滚动习题(四)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},由下列图形给出的对应关系f,能构成从A到B的函数的是 ( )
A B C D
2.函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,3)∪(3,+∞) D.(1,3)∪(3,+∞)
3.min{a,b}表示a,b中的较小值,设f(x)=min{x+3,9-x},则f(x)的最大值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
4.[2025·衡阳八中高一月考] 已知函数f(x)=为奇函数,则a+b等于 ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
5.[2025·湖北重点高中高一期中] 函数y=的图象大致为 ( )
A B C D
6.[2025·合肥六中高一期中] 已知函数f(x)=-x2+4x+1在区间[0,m]上的取值范围为[1,5],则m的取值范围是 ( )
A.(0,2] B.(0,4]
C.[2,4] D.[4,+∞)
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=3,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,恒有>0,则关于x的不等式(x+2)f(x+2)<9的解集为 ( )
A.(-∞,1)
B.(-5,1)
C.(-∞,-5)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.[2025·烟台高一期中] 下列各组函数中不是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=与g(x)=x
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=|x+1|与g(x)=
D.f(x)=·与g(x)=
9.已知函数f(x-1)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f=3
B.f(x)=(x≠-1)
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2025·南通高一期中] 若f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-1,则f(-1)= .
11.已知函数f(x)=
是R上的减函数,则实数a的取值范围是 .
12.对于任意实数x,表示不小于x的最小整数,如<1.2>=2,<-0.2>=0.定义在R上的函数f(x)=+<2x>,若集合A={y|y=f(x),-1≤x≤0},则集合A中所有元素的和为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)已知函数f(x)=
(1)求f(1),f[f(-6)]的值;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出f(x)的图象(无需列表);
(3)根据(2)中的图象,写出f(x)的单调区间和值域.
14.(15分)已知函数f(x)=x+.
(1)请用定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减;
(2)若存在x∈,使得x2-ax+1≥0成立,求实数a的取值范围.
15.(15分)[2025·福建厦门高一期中] 已知函数f(x)的定义域为R,且满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3.
(1)求f(0)与f(3)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)的单调性,并证明.
滚动习题(四)
1.D [解析] A中,一部分x值没有与之对应的y值,不能构成A到B的函数;B中,“一对多”的关系不是函数关系;C中,当x=1时对应两个不同的y值,不构成函数;D中,对应关系符合函数定义.故选D.
2.C [解析] 要使f(x)有意义,只需解得x≥1且x≠3,所以f(x)的定义域为[1,3)∪(3,+∞),故选C.
3.C [解析] 令x+3>9-x,解得x>3;令x+3≤9-x,解得x≤3.所以f(x)=当x≤3时,f(x)单调递增,当x>3时,f(x)单调递减,则f(x)的最大值为f(3)=6.故选C.
4.D [解析] 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=x2-x=-f(x),所以f(x)=-x2+x,又当x>0时,f(x)=ax2-bx,所以a=-1,b=-1,故a+b=-2.故选D.
5.C [解析] 当x=0时,y=0;当x<0时,函数y====1+,将函数y=(x<-1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=(x<0)的图象,排除A,B;当00,排除D.故选C.
6.C [解析] 因为f(x)=-(x-2)2+5,所以f(0)=1,f(x)max=f(2)=5,令f(x)=1,解得x=0或x=4,作出f(x)的图象,如图所示.由图可知,当x∈[0,m]时,若f(x)的取值范围为[1,5],则m∈[2,4].故选C.
7.B [解析] f(x)是定义在R上的奇函数,令F(x)=xf(x),则F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),故F(x)是定义在R上的偶函数.由题意,不妨设0≤x18.ABD [解析] 对于A,f(x)=|x|,g(x)=x,定义域相同但对应关系不同,故不是同一个函数;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故不是同一个函数;对于C,f(x)=|x+1|=定义域均为R,对应关系也相同,故是同一个函数;对于D,对于f(x),由
得x≥1,所以f(x)的定义域为[1,+∞),对于g(x),由x2-1≥0,得x≤-1或x≥1,故g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以定义域不同,故不是同一个函数.故选ABD.
9.ABD [解析] 由f(x-1)==,可得f(x)=(x≠-1),故B正确;f==3,故A正确;函数f(x)=(x≠-1)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)不是奇函数,故C错误;由y=(x≠0)的图象关于坐标原点中心对称,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,故D正确.故选ABD.
10.0 [解析] 根据题意,当x>0时,f(x)=x3-1,则f(1)=1-1=0,又f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=0.
11. [解析] 当a≠0时,由题意可得
解得-1≤a≤-;当a=0时,f(x)=不是R上的减函数.故a的取值范围为.
12.-4 [解析] 当x=-1时,f(x)=<-1>+<-2>=-3;当-1=0,-2<2x≤-1,则<2x>=-1,f(x)=+<2x>=-1;当-=0,-1<2x≤0,则<2x>=0,f(x)=+<2x>=0.故A={-3,-1,0},集合A中所有元素的和为-4.
13.解:(1)f(1)=12-2×1=-1,f(-6)=6-3=3,
所以f[f(-6)]=f(3)=32-2×3=3.
(2)由题意,得函数f(x)的图象如图.
(3)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1),单调递增区间为(1,+∞),函数f(x)的值域为(-3,+∞).
14.解:(1)证明:任取x1,x2∈(0,1)且x1因为x1,x2∈(0,1)且x1所以x2-x1>0,且0所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·<0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.
(2)由x∈,可得不等式x2-ax+1≥0可化为a≤=x+,
因为存在x∈,使得x2-ax+1≥0成立,所以a≤,x∈,
由(1)知,函数f(x)=x+在上单调递减,
所以当x∈时,f(x)max=f=+4=,所以a≤,
即实数a的取值范围为.
15.解:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),故f(0)=0.
令x=y=1,则f(2)=2f(1)=-6,
令x=1,y=2,
则f(3)=f(1)+f(2)=-9.
(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)f(x)是R上的减函数.
证明:任取x1,x2∈R,
设x10,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
即f(x2)+f(-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),
则f(x)是R上的减函数.(共29张PPT)
滚动习题（四）范围
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.对于集合， ，由下列图形给出
的对应关系，能构成从到 的函数的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] A中，一部分值没有与之对应的值，不能构成到 的函数；
B中，“一对多”的关系不是函数关系；
C中，当 时对应两个不同的 值，不构成函数；
D中，对应关系符合函数定义.
故选D.
2.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 要使有意义，只需解得且 ,
所以的定义域为 ,故选C.
√
3.,表示，中的较小值，设, ，则
的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 令，解得；令，解得 .
所以
当时，单调递增，当 时，单调递减，
则的最大值为 .
故选C.
√
4.［2025· 衡阳八中高一月考］已知函数 为
奇函数，则 等于 ( )
A. B.1 C.0 D.
[解析] 设，则，所以 ，
所以，
又当时，，
所以 ,，故 .
故选D.
√
5.［2025·湖北重点高中高一期中］函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，；
当 时，函数，
将函数 的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象,排除A,B；
当 时，函数 ，排除D.故选C.
6.［2025·合肥六中高一期中］已知函数 在区间
上的取值范围为，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以,，
令 ，解得或，
作出 的图象，如图所示.
由图可知，当时，
若的取值范围为 ，则 .故选C.
√
7.已知是定义在上的奇函数，，对任意 ，
，且，恒有，则关于 的不等
式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 是定义在上的奇函数,令 ,
，故是定义在 上的偶函数.
由题意，不妨设 ,则,
所以在 上单调递增,则在上单调递减,
又 ,
故 ,
解得,
故关于的不等式的解集为 .故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.［2025· 烟台高一期中］下列各组函数中不是同一个函数的
是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
√
√
√
[解析] 对于A,, ,定义域相同但对应关系不同,
故不是同一个函数；
对于B,的定义域为, 的定义域为 ,定义域不同,
故不是同一个函数；
对于C,定义域均为 ,对应关系也相同,
故是同一个函数；
对于D,对于,由 得,所以的定义域为,
对于,由 ,得或,
故的定义域为 ,所以定义域不同,
故不是同一个函数.故选 .
9.已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.函数 是奇函数
D.函数的图象关于点 中心对称
√
√
√
[解析] 由,可得 ,故B正确；
,故A正确；
函数 的定义域不关于原点对称,
所以函数 不是奇函数,故C错误；
由的图象关于坐标原点中心对称,
可得函数 的图象关于点中心对称,故D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.［2025·南通高一期中］若是奇函数，且当 时，
，则 ___.
0
[解析] 根据题意，当时，，则 ，
又为奇函数，则 .
11.已知函数
是上的减函数，则实数 的取值范围是 _________.
[解析] 当 时,由题意可得
解得；
当时，不是 上的减函数.
故的取值范围为 .
12.对于任意实数，表示不小于的最小整数，如 ,
.定义在上的函数 ，若集合
,，则集合 中所有元素的和为____.
[解析] 当时,;
当 时, ，,
则， ；
当时，，,
则 ，.
故,,，集合 中所有元素的和为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）已知函数
（1）求， 的值;
解：， ，
所以 .
13.（13分）已知函数
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出 的图象（无需列表）;
解：由题意，得函数 的图象
如图.
13.（13分）已知函数
（3）根据（2）中的图象，写出 的单调区间和值域.
解：函数的单调递减区间为， ，
单调递增区间为，
函数的值域为 .
14.（15分）已知函数 .
（1）请用定义证明函数在 上单调递减;
证明:任取,且 ,则
,
因为,且 ,
所以,且,所以 ,
所以,即 ,
所以函数在 上单调递减.
14.（15分）已知函数 .
（2）若存在,使得成立,求实数 的取值范围.
解：由,可得不等式可化为 ,
因为存在,使得成立,
所以 , ,
由（1）知,函数在 上单调递减,
所以当时，,
所以 ,即实数的取值范围为 .
15.（15分）［2025·福建厦门高一期中］ 已知函数 的定义域为
，且满足对任意,，都有，且当
时，， .
（1）求与 的值；
解：令，则，故 .
令，则 ，
令, ，则 .
15.（15分）［2025·福建厦门高一期中］ 已知函数 的定义域为
，且满足对任意,，都有，且当
时，， .
（2）判断 的奇偶性；
解：的定义域为 ，关于原点对称.
令，则，即 ，
故 为奇函数.
15.（15分）［2025·福建厦门高一期中］ 已知函数 的定义域为
，且满足对任意,，都有，且当
时，， .
（3）判断 的单调性，并证明.
解：是 上的减函数.
证明：任取， ，
设，则 ，
则 ，
因为当时，，且，
所以 ，即，即，
即 ，则是 上的减函数.
快速核答案
一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B
二、8.ABD 9.ABD
三、10.0 11. 12.
四、 13.（1）m>，< （2）如图. .
（3）单调递减区间为，，单调递增区间为，值域为
14.（1）证明略 （2）
15.（1）.（2）为奇函数 （3）是上的减函数.证明略
