2025年湖北省武汉外国语学校中考数学调研试卷（四）（含答案）

2025年湖北省武汉外国语学校中考数学调研试卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐.下列是用小篆书写的“天道酬勤”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.有两个事件，事件（1）在十字交叉路口，遇到红灯亮起；（2）掷一枚硬币，国徽面朝上.下列判断正确的是（　　）
A. （1）是随机事件，（2）是确定性事件 B. （1）（2）都是确定性事件
C. （1）是确定性事件，（2）是随机事件 D. （1）（2）都是随机事件
3.如图是一个水平放置的半球体，关于该几何体的三视图描述正确的是 （　　）
A. 主视图和左视图相同
B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同
D. 三个视图都不相同
4.中国纳米材料研究取得了引人注目的成就.纳米颗粒是指在1至100纳米之间的微粒.纳米和米都是长度的单位，其中1纳米等于10-9米.我们常用的刻度尺最小单位往往是毫米，那么1毫米化为纳米用科学记数法表示是（　　）
A. 105纳米 B. 106纳米 C. 107纳米 D. 108纳米
5.下列计算正确的是（　　）
A. （a2）3 （-a）=-a6 B. （-a3）2 a=a6
C. （-a2）3÷a=-a5 D. （-a3）2÷（-a）=a4
6.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，DA=BA=BC，△ABE为正三角形，若∠ABC=80°，则∠DEC的大小是（　　）
A. 90°
B. 120°
C. 140°
D. 160°
7.两个盒子中分别放3张扑克牌，其中一个盒子里的点数为2，4，6等三个偶数，另一个盒子里的点数为3，5，7等三个奇数.甲同学从三个偶数中随机抽出一张，乙同学从三个奇数中随机抽出一张.他们约定，抽出的点数更大者获胜，则甲获胜的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,y与x的函数关系图象如图所示，则该封闭图形可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，进行下列尺规作图：①将半径为的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③从点G引出⊙O的切线与AD所在的直线围成三角形.此三角形的面积是（　　）
A. 4
B.
C. 6
D.
10.已知m,n是方程x2-x+1=0的两个根．记S1=，S2=，…，St=（t为正整数）．若S1+S2+…St=t2-56，则t的值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.武汉关的设防水位是25m,以它为基准点，高于25m的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到29.43m,记作+4.43m,2025年4月份，武汉关的最高水位是16m,记作 m.
12.已知正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为______．
13.分式方程的解是 .
14.近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm,上部显示屏EF的长度为30cm,侧面支架EC的长度为100cm,∠ECD=80°，∠FEC=130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为______cm.（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
15.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长BH交CD于点M，连接AH并延长交CD于点N，若，则正方形ABCD与正方形EFHG的面积的比值为______（用含k的式子表示）.
16.对于实数a,b,定义一种运算F（a,b），当a=b,则F（a,b）=a=b,当a＜b,则F（a,b）=a,当a＞b,则F（a,b）=b.对于函数y=F（x+1，x2-2x+1），下列结论：①点（3，4）在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x＞-1时，函数有最小值为0；④若直线y=kx+b与函数图象有唯一的公共点，则k=1，；⑤若直线y=k（x-2）+1与函数图象有三个公共点，则0＜k＜1.其中正确的结论是 （填序号）.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解不等式组：.
18.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且BE=DF.下列三个命题：①∠AOE=90°，则四边形AECF是菱形；②∠EAF=90°，则四边形AECF是菱形；③∠EAF=90°，则四边形AECF是矩形.从中选一个命题，判断其真假，并说明理由.
19.(本小题9分)
某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动.为了解活动效果，随机从该校抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级.将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表.
成绩频数分布表
等级 成绩x 频数
A 90≤x＜100 46
B 80≤x＜90 n
C 70≤x＜80 32
D 0≤x＜70 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m,p的值；
（2）抽取的这m名学生中，其成绩的中位数落在______等级；
（3）该校有2000名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级.
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是上一点，AC=AE.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接BE，若，求BE的长.
21.(本小题9分)
如图是由小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点中，A，B是格点，C是网格线上一点.M是边BC的中点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的辅助画线不得超过三条.
（1）在图（1）中，依次完成下列三个画图任务：
①将边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，画线段AD；
②连接CD，画线段MN，使MN∥CD，且；
③画△ABC边AB上的高CE；
（2）在图（2）中，N是边AB的中点.当C是格点时，在边AC上取点F，使∠MFN=∠ABC.画所有符合条件的点F.
22.(本小题9分)
某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据.
x（元/件） 50 60 70
y（件） 1000 900 800
（1）求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
（3）规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围.
23.(本小题9分)
如图，在等腰△ABC中，D，E分别是两腰上的点.
（1）如图（1），若AD=AE，求证：BE=CD；
（2）如图（2），在等腰△ABC中，D是腰AB上的点，F是AC延长线上的点.DF⊥AB，BD=CF=2，DF=8.
①求BC的长；
②在腰AC上取点E，使BE=CD，直接写出符合条件的AE的长.
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.其中A（-3，0），D（-1，-4）.
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE=∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N.若是一个定值，求点P的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】-9
12.【答案】（1，-2）
13.【答案】
14.【答案】143
15.【答案】
16.【答案】①③
17.【答案】-2≤x＜1．
18.【答案】命题①③是真命题．
19.【答案】解：（1）m=200，p=57．
（2） B．
（3）2000×=460（人）．
∴约有460名学生的成绩达到A等级．
20.【答案】连接OE，AO，如图所示：
∵AC=AE，OC=OE，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SSS），
∵∠ACB=90°，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
BE=2
21.【答案】①②③
点F和点F′如图2所作．
设每个小正方形的边长为1，
∵M是边BC的中点，F是边AC的中点，
∴FM是△CBA的中位线，
∴FM∥AB，
同理FN∥BC，
∴四边形BNFM是平行四边形，
则∠MFN=∠ABC；
∵N是边AB的中点，Q是边AP的中点，
∴QN是△APB的中位线，
∴，
∵G是边FH的中点，
∴，
∴，
∵AP=CP，∠ACP=90°，
∴∠ACP=45°，
∵FN∥BC，
∴∠GFF′=∠ACP=45°=∠GF′F，
∴GF=GF′，
∵∠MGF=∠NGF′，
∴△MGF≌△NGF′（SAS），
∴∠MF′N=∠MFN，即∠MF′N=∠ABC
22.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（50，1000）（60，900）分别代入，
可得，
解得：
∴y关于x的函数关系式为y=-10x+1500；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w,
∵某周该商品的销售量不少于700件，
∴-10x+1500≥700，
解得：x≤80，
w=y（x-30）=（-10x+1500）（x-30）=-10（x-90）2+36000，
∵a＜0，在对称轴直线x=90的左侧，函数值w随自变量x的增大而增大，
∵x≤80，
∴x=80时，w有最大值，最大值为-10（80-90）2+36000=35000；
∴这周该商场销售这种商品获得的最大利润为35000元；
（3）若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，则进价为（30+m）元，
w=y（x-30-m）=（-10x+1500）（x-30-m）=-10x2+（1800+10m）-1500（30+m），
∵a＜0，抛物线对称轴为直线x==，
∴当x≤时，该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，
∵这种商品的售价不超过进价的2倍，
∴≥2（30+m），
解得：m≤20，
∴0＜m≤20．
23.【答案】∵在等腰△ABC中，AB=AC，
∴∠DBC=∠ECB，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD；
（2）①；
②符合条件的AE的长为6
24.【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（-3，0），D（-1，-4），将A，D两点坐标代入得：
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y=x2+2x-3；
（2）在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE=∠OAD，如图1，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，则∠EFC=∠DGA=90°，
∵A（-3，0），D（-1，-4），
∴AG=-1-（-3）=2，DG=4，
把x=0代入y=x2+2x-3得，y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
设点E（m,m2+2m-3），则EF=-m,OF=-（m2+2m-3），
∴CF=OC-OF=3+（m2+2m-3）=m2+2m,
∵∠OCE=∠OAD，
∴tan∠OCE=tan∠OAD，
∴，
即，
整理得，2m2+5m=0，
解得或m2=0（不合，舍去），
∴；
（3）过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设P（-1，t），
设直线FG的解析式为：y=kx+b,
∴t=-k+b,即b=k+t,
∴直线FG的解析式为：y=kx+k+t,
设F（x1，y1），G（x2，y2），
由，得x2+2x-3=kx+k+t,即：x2+（2-k）x-3-k-t=0，
∴x1+x2=k-2，x1x2=-3-k-t,
∴
=
∵线段FG的中点是M，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当4t+15=0时，即时，是定值，
∴．
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