第2课时 指数函数的图象及其性质的应用
【学习目标】
1.会利用指数函数的性质解决定义域、值域问题.
2.会利用指数函数的单调性解指数不等式.
3.能利用复合函数的单调性解决与函数性质有关的综合问题.
◆ 知识点一 与指数函数有关的复合函数
函数y=af(x)(a>0,且a≠1)可转化为函数y=at进行研究,其中t= .若f(x)的定义域为R,则y=af(x)的定义域为 .函数y=af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y=at的单调性进行研究.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=a2x+1(a>0,且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞). ( )
(2)函数y=的定义域是R. ( )
(3)函数y=-1的值域是(-1,+∞).( )
◆ 知识点二 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)
单调性的应用
1.a的取值与单调性:若0
1,x12.指数不等式的解法
对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论:
当0ag(x) ;
当a>1时,af(x)>ag(x) .
【诊断分析】 解不等式22x+3>.
◆ 探究点一 与指数函数有关的函数的定义域和值域
例1 求下列函数的定义域与值域.
(1) y=;(2) y=;(3)y=;(4)y=.
变式 (1)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(-∞,2] B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.[2,+∞) D.[2,5)∪(5,+∞)
(2)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为 .
(3)函数y=的值域是 .
[素养小结]
函数y=af(x)的定义域、值域的求法:
(1)定义域:形如y=af(x)的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合.
(2)值域:①换元,令t=f(x);②求t=f(x)的定义域D;③求t=f(x)的值域M;④利用函数y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
需要注意的是,通过建立不等关系求定义域时,解集为各不等关系解集的交集;当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论.
◆ 探究点二 简单的指数不等式的解法
例2 (1)不等式<的解集是 ( )
A. B.
C. D.
(2)不等式>的解集为 .
变式 解关于x的不等式>(a>0,且a≠1).
[素养小结]
1.解形如ax>ab(a>0,且a≠1)的不等式时,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0b(a>0,且a≠1)的不等式时,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的一般步骤:
◆ 探究点三 与指数函数有关的函数的单调性
例3 求f(x)=的单调区间,并求其值域.
变式 (1)若函数f(x)=3x(x-a)在区间上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.[-3,0)
C.(0,1] D.[3,+∞)
(2)[2025·河南南阳高一期中] 已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是 .
[素养小结]
与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论:
(1)求解步骤:①求定义域,依据题意明确研究范围;②拆分,把原函数拆分为几个基本函数;③定性质,分层逐一求单调性;④下结论,根据复合函数的单调性法则,即“同增异减”,得出原函数的单调性.
(2)一般结论:求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,令u=f(x),x∈[m,n],若两个函数y=au(a>0,且a≠1)与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上单调递增;若两个函数的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上单调递减.
◆ 探究点四 与指数函数及其性质有关的综合应用
例4 已知f(x)=-.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)证明函数f(x)在[0,2)上单调递增;
(3)设g(x)=-(x∈(-1,1)),若g(t)+g(t-1)<0,求实数t的取值范围.
变式 [2025·浙江诸暨中学高一期中] 已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.
[素养小结]
与指数函数有关的函数的奇偶性和单调性的判断方法:
(1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断,注意定义域优先原则,判断过程中要进行必要的指数幂的运算.
(2)单调性按照函数单调性的定义进行判断,先确定单调区间,作差变形后再进行符号的判断.
第2课时 指数函数的图象及其性质的应用
【课前预习】
知识点一
f(x) R
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)依题意,函数的定义域为R,此时y>0,即值域为(0,+∞).
(2)依题意,x-2≠0,解得x≠2,∴函数的定义域是{x|x≠2}.
(3)∵x∈R,∴>0,∴y=-1>-1,因此函数y=-1的值域是(-1,+∞).
知识点二
1.> <
2.f(x)g(x)
诊断分析
解:不等式22x+3>可化为22x+3>2-5,所以2x+3>-5,解得x>-4,所以不等式的解集是(-4,+∞).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)要使函数有意义,则需1-3x≥0,即3x≤1=30.因为函数y=3x是增函数,所以x≤0,故函数y=的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,所以∈[0,1),即函数y=的值域为[0,1).
(2)要使函数有意义,则需x-4≠0,解得x≠4,所以函数y=的定义域为{x|x≠4}.因为≠0,所以≠1,即函数y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(3)依题意知函数的定义域为R,
因为x2+1≥1,所以≥31=3,所以函数y=的值域为[3,+∞).
(4)依题意知,函数的定义域为R.y==1-,因为3x>0,所以1+3x>1,所以0<<1,所以-1<-<0,所以0<1-<1,所以函数的值域为(0,1).
变式 (1)D (2)(0,2025] (3)
[解析] (1)要使函数f(x)=有意义,需满足解得x≥2且x≠5,则函数f(x)的定义域为[2,5)∪(5,+∞),故选D.
(2)令t=x2-1≥0-1=-1,因为y=单调递减,所以0(3)因为函数y=的定义域为R,所以0.5x>0,所以0.5x+2>2,所以0<<,即该函数的值域为.
探究点二
例2 (1)D (2)(-∞,1)∪(3,+∞)
[解析] (1)因为函数y=是减函数,且<,所以4a+2>8-3a,解得a>,即实数a的取值范围是.故选D.
(2)由>=3-3,得x2-4x>-3,即(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3,故原不等式的解集为(-∞,1)∪(3,+∞).
变式 解:当0,所以2x2-3x+71时,指数函数y=at是增函数,因为>,所以2x2-3x+7>x2+2x+3,解得x<1或x>4,所以不等式的解集是{x|x<1或x>4}.
综上所述,当01时,不等式的解集是{x|x<1或x>4}.
探究点三
例3 解:令u=x2-2x,y=.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,y=是R上的减函数,∴f(x)=的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为 [1,+∞).
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴0<≤=3,∴函数f(x)的值域为(0,3].
变式 (1)D (2) [解析] (1)函数y=3x在R上单调递增,若函数f(x)=3x(x-a)在区间上单调递减,则函数y=x(x-a)=-在区间上单调递减,所以≥,解得a≥3,所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选D.
(2)因为函数f(x)=
(a>0,a≠1)是R上的减函数,所以解得0探究点四
例4 解:(1)f(x)为奇函数,理由如下:函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)证明:设0≤x1,<,所以-<-,
所以-<-,即f(x1)所以函数f(x)在[0,2)上单调递增.
(3)由(1)(2)可知g(x)在[0,1)上单调递增,且g(x)为奇函数,根据奇函数图象的对称性可知g(x)在(-1,1)上单调递增.
由g(t)+g(t-1)<0可得g(t)<-g(t-1)=g(1-t),
所以-1变式 解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,
即+=0,解得a=1,此时f(x)=,可得f(x)+f(-x)=+=+=0,
即f(x)=-f(-x),
可知f(x)是定义域为R的奇函数,符合题意,所以f(x)=.
(2)由(1)可知,f(x)==1-,可知f(x)在R上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈R,且x1因为x10,+1>0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1.函数y=-1的定义域是 ( )
A.R
B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0}
D.{x|x≠0且x≠1}
2.函数f(x)=的单调递减区间为 ( )
A. B.
C.(3,+∞) D.(-∞,0)
3.[2025·贵州六盘水高一期末] 不等式0.<0.的解集为 ( )
A.[0,2) B.(-4,1)
C.(1,2) D.[0,1)
4.已知函数f(x)=4x-,则f(x) ( )
A.是奇函数,且在R上单调递增
B.是偶函数,且在R上单调递增
C.是奇函数,且在R上单调递减
D.是偶函数,且在R上单调递减
5.[2025·重庆育才中学高一诊断] 若函数f(x)=3x(x-a)在区间(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.[-4,0)
C.(0,4] D.[4,+∞)
6.(多选题)已知函数f(x)=,则 ( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(0,2]
C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增
D.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减
7.函数f(x)=4x-2x+1+2,当-1≤x≤1时,f(x)的取值范围是 .
8.[2025·菏泽高一期中] 函数f(x)=51-|2x+4|的单调递增区间为 .
9.(13分)求不等式a2x-3>a5x-1(a>0,且a≠1)的解集.
10.若2x+5y≤2-y+5-x,则有 ( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
11.(多选题)[2025·东北育才中学高一期中] 已知函数f(x)=,则 ( )
A.不等式|f(x)|<的解集是(-1,1)
B.对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x)
C.f(x)是R上的减函数
D.f(x)的值域为(-1,1)
12.[2025·上海进才中学高一期中] 不等式<与不等式x2+ax+b<0的解集相同,则a+b= .
13.[2025·岳阳一中高一月考] 已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增,则a的取值范围是 .
14.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求函数f(x)的值域.
15.[2025·黑龙江密山一中高一期中] 已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=-m,若对任意x1∈[0,3],都存在x2∈[-2,-1],使得f(x1)≤g(x2),则实数m的取值范围是 .
16.(15分)[2025·衡水中学高一月考] 已知函数f(x)=(a∈R)为偶函数,g(x)=mf(2x)+2f(x)+m(m∈R).
(1)求a的值及函数f(x)的值域;
(2)若“ x∈R,g(x)≥0”为假命题,求实数m的取值范围.
第2课时 指数函数的图象及其性质的应用
1.C [解析] 由题意可知,要有意义,可得x≠0,所以函数y=-1的定义域是{x|x≠0}.故选C.
2.B [解析] f(x)=由y=2u与u=x2-3x复合而成,而y=2u为增函数,所以函数f(x)=的单调递减区间即为u=x2-3x的单调递减区间,故f(x)的单调递减区间为.故选B.
3.D [解析] 因为y=0.5x是R上的减函数,所以0.<0.等价于>,则解得0≤x<1,所以不等式0.<0.的解集为[0,1).故选D.
4.A [解析] f(x)=4x-=4x-4-x的定义域为R,又f(-x)=4-x-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数.因为y=4x在R上单调递增,y=-4-x在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.故选A.
5.D [解析] 易知函数f(x)=3x(x-a)是由指数函数y=3t和二次函数t=x(x-a)复合而成的.由复合函数的单调性可得,使二次函数t=x(x-a)在区间(0,2)上单调递减即可,故≥2,可得a∈[4,+∞).故选D.
6.ABD [解析] 令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).对于选项A,f(x)的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同,均为R,故A正确;对于选项B,因为y=,u∈[-1,+∞)的值域为(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确;对于选项C,D,因为u=x2+4x+3在[-2,+∞)上单调递增,且y=,u∈[-1,+∞)在定义域上单调递减,所以根据复合函数的单调性,得函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,故C不正确,D正确.故选ABD.
7.[1,2] [解析] 当-1≤x≤1时,≤2x≤2,函数f(x)=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1,显然当2x=1,即x=0时,f(x)min=1,当2x=2,即x=1时,f(x)max=2,所以所求取值范围是[1,2].
8.(-∞,-2] [解析] 函数f(x)的定义域为R,设u=g(x)=1-|2x+4|=则g(x)在(-2,+∞)上单调递减,在(-∞,-2]上单调递增.又因为y=5u在定义域上单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2].
9.解:当a>1时,∵y=ax是R上的增函数,
∴2x-3>5x-1,解得x<-;
当0∴2x-3<5x-1,解得x>-.
综上,当a>1时,不等式的解集为;当010.B [解析] 原不等式可化为2x-5-x≤2-y-5y,设函数f(x)=2x-5-x,则原不等式可化为f(x)≤f(-y).因为函数f(x)在R上单调递增,所以x≤-y,即x+y≤0.故选B.
11.AD [解析] 对于A,f(x)==1-,由|f(x)|<,得-<1-<,即<<,得<2x+1<3,解得-112.-5 [解析] ∵<=23-3x,y=2x在R上单调递增,∴x2-2x-3<3-3x,即x2+x-6<0,∴a=1,b=-6,∴a+b=-5.
13. [解析] 因为函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增,y=在[2,3]上单调递减,所以014.解:(1)由题意可得,函数f(x)的定义域为R.
(2)令t=-x2+6x-5,
则t=-(x-3)2+4在(-∞,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,
又函数y=是减函数,
所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(-∞,3).
(3)由(2)可知,f(x)≥f(3)=,
故函数f(x)的值域为.
15.(-∞,2] [解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当x∈[0,3]时,f(x)max=f(3)=6.g(x)=-m在R上单调递减,所以当x∈[-2,-1]时,g(x)max=g(-2)=8-m.因为对任意x1∈[0,3],都存在x2∈[-2,-1],使得f(x1)≤g(x2),所以6≤8-m,解得m≤2,故m的取值范围是(-∞,2].
16.解:(1)函数f(x)=的定义域为R,由f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x)恒成立,则=,
即=恒成立,可得9x+a=1+a·9x,
即(a-1)(9x-1)=0恒成立,而9x-1不恒为0,所以a=1.
f(x)=3x+≥2=2,当且仅当x=0时取等号,
所以函数f(x)的值域为[2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)=3x+3-x,
则f(2x)=32x+3-2x=(3x+3-x)2-2=[f(x)]2-2,
则g(x)=mf(2x)+2f(x)+m=m[f(x)]2+2f(x)-m,
令f(x)=t∈[2,+∞),h(t)=mt2+2t-m,
由“ x∈R,g(x)≥0”为假命题,得“ x∈R,g(x)<0”为真命题,
故 t∈[2,+∞),h(t)<0,即 t∈[2,+∞),m(t2-1)+2t<0,
即 t∈[2,+∞),m<-.
令φ(t)=-=-,t≥2,易知函数y=t-在[2,+∞)上单调递增,
则函数φ(t)在[2,+∞)上单调递增,故φ(t)min=φ(2)=-,
所以m<-,
所以实数m的取值范围为.(共66张PPT)
4.2 指数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质
第2课时 指数函数的图象及其性质
的应用
探究点一 与指数函数有关的函数的定义域和值域
探究点二 简单的指数不等式的解法
探究点三 与指数函数有关的函数的单调性
探究点四 与指数函数及其性质有关的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会利用指数函数的性质解决定义域、值域问题.
2.会利用指数函数的单调性解指数不等式.
3.能利用复合函数的单调性解决与函数性质有关的综合问题.
知识点一 与指数函数有关的复合函数
函数，且可转化为函数 进行研究,其中
______.若的定义域为,则 的定义域为___.函数
的值域要根据的值域及函数 的单调性进行研究.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数，且的定义域是,值域是 .
( )
√
[解析] 依题意，函数的定义域为，此时，即值域为 .
（2）函数的定义域是 .( )
×
[解析] 依题意，，解得, 函数的定义域是 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的值域是 .( )
√
[解析] ，, ，
因此函数的值域是
知识点二 指数函数，且 单调性的应用
1.的取值与单调性:若,,则___; 若 ,
,则___ .
2.指数不等式的解法
对形如 的不等式的讨论:
当时, _____________;
当时, ____________.
【诊断分析】
解不等式 .
解：不等式可化为，
所以 ，解得，
所以不等式的解集是 .
探究点一 与指数函数有关的函数的定义域和值域
例1 求下列函数的定义域与值域.
（1） ；
解：要使函数有意义,则需,即.
因为函数 是增函数,所以,
故函数的定义域为 .
因为,所以,所以,
所以 , 即函数的值域为 .
例1 求下列函数的定义域与值域.
（2） ；
解：要使函数有意义,则需,解得,
所以函数 的定义域为.
因为,所以,即函数 的值域为且 .
（3） ;
解：依题意知函数的定义域为 ，
因为，所以，
所以函数 的值域为 ．
例1 求下列函数的定义域与值域.
（4） .
解：依题意知，函数的定义域为.
，因为，
所以，所以，所以 ，
所以，所以函数的值域为 .
变式（1）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 要使函数有意义，需满足
解得 且，则函数的定义域为 ，
故选D.
√
（2）已知函数，则 的值域为_________.
[解析] 令，
因为 单调递减，所以，
所以的值域为 .
（3）函数 的值域是______.
[解析] 因为函数的定义域为，所以 ，
所以，所以，即该函数的值域为 .
［素养小结］
函数的定义域、值域的求法：
（1）定义域：形如的函数的定义域是使得有意义的
的取值集合．
（2）值域：①换元，令；②求的定义域；③求
的值域；④利用函数的单调性求，的值域．
需要注意的是，通过建立不等关系求定义域时，解集为各不等关系
解集的交集；当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时
要注意分类讨论．
探究点二 简单的指数不等式的解法
例2（1）不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是减函数，且 ，
所以，解得，即实数的取值范围是 .
故选D.
√
（2）不等式 的解集为_________________.
[解析] 由，得 ，
即，解得或 ，
故原不等式的解集为 .
变式 解关于的不等式，且 .
解：当时，指数函数 是减函数，
因为,所以 ,
解得,所以不等式的解集是；
当 时，指数函数是增函数，
因为 ,所以,
解得或 ,所以不等式的解集是或 .
综上所述，当时，不等式的解集是；
当 时，不等式的解集是或 .
［素养小结］
1.解形如，且的不等式时，借助于函数的
单调性求解，如果的取值不确定，那么需分与两种
情况讨论；解形如，且的不等式时，注意将转化
为以为底数的指数幂的形式，再借助于函数的单调性求解．
2.解不等式，且 的一般步骤：
探究点三 与指数函数有关的函数的单调性
例3 求 的单调区间，并求其值域.
解：令，
在上单调递减,在上单调递增，
是 上的减函数，
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
，，
函数的值域为 .
变式（1）若函数在区间上单调递减，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在上单调递增，
若函数 在区间上单调递减，
则函数在区间 上单调递减，
所以，解得，所以实数的取值范围是 .
故选D.
√
（2）[2025·河南南阳高一期中］已知函数
是上的减函数，则 的
取值范围是______.
[解析] 因为函数 是上的
减函数，所以解得 ，
即的取值范围是 .
［素养小结］
与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论:
（1）求解步骤:①求定义域,依据题意明确研究范围;②拆分,把原函数
拆分为几个基本函数;③定性质,分层逐一求单调性;④下结论,根据复
合函数的单调性法则,即“同增异减”,得出原函数的单调性.
（2）一般结论:求形如，且的函数的单调性,
令,,若两个函数，且与
的单调性相同,则函数在上单调递增;若两个
函数的单调性相异（即一增一减）,则函数在上单调
递减.
探究点四 与指数函数及其性质有关的综合应用
例4 已知 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
解：为奇函数,理由如下：函数的定义域为 ,关于原点对称，
因为,所以 为奇函数.
例4 已知 ．
（2）证明函数在 上单调递增；
证明：设,则, ,
所以 ，
所以,即 ，
所以函数在 上单调递增.
例4 已知 ．
（3）设，若 ，求
实数 的取值范围．
解：由可知在上单调递增，且 为奇函数，
根据奇函数图象的对称性可知在 上单调递增.
由可得 ，
所以，解得，故的取值范围为 ．
变式 [2025·浙江诸暨中学高一期中］ 已知函数 是定义
域为 的奇函数.
（1）求函数 的解析式；
解：因为是定义域为的奇函数，所以 ，
即，解得，此时 ，
可得 ，
即 ，
可知是定义域为的奇函数，符合题意，所以 .
变式 [2025·浙江诸暨中学高一期中］ 已知函数 是定义
域为 的奇函数.
（2）判断 的单调性，并用定义加以证明.
解：由（1）可知,,可知在 上单调递增，
证明如下：任取，，且
，
因为，所以，
可得, , ，
则，即，所以在 上单调递增.
［素养小结］
与指数函数有关的函数的奇偶性和单调性的判断方法:
（1）奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断,注意定义域优先原则,
判断过程中要进行必要的指数幂的运算.
（2）单调性按照函数单调性的定义进行判断,先确定单调区间,作差
变形后再进行符号的判断.
1.底数 的大小决定了指数函数的图象的形状和走向:
（1）当时,图象好像汉字笔画的一“撇”;当 时,图象好
像汉字笔画的一“捺”.
（2）当时,图象向右不断上升,即向左不断下降,并且无限靠近 轴
的负半轴;当时,图象向右不断下降,并且无限靠近 轴的正半轴.
（3）在同一平面直角坐标系内与，且
的图象关于 轴对称.
（4）对于多个指数函数来说,底数大的图象在 轴右侧的部分越高
（简称:底大图高）.
2.形如,且 的函数的性质
（1）函数与函数 有相同的定义域.
（2）当时,函数与的单调性相同;当
时,函数与函数 的单调性相反.
1.换元法
对于与指数函数复合的函数,求其值域时一般考虑换元法,即通过换元
将复合函数转化为简单函数,再利用简单函数的单调性求其值域.
例1 已知满足，求函数 的最大值及最小值．
解：由，可得，可得，
令 ， ，
则， .
当，即时，；
当，即 时， ．
例2 求函数 的值域.
解：,
令 ,则 ,
当时,取得最小值,所以函数的值域为 .
2.复合函数法
对于与指数函数相关的复合函数的单调性,一般用复合函数法判断.
例3（1）函数 在下列区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
[解析] 令， ，由复合函数的单调性可知，
的单调递减区间即为函数 的单调递减区间.
因为 ，
所以函数 为偶函数，作出其图象，如图所示.
由图可知函数的单调递减区间为和 ，
则的单调递减区间为和 .故选C.
√
（2）已知函数在区间上单调递增，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，
要使在 上单调递增，只需在上单调递增，
则，所以 .
故选A.
√
3.与指数函数有关的函数性质综合问题
例4 ［2025·长春外国语学校高一期中］已知定义在 上的函数
是奇函数.
（1）求实数 的值；
解：由定义在上的函数为奇函数,得 ,解得 ，
此时 ，
则 ，
即函数是奇函数，所以 .
例4 ［2025·长春外国语学校高一期中］已知定义在 上的函数
是奇函数.
（2）判断函数 的单调性，并用定义加以证明；
解：由（1）知 ，
函数在 上单调递增，证明如下：
任取，，且 ，
则 ，
由，得，则，
所以函数在 上单调递增.
例4 ［2025·长春外国语学校高一期中］已知定义在 上的函数
是奇函数.
（3）若对任意的，不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.
解：依题意，对任意的 ，
恒成立，
则，即对任意的 恒成立，
而 ，当且仅当时取等号，
所以 ，所以实数的取值范围是 .
练习册
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.且
[解析] 由题意可知，要有意义，可得 ，
所以函数的定义域是 .
故选C.
√
2.函数 的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由与复合而成，
而 为增函数，
所以函数的单调递减区间即为 的单调递减区间,
故的单调递减区间为 .
故选B.
√
3.［2025·贵州六盘水高一期末］不等式 的解集
为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是上的减函数，
所以 等价于，则
解得 ,所以不等式的解集为 .
故选D.
√
4.已知函数，则 ( )
A.是奇函数，且在上单调递增 B.是偶函数，且在 上单调递增
C.是奇函数，且在上单调递减 D.是偶函数，且在 上单调递减
[解析] 的定义域为 ，
，所以是奇函数.
因为在 上单调递增，在上单调递增，
所以在 上单调递增.故选A.
√
5.［2025· 重庆育才中学高一诊断］若函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知函数是由指数函数 和
二次函数 复合而成的.
由复合函数的单调性可得，
使二次函数在区间上单调递减即可，
故 ，可得 .
故选D.
√
6.（多选题）已知函数 ，则( )
A.函数的定义域为
B.函数的值域为
C.函数在 上单调递增
D.函数在 上单调递减
√
√
√
[解析] 令，则 .
对于选项A，的定义域与的定义域相同，均为 ，
故A正确；
对于选项B，因为，的值域为，
所以函数的值域为 ，故B正确；
对于选项C,D，因为在上单调递增，
且， 在定义域上单调递减，
所以根据复合函数的单调性，得函数 在上单调递减，
故C不正确，D正确.故选 .
7.函数，当时， 的取值范围是
______.
[解析] 当时， ，
，
显然当，即 时，，
当，即时， ，
所以所求取值范围是 .
8.［2025· 菏泽高一期中］函数 的单调递增区间为
__________.
[解析] 函数的定义域为 ，
则在 上单调递减，在上单调递增.
又因为 在定义域上单调递增，
所以的单调递增区间为 .
9.（13分）求不等式，且 的解集.
解:当时，是 上的增函数，
，解得 ；
当时，是 上的减函数，
，解得 .
综上，当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 .
10.若 ，则有( )
A. B. C. D.
[解析] 原不等式可化为 ，
设函数，
则原不等式可化为.
因为函数 在上单调递增，所以，即 .
故选B.
√
11.（多选题）［2025·东北育才中学高一期中］ 已知函数
，则( )
A.不等式的解集是
B.对任意的，都有
C.是 上的减函数
D.的值域为
√
√
[解析] 对于A,,由 ,得,
即,得 ,解得,
所以原不等式的解集为 ,故A正确；
对于B, ,故B错误；
对于C,,所以不是 上的减函数,
故C错误；
对于D,由知 ,
所以函数的值域为,故D正确.
故选 .
12.［2025·上海进才中学高一期中］不等式 与不
等式的解集相同，则 ____.
[解析] ，在 上单调递增,
，即，
, ，
.
13.［2025·岳阳一中高一月考］已知函数 且
在区间上单调递增，则 的取值范围是______.
[解析] 因为函数且在区间 上单调递增，
在上单调递减，
所以，且 对任意恒成立，
所以解得 .
14.（15分）已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
解:由题意可得，函数的定义域为 .
（2）求函数 的单调区间；
解:令 ，
则在上单调递增，在 上单调递减，
又函数 是减函数，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .
14.（15分）已知函数 .
（3）求函数 的值域.
解:由（2）可知， ，
故函数的值域为 .
15.［2025·黑龙江密山一中高一期中］已知函数
，，若对任意 ，都存
在，使得，则实数 的取值范围是_____
___.
[解析] ，
在 上单调递减，在上单调递增，
所以当 时，
在 上单调递减，
所以当时，.
因为对任意 ，都存在，使得，
所以 ，解得，
故的取值范围是 .
16.（15分）［2025·衡水中学高一月考］ 已知函数
为偶函数， .
（1）求的值及函数 的值域；
解：函数的定义域为，
由 为偶函数，得恒成立，
则 ，即恒成立，
可得 ，即恒成立，
而不恒为0，所以 .
，当且仅当 时取等号，
所以函数的值域为 .
16.（15分）［2025·衡水中学高一月考］ 已知函数
为偶函数， .
（2）若“,”为假命题，求实数 的取值范围.
解：由（1）知， ，
则 ，
则 ，
令， ，
由“,”为假命题，得“, ”为真命题，
故,,即, ，
即, .
令,，
易知函数在 上单调递增，
则函数在上单调递增，故 ，
所以 ，所以实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√
知识点二 1. 2. 【诊断分析】
课中探究 探究点一 例1 （1）.（2）. 且
（3）.（4）. 变式 （1）D （2） （3）
探究点二 例2 （1）D （2） 变式 当时，不等式的
解集是；当时，不等式的解集是或
探究点三 例3 单调递增区间为，单调递减区间为.> 值域为
变式 （1）D （2）
探究点四 例4 （1）为奇函数，理由略（2）证明略（3）
变式 （1） （2）在上单调递增.证明略
快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.ABD 7. 8.
9. 当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
10.B 11.AD 12. 13.
14.（1） （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）
15.
16.（1），（2） m>