√
√
√
[解析] 对于A，要使函数有意义，则，
因此 的定义域为，A正确；
对于B， ，因此的值域不为，B错误；
对于C，当 时，，
又 ，所以函数是奇函数，C正确；
对于D，由对勾函数的图象知， 在，上单调递减，
在， 上单调递增，
因此的单调递减区间为和，D正确.
故选 .
3.若不等式对任意恒成立,则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 不等式对任意 恒成立,
等价于对任意恒成立,
记, ，则不等式等价于.
由对勾函数的单调性知,
在区间 上单调递减,在区间上单调递增,
所以,故 ,解得 .故选A.
√
4.（多选题）已知函数 ，下列结论正确的有( )
A.的定义域为
B.的值域为
C.在 上单调递减
D. 的图象关于原点对称
[解析] 对于A，要使函数有意义，则 ，
所以函数的定义域为，所以A正确.
对于B，当 时，可得，
当且仅当，即 时等号成立，所以；
√
√
√
当 时，可得，
当且仅当 ，即时等号成立，所以.
故函数 的值域为，所以B正确.
对于C，函数 在, 上单调递减，所以C不正确.
对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，所以D正确.
故选 .
5.（多选题）已知 ，则下列说法正确的是( )
A.当时，的最小值是 B.当时，的最小值是
C.当时，取得最小值 D.当时， 没有最小值
[解析] 由对勾函数的性质可知在和 上
单调递增，在和上单调递减， 在定义域上无最小值，
也无最大值.
对于A，当时，单调递增， 在时取得
最小值，故A错误；
√
√
对于B，当 时， ，
当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C，当，即时， 取不到最小值，故C错误；
对于D，当时,根据对勾函数的单调性知 没有最小值,故D正确.
故选 .
6.［2025·浙南名校联盟高一月考］已知函数
在上是减函数，则 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数在 上是减函数，
所以解得，故的取值范围为 ，故选B.
二、填空题
7.关于的方程在区间内有解，则 的取值范围
是________.
[解析] 当时，方程无解.关于的方程在 内有解，
等价于关于的方程在内有解.
设 ，，则在上单调递减，
所以 ，故 .
8.若对勾函数对于任意的 ，都有
，则实数 的最大值为__.
[解析] 因为，所以 ，
所以，即 .
当，即时，恒成立，
因为 ，所以；
当，即或时， 恒成立，
因为，所以.
综上，，所以实数 的最大值为 .
9.形如 的函数被我们称为“对勾函数”，具有如下
性质：该函数在上单调递减，在 上单调递增.已知函
数在上的最大值比最小值大 ，则
___.
1
[解析] 因为的定义域为 , ，
所以 为奇函数.
因为在上的最大值比最小值大，
所以在 上的最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在 上单调递减,在上单调递增.
当，即时，在 上单调递增，
则，解得 .
当，即时,
在 上单调递减，在上单调递增，
因为，所以 ，
所以,解得(舍去)或 (舍去).
综上可得， .
10.［2025·镇江高一期末］已知, ,
若对任意,总存在,使得成立,则实数
的取值范围为_ _______.
[解析] 若对任意,总存在,使得 成立,
则
当时,令 , ,
由对勾函数的单调性可知,函数在上单调递增,
所以当 时, ,即当时,,
故当 时, ,即对任意的
恒成立,所以对任意的 恒成立.
由对勾函数的单调性可知,函数在上单调递增,
所以当 时, ,故 .
三、解答题
11.（13分）因为函数 的图象形状像对勾，所以我们
称形如“ ”的函数为“对勾函数”，该函数具有如下性
质：在上单调递减，在 上单调递增.
（1）已知, ，利用上述性质，求函数
的单调区间和值域；
解：，令 ，
，，则 ，
由对勾函数的性质,可得在 上单调递减,在上单调递增，
在上单调递减，在 上单调递增.
，， ，
的值域为 .
11.（13分）因为函数 的图象形状像对勾，所以我们
称形如“ ”的函数为“对勾函数”，该函数具有如下性
质：在上单调递减，在 上单调递增.
（2）对于（1）中的函数和函数 ，若对任意
，总存在，使得成立，求实数 的
取值范围.
解：由（1）知的值域为,若对任意 ,总存在，
使得 成立，
只需在上有解,即 , .
令， ,则在上单调递减,在 上单调递增，
的最小值为，
，即实数 的取值范围为 .
12.（15分）［2025·苏州高一期中］ 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并证明你的结论.
解：函数 是奇函数.证明如下：
因为函数的定义域为 ，
，
所以函数 是奇函数.
12.（15分）［2025·苏州高一期中］ 已知函数 .
（2）记 .
（i）讨论在上的单调性，并说明理由.再直接写出
在 上的单调区间.
解： ,, ，
，
由，得, ，
当时, ,则,函数在 上单调递减；
当时, ,则,函数在 上单调递增.
综上,在上单调递减,在 上单调递增.
当时,
因此函数在,上单调递减,在, 上单调递增.
12.（15分）［2025·苏州高一期中］ 已知函数 .
（2）记 .
（ii）是否存在这样的区间，使得在 上是单调
函数，且的取值范围是？若存在，求出区间 ；若不
存在，请说明理由.
解： 由知，函数在,上单调递减,在,
上单调递增，
假设存在区间 符合题意.
①当时，在 上单调递减，
则即
化简得 ，
因为,, ，
所以 不成立，故不存在满足题意的区间；
②当时，在 上单调递增，
则即
所以,是方程，即 的两个实根，
所以,，故存在区间 满足题意；
③当时，在上单调递减，
则 即
化简得 ，
因为，所以，即 ，
由，得 ，
，方程无解，故不存在满足题意的区间；
④当时，在 上单调递增，
则即
所以,是方程，即 的两个实根，
此方程在 上只有一个解，故不存在满足题意的区间.
综上，存在区间，使得在 上是单调函数，
且的取值范围是，该区间为 .
快速核答案（导学案）
典型例题 例 （1）解：①②
③函数在,上单调递减,在上单调递增
④函数为奇函数 ⑤如图所示
..
（2）函数的单调递增区间是，；
单调递减区间是，. 如图
快速核答案（练习册）
一、1.C 2.ACD 3.A 4.ABD 5.BD 6.B
二、7. 8. 9.1 10.
三、11.（1）在上单调递减,在上单调递增.的值域为
（2）
12.（1）函数是奇函数.证明略
（2）（i）m>在上单调递减，在上单调递增.理由略.
在,上单调递减，在,上单调递增
（ii）存在，