拓展微课(二) 函数的对称性
[题目溯源]
(《必修第一册87页习题3.2拓广探索第13题》)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
典型例题
例1 已知函数g(x)=,证明:函数g(x)的图象关于点(2,-4)成中心对称图形.
例2 求证:(1)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件为函数y=f(x+a)-b是奇函数;
(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件为函数y=f(x+a)是偶函数.
例3 [2025·黄冈十五校高一期中] 已知函数f(x)=,写出f(x)图象的对称中心,并求f(-2024)+f(-2023)+…+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+…+f(2025)+f(2026)的值.
[总结拓展]
函数对称性的一些常用结论
(一)对称性的相关结论
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(2)若y=f(x+a)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.
若y=f(x+a)是奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(a+x)=f(a-x) f(2a+x)=f(-x) f(2a-x)=f(x).
(4)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a-x)=2b-f(a+x) f(2a-x)=2b-f(x) f(2a+x)=2b-f(-x).
(5)函数y=f(x)的图象关于直线x=对称 f(a+x)=f(b-x).
(6)函数y=f(x)的图象关于点对称 f(a+x)=2c-f(b-x).
(二)常见的对称变换
(1)y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
(2)y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
(3)y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
(4)y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
(5)y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
拓展微课(二) 函数的对称性
例1 证明:∵g(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞),∴g(4-x)==,∴g(x)+g(4-x)=+==-8,即对任意的x∈(-∞,2)∪(2,+∞),都有g(x)+g(4-x)=-8成立,∴函数g(x)的图象关于点(2,-4) 成中心对称图形.
例2 证明:(1)充分性:若y=f(x+a)-b为奇函数,则f(a-x)-b=-f(a+x)+b,即f(a-x)+f(a+x)=2b.
设M(x,f(x))为y=f(x)图象上任一点,则M关于点(a,b)的对称点为N(2a-x,2b-f(x)),
∵f(2a-x)=f[a+(a-x)]=2b-f[a-(a-x)]=2b-f(x),∴点N在y=f(x)的图象上,即函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形.
必要性:若函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形,设M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任一点,则f(2a-x)=2b-f(x).用x+a替换x,则f(a-x)+f(a+x)=2b,即f(-x+a)-b=-f(a+x)+b,
∴y=f(x+a)-b是奇函数.
综上可知,函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件为函数y=f(x+a)-b是奇函数.
(2)充分性:若y=f(x+a)为偶函数,则f(a-x)=f(a+x).设M(x,f(x))为y=f(x)图象上任一点,则M关于直线x=a的对称点为N(2a-x,f(x)),
∵f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),∴点N在y=f(x)的图象上,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形.
必要性:若函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形,设M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任一点,则M(x,f(x))关于直线x=a的对称点N(2a-x,f(x))在函数y=f(x)的图象上,
∴f(2a-x)=f(x).
用x+a替换x,则f(a-x)=f(a+x),∴y=f(x+a)是偶函数.
综上可知,函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件为函数y=f(x+a)是偶函数.
例3 解:由题意知f(x)=2+,
令g(x)=f(x+a)-b=2+-b,且g(x)=f(x+a)-b为奇函数,则a=1,b=2,
故函数f(x)图象的对称中心为(1,2).
由f(x)图象的对称中心为(1,2),得f(x)+f(2-x)=4,故f(0)+f(2)=4,f(-1)+f(3)=4,f(-2)+f(4)=4,…,f(-2023)+f(2025)=4,f(-2024)+f(2026)=4,
∴f(-2024)+f(-2023)+…+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+…+f(2025)+f(2026)=×4050×4=8100.拓展微课(二) 函数的对称性
一、选择题
1.函数f(x)=的图象的对称中心为 ( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(1,0) D.(1,-2)
2.[2025·安徽蚌埠高一期末] 若函数y=f(x)是奇函数,则下列各点一定是函数y=f(x+1)+2的图象的对称中心的是 ( )
A.(1,-2) B.(-1,2)
C.(-1,-2) D.(1,2)
3.设函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)图象的对称轴方程是 ( )
A.x=1 B.x=
C.x=- D.x=-1
4.若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f(π)= ( )
A.-π B.-π
C.π- D.π-
5.(多选题)[2025·烟台高一期中] 已知函数f(x)=,则 ( )
A.f(x)在(-∞,1)∪(1,+∞)上单调递减
B.f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,2)对称
6.(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,2)对称
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数
D.若f(x)=x2-2x+5,则y=f(x-1)为偶函数
7.(多选题)函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则一定有 ( )
A.f(2-x)=f(x)
B.f(-x)=f(1+x)
C.函数y=f(x+1)是偶函数
D.函数y=f(x-1)是偶函数
二、填空题
8.[2025·苏州六校高一联考] 若函数f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的图象关于点(1,0)成中心对称图形,则ab= .
9.已知函数y=f(x+1)-1为定义在R上的奇函数,则f(-1011)+f(-1010)+f(-1009)+…+f(1012)+f(1013)= .
10.设函数f(x)=ax3-x-3+a,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= .
三、解答题
11.(13分)已知函数f(x)=++b(x2-2x)+a(其中a,b是常数).
(1)当b=0时,若f(x)≥0在(0,2)上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:函数f(x)的图象是一个轴对称图形.
12.(15分)教材第87页第13题有以下阅读材料:
我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
已知f(x)=x3-3x2+3x.
(1)利用上述材料,求函数f(x)图象的对称中心.
(2)利用函数单调性的定义,证明函数g(x)=x3是R上的增函数(附立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)),并类比推理f(x)的单调性(不需要证明).
(3)也有同学发现可以将其推广为:若函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形,则f(2a-x)+f(x)=2b.请根据该结论求不等式f(x2)+f(x)>2的解集.
拓展微课(二) 函数的对称性
1.A [解析] 函数f(x)==-1+,则f(1+x)+f(1-x)=-1+-1+=-2,可得f(x)的图象关于点(1,-1)对称,故选A.
2.B [解析] 因为函数y=f(x)是奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,又函数y=f(x+1)+2的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的,所以函数y=f(x+1)+2的图象关于点(-1,2)对称,故选B.
3.A [解析] 由y=f(x+1)是偶函数,得y=f(x+1)的图象关于y轴对称,又函数y=f(x)的图象可由y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到,所以函数y=f(x)图象的对称轴方程是x=1.故选A.
4.D [解析] ∵f(x)是偶函数,且其图象关于点对称,∴f(1-x)=-f(x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x).又当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-4+4)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故选D.
5.BD [解析] 根据题意可知f(x)===2+,易知将奇函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度可得f(x)=2+的图象,画出函数f(x)的图象如图所示.由图可得f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均单调递减,但不能用并集表示,故A错误;由图可知,f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞),故B正确;f(x)的图象不是轴对称图形,故C错误;f(x)的图象关于点(1,2)对称,故D正确.故选BD.
6.BC [解析] 若函数y=f(x+a)-b为奇函数,则f(x+a)-b=-f(-x+a)+b,则f(x+a)+f(-x+a)=2b.对于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),若f(x)的图象关于点(1,2)对称,则f(x+1)+f(-x+1)=4,但f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4,故A错误.对于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,设F(x)=f(x+1)-1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故B正确.对于C,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x),令x=t+a,则f(t+a)=f(a-t),用x替换t,则f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函数,必要性成立;若y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,则f(h)=f(2a-h),故函数y=f(h)的图象关于直线h=a对称,用x替换h,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,充分性成立.故C正确.对于D,因为f(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函数,故D错误.故选BC.
7.AC [解析] 对于A,由f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(2-x)=f(x),A正确;对于B,由f(-x)=f(1+x),得f(x)的图象关于直线x=对称,B错误;对于C,由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,得y=f(x+1)的图象关于y轴对称,故函数y=f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,得y=f(x-1)的图象关于直线x=2对称,不能判断函数y=f(x-1)的奇偶性,D错误.故选AC.
8.-64 [解析] 由题意得
解得经检验,符合题意,则ab=(-4)3=-64.
9.2025 [解析] 因为y=f(x+1)-1为定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,即f(2-x)+f(x)=2,故f(-1011)+f(-1010)+f(-1009)+…+f(1012)+f(1013)=[f(-1011)+f(1013)]+[f(-1010)+f(1012)]+…+[f(0)+f(2)]+f(1)=2×1012+1=2025.
10.0 [解析] 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0.
11.解:(1)当b=0时,f(x)=++a=+a=+a,若x∈(0,2),则当x=1时,f(x)min=2+a,由题意知2+a≥0,所以a≥-2.
(2)证明:f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠2},因为f(2-x)=++b(2-x)(2-x-2)+a=++bx(x-2)+a=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故函数f(x)的图象是一个轴对称图形.
12.解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则函数h(x)=f(a+x)-b为奇函数,
则h(-x)=-h(x),
即h(-x)+h(x)=0,
即f(a-x)+f(a+x)=2b.
因为f(a-x)+f(a+x)=(a-x)3-3(a-x)2+3(a-x)+(a+x)3-3(a+x)2+3(a+x)=(a3-3a2x+3ax2-x3)-3(a2-2ax+x2)+(a3+3a2x+3ax2+x3)-3(a2+2ax+x2)+6a=(6a-6)x2+(2a3-6a2+6a)=2b,
所以解得
所以函数f(x)图象的对称中心为(1,1).
(2)任取x1,x2∈R且x1>x2,
则g(x1)-g(x2)=-=(x1-x2)(+x1x2+)=(x1-x2),
若+=0,
则可得x1=x2=0,矛盾,
所以+>0,
所以g(x1)-g(x2)=(x1-x2)>0,
则g(x1)>g(x2),故函数g(x)=x3是R上的增函数.
因为f(x+1)-1=(x+1)3-3(x+1)2+3(x+1)-1=(x3+3x2+3x+1)-3(x2+2x+1)+3(x+1)-1=x3,
所以g(x)=f(x+1)-1,
则f(x)=g(x-1)+1,
即函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,
故函数f(x)是R上的增函数.
(3)因为函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,且该函数的定义域为R,所以对任意的x∈R,f(x)+f(2-x)=2.
由f(x2)+f(x)>2可得f(x2)+f(x)>f(x)+f(2-x),
即f(x2)>f(2-x).
因为函数f(x)是R上的增函数,所以x2>2-x,
即x2+x-2>0,解得x<-2或x>1,
故不等式f(x2)+f(x)>2的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞).(共41张PPT)
拓展微课（二） 函数的对称性
◆
◆
典型例题
练习册
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答案核查【练】
［题目溯源］
（《必修第一册87页习题3.2拓广探索第13题》）我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图
象关于点成中心对称图形的充要条件是函数 为
奇函数.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于 轴成轴对
称图形的充要条件是函数 为偶函数”的一个推广结论.
例1 已知函数，证明：函数的图象关于点 成
中心对称图形.
证明：, ,
,
，
即对任意的,都有成立，
函数 的图象关于点 成中心对称图形.
例2 求证：
（1）函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件为
函数 是奇函数；
证明：充分性：若 为奇函数，
，即 .
设为图象上任一点，
则关于点 的对称点为 ，
，
点在的图象上，
即函数的图象关于点 成中心对称图形.
必要性：若函数的图象关于点 成中心对称图形，
为函数图象上任一点,则 .
用替换，则 ，
即 ，
是奇函数.
综上可知，函数的图象关于点 成中心对称图形的充要
条件为函数 是奇函数.
例2 求证：
（2）函数的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件
为函数 是偶函数.
证明： 充分性：若为偶函数，则 .
设为图象上任一点，
则关于直线 的对称点为 ，
，
点 在的图象上，
即函数的图象关于直线 成轴对称图形.
必要性：若函数的图象关于直线 成轴对称图形，
设为函数图象上任一点，则 关于
直线的对称点在函数 的图象上，
.
用替换，则，
是偶函数.
综上可知，函数的图象关于直线 成轴对称图形的充要
条件为函数 是偶函数.
例3 ［2025·黄冈十五校高一期中］已知函数，写出
图象的对称中心，并求
的值.
解：由题意知 ，
令，
且 为奇函数，则， ，
故函数图象的对称中心为 .
由图象的对称中心为，得 ，
故，，， ，
， ,
.
［总结拓展］
函数对称性的一些常用结论
（一）对称性的相关结论
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称.
（2）若是偶函数，则的图象关于直线 对称.
若是奇函数，则的图象关于点 对称.
（3）函数的图象关于直线 对称
（4）函数的图象关于点对称 .
（5）函数的图象关于直线 对称
.
（6）函数的图象关于点 对称
.
（二）常见的对称变换
（1）的图象 的图象；
（2）的图象 的图象；
（3）的图象 的图象；
（4）的图象 的图象；
（5） 的图象
的图象.
练习册
一、选择题
1.函数 的图象的对称中心为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数 ，
则，
可得 的图象关于点 对称，故选A.
√
2.［2025·安徽蚌埠高一期末］若函数 是奇函数，则下列各
点一定是函数 的图象的对称中心的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
又函数的图象是由 的图象向左平移1个单位
长度，再向上平移2个单位长度得到的，
所以函数的图象关于点 对称，故选B.
√
3.设函数是偶函数，则函数 图象的对称轴方程
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由是偶函数,得的图象关于 轴对称，
又函数的图象可由 的图象向右平移1个单位长
度得到，
所以函数图象的对称轴方程是 .
故选A.
√
4.若定义在上的偶函数的图象关于点对称，且当
时，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 是偶函数，且其图象关于点 对称，
，
，则
又当时，，
.
故选D．
5.（多选题）［2025·烟台高一期中］ 已知函数 ，
则 ( )
A.在 上单调递减
B.的值域为
C.的图象关于直线 对称
D.的图象关于点 对称
√
√
[解析] 根据题意可知 ，
易知将奇函数 的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度可得的图象，
画出函数 的图象如图所示.
由图可得在和 上均单调递减,
但不能用并集表示,故A错误；
由图可知，的值域为 ，故B正确；
的图象不是轴对称图形，故C错误；
的图象关于点对称，故D正确.
故选 .
6.（多选题）已知函数的图象关于点 对称的充要条件
是函数 为奇函数，则下列说法正确的是( )
A.的图象关于点 对称
B.若，则的图象关于点 对称
C.函数的图象关于直线 对称的充要条件是
为偶函数
D.若，则 为偶函数
√
√
[解析] 若函数 为奇函数，
,则 .
对于A,,若的图象关于点 对称,
则 ,但,故A错误.
对于B,由 ,得,
设 ,则,所以是奇函数,
所以 的图象关于点对称,故B正确.
对于C,若函数的图象关于直线 对称,则,
令,则 ,用替换,则,
故 是偶函数,必要性成立;
若是偶函数,则 ,令,
则,故函数 的图象关于直线对称,
用替换,则函数的图象关于直线 对称,充分性成立.
故C正确.
对于D,因为 ,,
所以 ,所以不是偶函数,故D错误.
故选 ．
7.（多选题）函数的图象关于直线 对称，则一定有( )
A. B.
C.函数是偶函数 D.函数 是偶函数
√
√
[解析] 对于A,由的图象关于直线 对称,得,
A正确；
对于B,由,得 的图象关于直线对称,B错误；
对于C,由函数 的图象关于直线对称,
得的图象关于 轴对称,故函数是偶函数,C正确；
对于D,由函数 的图象关于直线对称,
得的图象关于直线 对称,
不能判断函数的奇偶性,D错误.
故选 .
二、填空题
8.［2025·苏州六校高一联考］若函数 的
图象关于点成中心对称图形,则 _____.
[解析] 由题意得
解得 经检验,符合题意,则 .
9.已知函数为定义在 上的奇函数，则
______.
2025
[解析] 因为为定义在上的奇函数，
所以 的图象关于点对称，即，
故
.
10.设函数,若函数 的图象关于点
对称,则 ___.
0
[解析] 因为函数的图象关于点对称,
所以函数 的图象关于点对称,即 为奇函数,
故 ,
所以 .
三、解答题
11.（13分）已知函数（其中， 是
常数）.
（1）当时，若在上恒成立，求实数 的取值范围;
解：当时， ，
若，则当时，，由题意知 ，
所以 .
11.（13分）已知函数（其中， 是
常数）.
（2）证明：函数 的图象是一个轴对称图形.
证明：的定义域为且 ，
因为
，
所以的图象关于直线对称，
故函数 的图象是一个轴对称图形.
12.（15分）教材第87页第13题有以下阅读材料：
我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函
数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
已知 .
（1）利用上述材料，求函数 图象的对称中心.
解：设函数图象的对称中心为 ，
则函数 为奇函数，则 ，
即 ，即 .
因为
，
所以解得
所以函数图象的对称中心为 .
12.（15分）教材第87页第13题有以下阅读材料：
我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函
数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
已知 .
（2）利用函数单调性的定义，证明函数是 上的增函数
（附立方差公式： ），并类比推理
的单调性（不需要证明）.
解：任取，且 ，则
，
若 ，则可得 ，矛盾，
所以 ，
所以 ，
则，故函数是 上的增函数.
因为 ，
所以 ，则 ，
即函数的图象可由函数 的图象先向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度得到，
故函数是 上的增函数.
12.（15分）教材第87页第13题有以下阅读材料：
我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函
数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
已知 .
（3）也有同学发现可以将其推广为：若函数 的图象关于点
成中心对称图形，则 .请根据该结论求
不等式 的解集.
解：因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为 ，
所以对任意的， .
由可得 ，
即 .
因为函数是上的增函数，所以 ，
即，解得或 ，
故不等式的解集为 .
快速核答案（导学案）
典型例题
例1 证明略
例2 证明略
例3
快速核答案（练习册）
一、1.A 2.B 3.A 4.D 5.BD 6.BC 7.AC
二、8. 9.2025 10.0
三、11.（1）. （2）证明略
12.（1）（2）证明略， 函数是上的增函数 （3）
