2025年江苏省南通市海安市孙庄中学中考数学模拟试卷（5月份）（含答案）

2025年江苏省南通市海安市孙庄中学中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.比-3大1的数是（　　）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
2.十四届全国人大第二次会议上的《政府工作报告》中指出：强化义务教育薄弱环节建设，做好“双减”工作，国家助学贷款提标降息惠及1100多万学生.数据1100万用科学记数法表示为（　　）
A. 1.1×103 B. 11×104 C. 1.1×107 D. 1.1×108
3.如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.已知∠α=42°12′，与∠α互余的角的度数是（　　）
A. 132°12′ B. 137°48′ C. 57°48′ D. 47°48′
6.4月15日是全民国家安全教育日.某校为了了解该校1800名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了180名师生进行问卷调查.这项调查中的样本是（　　）
A. 1800名师生的国家安全知识掌握情况
B. 180
C. 从中抽取的180名师生的国家安全知识掌握情况
D. 从中抽取的180名师生
7.如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA=BC，BC⊥l2，若∠1=124°，则∠CAB的度数等于（　　）
A. 30°
B. 32°
C. 34°
D. 36°
8.若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A. -2＜m＜-1 B. -1＜m＜0 C. -1≤m＜0 D. -1≤m≤0
9.已知在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2-4ax+k（a、k为常数，且a＞0）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，若点A（k-1，y1），B（k+1，y2）均在抛物线C2上，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＞y2 B. y1=y2 C. y1＜y2 D. y1 y2＜0
10.有一题目：“如图，在四边形ABCD中，∠BAD=75°，∠ADC=60°，AB=CD=2，AD=4，将边AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AE，连接EC，ED.当△ECD为直角三角形时，求旋转角α的度数.”嘉嘉说：“角α为135°，”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角α还应有另外两个不同的值.”下列判断正确的是（　　）
A. 淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，215°
B. 淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，225°
C. 淇淇说得不对，角α就得135°
D. 两人都不对，角α仅有2个不同值
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.分解因式：8x2-2= .
12.请写出一个大于2且小于3的无理数 .
13.已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是______．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是______.
15.我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉．益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？“其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷予再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆．若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等．下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打x斗谷子，下等稻子每捆能打y斗谷子．根据题意可列方程组为______．
16.我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注时，依据割补术创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就能直观地证明勾股定理.如图，若CB=3，CG=4，则tan∠FEI= .
17.如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数的图象相交于点A（m,2），B（-1，n），以AB为直角边的直角△ABC的斜边AC与x轴垂直，垂足为D，则△ABC的面积为 .
18.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，当BF的长最小时CE的长是______.
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题11分)
（1）解方程组：；
（2）先化简，再求值：，其中a=-1.
20.(本小题11分)
“五四”青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神 展青春风采”的教育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩统计如下：
七年级：98，96，86，85，84，94，77，69，59，94；
八年级：99，96，73，82，96，79，65，96，55，96.
（1）数据整理：根据上面得到的两组成绩，分别绘制了如图所示的两幅频数分布直方图，请补全八年级成绩频数分布直方图.
（2）数据分析：两组成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数/分 中位数/分 方差
七年级 a 85.5 144.36
八年级 83.7 b 215.21
其中，a的值为______，b的值为______.
（3）结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价（从“平均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价）.
21.(本小题11分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD. 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE.
请你选择一位同学的说法，并进行证明.
22.(本小题11分)
一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的球共3个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率为.
（1）袋子中白球有______个；
（2）随机摸出1个球后，放回并搅匀，再随机摸出1个球.请用画树状图或列表的方法，求两次摸出相同颜色的球的概率.
23.(本小题11分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若，AE=2，求阴影部分面积.
24.(本小题11分)
某校准备购买一批羽毛球拍和羽毛球对歌咏比赛获奖学生进行奖励，团委王老师经过调研发现购买2副羽毛球拍和3盒羽毛球需花费290元，购买3副羽毛球拍和2盒羽毛球需花费360元.
（1）求每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格.
（2）本次歌咏比赛的获奖学生共50名，学校决定获得一等奖奖励一副羽毛球拍，二等奖奖励一盒羽毛球，本次比赛只设一、二等奖，且一等奖人数不超过二等奖人数的，设羽毛球拍购买x副，则羽毛球拍最多购买多少副？
（3）现有两家文体公司售卖羽毛球拍和羽毛球，两家公司售价与（1）中的价格相同，且两家公司均在做让利活动，方案如下：
甲公司：所有商品一律打八折.
乙公司：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球.
①设羽毛球拍购买x副，学校若在甲公司购买需花费y1元，若在乙公司购买需花费y2元，求出y1，y2关于x的解析式；
②若只在一家公司购买，学校应选择哪家公司最合算？
25.(本小题11分)
已知抛物线y=ax2+bx+1（b＜0）与x轴只有一个公共点A，且过点B（2，1）.
（1）求点A的坐标；
（2）若点D（m,4）在抛物线上，其中m＞0，点E在第二象限，ED⊥AD，直线AE经过抛物线与y轴的交点C，点F在线段CE上，S△AFD=.连接DF，求∠DFA的度数；
（3）将抛物线向左平移1个单位，得到一个新的抛物线，则在y轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
26.(本小题13分)
（1）如图①，四边形ABCD是正方形，G为边BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.求证：AF-BF=EF.
（2）如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，且BD=2CD，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AC于点E，垂足为F，求AE与CE之间的数量关系.
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.若D是射线BC上一点，BC=8，CD=2，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F，请补全图形，并求BF的长.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】2（2x+1）（2x-1）
12.【答案】（答案不唯一）
13.【答案】1
14.【答案】（-3，2）
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】5
18.【答案】3
19.【答案】；
，
20.【答案】；
84.2，89；
从平均数来看，七年级抽取的10名学生成绩的平均数高于八年级抽取的10名学生成绩的平均数；从中位数来看，八年级抽取的10名学生成绩的中位数高于七年级抽取的10名学生成绩的中位数（答案不唯一）
21.【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD，
∵BD=CB，
∴AE=CB，
又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上，
∴AE∥CB，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵∠C=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴BE⊥CD；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接CE，BE，
由①可知四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，
∴CE=DE．
22.【答案】2；

23.【答案】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∴，
解得：r=4（负数舍去），
∴OC=OA=4，
∴OE=4-2=2，
∴tan，
∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△COE=-=π-2．
24.【答案】解：（1）设每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格分别为a元和b元，
依题意得，，
解得，
答：每副羽毛球拍和每盒羽毛球的单价分别为100元和30元；
（2）设羽毛球拍购买x副球，则羽毛球购买（50-x）盒，
依题意得，x≤（50-x），
解得x≤，
∵x为整数，
∴羽毛球拍最多购买12副；
（3）①从甲公司购买的费用：y1=[100x+30（50-x）]×80%=56x+1200．
从乙公司购买的费用：y2=100x+30（50-x-x）=40x+1500
∴从甲公司购买时y1关于x的函数关系式为y1=56x+1200；从乙公司购买时y2关于x的函数关系式为y=40x+1500；
②当y1＜y2时，即56x+1200＜40x+1500，
解得x＜18.75，
∴当x≤18时，到甲公司购买更划算；
当y1=y2时，即56x+1200=40x+1500，
解得x=18.75，
∵x为整数，
∴甲、乙公司的花费不会相同；
当y1＞y2时，即56x+1200＞40x+1500，
解得x＞18.75；
∴当x≥19时，到乙公司购买更合算．
∵0≤x≤，
∴学校应选择在甲公司购买最合算．
25.【答案】解：（1）解：∵抛物线经过点B（2，1），
∴4a+2b+1=1，
解得b=-2a,
∵抛物线y=ax2+bx+1（b＜0）与x轴只有一个公共点，
∴b2-4ac=0，即b2+2b=0，
解得b=0或b=-2，
∵b＜0，
∴b=-2，a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1，
∴A（1，0）；
（2）∵点D（m,4）在抛物线上，
∴m2-2m+1=4，
解得m=-1或m=3，
∵m＞0，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵抛物线与y轴的交点C（0，1），
∴OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴直线AC的解析式为y=-x+1，
设E（-x,-x+1），
过点D作DN⊥x轴交于N点，过点E作EM⊥DN交于M点，
∴M（3，x+1），N（3，0），
∴ME=3+x,DM=x-3，AN=2，DN=4，
∵ED⊥AD，
∴∠EDA=90°，
∴∠EDM+∠ADN=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠MED=∠ADN，
∴△EDM∽△DAN，
∴=，即=，
解得x=9，
∴E（-9，10），
∵S△AFD=，
∴yF=yE=4，
∴F（-3，4），
∴DF∥x轴，
∴∠DFA=45°；
（3）平移后的抛物线解析式为y=x2，
设直线ST的解析式为y=kx+t,则Q（0，t），
设S（m,km+t），T（n,kn+t），
当kx+t=x2时，m+n=k,nm=-t,
∴m2+n2=k2+2t,
∴SQ2=m2+k2m2，QT2=n2+k2n2，
∴=+= ，
令q= ，则k2+2t=t2（1+k2）q,
∴k2（1-qt2）+2t-t2q=0，
∴，
解得，
∴当t=时，为定值4，此时Q（0，）．
26.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DEA=∠DEF=90°，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA=∠DEF=90°，
∴∠BFA=∠DEA=90°，
∵∠DAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE=BF，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；
AE=CE；
当点D在线段BC上时，补图如图③；
当点D在BC的延长线上时，补图如图④；
BF的长为或
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