2026届高三年级9月份联考
数学参考答案及解析
三、填空题
12．－21 【解析】 ，令2k－7＝3得k＝5，则系数为.故答案为－21.
13. 【解析】 由题意知本题是一个等可能事件，试验发生包含的事件是两个人各有9种不同的方法，共有81种结果，满足条件的事件是可以从每一层下，共有9种结果，则两个人在同一层离开电梯的概率是＝.故答案为.
14. 【解析】 由x2＋y2＝9，得T＝＋＝＋＝＋，表示P，A两点之间的距离，表示P，B两点之间的距离，则T＝＋≥|AB|＝，当且仅当A，P，B三点共线，且P在线段AB上时，取等号，所以T＝＋的最小值为.故答案为.
四、解答题
15．解：(1)零假设为H0：满意情况与游客的来源无关．(1分)
因为χ2＝
＝≈4.396<6.635，(3分)
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即满意情况与游客的来源无关．(5分)
(2)根据分层抽样的性质可知：选出5人中，满意人数为5×＝3，不满意人数为5－3＝2，(6分)
由题意可知：X＝1，2，3，(7分)
，
，
，(10分)
所以这3人中满意人数X的概率分布列为：
X 1 2 3
P
(11分)
E＝×1＋×2＋×3＝.(13分)
16．解：(1)法一：设点(x0，y0)在f上，
则由f的图象与g的图象关于直线x＝－1对称可知点(－2－x0，y0)在g上，(3分)
即y0＝ln(－2－x0)
＝ln，(6分)
因此f＝ln，(x<－2)．(7分)
法二：因为f的图象与g的图象关于直线x＝－1对称，所以g＝f.(2分)
又因为g＝ln＝ln，(3分)
所以f＝ln，(4分)
令t＝－1＋x，则x＝t＋1，
所以f＝ln(－1－(t＋1))
＝ln，(6分)
因此f＝ln，(x<－2)．(7分)
(2)证明：由f的图象与g的图象关于直线x＝－1对称可知，要证f≥0，即证g≥0.(10分)
法一：当x≥1时，x－1≥0，x＋1>0且ln x≥0，此时g＝ln x≥0；(12分)
当0
0且ln x<0，此时g＝ln x>0，(14分)
综上，g≥0，即f≥0.(15分)
法二：g′(x)＝，令φ(x)＝x－＋2ln x，
则φ′(x)＝1＋＋>0在上恒成立，
故φ在上单调递增，(12分)
因此当00时，φ≥φ＝0；
因此g在上单调递减，在上单调递增，
故g≥g＝0.(14分)
于是f≥0.(15分)
17．解：(1)由CD∥C1D1，CD 平面A1B1C1D1，C1D1 平面A1B1C1D1，可得CD∥平面A1B1C1D1，(2分)
故E到平面A1B1C1D1的距离为DD1＝2.(3分)
于是.(5分)
(2)法一：如图，取CC1的中点为F，取BC的中点为H，连接DH，DF，HF，D1E，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得∠D1DE＝∠DCF，DD1＝CD，
又E，F分别为CD，CC1的中点，
所以DE＝CF，故△D1DE≌△DCF，则∠FDC＝∠ED1D，
因为∠D1ED＋∠ED1D＝90°，所以∠D1ED＋∠FDC＝90°，
所以D1E与DF夹角为90°，即D1E⊥DF.
由正方体可得，A1D1⊥平面CC1D1D，
因为DF 平面CC1D1D，所以A1D1⊥DF，
因为A1D1，D1E 平面A1D1E，A1D1∩D1E＝D1，所以DF⊥平面A1D1E，
因为A1E 平面A1D1E，所以DF⊥A1E.(8分)
又由正方体可得B1C⊥HF，且CD⊥平面BB1C1C，
因为HF 平面BB1C1C，则EC⊥HF，
因为B1C∩EC＝C，B1C，EC 平面A1B1CE，所以HF⊥平面A1B1CE.
因为A1E 平面A1B1CE，则HF⊥A1E，(10分)
因为HF，DF 平面DHF，HF∩DF＝F，则A1E⊥平面DHF，
故△DHF即为过点D且与A1E垂直的平面截正方体的截面．(12分)
由正方体棱长为2易得DH＝，DF＝，FH＝，
在△DHF中，cos∠HDF＝，sin∠HDF＝，(13分)
则S△DHF＝×××＝.(15分)
法二：如图，以A为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，2，0)，A1(0，0，2)，E(1，2，0)，＝(1，2，－2)，(6分)
设CC1上有一点F(2，2，a)(0同理可在其他棱上解得只有点H(2，1，0)满足条件，(10分)
故△DHF即为过点D且与A1E垂直的平面截正方体的截面．(12分)
由正方体棱长为2易得DH＝，DF＝，FH＝，
在△DHF中，cos∠HDF＝，sin∠HDF＝，
则S△DHF＝×××＝.(15分)
18．解：(1)令f＝sin－＝0，得ωx－π＝2kπ＋π或ωx－π＝2kπ＋π，k∈N，
又由a1＝可得ω－π＝π，于是ω＝π.(3分)
(2)由－＋2kπ≤πx－π≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)在[＋2k，＋2k](k∈Z)上是增函数；
由＋2kπ≤πx－π≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)在[＋2k，＋2k](k∈Z)上是减函数．(6分)
所以f(x)在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减．(8分)
综上所述，f(x)的单调增区间为[＋2k，＋2k](k∈Z)．且f(x)在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减．(9分)
(3)由(1)知的奇数项为以a1＝为首项，T＝2为公差的等差数列，偶数项为以a2＝为首项，T＝2为公差的等差数列，(12分)
于是an＝，(14分)
当n为偶数时，Sn＝＝，(15分)
当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1
＝－[(n＋1)－]
＝，(16分)
综上所述，Sn＝.(17分)
19．解：(1)由S△ODE＝OD·OE·sin∠DOE＝4及OD＝5，OE＝2，可得sin∠DOE＝.(2分)
(2)(ⅰ)以O为原点，锐角∠DOE的角平分线为x轴建立平面直角坐标系，设OD倾斜角为θ，θ∈(0，)，
则2θ＝∠DOE，由sin 2θ＝＝，解得tan θ＝(舍去2)，(4分)
则可设A(a，a)，B(b，－b)，于是M(a，0)，N(b，0)，S△AOM＋S△BON＝·a·＋·b·＝，于是a2＋b2＝2.(5分)
法一：由四边形OARB为平行四边形可知＝＋，
故R点坐标为(x，y)＝(a＋b，)，于是＋y2＝＝1，
故C的方程为＋y2＝1.(7分)
法二：可设，由四边形OARB为平行四边形可知＝＋，故R点坐标为，于是，平方相加可得(x＋2y)2＋(x－2y)2＝8，化简可得C的方程为＋y2＝1.(7分)
(ⅱ)如图，因为以线段OP，OQ为直径的圆相交于异于原点的点G，
根据直径所对的圆周角为90°得到P，G，Q三点共线．且OG⊥PQ.(9分)
因为＝1，所以原点O到直线l的距离为1.(10分)
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1或x＝1.
当l：x＝1时，不妨设P，Q，
则＝，当l：x＝－1时，同理＝.(11分)
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
所以原点O到直线l的距离为＝1，则k2＋1＝m2.
联立，消元得x2＋8kmx＋4＝0，
则Δ＝－4×4>0，即k2>0，
设P，Q，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
由k2＋1＝m2，得k2＝m2－1>0，
则m2>1，(14分)
法一：＝
＝
＝4，
令t＝4m2－3，t>1，
则＝＝·＝.
由0<<1，所以当＝，即t＝3时，|PQ|max＝2，
综上可知，的最大值为2.(17分)
法二：＝
＝
＝4≤2×＝2，当且仅当3m2－3＝m2，即m＝±时等号成立，
综上可知，的最大值为2.(17分)序号 题号 试题形式 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度
1 1 客观题 选择题 5 单选题 三角函数 正弦函数值计算 掌握 数学运算 易
2 2 客观题 选择题 5 单选题 不等式 充分不必要条件推理判断 掌握 逻辑推理 易
3 3 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数运算 掌握 数学运算 易
4 4 客观题 选择题 5 单选题 集合 集合性质 掌握 数学运算 易
5 5 客观题 选择题 5 单选题 等比数列 等比数列性质 理解 数学运算 易
6 6 客观题 选择题 5 单选题 函数 函数与导数 理解 数学运算 中
7 7 客观题 选择题 5 单选题 立体几何 正四棱锥及其外接球 理解 数学运算 逻辑推理 中
8 8 客观题 选择题 5 单选题 函数与导数 根据导数性质求参数取值范围 理解 数学运算 逻辑推理 中
9 9 客观题 选择题 6 多选题 平面向量 投影向量 掌握 数学运算 数据分析 易
10 10 客观题 选择题 6 多选题 统计 频率分布直方图、众数、百分位数 掌握 数学运算 逻辑推理 中
11 11 客观题 选择题 6 多选题 函数与导数 函数与导数性质综合 理解 数学运算 逻辑推理 中
12 12 客观题 选择题 5 填空题 二项展开式 二项展开式求某一项系数 掌握 数学运算 易
13 13 客观题 填空题 5 填空题 概率 概率计算 掌握 数学运算 数据分析 中
14 14 客观题 填空题 5 填空题 圆 圆的方程，点到圆的距离公式、求最值 理解 数学运算 数据分析 难
15 15 客观题 填空题 13 解答题 成对数列的统计分析 独立性检验、分布列及数学期望 掌握 数学运算 数据分析 易
16 16 客观题 填空题 15 解答题 函数与导数 函数与导数综合 掌握 数学运算 逻辑推理 易
17 17 主观题 解答题 15 解答题 空间向量与立体几何 求三棱锥体积、截面面积 了解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中
18 18 主观题 解答题 17 解答题 三角函数与数列 三角函数性质、数列求和 了解 数学运算 逻辑推理 中
19 19 主观题 解答题 17 解答题 圆锥曲线综合 椭圆性质综合 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难参考答案及解析
数学
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数学参考答案及解析
一、选择题
√O2B-O0O店=4√2，BC=√W2OB=8,PB=
L,A【解析】sin600°=sin240°=-in60°=-号.声
√/OB十OP=45,易求得S△Pc=16V2,SE方形，D
选A
=64,S表W阳=S正方形ABD十4S△Pc=64(W2十1).故
2.B【解析】取a=一2，b=1知“a|>b”无法推出
选C.
“a>b”,但由“a≥a”可知“a>b”可以推出“a>
b”,于是“|a|>b”是“a>b”的必要不充分条件.故
选B.
A-
D
3.D【解析】z=-23十13i=13+2i,于是z的虚部是
0
2.故选D.
8.B【解析】h'(x)=ae一x十l,若函数h(x)在
4.C【解析】由{m,”,1}=《m2,m十n,0}以及m≠0
[是，3]上不单调，则W()在（是3）上有变号零
可知n=0,于是m2=1,由互异性得m=一1，于是
m2025十n2025=一1，放选C.
点令)=0得a=,令)=号x∈
5.A【解析】设公比为4，则T,=ai9=g,工=ag
(号3）则f(x)=2。,当x∈（号2）时f(x)
解得a1=±}，9=2，于是T,=ig“=8.故
1
>0,f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f(x)<0,f(x)
选A.
单调遥减故x=2)=吉又（号）=店
6.D【解析】f(x)=血x+4=血+4，f(x)
>3)=是，所以。的取值范围为（是，）故
-n工，于是f(x)=血x+4“在(0，e)上单调递增，
选B.
(e,十∞)上单调递减，于是f(e)>f(3)>f(4)=
二、选择题
f(2).故选D
9,AB【解析】向量a在向量b上的投影向量为：
b
7.C【解析】设四棱锥为P一ABCD,底面ABCD的中
b=一5b=(5,0),放选项A、B正确，选项C、D错误.
心为O,外接球的球心为O,则OO2=2,OB=
故选AB.
1
数学
参考答案及解析
10.ACD【解析】由图可知10(2a+3a+3a+6a+5a+
三、填空题
a)=1,解得a=0.005,故选项A正确：估计成绩低
12.一21【解析】T+1=
(一x)=
于50分的有2000×10×2a=200人，故选项B错
(一1)*Cx2-7,令2k一7=3得k=5,则系数为
误：这组数据的众数为75，故选项C正确；由于
（-1D*C=(-1)Cg=(-1)57X6=-21.放答案
10(2a+3a+3a+6a)=0.7,可知这组数据的第75
2
百分位数为80+82贺×10=82，放选项D正确.故
为-21.
13.号
【解析】由题意知本题是一个等可能事件，试验
选ACD.
发生包含的事件是两个人各有9种不同的方法，共
11.ABC【解析】由x=一6为函数f(x)的零点，由三
有81种结果，满足条件的事件是可以从每一层下，
次函数图象可知x=一√石必为极小值点，故=
共有9种结果，则两个人在同一层离开电梯的概率
一√6，故b=a,故选项A正确：由A可知f(x)=
是品=故答案为行
-(x-a)(x2-a2),f(x）=-(3x2-2a.x-a2)=
14.√17【解析】由x2十y2=9,得T=√10一2x+
一(3x十a)(x一a),.f(x)在区间（一，a)和
√25-8y=√Wx十y-2x+I+√/+y-8y+16
(-号，十e∞）递减，在区间(a,-号）递增，x=a为
=√(x-1)十y+√x2十(y-4)3,√/(x-1)+y
f(x)的极小值点，故选项B正确；由B可知，x=
表示P(x,y),A(1,0)两点之间的距离，
一号为f代x)的极大值点，要使方程代x)=6=。有
√x+(y一4)表示P(x,y),B(0,4)两点之间的
距离，则T=|PA|+|PB|≥|AB|=√17，当且仅
3个不同的实数根，则f(a)当A,P,B三点共线，且P在线段AB上时，取等号，
a<27
2,故选项C正确：f(x)=-(x-ax2-42x
所以T=√10-2x+√25-8y的最小值为√17.故
+a3),f(x+t)=-[(x十t)3一a(x+t)2
答案为√17，
a2(x+t)+a],∴.f(x)-f(x十t)=t[3x2十(31-
四、解答题
2a)x十t2一at一a2]≥0恒成立，显然当t=0时，成
15.解：(1)零假设为H:满意情况与游客的来源无关.
立：显然当t<0时，不恒成立；.当t>0时，即y=
(1分)
3.x2+(3t-2a)x+t-at-a2≥0恒成立，∴.△=
n(ad-bc)2
因为X=(a+b(c+d)(a+r)(b+d西
(3t-2a)2-12(-at-a2)≤0恒成立，.t
-400X(80X140-120X60)2≈4.396<6.635，
200×200×260×140
-4w
3a或1=0，故选项D错误.故选ABC
(3分)》
·22026届高三年级9月份联考
10.某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩
(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则
数学试题
↑频率/组距
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
d
答题卡上的指定位置。
V40506O708090100成绩/分数
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
A.a=0.005
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
B.估计成绩低于50分的有20人
C.估计这组数据的众数为75
D.估计这组数据的第75百分位数为82
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
11.已知函数f(x)=(b一x2)(x一a),其中b>0,且当x<0时，f(x)≥0，则
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
A.6=a2
B.x=a是f(x)的极小值点
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
C若关于x的方程了()=6有3个不同的实数根，则a<一影
1.sin600°
A
B
c-2
D.若对任意x都有f(x)≥f(x十)，则≥-4B。
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2.设a,b∈R,则“a>b”是“a>b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
12.(x的二项展开式中，x项的系数为
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.两个人在一座10层大楼的底层进人电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开
3.若复数之满足之=一23十13，则之的虚部是
电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是」
A.-2i
B.2i
C.-2
D.2
14.已知x,y满足x2十y2=9,则T=√10一2x十√/25一8y的最小值为
4.已知m∈R,n∈R,若集合m,1=(m,m十n0,则m+r=
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
A.0
B.1
C.-1
D.1或一1
15.(本小题满分13分)
5.已知数列a为等比数列，T.为数列a,的前n项积，且T:=名，T=}则T。
1
鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其
开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表：
0.2
调查结果组别
A.8
B.2
C.1
不满意满意
合计
本地游客
80
120
200
6.已知函数f(x)=1nx+4x,则
外地游客
60
140
200
A.f(x)的单调递增区间为(0,1)
B.f(x)的最大值为4
合计
140
260
400
C.f(x)有两个零点
D.f(e)>f(3)>f(2)
7.若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为
(1)根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关；
A.32(2+1)
B.32(3+1)
C.64(2+1)
D.64(3+1)
(2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做
8.若函数A(x)=ae-号+x在[3]上不单潤，则实数a的取值范围为
进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望.
n(ad-bc)2
A[]
(层)
C()
层
附：X=(a+b)(c十d)(a+c)(b+dD
0.050
0.010
0.001
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
3.841
6.635
10.828
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量a=(5,一3)，向量b=(一1,0)，则向量a在向量b上的投影向量为
A.-5b
B.(5,0)
C.-340
D(一器》
数学试题第1页（共4页）
数学试题第2页（共4页）■
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
15.(13分)
16.(15分)
学校
班级
姓名
正确填涂
填涂
准考证号
考场号
■
■
错误填涂
座位号
例 区
西而0①而而而页而而
母)
2Z Z I2I2
■
姓名XXX
BB]B]BB]BB]B]BB]
■
贴条形码区
55]
666666的
考场号Xx
座位号XX
8888888888
四鬥四四四9I
■
棕意口台黄竖程+登放鞋盐幸餐
选择题（每题5分，共40分）
1 AB C
6AB田四
·
2IBHC四D
7 A B]IC
3四BH@而
8四BCD
4I围 四
5团B图@四
选择题（每题6分，共18分）
■
9AB CD
10图田 四
11IB图C@四
非选择题（每题5分，共15分）
12
14
请勿在此区域作答
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17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
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