本章总结提升
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
1.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( )
2.若两个函数的对应关系和定义域都相同,则它们是同一个函数. ( )
3.任何一个函数都可以用图象法表示. ( )
4.函数f(x)=x-1(x∈N)与g(x)=x-1(x∈Z)的图象相同. ( )
5.函数y=·与函数y=是同一个函数. ( )
6.若f(x)在区间D上单调递减,则f(x)在此区间上的函数值随自变量的增大而减小. ( )
7.函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(-∞,1). ( )
8.已知函数f(x)=x+,则f(x)的最小值是2. ( )
9.函数f(x)=x|x|既是奇函数,也是增函数. ( )
◆ 题型一 函数的概念
[类型总述] (1)函数的定义域;(2)函数的值域和最值;(3)求函数值.
例1 (1)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,4],则函数y=的定义域为 ( )
A. B.
C.(1,9] D.
(2)已知函数g(x)满足g(+2)=x+4-6,则g(x)的最小值是 ( )
A.-6 B.-8
C.-9 D.-10
(3)已知a∈R,函数f(x)=
若f[f()]=3,则a= .
变式 (1)已知函数f(x)=的值域为R,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)函数y=+的定义域为 .
◆ 题型二 函数的单调性与奇偶性
[类型总述] (1)函数单调性的判断与证明;(2)利用函数单调性求最值;(3)利用函数单调性求参数;(4)利用函数奇偶性求参数;(5)函数单调性与奇偶性的综合应用.
例2 已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在(-3,3)上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
变式 (1)[2025·湖北华师大一附中高一月考] 已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0成立,则实数a的取值范围是 .
(2)[2025·宜昌高一期中] 已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2,若f(1)=2024,则不等式f(x-2024)>2(x-1013)的解集为 ( )
A.(2023,+∞) B.(2024,+∞)
C.(2025,+∞) D.(1012,+∞)
(3)若f(x)为定义在R上的单调函数,且满足对任意x∈R,都有f[f(x)-x]=2,则f(3)的值为 ( )
A.4 B.6
C.7 D.10
(4)已知函数f(x)=是定义在(-2,2)上的奇函数,且a>0.
①求b的值,并用定义证明函数f(x)是(-2,2)上的增函数;
②若对任意t∈(0,1),都有f(t2-m)+f(1-t)<0,求实数m的取值范围.
例3 (1)(多选题)[2025·湖北随州高一阶段练] 若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=f(-x)
B.f(2+x)+f(2-x)=0
C.f(-x)=-f(x+4)
D.f(x+2)=f(x-2)
(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 ( )
A.f=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
变式 (1)已知函数y=f(x+1)-1为定义在R上的奇函数,则f(-1011)+f(-1010)+f(-1009)+…+f(1012)+f(1013)= .
(2)(多选题)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,f(x)不是常函数,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则下列说法正确的有 ( )
A.f(x)的图象关于点(-1,0)对称
B.对任意x∈R,都有g(x)=g(x+4)
C.g(2027)=0
D.对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)
◆ 题型三 函数的图象及应用
[类型总述] (1)作函数图象;(2)利用函数图象求单调区间;(3)利用函数图象求最值;(4)函数图象的综合应用.
例4 已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=-x2+2x+1.
(1)在图①的平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)的图象;
(2)记m(x)=min{f(x),g(x)}=求出函数m(x)的解析式,在图②的平面直角坐标系中作出m(x)的图象,并写出m(x)的单调区间.
变式 (1)已知定义在[-3,3]上的函数f(x)的图象如图所示,给出下列四个说法:
①函数f(x)的值域为[-2,2];
②函数f(x)的单调递减区间为[-1,1];
③方程f(x)=0仅有2个不同的根;
④存在实数a,使得f(a)+f(-a)=0.
其中所有正确说法的序号是 ( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
(2)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3]∪{-1}
B.(1,3)∪{-1}
C.(1,3)
D.(1,3]
◆ 题型四 幂函数的性质及应用
[类型总述] (1)幂函数的图象;(2)幂函数的性质.
例5 (1)在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4bx与幂函数y=(x>0)的图象可能为 ( )
A B C D
(2)(多选题)[2025·衢州六校高一期中] 已知幂函数f(x)的图象经过点,则 ( )
A.函数f(x)为奇函数
B.f(4)=
C.函数f(x)的值域为R
D.当x2>x1>0时,>f
(3)已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增.
①求m的值;
②设函数g(x)=2x-k,当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的取值范围分别为A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要条件,求实数k的取值范围;
③设F(x)=f(x)-bx+1-b2,且y=|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数b的取值范围.
◆ 题型五 函数的应用
[类型总述] (1)已知函数模型,解决成本最低、利润最高等问题;(2)解决方案选择问题.
例6 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入,持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,最近十年,我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2023年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本500万元,每生产x百台高级设备需要另投入成本y万元,且y=100x∈N.每百台高级设备售价为80万元,假设每年生产的高级设备能够全部售出,且高级设备年产量最大为10 000台.
(1)求企业所获年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式.
(2)当年产量为多少时,企业所获年利润最大 并求最大年利润.
变式 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目,n(n∈N*)年内的总维修保养费用为(4n2+20n)万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底,该项目的纯利润为y万元.(纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本)
(1)求y与n的函数关系式,试问该项目从第几年起开始盈利
(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:
①年平均利润最大时,72万元转让该项目;
②纯利润最大时,8万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展 请说明理由.
本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] 在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.
2.√ [解析] 当两个函数的对应关系和定义域都相同时,它们的值域也相同,故它们是同一个函数.
3.× [解析] 有些函数是不能画出图象的,如f(x)=
4.× [解析] 两函数的定义域不同,所以图象不同.
5.√ [解析] 对于y=·,要使函数有意义,需满足解得-1≤x≤1,∴该函数的定义域为{x|-1≤x≤1}.对于y=,要使函数有意义,需满足1-x2≥0,解得-1≤x≤1,故y=的定义域为{x|-1≤x≤1},又∵y=·=,∴两函数的对应关系和定义域均相同,故它们是同一个函数.
6.√
7.× [解析] 由题意知解得x<1且x≠,故f(x)的定义域为∪.
8.× [解析] 当x>0时,f(x)=x+≥2,当且仅当x=1时等号成立;当x<0时,f(x)=x+≤-2,当且仅当x=-1时等号成立.故f(x)无最小值.
9.√ [解析] 由函数f(x)=x|x|=可得其定义域为R,且满足f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)=x|x|为奇函数.根据二次函数的图象与性质,可得函数f(x)=x|x|在定义域上为增函数.
【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)A (3)1 [解析] (1)因为函数y=f(x)的定义域为[-1,4],所以要使函数y=有意义,需满足解得1(2)由g(+2)=x+4-6,设t=+2(t≥2),则x=(t-2)2,得g(t)=(t-2)2+4t-8-6=t2-10(t≥2),故g(t)min=g(2)=-6,即当x=0时,函数g(x)取得最小值-6,故选A.
(3)因为f(x)=所以f()=5-4=1,则f[f()]=f(1)=2+a=3,解得a=1.
变式 (1)A (2)[-2,1)∪(1,3]
[解析] (1)当x≥1时,f(x)=x2≥1,当x<1时,f(x)=(1-2m)x+3m,要使f(x)的值域为R,则需解得0≤m<,所以m的取值范围是.故选A.
(2)由y=+,得解得-2≤x≤3且x≠1,故该函数的定义域为[-2,1)∪(1,3].
题型二
例2 解:(1)根据题意,函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,则f(0)==0,解得b=0.又由f(1)=,得f(1)==,解得a=2,所以f(x)=,经检验,满足题意.
(2)f(x)=在(-3,3)上单调递增.证明:任取x1,x2∈(-3,3),且x1,
因为-30,x1-x2<0,9->0,9->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(3)根据题意,f(t-1)+f(t)<0,
则f(t-1)<-f(t),则f(t-1)变式 (1)[2,3] (2)C (3)A
[解析] (1)不妨设x10,由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0,得f(x2)-f(x1)<0,则函数f(x)在R上单调递减.当x≤1时,若f(x)=x2-ax+5单调递减,则≥1,即a≥2;当x>1时,若f(x)=单调递减,则a>0.又函数f(x)在R上单调递减,所以1-a+5≥a,即a≤3.综上所述,2≤a≤3,所以a的取值范围是[2,3].
(2)由>2,
得>0,令g(x)=f(x)-2x,则>0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(1)=2024,得g(1)=2022.由f(x-2024)>2(x-1013),得f(x-2024)-2(x-2024)>2022,即g(x-2024)>g(1),则x-2024>1,解得x>2025,所以原不等式的解集为(2025,+∞).故选C.
(3)因为f(x)为定义在R上的单调函数,且满足对任意x∈R,都有f[f(x)-x]=2,所以f(x)-x=k,k为常数,故f(x)=x+k,且f(k)=2,故k+k=2,解得k=1,所以f(x)=x+1,则f(3)=3+1=4.故选A.
(4)解:①根据题意,函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,则f(0)=0,即f(0)==0,解得b=0,故f(x)=,则f(-x)==-=-f(x),故f(x)为奇函数.
设-2因为-20,4->0,4->0,
又a>0,故f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)②根据题意,f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且在(-2,2)上单调递增,
由f(t2-m)+f(1-t)<0,得f(t2-m)<-f(1-t),即f(t2-m)故mt2-2,m>t2-t+1均对任意t∈(0,1)恒成立,可得1≤m≤2,故m的取值范围为[1,2].
例3 (1)ABC (2)B [解析] (1)对于A,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),故A正确;对于B,因为f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(4+x)=-f(-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故B正确;对于C,由B选项知f(4+x)=-f(-x),所以f(-x)=-f(x+4),故C正确;对于D,由A选项知f(x)=f(-x),由C选项知f(-x)=-f(x+4),所以f(x+4)=-f(x),于是f(x+8)=-f(x+4)=f(x),而由f(x+2)=f(x-2)得f(x+4)=f(x),故D错误.故选ABC.
(2)方法一:常规推导.∵f(x+2)是偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).∵f(2x+1)是奇函数,∴f(-2x+1)=-f(2x+1).由F(x)=f(2x+1)是奇函数,可得F(0)=f(1)=0,∴f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他几个选项不一定成立,故选B.
方法二:特殊函数秒杀.由f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,可取f(x)=cos,可得f(-1)=0,其他几个选项均不成立,故选B.
变式 (1)2025 (2)BCD [解析] (1)因为函数y=f(x+1)-1为定义在R上的奇函数,所以f(x)图象的对称中心为(1,1),则f(1)=1,且f(2-x)+f(x)=2,所以f(-1011)+f(-1010)+f(-1009)+…+f(1012)+f(1013)=[f(-1011)+f(1013)]+[f(-1010)+f(1012)]+…+[f(0)+f(2)]+f(1)=2×1012+1=2025.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),f(0)=0. 因为g(x)=f(x+1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(-x+2),所以f(-x)=f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x).对于A,-f(-x-2)=f(x+2)=-f(x)≠f(x),故f(x)的图象不关于点(-1,0)对称,A错误;对于B,g(x)=f(x+1)=f(x+5)=g(x+4),B正确;对于C,g(2027)=g(4×507-1)=g(-1)=f(0)=0,C正确;对于D,f(1-x)=f[-(1-x)+2]=f(1+x),D正确.故选BCD.
题型三
例4 解:(1)作出f(x),g(x)的图象如图所示.
(2)令f(x)=g(x),即|x-1|=-x2+2x+1.当x≥1时,x-1=-x2+2x+1,得x=2;当x<1时,1-x=-x2+2x+1,得x=0.
结合图象可知,当x<0时,f(x)>g(x);当0≤x≤2时,f(x)≤g(x);
当x>2时,f(x)>g(x).
∴m(x)=作出m(x)的图象如图所示,由图可知,m(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(1,2),单调递减区间为(0,1)和(2,+∞).
变式 (1)D (2)A [解析] (1)由图象可知,函数f(x)的最大值大于2,最小值小于-2,所以①错误;由图象可知,函数f(x)的单调递减区间为[-1,1],所以②正确;由图象可知,方程f(x)=0有3个不同的根,所以③错误;当a=1时,有f(a)+f(-a)=f(1)+f(-1)=-2+2=0,所以④正确.故选D.
(2)当x≤0时,f(x)=x2+4x+3在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,所以当x=-2时,f(x)在(-∞,0]上有最小值-1,且f(0)=3;当x>0时,f(x)=-2x2+4x-1在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,f(x)在(0,+∞)上有最大值1.作出函数f(x)的图象如图所示.由图可知,若关于x的方程f(x)-a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为(1,3]∪{-1}.故选A.
题型四
例5 (1)D (2)AD [解析] (1)当a>0,b>0时,二次函数y=ax2+4bx的图象开口向上,对称轴方程为x=-<0,幂函数y=(x>0)在(0,+∞)上是增函数,对于C,由题意可得此时-=-2,得b=a,所以幂函数y==x,不满足题意,故C不正确;当a>0,b<0时,二次函数y=ax2+4bx的图象开口向上,对称轴方程为x=->0,幂函数y=(x>0)在(0,+∞)上是减函数,对于D,由题意可得此时-=2,得b=-a,所以幂函数y==x-1=,满足题意,故D正确;当a<0,b>0时,二次函数y=ax2+4bx的图象开口向下,对称轴方程为x=->0,幂函数y=(x>0)在(0,+∞)上是减函数,对于B,由题意可得此时-=2,得b=-a,所以幂函数y==x-1=,不满足题意,故B不正确;当a<0,b<0时,二次函数y=ax2+4bx的图象开口向下,对称轴方程为x=-<0,幂函数y=(x>0)在(0,+∞)上是增函数,对于A,由题意可得此时-=-1,得=,所以幂函数y==,不满足题意,故A不正确.故选D.
(2)设幂函数f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象经过点,所以=2α,故α=-1,所以f(x)=,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故A正确;f(4)=,故B错误;显然f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故C错误;当x2>x1>0时,-f=-=-=
>0,故>f,故D正确.故选AD.
(3)解:①由幂函数的定义得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,舍去;
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
综上可知,m=0.
②由①得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).
当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).
由p是q的必要条件,得B A,显然B≠ ,则即
所以实数k的取值范围为[0,1].
③由①可得F(x)=x2-bx+1-b2,二次函数F(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=.
要使y=|F(x)|在[0,1]上单调递增,
只需或
解得-1≤b≤0或b≥2,所以实数b的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞).
题型五
例6 解:(1)当0≤x<40,100x∈N时,P=80x-(x2+20x)-500=-x2+60x-500;当40≤x≤100,100x∈N时,P=80x--500=-x-+625.
所以P=
100x∈N.
(2)当0≤x<40,100x∈N时,P=-(x-30)2+400,
所以当x=30时,Pmax=400;
当40≤x≤100,100x∈N时,P=625-≤625-×2=325,当且仅当x=,即x=60时取等号.因为400>325,所以当年产量为30百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为400万元.
变式 解:(1)由题意可知y=100n-(4n2+20n)-144=-4n2+80n-144(n∈N*).令y>0,得-4n2+80n-144>0,解得2(2)若选择方案①,设年平均利润为y1万元,则y1==80-4≤80-4×2=32,当且仅当n=,即n=6时等号成立,所以当n=6时,y1取得最大值32,此时该项目共获利32×6+72=264(万元).
若选择方案②,因为y=-4n2+80n-144=-4(n-10)2+256,所以当n=10时,y取得最大值256,此时该项目共获利256+8=264(万元).
以上两种方案获利均为264万元,但方案①只需6年,而方案②需10年,所以方案①更有利于该公司的发展.(共59张PPT)
本章总结提升
题型一 函数的概念
题型二 函数的单调性与奇偶性
题型三 函数的图象及应用
题型四 幂函数的性质及应用
题型五 函数的应用
答案核查
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
1.在函数的定义中，集合 是函数的值域.( )
×
[解析] 在函数的定义中，函数的值域是集合 的子集.
2.若两个函数的对应关系和定义域都相同，则它们是同一个函数.
( )
√
[解析] 当两个函数的对应关系和定义域都相同时,它们的值域也相同，
故它们是同一个函数.
3.任何一个函数都可以用图象法表示.( )
×
[解析] 有些函数是不能画出图象的，如
4.函数与 的图象相同.( )
×
[解析] 两函数的定义域不同,所以图象不同.
5.函数与函数 是同一个函数.( )
√
[解析] 对于,要使函数有意义,需满足
解得, 该函数的定义域为 .
对于，要使函数有意义，需满足 ，
解得，故的定义域为 ,
又,
两函数的对应关系和定义域均相同,故它们是同一个函数.
6.若在区间上单调递减，则 在此区间上的函数值随自变量
的增大而减小.( )
√
7.函数的定义域为 .( )
×
[解析] 由题意知解得且，
故 的定义域为 .
8.已知函数,则 的最小值是2.( )
×
[解析] 当时,，当且仅当 时等号成立;
当时,，当且仅当时等号成立.
故 无最小值.
9.函数 既是奇函数，也是增函数.( )
√
[解析] 由函数可得其定义域为 ，
且满足，
所以函数 为奇函数.
根据二次函数的图象与性质,可得函数 在定义域上为增函数.
题型一 函数的概念
［类型总述］（1）函数的定义域;（2）函数的值域和最值;（3）求
函数值.
例1（1）已知函数的定义域为，则函数 的
定义域为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数的定义域为 ,
所以要使函数有意义,需满足解得 ，
则函数的定义域为 .
故选B.
（2）已知函数满足，则 的最小值
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，设 ,
则,得 ，
故，即当时，函数取得最小值 ，
故选A.
√
（3）已知，函数若 ，
则 ___.
1
[解析] 因为所以 ，
则，解得 .
变式（1）已知函数的值域为 ，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，
当 时，，
要使的值域为 ，则需解得，
所以的取值范围是 .
故选A.
√
（2）函数 的定义域为______________.
[解析] 由，得
解得且，
故该函数的定义域为 .
题型二 函数的单调性与奇偶性
［类型总述］（1）函数单调性的判断与证明;（2）利用函数单调性
求最值;（3）利用函数单调性求参数;（4）利用函数奇偶性求参数;
（5）函数单调性与奇偶性的综合应用.
例2 已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
解：根据题意，函数是定义在 上的奇函数，
则,解得.
又由，得，解得 ，
所以 ，经检验，满足题意.
例2 已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（2）判断在 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
解：在上单调递增.
证明：任取, ，且,
则 ,
因为,
所以,, , ,
所以 ,即,
故函数在 上单调递增.
例2 已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（3）解关于的不等式 .
解：根据题意， ，
则，则，
所以 解得,
故不等式的解集为 .
变式（1）［2025·湖北华师大一附中高一月考］已知函数
满足对任意实数 ，都有
成立，则实数 的取值范围是______.
[解析] 不妨设，则 ，
由，得，
则函数 在上单调递减.
当时，若单调递减，则 ，即；
当时，若单调递减，则.
又函数 在上单调递减，所以，即.
综上所述， ，所以的取值范围是 .
（2）［2025·宜昌高一期中］已知定义在上的函数 满足
对任意的,，，都有 ，若
，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，得，
令，则 ，
故函数在上单调递增.
由，得 .
由 ，得，
即 ，则，解得，
所以原不等式的解集为 .
故选C.
（3）若为定义在上的单调函数,且满足对任意 ,都有
,则 的值为( )
A.4 B.6 C.7 D.10
[解析] 因为为定义在上的单调函数,且满足对任意 ,
都有,所以,为常数,
故 ,且,故,解得,
所以 ,则 .
故选A.
√
（4）已知函数是定义在上的奇函数,且 .
①求的值,并用定义证明函数是 上的增函数;
解：根据题意,函数是定义在上的奇函数,
则 ,即,解得,故 ,
则,故 为奇函数.
设 ,则 ,
因为,
所以,, ， ，
又，故 , 即,
故是 上的增函数.
（4）已知函数是定义在上的奇函数,且 .
②若对任意,都有,求实数 的取值范围.
解：根据题意,是定义在上的奇函数,且在 上单调递增,
由，得 ，
即,
则对任意 恒成立,
故,，均对任意 恒成立，
可得,故的取值范围为 .
例3（1）（多选题）［2025·湖北随州高一阶段练］ 若定义在 上的
偶函数的图象关于点 对称，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,因为是定义在上的偶函数,所以 ,
故A正确；
对于B,因为的图象关于点 对称,
所以,即 ,故B正确；
对于C,由B选项知,所以 ,故C正确；
对于D,由A选项知,由C选项知 ,
所以,于是 ,
而由得,故D错误.
故选 .
（2）已知函数的定义域为,且是偶函数， 是
奇函数,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一:常规推导.
是偶函数,
是奇函数, .
由 是奇函数,可得，
,其他几个选项不一定成立，故选B.
方法二:特殊函数秒杀.
由是偶函数， 是奇函数,可取，
可得 ，其他几个选项均不成立，
故选B.
变式（1）已知函数为定义在 上的奇函数，则
______.
2025
[解析] 因为函数为定义在上的奇函数，
所以 图象的对称中心为,则,且，
所以
.
（2）（多选题）已知函数为定义在上的奇函数, 不是常函
数，且 为偶函数,则下列说法正确的有( )
A.的图象关于点 对称
B.对任意,都有
C.
D.对任意，都有
√
√
√
[解析] 因为为定义在上的奇函数,所以 ,.
因为为偶函数,所以 的图象关于直线对称,
则，所以 ,
则
对于A,,
故 的图象不关于点对称,A错误;
对于B, ,B正确;
对于C, ,C正确;
对于D,,D正确.故选 .
题型三 函数的图象及应用
［类型总述］（1）作函数图象；（2）利用函数图象求单调区间；
（3）利用函数图象求最值；（4）函数图象的综合应用.
例4 已知函数， .
（1）在图①的平面直角坐标系中作出函数, 的图象；
解：作出, 的图象如图所示.
例4 已知函数， .
（2）记,求出函数
的解析式，在图②的平面直角坐标系中作出 的图象，并写出
的单调区间.
解：令，即.
当 时，，得；
当 时，，得 .
结合图象可知，当时，；
当 时， ；
当时， .
作出
的图象如图所示，由图可知，
的单调递增区间为和 ，
单调递减区间为和 .
变式（1）已知定义在上的函数
的图象如图所示，给出下列四个说法:
①函数的值域为 ；
②函数的单调递减区间为 ；
③方程 仅有2个不同的根；
④存在实数，使得 .
其中所有正确说法的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
√
[解析] 由图象可知，函数 的最大值大于2，最小值小于 ，
所以①错误；
由图象可知，函数 的单调递减区间为 ，所以②正确；
由图象可知，方程 有3个不同的根，所以③错误；
当 时，有 ，
所以④正确.
故选D.
（2）已知函数若关于 的方程
有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时， 在上单调递减，
在 上单调递增，
所以当时，在上有最小值 ，且；
当时， 在上单调递增，
在上单调递减，所以当时， 在上有最大值1.
作出函数 的图象如图所示.
由图可知，若关于的方程有两个不
同的实数根，则实数 的取值范围为 .
故选A.
题型四 幂函数的性质及应用
［类型总述］（1）幂函数的图象；（2）幂函数的性质.
例5（1）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与幂函
数 的图象可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当,时,二次函数 的图象开口向上,
对称轴方程为,幂函数在 上是增函数,
对于C,由题意可得此时,得 ,所以幂函数,
不满足题意,故C不正确；
当, 时,二次函数的图象开口向上,对称轴方程
为 ,幂函数在 上是减函数,
对于D,由题意可得此时,得,所以幂函数 ,
满足题意,故D正确；
当,时,二次函数 的图象开口向下,
对称轴方程为,幂函数在 上是减函数,
对于B,由题意可得此时,得 ,所以幂函数,
不满足题意,故B不正确；
当, 时,二次函数的图象开口向下,对称轴方程
为 ,幂函数在 上是增函数,
对于A,由题意可得此时,得,所以幂函数 ,
不满足题意,故A不正确.
故选D.
（2）（多选题）［2025·衢州六校高一期中］ 已知幂函数 的图
象经过点 ，则( )
A.函数 为奇函数
B.
C.函数的值域为
D.当时，
√
√
[解析] 设幂函数 ,因为幂函数的图象经过点 ,
所以 ,故,所以, 的定义域为,
又,所以函数 为奇函数,故A正确；
,故B错误；
显然 的值域为,故C错误；
当 时,
,故,故D正确.
故选 .
（3）已知幂函数在 上单调递增.
①求 的值;
解：由幂函数的定义得,解得或 .
当时,在 上单调递减,不符合题意,舍去;
当时,在 上单调递增,符合题意.
综上可知, .
（3）已知幂函数在 上单调递增.
②设函数，当时,记, 的取值范围分别
为,,设,,若是的必要条件,求实数 的取值范围;
解：由①得,当时,,即 .
当时,,即 .
由是的必要条件,得,显然 ,则即
所以实数的取值范围为 .
（3）已知幂函数在 上单调递增.
③设,且在 上单调递增,求实
数 的取值范围.
解：由①可得,
二次函数 的图象开口向上,对称轴方程为 .
要使在 上单调递增,
只需或
解得或，所以实数的取值范围为 .
题型五 函数的应用
［类型总述］（1）已知函数模型，解决成本最低、利润最高等问题；
（2）解决方案选择问题.
例6 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新
材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新
构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创
技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主
创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款
具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生
产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产 百台高级设备
需要另投入成本 万元，且
.每百台高级设备售
价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备
年产量最大为10 000台.
（1）求企业所获年利润（万元）关于年产量 （百台）的函数关系式.
解：当， 时，
；
当， 时，
.
所以 .
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
解：当，时， ，
所以当时， ;
当， 时，
，
当且仅当，即时取等号.
因为 ，所以当年产量为30百台时，企业所获年利润最大，
最大年利润为400万元.
变式 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目， 年内
的总维修保养费用为 万元，该项目每年可给公司带来
100万元的收入.假设到第年年底，该项目的纯利润为 万元.
（纯利润 累计收入-总维修保养费用-投资成本）
（1）求与 的函数关系式，试问该项目从第几年起开始盈利？
解：由题意可知
.
令，得，解得，
又 ，所以该项目从第3年起开始盈利.
变式 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目， 年内
的总维修保养费用为 万元，该项目每年可给公司带来
100万元的收入.假设到第年年底，该项目的纯利润为 万元.
（纯利润 累计收入-总维修保养费用-投资成本）
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以
下两种处理方案：
①年平均利润最大时，72万元转让该项目；
②纯利润最大时，8万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由.
解：若选择方案①，设年平均利润为 万元，
，
当且仅当 ,即时等号成立,所以当时, 取得最大值32,
此时该项目共获利 （万元）.
若选择方案②,因为 ,
所以当时, 取得最大值256,
此时该项目共获利 （万元）.
以上两种方案获利均为264万元,但方案①只需6年,而方案②需10年，
所以方案①更有利于该公司的发展.
快速核答案
知识辨析 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.× 9.√
素养提升 题型一 例1（1）B（2）A（3）1 变式（1）A （2）
题型二 例2（1）单调递增.证明略 （3）
变式 （1） （2）C （3）A （4）①证明略 ②
例3（1）ABC （2）B 变式（1）2025 （2）BCD 题型三例4 （1）如图. .
（2） 如图
的单调递增区间为和，
单调递减区间为和. 变式 （1）D （2）A
题型四 例5 （1）D （2）AD （3）①m> ② ③
题型五 例6 （1）
（2）当年产量为30百台时，企业所获年利润最大，最大年利润为400万元
变式 （1）. 该项目从第3年起开始盈利
（2）方案①更有利于该公司的发展
