(共71张PPT)
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
探究点一 根式的化简与求值
探究点二 根式与分数指数幂互化
探究点三 实数指数幂的运算
探究点四 条件求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
通过对有理数指数幂,且；,为整数,且 、
实数指数幂,且； 含义的认识，了解指数幂的拓
展过程，掌握指数幂的运算性质.
知识点一 次方根
1. 次方根
（1）定义：一般地，如果，那么叫作 的_________，其中
，且 .
（2） 次方根的性质
次方根
为奇数 为偶数
_____ ______ 不存在
2.根式
（1）定义：式子____叫作根式,这里叫作根指数, 叫作被开方数.
（2）性质:①当为奇数时,___;②当为偶数时, ____.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意实数的偶次方根只有1个.( )
×
[解析] 根据 次方根的定义知,负数没有偶次方根，0的偶次方根是0，
正数的偶次方根有2个.
（2）的5次方根有且只有一个，是 .( )
√
[解析] ,的5次方根有且只有一个，是 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3） .( )
×
[解析] .
知识点二 分数指数幂
1.正数的正分数指数幂
是的次方根,即______ .
2.正数的负分数指数幂和零的分数指数幂
（1）_ ___,,,且 .
（2）0的正分数指数幂等于___.
（3）0的负分数指数幂__________（0的0次幂无意义）.
0
没有意义
3.有理数指数幂的运算性质
（1）_____ ;
（2）____ ;
（3）______ .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
（3）用分数指数幂表示 为 .( )
×
（4） .( )
√
（5） .( )
√
（6） .( )
√
知识点三 无理数指数幂
1.无理数指数幂____, 为无理数 是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质
（1）_____ ;
（2）____ ;
（3）______ .
探究点一 根式的化简与求值
例1（1）计算下列各式的值:___；
_______； ______.
-7
[解析] ① .
② .
③ .
（2）化简： _____.
[解析] .
（3）化简: .
解：， .
变式（1）化简下列各式：
① ；
解：原式 .
② .
解：当 时，
;
当 时，
.
（2）若，求实数 的取值范围.
[答案] ，
由，可知，，
故实数 的取值范围为 .
［素养小结］
根式化简与求值的思路及注意点
（1）思路：用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还
是偶次根式，解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母
的根式时要注意字母的取值范围.
（2）注意点：①正确区分与两式；②运算时注意变形、
整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用，
必要时要进行讨论.
探究点二 根式与分数指数幂互化
例2（1）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,,故A正确;
对于B, ,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D, ,故D错误.故选 .
√
√
（2） 化为分数指数幂的形式为___.
[解析] 原式 .
（3）若,,则 化为根式的形式为_ ____.
[解析] .
［素养小结］
在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数
幂的转化公式和,其中字母要使式子有
意义.
变式 下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C不正确；
对于D， ，故D正确.
故选D.
√
探究点三 实数指数幂的运算
例3 计算下列各式：
（1） ；
解: .
（2） ；
解:原式 .
例3 计算下列各式：
（3） .
解:原式
.
变式 化简与求值.
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
变式 化简与求值.
（4） .
解：原式 .
［素养小结］
（1）基本原则:式子里既有指数幂又有根式时,一般把根式统一化为
指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简.
（2）常规方法:①化负指数幂为正指数幂;②化根式为分数指数幂;③
化小数为分数.
探究点四 条件求值
例4（1）已知，则____；
_____； ____.
14
194
15
[解析] 两边平方，得 ，
.
②两边平方，得 ，
所以 .
③因为 ，
所以 .
（2）已知,,且,求 的值.
解： .
因为, ,
所以 ,
又,所以 ,所以 .
变式（1）设,则 ( )
A.7 B. C.5 D.45
[解析] 由,得 .
√
（2）［2025·苏州高一期末］若，则 ____.
[解析] 因为，
所以，即 ，两边平方得，
故 .
因为，
所以 ，则 .
［素养小结］
解决此类问题的一般步骤：
指数幂的发展历程
14世纪法国数学家奥雷姆 在《比例算
法》（约1360年）中，分别用和来表示和 ，用我们
今天的记号来表达，就是， ，由此可知，奥雷
姆已经知道方根与分数指数幂的关系.
16世纪德国数学家斯蒂菲尔 在《整数算
术》（1544年）中，将幂指数从非负整数推广到负整数，建立了如
表1所示的指数与幂之间的对应关系——用我们今天的记号来表达，
就是 .这是历史上负整数指数幂的最早使用.但斯蒂菲尔没有
将幂指数推广到分数的情形.
表1
指数 … 0 1 2 3 …
幂 … 1 2 4 8 …
16世纪荷兰数学家、工程师斯蒂文 在
《十进算数》（1585年）中，将分数写在圆圈内，表示一个未知的
分数指数幂.如 表示 .这是最早使用分数指数记号的数学家.
17世纪荷兰数学家吉拉尔.， 在《代数新
发明》（1629年）中，将分数写在一个数的前面，表示这个数的分
数指数幂.如表示 .奥雷姆、斯蒂文和吉拉尔如何发现方根与
分数指数幂之间的关系，并无文献记载.
17世纪英国数学家沃利斯 在《无穷算数》
（1655）中给出负数指数幂和分数指数幂的运算，从而将正整数指
数幂的运算律推广到了任意有理数指数幂.
1637年，法国数学家笛卡儿，年 开始用
符号表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用代表 ，
用代表 .
17世纪，英国数学家牛顿，年 在其通信
（1676年）中，用，，等表示，，等，用 ，
，等表示,,等，并在十八世纪初，开始使用 表示任意
实数指数幂.这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数.
1.理解与的含义：当为大于1的奇数时，对任意
都有意义，它表示在实数范围内唯一的一个 次方根，
.当为大于1的偶数时，只有当 时才有
意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个 次
方根，另一个是，；对任意 都有意义，
.
2.分数指数幂
（1）分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，
分数指数幂与根式可以相互转化，在把偶数次根式化成分数指数幂
时，要注意使底数大于0.同时，负数开奇数次方根是有意义的，所以
当奇数次根式化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然
后再按规定化成分数指数幂．
（2）负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负
号只是出现在指数上．
3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂,,,且和整数指数幂 都是有理数
指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是相同
的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂
不可以理解为个 相乘．
4.实数指数幂
引入了分数指数幂后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指
数幂的扩充．当，是一个无理数时，规定 表示一个确定的
实数，而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用，这
样，指数概念就扩充到了整个实数范围．
1.指数式的化简与求值
（1）一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数、化根式为分数
指数幂、化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可
以达到化繁为简的目的.
（2）对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整
体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
2.“凑公式”法
在本节的试题中,有些式子直接计算比较麻烦,此时我们要善于观察所
求式子的结构特征,“凑”出乘法公式或因式分解公式的形式,充分利用
这些公式进行幂的综合运算.
例1 ［2025·天津南开区高一期中］
（1）计算： .
解：原式 .
例1 ［2025·天津南开区高一期中］
（2）若，，求 的值.
解：原式 ，
因为，，所以原式 .
例2 化简 的结果
是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 原式
.
练习册
1.［2025·广东中山华侨中学高一月考］将 写成分数指数幂
的形式是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
2.下列关于 的形式的运算正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，A正确，B，C错误；
，D错误.
故选A.
√
3.［2025·江苏东海高级中学高一月考］下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ， ，故A错误；
，故B错误；
,， 当 为奇数时，，当为偶数时， ，
故C错误；
成立，故D正确.故选D.
√
4.已知，将 表示成有理数指数幂，其结果是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .故选C.
√
5.若，则 的值是( )
A.2 B.3 C.2或3 D.2或
[解析] ①当 时，由非零实数的0次幂为1，
得解得；
②当时， ，符合题意.
综上，或 ，故选D.
√
6.（多选题）下列各式的值相等的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 对于A， ，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C， ，符合题意；
对于D，，，不符合题意．故选 .
√
√
7.计算：
（1） ___;
[解析] 原式 .
7.计算：
（2） __.
[解析] 原式 .
8.［2025·台州二中高一月考］已知，则 _______.
[解析] 因为 ，
所以 .
9.（13分）［2025·陕西子洲中学高一期中］ 计算：
（1） ；
解：
.
（2） .
解： .
10.当有意义时，化简 的结
果是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为有意义，所以，则，则 ，故选C.
√
11.（多选题）［2025·哈尔滨九中高一期中］ 已知 ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,因为 ,
,显然,所以 ,故A正确；
对于B, ,故B正确；
对于C, ,故C正确；
对于D,因为,所以 ,
所以,所以 ,
故D错误.
故选 .
12.［2025·上海曹杨二中高一期中］已知, ,化简
___.
[解析] .
13. ____.
56
[解析] 原式 .
14.（15分）［2025·江苏东海高级中学高一月考］
（1）①已知，，求 的值；
解：由，，可得 .
②已知，求 的值.
解：因为，所以 .
14.（15分）［2025·江苏东海高级中学高一月考］
（2）已知,是方程的两个根,求 的值.
[答案] 由根与系数的关系得, ,
.
15.（多选题）高中数学教材必修第一册第110页第10题告诉我们，当
越来越大时，也越来越大，并趋向于常数 ，则下列说法正
确的是( )
A.当越来越大时，趋向于常数
B.当越来越大时，趋向于常数
C.当越来越大时，趋向于常数
D.当越来越大时，趋向于常数
√
√
[解析] 因为当越来越大时，趋向于常数，
所以当 越来越大时，趋向于常数，
则 趋向于常数，故A错误，B正确；
当越来越大时，趋向于常数 ，
则趋向于常数，故C错误；
当 越来越大时，趋向于常数，
则 趋向于常数，故D正确.
故选 .
16.（15分）从装有酒精的容器中倒出 ，然后用水填满，再倒
出 ，又用水填满……如此重复下去.
（1）若连续进行4次，则容器中的酒精还剩多少？
解：第一次用水填满后，容器中的酒精还剩 ；
第二次用水填满后，容器中的酒精还剩 ；
第三次用水填满后，容器中的酒精还剩 ；
第四次用水填满后，容器中的酒精还剩
所以连续进行4次，容器中的酒精还剩 .
16.（15分）从装有酒精的容器中倒出 ，然后用水填满，再倒
出 ，又用水填满……如此重复下去.
（2）若连续进行 次，则容器中的酒精还剩多少？
解：由（1）可知，第次用水填满后，容器中的酒精还剩 ，
所以连续进行次，容器中的酒精还剩 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一1.(1)次方根 (2) 2.(1) (2)
【诊断分析】(1)× (2)√ (3)×
知识点二 1. 2.(1) (2)0 (3)没有意义 3.(1) (2) (3)
【诊断分析】(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
知识点三 1. 2.(1) (2) (3)
课中探究 探究点一 例1 (1)-7 (2) (3)0
变式(1)① ②当时,原式; 当时,原式 (2)m>
探究点二 例2(1)AC (2) (3) 变式 D
探究点三 例3(1) (2) (3) 变式 (1) (2) (3) (4)
探究点四 例4(1)14 194 15 (2) 变式 (1)B (2)
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.D 4.C 5.D 6.BC
7.（1） （2） 8.
9.（1） （2）
10.C 11.ABC 12. 13.56
14.（1）① ② （2）22
15.BD 16.（1）（2）4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
【学习目标】
通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
◆ 知识点一 n次方根
1.n次方根
(1)定义:一般地,如果xn=a,那么x叫作a的 ,其中n>1,且n∈N* .
(2)n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x= x= x=0 不存在
2.根式
(1)定义:式子 叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:①当n为奇数时,= ;②当n为偶数时,= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意实数的偶次方根只有1个. ( )
(2)-32的5次方根有且只有一个,是-2. ( )
(3)=2-e. ( )
◆ 知识点二 分数指数幂
1.正数的正分数指数幂
是am的n次方根,即= (a>0,m,n∈N*,n>1).
2.正数的负分数指数幂和零的分数指数幂
(1)= =(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)0的正分数指数幂等于 .
(3)0的负分数指数幂 (0的0次幂无意义).
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=. ( )
(2)(-2=(-2. ( )
(3)用分数指数幂表示 (a>b)为(a-b. ( )
(4)(-a4b2)·(-ab2)3=a7b8(a>0,b>0). ( )
(5)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3(a>0,b>0).( )
(6)6×6=6. ( )
◆ 知识点三 无理数指数幂
1.无理数指数幂 (a>0,α为无理数)是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈R);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).
◆ 探究点一 根式的化简与求值
例1 (1)计算下列各式的值:①()3= ;②= ;③= .
(2)化简:+= .
(3)化简:+(x≥y).
变式 (1)化简下列各式:
①++;
②+(x≥1).
(2)若=3a-1,求实数a的取值范围.
[素养小结]
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路:用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围.
(2)注意点:①正确区分()n与两式;②运算时注意变形、整体代换,以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
◆ 探究点二 根式与分数指数幂互化
例2 (1)(多选题)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 ( )
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
(2) (a>0)化为分数指数幂的形式为 .
(3)若x>0,y>0,则化为根式的形式为 .
[素养小结]
在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数幂的转化公式=和==,其中字母a要使式子有意义.
变式 下列化简结果正确的是 ( )
A.=a B.=
C.20=2 D.=(-1
◆ 探究点三 实数指数幂的运算
例3 计算下列各式:
(1)+-0.752+;
(2)3π×+(+;
(3)(-2)·(-)6÷(-2)2(a>0,b>0).
变式 化简与求值.
(1)×(×)6-4×+20250;
(2)(×;
(3)÷÷(a>0);
(4)(a>0,b>0).
[素养小结]
(1)基本原则:式子里既有指数幂又有根式时,一般把根式统一化为指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简.
(2)常规方法:①化负指数幂为正指数幂;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数.
◆ 探究点四 条件求值
例4 (1)已知+=4,则①a+a-1= ;②a2+a-2= ;③= .
(2)已知x+y=12,xy=9,且x
变式 (1)设+=3(a>0),则= ( )
A.7 B. C.5 D.45
(2)[2025·苏州高一期末] 若x2-3x+1=0,则= .
[素养小结]
解决此类问题的一般步骤:
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
【课前预习】
知识点一
1.(1)n次方根 (2) ±
2.(1) (2)①a ②|a|
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)根据n次方根的定义知,负数没有偶次方根,0的偶次方根是0,正数的偶次方根有2个.
(2)∵(-2)5=-32,∴-32的5次方根有且只有一个,是-2.
(3)=|2-e|=e-2.
知识点二
1. 2.(1) (2)0 (3)没有意义
3.(1)ar+s (2)ars (3)arbr
诊断分析
(1)√ (2)× (3) × (4)√ (5)√
(6) √
知识点三
1.aα 2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr
【课中探究】
探究点一
例1 (1)①-7 ②-1 ③3-π
(2)2 [解析] (1)①()3=-7.
②=|1-|=-1.
③=3-π.
(2)+=1++-1=2.
(3)解:∵x≥y,∴+=+y-x=|x-y|+y-x=x-y+y-x=0.
变式 解:(1)①原式=-6+(4-)+-4=-6.
②当1≤x<3时,+=|1-x|+|3-x|=x-1+3-x=2;当x≥3时,+=|1-x|+|3-x|=x-1+x-3=2x-4.
(2)==|3a-1|,由|3a-1|=3a-1,可知3a-1≥0,∴a≥,故实数a的取值范围为.
探究点二
例2 (1)AC (2) (3)
[解析] (1)对于A,-=-(x>0),故A正确;对于B,=(x>0),故B错误;对于C,=(xy>0),故C正确;对于D,=|y,故D错误.故选AC.
(2)原式=(·=·(=··(=.
(3)=.
变式 D [解析] 对于A,=|a|,故A不正确;对于B,=,故B不正确;对于C,20=1,故C不正确;对于D,==(-1,故D正确.故选D.
探究点三
例3 解:(1)+-0.752+=+-+=+-+=+.
(2)原式=++1=1π+24+1=18.
(3)原式=(-2)·(a3)÷(4)=-=-.
变式 解:(1)原式=×23×32-4×+1=24-9+1=16.
(2)原式==36×22=2916.
(3)原式=÷÷=÷÷=÷(÷(a-2=÷÷=÷===.
(4)原式==
=ab-1.
探究点四
例4 (1)①14 ②194 ③15
[解析] ①+=4两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.
②a+a-1=14两边平方,得a2+a-2+2=196,所以a2+a-2=194.
③因为-=()3-()3,
所以=
=
a+a-1+1=14+1=15.
(2)解:==
.
因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,
又x所以==-.
变式 (1)B (2) [解析] (1)由+=3,得=()2+()-2=+===.
(2)因为x2-3x+1=0,所以x+=3,即x+x-1=3,两边平方得x2+x-2+2=9,故x2+x-2=7.因为(+)2=x+x-1+2=3+2=5,所以+=,则==.4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1.[2025·广东中山华侨中学高一月考] 将×写成分数指数幂的形式是 ( )
A. B.
C. D.
2.下列关于(m,n∈N*)的形式的运算正确的是 ( )
A.=
B.=
C.=-
D.(-8=
3.[2025·江苏东海高级中学高一月考] 下列各式正确的是 ( )
A.=
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)
D.()n=a(n>1,n∈N*)
4.已知a>0,将表示成有理数指数幂,其结果是 ( )
A. B.
C. D.
5.若(2x-6=1,则x的值是 ( )
A.2 B.3
C.2或3 D.2或
6.(多选题)下列各式的值相等的是 ( )
A.(-1和
B.和
C.和
D.和
7.计算:(1)(= ;
(2)= .
8.[2025·台州二中高一月考] 已知x+x-1=4,则x-x-1= .
9.(13分)[2025·陕西子洲中学高一期中] 计算:
(1)×++(-6)0+;
(2)··(a>0,b>0).
10.当有意义时,化简-的结果是 ( )
A.2x-7 B.-2x+1
C.-1 D.7-2x
11.(多选题)[2025·哈尔滨九中高一期中] 已知a+a-1=4,则 ( )
A.+= B.a2+a-2=14
C.a3+a-3=52 D.a-a-1=2
12.[2025·上海曹杨二中高一期中] 已知a>0,b>0,化简= .
13.×+[(×(= .
14.(15分)[2025·江苏东海高级中学高一月考] (1)①已知10m=2,10n=3,求1的值;
②已知-=1,求的值.
(2)已知,是方程x2-5x+3=0的两个根,求的值.
15.(多选题)高中数学教材必修第一册第110页第10题告诉我们,当n越来越大时,也越来越大,并趋向于常数e,则下列说法正确的是 ( )
A.当n越来越大时,趋向于常数e
B.当n越来越大时,趋向于常数e
C.当x越来越大时,趋向于常数e
D.当x越来越大时,趋向于常数
16.(15分)从装有a L酒精的容器中倒出a L,然后用水填满,再倒出a L,又用水填满……如此重复下去.
(1)若连续进行4次,则容器中的酒精还剩多少
(2)若连续进行n次,则容器中的酒精还剩多少
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1.A [解析] ×=×=×=.故选A.
2.A [解析] ==,A正确,B,C错误;(-8=,D错误.故选A.
3.D [解析] =-2,===2,故A错误;=|3-π|=π-3,故B错误;∵n>1,n∈N*,∴当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|,故C错误;()n=a(n>1,n∈N*)成立,故D正确.故选D.
4.C [解析] 由a>0,得=====.故选C.
5.D [解析] ①当2x-6≠1时,由非零实数的0次幂为1,得解得x=2;②当2x-6=1时,x=,符合题意.综上,x=2或x=,故选D.
6.BC [解析] 对于A,(-1==-1,=1,不符合题意;对于B,=,符合题意;对于C,===,符合题意;对于D,==,=23=8,不符合题意.故选BC.
7.(1) (2) [解析] (1)原式==47-9=4-2=.
(2)原式===.
8.±2 [解析] 因为(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=42-4=12,所以x-x-1=±2.
9.解:(1)×++(-6)0+=×(23++1+|2-|=×22++1+-2=++1+-2=2+.
(2)··=···=···=.
10.C [解析] 因为有意义,所以-x+1≥0,则x≤1,则-=-=4-x-(5-x)=-1,故选C.
11.ABC [解析] 对于A,因为a+a-1=-2=4,所以+=±,显然+>0,所以+=,故A正确;对于B,a2+a-2=(a+a-1)2-2=16-2=14,故B正确;对于C,a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=4×13=52,故C正确;对于D,因为a+a-1=+2=4,所以=2,所以-=±,所以a-a-1==±2,故D错误.故选ABC.
12.a [解析] =
==
=a.
13.56 [解析] 原式=×+=+(23×=25+23×3=32+24=56.
14.解:(1)①由10m=2,10n=3,可得1====.
②因为-=1,所以==a-1+a-1=+1=12+1=2.
(2)由根与系数的关系得+=5,=3,所以===
=m++n=(+)2-=52-3=22.
15.BD [解析] 因为当n越来越大时,趋向于常数e,所以当n越来越大时,趋向于常数e,则=趋向于常数,故A错误,B正确;当x越来越大时,趋向于常数e,则=趋向于常数e3,故C错误;当x越来越大时,趋向于常数e,则=趋向于常数,故D正确.故选BD.
16.解:(1)第一次用水填满后,容器中的酒精还剩a-a=a(L);
第二次用水填满后,容器中的酒精还剩a×=a(L);
第三次用水填满后,容器中的酒精还剩a×=a(L);
第四次用水填满后,容器中的酒精还剩a×=a(L).
所以连续进行4次,容器中的酒精还剩a L.
(2)由(1)可知,第n次用水填满后,容器中的酒精还剩a L,
所以连续进行n次,容器中的酒精还剩a L.
