4.2.1 指数函数的概念
【学习目标】
通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能说出指数函数的定义.
◆ 知识点一 指数函数的定义
一般地,函数y=ax( )叫作 ,其中指数x是自变量,定义域是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=-2x是指数函数. ( )
(2)函数y=是指数函数. ( )
(3)函数y=(-5)x是指数函数. ( )
(4)函数y=xx(x>0)是指数函数. ( )
◆ 知识点二 指数型函数
形如 (k∈R且k≠0,a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数,此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
◆ 探究点一 指数函数的概念
例1 (1)给出如下几个函数:①y=2-x;②y=3x+1;③y=5x;④y=(a-1)x·3x(a<1);⑤y=3×πx;⑥y=x3;⑦y=(a+1)x(a>-1且a≠0);⑧y=(-4)x.其中是指数函数的有 (填序号).
(2)若函数y=(a2-5a+5)·ax是指数函数,则实数a= .
变式 (1)(多选题)下列函数是指数函数的有( )
A.y=x4 B.y=
C.y=22x D.y=-4x
(2)若函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则a= .
[素养小结]
指数函数的解析式必须具有三个特征:①底数a为大于0且不等于1的常数;②指数位置是自变量x;③ax的系数是1.
◆ 探究点二 指数函数的解析式及应用
例2 已知函数f(x)=,a为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且g(m)=f(m),求m的值.
变式 (1)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)满足f(2)=81,则f的值为 ( )
A.± B.±3 C. D.3
(2)若函数f(x)=(a2-3a-3)ax是指数函数,则ff(-1)的值为 .
[素养小结]
(1)求指数函数解析式的关键是求底数a,并注意a的限制条件.
(2)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(3)求指数函数的函数值的关键是得到指数函数的解析式.
◆ 探究点三 指数型函数的实际应用
例3 截至2024年年底,某市人口为130万.若今后能将人口年平均增长率控制在3‰,设经过x(x∈N*)年后,该市人口为y万.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)若按此增长率,2035年年底该市的人口约是多少 (计算结果保留到小数点后两位.参考数据:1.00310≈1.030 4,1.00311≈1.033 5,1.00312≈1.036 6,1.00313≈1.039 7)
(3)哪一年年底该市的人口首次达到135万
变式 (1)[2025·北京八十中高一期中] 随着我国经济的不断发展,2023年年底某地区农民人均年收入为7000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2030年年底该地区的农民人均年收入为 ( )
A.7000×1.06×7元 B.7000×1.067元
C.7000×1.06×8元 D.7000×1.068元
(2)2025年1月5日,第41届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物含量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0·2-kt(N0为最初污染物含量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了最初污染物的 ( )
A.51.2% B.48.8%
C.52% D.48%
[素养小结]
关于函数y=kax在实际问题中的应用
(1)函数y=kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律,若0
(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的参数后,利用指数的运算性质解题.
4.2.1 指数函数的概念
【课前预习】
知识点一
a>0,且a≠1 指数函数 R
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)因为2x的系数为-1,所以函数y=-2x不是指数函数.
(2)因为指数不是x,所以函数y=2x-1不是指数函数.
(3)因为底数小于0,所以函数y=(-5)x不是指数函数.
(4)因为底数不是常数,所以函数y=xx(x>0)不是指数函数.
知识点二
y=kax
【课中探究】
探究点一
例1 (1)①③⑦ (2)4 [解析] (1)①y=2-x=,符合指数函数的定义,故是指数函数;②y=3x+1,指数不是x,不符合指数函数的定义,故不是指数函数;③y=5x,符合指数函数的定义,故是指数函数;④y=(a-1)x·3x=(3a-3)x,因为a<1,所以3a-3<0,不符合指数函数的定义,故不是指数函数;⑤y=3×πx,πx的系数为3,故不是指数函数;⑥y=x3,自变量出现在底数的位置,故不是指数函数;⑦y=(a+1)x(a>-1且a≠0),符合指数函数的定义,故是指数函数;⑧y=(-4)x,底数为-4,不满足“底数大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数.故是指数函数的有①③⑦.
(2)由y=(a2-5a+5)·ax是指数函数,可得解得a=4.
变式 (1)BC (2)3 [解析] (1)对于A,函数y=x4不是指数函数;对于B,函数y=是指数函数;对于C,函数y=22x=4x是指数函数;对于D,函数y=-4x不是指数函数.故选BC.
(2)由指数函数的概念,得
解得a=3.
探究点二
例2 解:(1)因为函数f(x)的图象过点(-1,2),所以=2,所以a=1.
(2)因为f(x)=,g(x)=4-x-2,所以g(m)=f(m)可变形为4-m-2-m-2=0,可得2-m=2,所以m=-1.
变式 (1)C (2) [解析] (1)因为f(2)=a2=81,a>0,所以a=9,从而f(x)=9x,故f===.故选C.
(2)因为函数f(x)=(a2-3a-3)ax是指数函数,所以解得a=4,所以f(x)=4x,故ff(-1)=×4-1=.
探究点三
例3 解:(1)2024年年底该市的人口为130万,经过1年后,2025年年底该市的人口为130+130×3‰=130(1+3‰)(万),经过2年后,2026年年底该市的人口为130(1+3‰)+130(1+3‰)×3‰=130(1+3‰)2(万),经过3年后,2027年年底该市的人口为130(1+3‰)2+130(1+3‰)2×3‰=130(1+3‰)3(万),…,经过x年后,该市的人口为130(1+3‰)x=130×1.003x(万),即y=130×1.003x(x∈N*).
(2)2035年年底该市的人口为130×1.00311≈134.36(万).
(3)由题可知,2036年年底该市的人口为130×1.00312≈134.76(万),2037年年底该市的人口为130×1.00313≈135.16(万),所以2037年年底该市的人口首次达到135万.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,根据题意可得y=7000×1.06x,从2023年年底到2030年年底共经过了7年,所以2030年年底该地区的农民人均年收入为7000×1.067元.故选B.
(2)依题意有N0·2-2k=(1-20%)N0,可得2-2k=0.8.当t=6时,N=N0·2-6k=N0(2-2k)3=0.512N0=(1-48.8%)N0,故前6个小时消除了最初污染物的48.8%.故选B.4.2.1 指数函数的概念
1.下列函数中,指数函数的个数为 ( )
① y=; ② y=mx(m>0且m≠1);③ y=1x(x∈R);④ y=-1(x>1).
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知指数函数f(x)的图象过点(3,27),则f(2)等于 ( )
A.3 B.6
C.9 D.27
3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指数函数,则a的值为 ( )
A.2 B.1
C.1或 D.
4.[2025·哈尔滨三中高一期中] 已知函数f(x)=则f[f(-3)]= ( )
A.0 B.1
C.3 D.9
5.当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过N年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律,若生物体内碳14原有初始质量为Q,则该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系式为 ( )
A.y=Q· B.y=Q
C.y=Q D.y=Q
6.(多选题)下列函数是指数函数的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=2·3x-1 D.y=2x
7.已知函数f(x)=若f[f(0)]=-2,则实数a= .
8.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数,则k= ,b= .
9.(13分)已知函数f(x)=(a2+a-5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并加以证明.
10.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点,则= ( )
A. B.
C.2 D.4
11.(多选题)已知指数函数f(x)满足f=,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)=5x B.f(x)=5-x
C.f(-1)= D.5f(1)=f(2)
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=1,=2,=2,=2,=2,…,=2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数f(x)= .
13.某商品的价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格关于上架时间的函数是一种指数型函数,即y=k·ax(a>0且a≠1,x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元时,该商品上架第4天的价格为 元.
14.(15分)平改坡是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为.改造后的房子不仅有漂亮的外观,还能解决顶层渗漏等问题,达到隔热的效果.近年来,某县持续关注民生,推进民房屋顶平改坡工程,对全县am2的老房子进行平改坡(且每年平改坡面积的百分比相等).已知改造到面积的一半时,所用时间为10年,且到今年为止,平改坡剩余面积为最开始的.
(1)求每年平改坡的百分比;
(2)到今年为止,该平改坡工程已经进行了多少年
15.(多选题)设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x+y)=f(x)f(y)
B.f(x-y)=
C.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q)
D.[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N+)
16.(15分)已知函数f(x)=,x∈R.
(1)求f(a)+f(1-a)的值;
(2)求f+f+f+…+f的值.
4.2.1 指数函数的概念
1.B [解析] 由指数函数的定义知,只有②符合指数函数的定义,其他均不符合,故选B.
2.C [解析] 设f(x)=ax,a>0且a≠1,将(3,27)代入得f(3)=a3=27,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(2)=32=9.故选C.
3.D [解析] ∵函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指数函数,∴2a2-3a+2=1且a>0,a≠1,由2a2-3a+2=1,解得a=1或a=,∴a=.故选D.
4.D [解析] 由题意得f(-3)=|-3|-1=2,则f[f(-3)]=f(2)=32=9.故选D.
5.D [解析] 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,将刚死亡生物体内碳14的含量看成1个单位,因为每经过N年衰减为原来的一半,所以(1-p)N=,即1-p=.若生物体内碳14原有初始质量为Q,则生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系式为y=Q(1-p)x,即y=Q,故选D.
6.AD [解析] 对于A选项,y=符合指数函数的定义,是指数函数,故A选项正确;对于B选项,y==3·,前的系数为3,不为1,不是指数函数,故B选项错误;对于C选项,y=2·3x-1,3x前的系数为2,不为1,不是指数函数,故C选项错误;对于D选项,y=2x符合指数函数的定义,是指数函数,故D选项正确.故选AD.
7.3 [解析] f(0)=20+1=2,所以f[f(0)]=f(2)=4-2a=-2,解得a=3.
8.-1 2 [解析] 根据指数函数的定义,得解得
9.解:(1)由题意得a2+a-5=1,解得a=2或a=-3,
又a>0且a≠1,∴a=2,故f(x)=2x.
(2)F(x)为奇函数,证明如下:∵F(x)=2x-2-x,x∈R,
∴F(-x)=2-x-2x=-F(x),∴F(x)是奇函数.
10.A [解析] 由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点,得解得a=b=2,所以==.故选A.
11.ACD [解析] 设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则f==,即=,故a=5,所以函数f(x)=5x,A正确,B错误;f(-1)=5-1=,C正确;5f(1)=5×5=25=52=f(2),D正确.故选ACD.
12.2x(答案不唯一) [解析] 例如f(x)=2x,则f(0)=1,且==2,所以f(x)=2x符合题意.
13.40.5 [解析] 由题意得
可得∴y=128×,∴该商品上架第4天的价格为128×=40.5(元).
14.解:(1)设每年平改坡的百分比为x(0则a(1-x)10=a,
即1-x=,解得x=1-≈0.067 0=6.70%,故每年平改坡的百分比约为6.70%.
(2)设到今年为止,该平改坡工程已经进行了n年,
则a(1-x)n=a,即=,解得n=5,
所以到今年为止,该平改坡工程已经进行了5年.
15.ABC [解析] 对于A,f(x+y)=ax+y,f(x)=ax,f(y)=ay,因为ax·ay=ax+y,所以f(x+y)=f(x)f(y),A正确;对于B,f(x-y)=ax-y,==ax-y,故f(x-y)=,B正确;对于C,f(nx)=anx(n∈Q),[f(x)]n=(ax)n=anx(n∈Q),故f(nx)=[f(x)]n(n∈Q),C正确;对于D,[f(xy)]n=(axy)n=axyn(n∈N+),[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n(ay)n=axn·ayn=axn+yn(n∈N+),故[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N+)不一定成立,D错误.故选ABC.
16.解:(1)∵f(x)=,x∈R,
∴f(a)+f(1-a)=+=+=+=1.
(2)设S=f+f+f+…+f,
则S=f+…+f+f+f,两式相加得2S=++…+.
由(1)得f+f=1,f+f=1,…,f+f=1,
∴2S=2(共50张PPT)
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
探究点一 指数函数的概念
探究点二 指数函数的解析式及应用
探究点三 指数型函数的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能
说出指数函数的定义.
知识点一 指数函数的定义
一般地,函数（______________）叫作__________,其中指数
是自变量，定义域是___.
,且
指数函数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是指数函数.( )
×
[解析] 因为的系数为，所以函数 不是指数函数.
（2）函数 是指数函数.( )
×
[解析] 因为指数不是，所以函数 不是指数函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数 是指数函数.( )
×
[解析] 因为底数小于0，所以函数 不是指数函数.
（4）函数 是指数函数.( )
×
[解析] 因为底数不是常数，所以函数 不是指数函数.
知识点二 指数型函数
形如_________且,,且 的函数称为指数型函数，
此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
探究点一 指数函数的概念
例1（1）给出如下几个函数:;; ;
;; ;
且; .其中是指数函数的有
________（填序号）.
①③⑦
[解析] ,符合指数函数的定义,故是指数函数;
,指数不是 ,不符合指数函数的定义,故不是指数函数;
,符合指数函数的定义,故是指数函数;
,因为，所以 ，
不符合指数函数的定义,故不是指数函数;
, 的系数为3,故不是指数函数;
,自变量出现在底数的位置,故不是指数函数;
且 ,符合指数函数的定义,故是指数函数;
,底数为 ,不满足“底数大于0且不等于1”这个条件,
故不是指数函数.故是指数函数的有①③⑦.
（2）若函数是指数函数,则实数 ___.
4
[解析] 由是指数函数,可得
解得 .
变式（1）（多选题）下列函数是指数函数的有( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数不是指数函数；
对于B，函数 是指数函数；
对于C，函数 是指数函数；
对于D，函数不是指数函数.
故选 .
√
√
（2）若函数是指数函数，则 ___.
3
[解析] 由指数函数的概念，得
解得 .
［素养小结］
指数函数的解析式必须具有三个特征:①底数为大于0且不等于1的
常数;②指数位置是自变量;的系数是1.
探究点二 指数函数的解析式及应用
例2 已知函数，为常数，且函数 的图象过点
.
（1）求 的值；
解：因为函数的图象过点，所以，所以 .
（2）若，且，求 的值.
解：因为，，所以 可变形为
，可得，所以 .
变式（1）若函数，且满足 ，则
的值为( )
A. B. C. D.3
[解析] 因为,，所以，从而 ，
故 .故选C.
√
（2）若函数是指数函数，则 的值
为__.
[解析] 因为函数 是指数函数，
解得，所以 ,
故 .
［素养小结］
（1）求指数函数解析式的关键是求底数,并注意的限制条件.
（2）求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的
解析式,然后利用已知条件求出解析式中的参数,从而得到函数的解析
式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
（3）求指数函数的函数值的关键是得到指数函数的解析式.
探究点三 指数型函数的实际应用
例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增
长率控制在，设经过年后，该市人口为 万.
例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增
长率控制在，设经过年后，该市人口为 万.
（1）求关于 的函数关系式.
解：2024年年底该市的人口为130万，经过1年后,
2025年年底该市的人口为 （万），
经过2年后,2026年年底该市的人口为
（万），
经过3年后,2027年年底该市的人口为
（万）， ，
经过年后，该市的人口为 （万），
即 .
例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增
长率控制在，设经过年后，该市人口为 万.
（2）若按此增长率，2035年年底该市的人口约是多少？（计算结果
保留到小数点后两位.参考数据： ，
，， ）
解：2035年年底该市的人口为 （万）.
例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增
长率控制在，设经过年后，该市人口为 万.
（3）哪一年年底该市的人口首次达到135万？
解：由题可知,2036年年底该市的人口为（万），
2037年年底该市的人口为 （万），
所以2037年年底该市的人口首次达到135万.
变式（1）［2025·北京八十中高一期中］随着我国经济的不断发展，
2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民
的人均年收入将以每年 的年平均增长率增长，那么2030年年底该
地区的农民人均年收入为( )
A.元 B. 元
C.元 D. 元
[解析] 设经过年，该地区的农民人均年收入为 元，根据题意可得
，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以
2030年年底该地区的农民人均年收入为 元.故选B.
√
（2）2025年1月5日，第41届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪
大世界园区开幕.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的
污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物含量 与
时间的关系为为最初污染物含量 .如果前2个小时
消除了 的污染物，那么前6个小时消除了最初污染物的( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意有，可得.
当 时， ，
故前6个小时消除了最初污染物的 .故选B.
√
［素养小结］
关于函数在实际问题中的应用
（1）函数是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数
模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律，若
，则刻画指数衰减变化规律.
（2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的
参数后，利用指数的运算性质解题.
1.由指数函数的定义可知,函数,且 叫作指数函数,
函数,只有当, 时才是指数函数,否则称为指数
型函数. 指数函数有以下几个特征：（1）定义域必须是实数集 ；
（2）自变量是，位于指数位置上，且指数位置上只有 这一项；
（3）指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如
,且不是指数函数；（4）底数 的范围必须是
且 .
2.指数函数的底数要满足条件“且 ”的原因：
当,时,恒为0;当时,可能没有意义,如 ,
,显然是没有意义的;当时, 恒等于1,
没有研究的必要.因此规定底数满足条件“且 ”.
练习册
1.下列函数中，指数函数的个数为( )
； 且； ；
.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由指数函数的定义知，只有②符合指数函数的定义，
其他均不符合，故选B．
√
2.已知指数函数的图象过点，则 等于( )
A.3 B.6 C.9 D.27
[解析] 设,且，
将代入得 ，解得，
所以，所以 .
故选C.
√
3.若函数是指数函数，则 的值为( )
A.2 B.1 C.1或 D.
[解析] 函数 是指数函数，
且，，
由 ，解得或， .
故选D.
√
4.［2025·哈尔滨三中高一期中］已知函数 则
( )
A.0 B.1 C.3 D.9
[解析] 由题意得 ，
则 .故选D.
√
5.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减
（称为衰减率），大约每经过 年衰减为原来的一半，这个时间称
为“半衰期”．按照上述变化规律，若生物体内碳14原有初始质量为 ，
则该生物体内碳14所剩质量与死亡年数 的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 ，
将刚死亡生物体内碳14的含量看成1个单位，
因为每经过 年衰减为原来的一半，
所以，即.
若生物体内碳14原有初始质量为 ，
则生物体内碳14所剩质量与死亡年数 的函数关系式为，
即 ，
故选D.
6.（多选题）下列函数是指数函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项， 符合指数函数的定义，是指数函数，故
A选项正确;
对于B选项，， 前的系数为3，不为1，
不是指数函数，故B选项错误；
对于C选项， ， 前的系数为2，不为1，不是指数函数，
故C选项错误；
对于D选项， 符合指数函数的定义，是指数函数，故D选项正确.
故选 .
√
√
7.已知函数若，则实数 ___.
3
[解析] ，
所以 ，
解得 .
8.若函数，且是指数函数，则
___， ___.
-1
2
[解析] 根据指数函数的定义，得解得
9.（13分）已知函数 是指数函数．
（1）求 的解析式；
解：由题意得，解得或 ，
又且，，故 .
（2）判断 的奇偶性，并加以证明．
解：为奇函数，证明如下：， ，
， 是奇函数．
10.已知指数函数的图象经过点，
则 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 由指数函数的图象经过点 ，
得解得，所以 .
故选A.
√
11.（多选题）已知指数函数满足 ，则下列结论中正
确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设指数函数且，则 ，
即，故，所以函数 ，A正确，B错误；
，C正确； ，D正确.
故选 .
√
√
√
12.已知函数的定义域为，，， ，
，， ， .写出满足上述条件的一
个函数 __________________.
（答案不唯一）
[解析] 例如，则，且 ，
所以 符合题意.
13.某商品的价格（单位：元）因上架时间 （单位：天）的不同而
不同，假定商品的价格关于上架时间的函数是一种指数型函数，即
且， .当商品上架第1天的价格为96元，
上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为_____元.
40.5
[解析] 由题意得 可得，
该商品上架第4天的价格为
（元）.
14.（15分）平改坡是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面
改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建
筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．改造后的房子不仅有漂亮的外
观，还能解决顶层渗漏等问题，达到隔热的效果．近年来，某县持
续关注民生，推进民房屋顶平改坡工程，对全县 的老房子进行
平改坡（且每年平改坡面积的百分比相等）．已知改造到面积的一
半时，所用时间为10年，且到今年为止，平改坡剩余面积为最开始
的 ．
（1）求每年平改坡的百分比；
解：设每年平改坡的百分比为 ，
则 ，即，
解得 ，
故每年平改坡的百分比约为 .
（2）到今年为止，该平改坡工程已经进行了多少年？
参考数据：
解：设到今年为止，该平改坡工程已经进行了 年，
则，即，解得 ，
所以到今年为止，该平改坡工程已经进行了5年．
15.（多选题）设指数函数，且 ，则下列结论
中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A，，， ，
因为，所以 ，A正确；
对于B，,,故 ,B正确；
对于C，， ，
故，C正确；
对于D，
，
故 不一定成立，D错误.
故选 .
16.（15分）已知函数， .
（1）求 的值；
解:, ，
.
16.（15分）已知函数， .
（2）求 的值.
解:设 ，
则 ，两式相加得
.
由（1）得,, ,
,
，解得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 ,且 指数函数
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
知识点二
课中探究 探究点一 例1 （1）①③⑦ （2）4 变式 （1）BC （2）3
探究点二 例2 （1）（2） 变式 （1）C （2）
探究点三 例3 （1） （2）万 （3）2037年
变式 （1）B （2）B
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.AD 7.3 8.-1 2
9.（1） （2）为奇函数，证明略
10.A 11.ACD 12.（答案不唯一） 13. 40.5
14.（1）（2）5年
15.ABC
16.（1）1（2）