滚动习题(五)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.[2025·长沙一中高一月考] 已知f(x)=则f(4)= ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
2.已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是 ( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=x2
C.f(x)= D.f(x)=-|x|
4.函数f(x)=|x的大致图象为 ( )
A B C D
5.[2025·南开中学高一期中] 函数y=x-的值域为 ( )
A. B.(-∞,1]
C. D.
6.[2025·深圳中学高一月考] 已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.0
C.1≤a<2 D.1≤a≤2
7.已知函数y=f(x+1)是偶函数,当10恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.b二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则下列说法正确的有 ( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0f
9.[2025·淄博高一期中] 已知函数f(x)是偶函数,且在区间[1,6]上单调,若f(-3)A.f(1)B.f(-2)>f(4)
C.f(-4)D.f(-1)三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若一个奇函数的定义域为{a,b,2},则a+b的值为 .
11.为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯,月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯,月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯,月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若该城市某户居民某月缴纳的电费为360元,则此户居民该月的用电量为 千瓦时.
12.已知函数f(x)的定义域为R,且f≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则f= ,f是 (填“奇”或“偶”)函数.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=;(2)f(x)=x-.
14.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ax,其中a∈R.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的单调递减区间为[-1,1],求不等式xf(x)>0的解集.
15.(15分)[2025·重庆南开中学高一期中] 给定函数f(x),若存在实数x0使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点,若存在实数x0使得f[f(x0)]=x0,则称x0为函数f(x)的稳定点.
(1)求函数g(x)=的不动点.
(2)设f(x)=x2+ax-a,a∈R恰好有两个稳定点x1和x2.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)若对任意的x∈[x1,x2],2x1≤f[f(x)]≤2x2,求实数a的取值范围.
滚动习题(五)
1.C [解析] 由题意可得f(4)=f(6)=6-5=1.故选C.
2.B [解析] 由f(x)的定义域是[0,2]知,要使g(x)有意义,则需解得0≤x<1,所以g(x)=的定义域为[0,1).故选B.
3.B [解析] 对于A选项,函数f(x)=x3为奇函数,其图象关于原点对称,故A错误;对于B选项,函数f(x)=x2为偶函数,其图象关于y轴对称,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C选项,函数f(x)=的定义域是[0,+∞),故函数f(x)为非奇非偶函数,故C错误;对于D选项,函数f(x)=-|x|的定义域为R,f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=-x,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选B.
4.C [解析] f(x)=|x的定义域为R,又f(-x)=|-x=|x=f(x),故f(x)=|x为偶函数,当x>0时,f(x)=,结合幂函数的图象可知,C正确.故选C.
5.C [解析] 由1-2x≥0,解得x≤,故函数的定义域为.因为y=x在定义域上单调递增,y=在定义域上单调递减,所以y=x-在定义域上单调递增,又当x→-∞时,y→-∞,当x=时,y=,所以函数的值域为.故选C.
6.D [解析] 由f(x)=
是R上的减函数,得解得1≤a≤2,所以实数a的取值范围是1≤a≤2.故选D.
7.B [解析] ∵当10恒成立,∴当10,即f(x2)>f(x1),∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.∵函数y=f(x+1)是偶函数,∴f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴a=f=f,又函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(2)8.BD [解析] 将点的坐标代入f(x)=xα,得=3α,则α=-2,所以f(x)=x-2,显然f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以A错误;f(x)=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以B正确;当x>1时,<1,即f(x)<1,所以C错误;当00,则+>,则+>8,即1+++++1 >8,利用基本不等式得1+++++1≥2+2+2 =8,当且仅当=时取等号,因为08成立,即>f成立,所以D正确.故选BD.
9.AD [解析] 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),则f(-3)=f(3),f(-5)=f(5),又f(-3)f(3),f(-1)=f(1)10.-2 [解析] ∵一个奇函数的定义域为{a,b,2},∴函数的定义域关于原点对称,∴a=-2,b=0或a=0,b=-2,∴a+b=-2+0=-2.
11.580 [解析] 设此户居民该月的用电量为x千瓦时,电费为y元,则y=由题知y=360.当0≤x≤240时,由0.5x=360,解得x=720,不满足题意;当240400时,由0.8(x-400)+216=360,解得x=580,满足题意.故此户居民该月的用电量为580千瓦时.
12.0 奇 [解析] 令x=,y=0,则有f+f×f(0)=f[1+f(0)]=0,又f≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1.令x=,y=-,则有f+ff=4××,即f(0)+ff=-1,由f(0)=-1,可得ff=0,又f≠0,所以f=0.令y=-,则有f+f(x)f=4x×,即f=-2x,易知函数f是奇函数.
13.解:(1)f(x)===2-,
因为x2+1≥1,所以0<≤1,
即-1≤-<0,
得1≤2-<2,
故函数f(x)的值域为[1,2).
(2)f(x)=x-,
由4x+1≥0,得x≥-,所以函数f(x)的定义域为.
令t=,则t≥0,x=t2-,
g(t)=t2-t-=(t-2)2-.
因为函数g(t)=(t-2)2-在[0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以当t=2时函数取得最小值,最小值为-,
故函数f(x)=x-的值域为.
14.解:(1) 函数f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(0)=0,设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax.
又函数f(x)为奇函数,
所以-f(x)=x2-ax,
即f(x)=-x2+ax,
所以函数f(x)=
(2)因为函数f(x)的单调递减区间为[-1,1],
所以f(x)在区间[0,1]上单调递减,可得y=x2+ax图象的对称轴方程为x=1,所以a=-2,
所以f(x)=
由xf(x)>0得
或即
或解得x>2或x<-2,所以原不等式的解集为{x|x<-2或x>2}.
15.解:(1)令g(x)=x,得=x,整理得x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,
经检验知均满足要求,故函数g(x)=的不动点为-2和3.
(2)(i)令f[f(x)]=x,得(x2+ax-a)2+a(x2+ax-a)-a=x,
即(x2+ax-a)(x2+ax-a+a)-(x+a)=0,得(x+a)(x3+ax2-ax-1)=0,
得(x+a)(x-1)[x2+(a+1)x+1]=0(*),由题意知方程(*)恰好有两个不同的实数解.
当-a=1,即a=-1时,方程(*)化为(x-1)2(x2+1)=0,
仅有一个实数解x=1,不满足题意;
当a≠-1时,要使方程(*)恰好有两个不同的实数解,
则x2+(a+1)x+1=0无实数解或方程x2+(a+1)x+1=0仅有一个实数解为1或者-a,
故(a+1)2-4<0或
或
可得-3≤a<-1或-1综上,实数a的取值范围为[-3,-1)∪(-1,1].
(ii)方法一:由(i)知,f(x)的两个稳定点为-a和1,因为对任意的x∈[x1,x2],2x1≤f[f(x)]≤2x2,所以取x=x1,
得2x1≤f[f(x1)]=x1,
解得x1≤0,所以x1=-a,x2=1,
由x1=-a≤0,解得a≥0.
由(i)知,a∈[-3,-1)∪(-1,1],
故0≤a≤1,故对任意的x∈[-a,1],-2a≤f[f(x)]≤2.
当a=0时,f(x)=x2,对任意的x∈[0,1],0≤f[f(x)]=x4≤2成立.
当0令t=f(x),当x∈[-a,1]时,
因为f(-a)=-a所以t∈,
又--a<-a<-,
故f(t)在上单调递减,在上单调递增,
注意到--<1-等价于a2<4,
故f(1)>f,
所以当t∈时,f(t)的取值范围为=,即f[f(x)]的取值范围为.
由题意得解得0综上,实数a的取值范围为[0,1].
方法二:由(i)知,f(x)的两个稳定点为-a和1,令t=f(x).
当-3≤a<-1时,1<-a,故x1=1,x2=-a,
则对任意的x∈[1,-a],2≤f[f(x)]≤-2a,
此时函数f(x)图象的对称轴方程为x=-∈.
当-3≤a<-2时,-∈,此时f(x)在上单调递减,在上单调递增,
又f=--a,f(-a)=-a>f(1)=1,
故t∈,
又--a<1<-,故f(t)在上单调递减,在上单调递增,
注意到--<-a-等价于a(a+4)<0,
故f(-a)>f,
所以当t∈时,f(t)的取值范围为=,
即f[f(x)]的取值范围为.由题意得无解.
当-2≤a<-1时,-≤1,f(x)在[1,-a]上单调递增,
当x∈[1,-a]时,t∈[1,-a],f(t)∈[1,-a],
即f[f(x)]的取值范围为[1,-a],不满足题意,舍去.
当-1则对任意的x∈[-a,1],-2a≤f[f(x)]≤2,此时函数f(x)图象的对称轴方程为x=-∈.
当-1当x∈[-a,1]时,t∈[-a,1],f(t)∈[-a,1],
即f[f(x)]的取值范围为[-a,1],
由题意得解得a=0.
当0f=--a,f(-a)=-a又--a<-a<-,
故f(t)在上单调递减,在上单调递增,
注意到--<1-等价于a2<4,
故f(1)>f,
所以当t∈时,f(t)的取值范围为=,即f[f(x)]的取值范围为.
由题意得解得0综上,实数a的取值范围为[0,1].(共36张PPT)
滚动习题（五）范围3.1～3.4
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.［2025·长沙一中高一月考］已知
则 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 由题意可得 .故选C.
√
2.已知函数的定义域是，则函数 的定义域
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由的定义域是知，
要使 有意义，则需解得，
所以的定义域为 .
故选B.
√
3.下列函数中，在上单调递增且图象关于 轴对称的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项,函数 为奇函数,其图象关于原点对称,故A错误；
对于B选项,函数为偶函数,其图象关于 轴对称,且函数在
上单调递增,故B正确；
对于C选项,函数的定义域是,
故函数 为非奇非偶函数,故C错误；
对于D选项,函数的定义域为 ,,
所以函数 为偶函数,其图象关于轴对称,当时,,
所以函数在 上单调递减,故D错误．
故选B.
√
4.函数 的大致图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 的定义域为，
又 ，故为偶函数，
当时， ，结合幂函数的图象可知，C正确.
故选C.
√
5.［2025·南开中学高一期中］函数 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，解得，故函数的定义域为 .
因为在定义域上单调递增， 在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增,
又当 时， ，当时，，
所以函数的值域为 .
故选C.
√
6.［2025·深圳中学高一月考］已知函数
是上的减函数,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由是 上的减函数,
得解得,
所以实数的取值范围是 .
故选D.
7.已知函数是偶函数,当 时,
恒成立,设,, ,
则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时,恒成立,
当时,,即,
函数 在上单调递增.
函数 是偶函数, ，
函数的图象关于直线 对称, ,
又函数在 上单调递增,
,即, .
故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.已知幂函数 的图象经过点 ,则下列说法正确的
有 ( )
A.函数 为增函数
B.函数 为偶函数
C.若,则
D.若,则
√
√
[解析] 将点的坐标代入 ，得 ,则 ，
所以,显然在上单调递减,所以A错误;
的定义域为,且，
所以 为偶函数, 所以B正确;
当时,,即,所以C错误;
当 时, ,
假设,则 ,
则,即 ,
利用基本不等式得 ,
当且仅当时取等号，因为 ,所以等号不成立,
所以成立，即 成立,
所以D正确.
故选 .
9.［2025·淄博高一期中］已知函数是偶函数，且在区间 上
单调，若 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数是偶函数,所以 ,
则,,
又 ,所以,
又函数在区间上单调,所以 ,,
,.
故选 .
√
√
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.若一个奇函数的定义域为,,，则 的值为 ____.
[解析] 一个奇函数的定义域为,,，
函数的定义域关于原点对称，
，或，，
.
11.为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，
按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按
阶梯递增.第一阶梯，月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为0.5
元/千瓦时；第二阶梯，月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时
的部分，电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯，月用电量超过400千瓦时
的部分，电价为0.8元/千瓦时.若该城市某户居民某月缴纳的电费为
360元，则此户居民该月的用电量为_____千瓦时.
580
[解析] 设此户居民该月的用电量为千瓦时，电费为 元，
由题知 .
当时，由，解得 ，不满足题意；
当时，由，解得 ，
不满足题意；
当时，由 ，解得 ，满足题意.
故此户居民该月的用电量为580千瓦时.
12.已知函数的定义域为，且 ，若
，则___, 是____
（填“奇”或“偶”）函数.
0
奇
[解析] 令,,则有 ,
又,所以,即.
令, ,则有,
即 ,由,可得,
又,所以.
令 , 则有,即 ,
易知函数 是奇函数.
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）求下列函数的值域：
（1） ；
解: ，因为，
所以 ，即 ，得 ，
故函数的值域为 .
13.（13分）求下列函数的值域：
（2） ．
解: ,由,得,
所以函数的定义域为 .
令,则, , .
因为函数在上单调递减,在 上单调递增,
所以当时函数取得最小值,最小值为 ,
故函数的值域为 .
14.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当 时，
，其中 .
（1）求函数 的解析式；
解：函数是定义在 上的奇函数，则，
设，则 ， .
又函数 为奇函数，所以 ，即 ，
所以函数
14.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当 时，
，其中 .
（2）若函数的单调递减区间为，求不等式 的解集.
解：因为函数的单调递减区间为 ，所以在区间上
单调递减，可得 图象的对称轴方程为，
所以 ，所以
由得 或即 或
解得或 ，所以原不等式的解集为或 .
15.（15分）［2025·重庆南开中学高一期中］ 给定函数 ，若存
在实数使得，则称为函数 的不动点，若存在实数
使得，则称为函数 的稳定点.
（1）求函数 的不动点.
解：令，得，
整理得，解得 或 ，经检验知均满足要求，
故函数的不动点为 和3.
15.（15分）［2025·重庆南开中学高一期中］ 给定函数 ，若存
在实数使得，则称为函数 的不动点，若存在实数
使得，则称为函数 的稳定点.
（2）设，恰好有两个稳定点和 .
（ⅰ）求实数 的取值范围；
解： 令，得 ，
即 ，
得 ，
得，
由题意知方程 恰好有两个不同的实数解.
当，即时，方程化为 ，
仅有一个实数解 ，不满足题意；
当时，要使方程 恰好有两个不同的实数解，
则无实数解或
方程 仅有一个实数解为1或者 ，
故或 或
可得或 .
综上，实数的取值范围为 .
15.（15分）［2025·重庆南开中学高一期中］ 给定函数 ，若存
在实数使得，则称为函数 的不动点，若存在实数
使得，则称为函数 的稳定点.
（2）设，恰好有两个稳定点和 .
（ⅱ）若对任意的，，求实数 的取
值范围.
解： 方法一：由知,的两个稳定点为 和1,
因为对任意的,,
所以取 ,得 , 解得,
所以, ,由,解得 .
由知, ,故,
故对任意的, .
当时,,对任意的,成立.
当时, ,令,当 时,
因为, , 所以 ,
又 ,
故在上单调递减,在 上单调递增,
注意到等价于 ,
故 ,
所以当时, 的取值范围为,
即的取值范围为 .
由题意得解得 .
综上,实数的取值范围为 .
方法二：由知,的两个稳定点为和1,令 .
当时,,故, ,
则对任意的, ,
此时函数图象的对称轴方程为 .
当时,,
此时在 上单调递减,在 上单调递增,
又, ,
故 ,
又,
故在 上单调递减,在 上单调递增,
注意到等价于 ,
故 ,
所以当时,
的取值范围为 ,
即的取值范围为.
由题意得 无解.
当时,,在 上单调递增,
当时,, ,
即的取值范围为 ,不满足题意,舍去.
当时,,故, ,
则对任意的,,此时函数 图象的
对称轴方程为 .
当时,,在 上单调递增,
当时,, ,
即的取值范围为 , 由题意得解得 .
当时,,
在 上单调递减,在 上单调递增,
,,故 ,
又 ,
故在上单调递减,在 上单调递增,
注意到等价于 , 故 ,
所以当时, 的取值范围为,
即的取值范围为 .
由题意得解得 .
综上,实数的取值范围为 .
快速核答案
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B
二、8.BD 9.AD
三、10. 11.580 12.0 奇
四、13.（1）（2）
14.（1）（2）或
15.（1）和3（2）（ⅰ）（ⅱ） 