4.4.1 对数函数的概念
【学习目标】
1.了解对数函数的概念,知道对数函数的实际背景,能说出对数函数的定义.
2.会求与对数函数有关的函数定义域.
◆ 知识点 对数函数的定义
一般地,函数y= (a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log2x3是对数函数. ( )
(2)函数y=lox是对数函数. ( )
(3)函数y=log2(x+1)的定义域是(0,+∞).( )
2.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0
◆ 探究点一 对数函数的概念及应用
例1 (1)给出下列函数:①y=lox;②y=log6x;③y=logx5;④y=log2x+1;⑤y=2log3x.
其中是对数函数的为 .(填序号)
(2)已知对数函数y=f(x)满足f(9)=-2,则此对数函数的解析式为 ( )
A.f(x)=log2x
B.f(x)=log3x
C.f(x)=lox
D.f(x)=lox
变式 (1)(多选题)下列函数中为对数函数的是 ( )
A.y=lo(-x)
B.y=log4x2
C.y=ln x
D.y=lox(a是常数)
(2)已知函数f(x)=则f(-1)= .
[素养小结]
对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:(1)系数为1;(2)底数为大于0且不等于1的常数;(3)对数的真数仅有自变量x.
◆ 探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
例2 (1)函数f(x)=的定义域为( )
A.(-∞,1)∪(2,4)
B.(2,4)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(1,2)
(2)若函数y=lg(ax+1)的定义域为(-∞,1),则a= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.无法确定
(3)若函数f(x)的定义域是[1,2025],则函数g(x)=的定义域是 .
变式 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=++log3(2x-1);
(2)y=;
(3)y=log(x+1)(16-4x).
[素养小结]
求解定义域问题通常包括以下几种情况:
①若f(x)的解析式为整式,则函数的定义域为R;②若f(x)的解析式为分式,则要求分母不能为0;③若f(x)的解析式为对数式,则要求底数大于0且不等于1,真数大于0;④若f(x)的解析式为根指数是偶数的根式,则要求被开方数非负;⑤f(x)描述实际问题时,要求使实际问题有意义.
若f(x)的解析式是由以上几种情况的式子构成的,则常常将约束条件转化为不等式(组).
◆ 探究点三 对数函数的实际应用
例3 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,则至少过滤多少次才能使产品达到市场要求 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
变式 设小丁持续背单词所花时间y(单位:分钟)与背会的单词个数x之间满足函数关系式y=k·lg,其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背会了20个单词,持续背单词100分钟背会了30个单词.问:小丁持续背单词200分钟约能背会多少个单词 (结果精确到1)
[素养小结]
对数函数的实际应用问题中,需要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算机工具计算解题.
4.4.1 对数函数的概念
1.B [解析] 由已知得f(2)=log2(2-a)=0,所以2-a=1,解得a=1.故选B.
2.C [解析] ①y=logax在a>0且a≠1的条件下才是对数函数,故①不是对数函数;②y=log8x是对数函数;③y=ln x是对数函数;④y=logx(x+2)中,底数不是常数,不是对数函数;⑤y=2log4x=log2x,是对数函数.故选C.
3.B [解析] 由题意得解得0
1,所以函数f(x)=+ln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故选B.
4.B [解析] 令+1=t(t>1),则x=,所以f(t)=lg ,所以f(x)=lg .故选B.
5.B [解析] 因为f(x)=
所以f(-6)=f(-6+3)=f(-3)=f(-3+3)=f(0)=f(0+3)=f(3)=lg(32+1)=1.故选B.
6.CD [解析] 对于A,函数f(x)的定义域为R,取x1=1,x2=2,则f(x1)+f(x2)=6,f(x1·x2)=4,则存在x1,x2,使得f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),所以A不是“好函数”;对于B,函数f(x)的定义域为R,取x1=1,x2=2,则f(x1)+f(x2)=,f(x1·x2)=,则存在x1,x2,使得f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),所以B不是“好函数”;对于C,函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)=lox1+lox2=lo(x1x2)=f(x1·x2),所以C是“好函数”;对于D,函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)=log3x1+log3x2=log3(x1x2)=f(x1·x2),所以D是“好函数”.故选CD.
7.4 [解析] 由题意知解得a=4.
8. [解析] 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f=-,所以f=loga=-,可得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2(2)=.
9.解:(1)将点(-1,0)的坐标代入y=loga(x+a)(a>0,且a≠1),得0=loga(-1+a),
则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,解得x>-2,
所以该函数的定义域为(-2,+∞).
10.B [解析] 若函数f(x)=lg(ax2-ax+1)的定义域为R,则当a=0时,f(x)=lg 1=0,符合要求;当a≠0时,有解得011.ACD [解析] ∵点(a,b)的坐标满足对数函数f(x)=ln x的解析式,∴ln a=b,其中a>0.对于A,ln=-ln a=-b,∴点的坐标满足函数f(x)的解析式;对于B,ln(a+e)=1+b不一定成立,∴点(a+e,1+b)的坐标不一定满足函数f(x)的解析式;对于C,ln=ln e-ln a=1-b,∴点的坐标满足函数f(x)的解析式;对于D,ln a2=2ln a=2b,∴点(a2,2b)的坐标满足函数f(x)的解析式.故选ACD.
12. [解析] 由函数f(x)=ln,得>0,即<0,解得-213.18 [解析] 由题意得CB=y=a-CA==,所以x=3loy,所以当y=时,x=3lo=18.
14.解:(1)将v=1.7,x=6400代入v=log2-lg x0,
得1.7=log2-lg x0,
即lg x0=0.3,解得x0=2,
所以此时x0的值为2.
(2)设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为x1,乙北极燕鸥每分钟的耗氧量为x2,乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为x'0,
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为10x'0.
由题意可知,甲北极燕鸥的飞行速度v1=log2-lg(10x'0)=log2-lg x'0-1,乙北极燕鸥的飞行速度v2=log2-lg x'0,
由v1=v2,得log2-log2=1,即log2=3,
所以=8,即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍.
15.C [解析] 设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为V1,最小值对应的小数记录法数据为V2,则两式相减得1.2=lg V1-lg V2=lg ,则=101.2.由lg a=1.4,可得a=101.4,所以=(102.4=(10×101.4=,故C正确,检验可知其余选项均不正确.故选C.
16.解:设t=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t=3-ax为R上的减函数,
∴当x∈时,t=3-ax的最小值为3-a.
∵当x∈时,f(x)恒有意义,即t>0对x∈恒成立,
∴3-a>0,∴a<2,
又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).4.4.1 对数函数的概念
1.若函数f(x)=log2(x-a)满足f(2)=0,则a= ( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
2.给出下列函数:①y=logax(a∈R);②y=log8x;③y=ln x;④y=logx(x+2);⑤y=2log4x.其中对数函数的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数f(x)=+ln x的定义域为 ( )
A.[0,1)∪(1,+∞)
B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)
D.(0,+∞)
4.已知f=lg x,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=lg
B.f(x)=lg
C.f(x)=lg
D.f(x)=lg
5.[2025·福建厦门一中高一期中] 已知函数f(x)=则f(-6)= ( )
A.0 B.1
C.2 D.10
6.(多选题)若f(x)满足对定义域内任意的x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1·x2),则称f(x)为“好函数”.下列函数是“好函数”的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)= C.f(x)=lox D.f(x)=log3x
7.若函数f(x)=logax+a2-2a-8为对数函数,则a= .
8.已知函数f(x)是对数函数,且f=-,则f(2)= .
9.(13分)已知函数y=loga(x+a)(a>0,且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值;
(2)求该函数的定义域.
10.[2025·厦门双十中学高一期中] “函数f(x)=lg(ax2-ax+1)的定义域为R”是“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(多选题)若点(a,b)的坐标满足对数函数f(x)=ln x的解析式,则下列各点的坐标中一定满足函数f(x)的解析式的是 ( )
A. B.(a+e,1+b)
C. D.(a2,2b)
12.已知函数f(x)=ln,则函数f(2x+1)的定义域为 .
13.如图,有两个沿两平行直线运动的动点C和F,其中点C从线段AB的端点A向B运动,点F从射线DE的端点D向E运动,其中AB的长为a,DE的长无限大.若DF的长度满足在第t秒时DF=3t,CA的长度满足在第t秒时CA=a-,记DF=x,CB=y,则x是关于y的一个对数函数.根据以上定义,当y=时,x= .
14.(15分)北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=log2-lg x0,其中x表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数,x0表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.(取lg 2为0.3)
(1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6400个单位时,它的飞行速度为1.7 km/min,求此时x0的值;
(2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时,甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍
15.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式L=5+lg V.已知五分记录法的评判范围为[4.0,5.2],设lg a=1.4,则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的 ( )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
16.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).若当x∈时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
4.4.1 对数函数的概念
1.B [解析] 由已知得f(2)=log2(2-a)=0,所以2-a=1,解得a=1.故选B.
2.C [解析] ①y=logax在a>0且a≠1的条件下才是对数函数,故①不是对数函数;②y=log8x是对数函数;③y=ln x是对数函数;④y=logx(x+2)中,底数不是常数,不是对数函数;⑤y=2log4x=log2x,是对数函数.故选C.
3.B [解析] 由题意得解得01,所以函数f(x)=+ln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故选B.
4.B [解析] 令+1=t(t>1),则x=,所以f(t)=lg ,所以f(x)=lg .故选B.
5.B [解析] 因为f(x)=
所以f(-6)=f(-6+3)=f(-3)=f(-3+3)=f(0)=f(0+3)=f(3)=lg(32+1)=1.故选B.
6.CD [解析] 对于A,函数f(x)的定义域为R,取x1=1,x2=2,则f(x1)+f(x2)=6,f(x1·x2)=4,则存在x1,x2,使得f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),所以A不是“好函数”;对于B,函数f(x)的定义域为R,取x1=1,x2=2,则f(x1)+f(x2)=,f(x1·x2)=,则存在x1,x2,使得f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),所以B不是“好函数”;对于C,函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)=lox1+lox2=lo(x1x2)=f(x1·x2),所以C是“好函数”;对于D,函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)=log3x1+log3x2=log3(x1x2)=f(x1·x2),所以D是“好函数”.故选CD.
7.4 [解析] 由题意知解得a=4.
8. [解析] 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f=-,所以f=loga=-,可得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2(2)=.
9.解:(1)将点(-1,0)的坐标代入y=loga(x+a)(a>0,且a≠1),得0=loga(-1+a),
则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,解得x>-2,
所以该函数的定义域为(-2,+∞).
10.B [解析] 若函数f(x)=lg(ax2-ax+1)的定义域为R,则当a=0时,f(x)=lg 1=0,符合要求;当a≠0时,有解得011.ACD [解析] ∵点(a,b)的坐标满足对数函数f(x)=ln x的解析式,∴ln a=b,其中a>0.对于A,ln=-ln a=-b,∴点的坐标满足函数f(x)的解析式;对于B,ln(a+e)=1+b不一定成立,∴点(a+e,1+b)的坐标不一定满足函数f(x)的解析式;对于C,ln=ln e-ln a=1-b,∴点的坐标满足函数f(x)的解析式;对于D,ln a2=2ln a=2b,∴点(a2,2b)的坐标满足函数f(x)的解析式.故选ACD.
12. [解析] 由函数f(x)=ln,得>0,即<0,解得-213.18 [解析] 由题意得CB=y=a-CA==,所以x=3loy,所以当y=时,x=3lo=18.
14.解:(1)将v=1.7,x=6400代入v=log2-lg x0,
得1.7=log2-lg x0,
即lg x0=0.3,解得x0=2,
所以此时x0的值为2.
(2)设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为x1,乙北极燕鸥每分钟的耗氧量为x2,乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为x'0,
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为10x'0.
由题意可知,甲北极燕鸥的飞行速度v1=log2-lg(10x'0)=log2-lg x'0-1,乙北极燕鸥的飞行速度v2=log2-lg x'0,
由v1=v2,得log2-log2=1,即log2=3,
所以=8,即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍.
15.C [解析] 设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为V1,最小值对应的小数记录法数据为V2,则两式相减得1.2=lg V1-lg V2=lg ,则=101.2.由lg a=1.4,可得a=101.4,所以=(102.4=(10×101.4=,故C正确,检验可知其余选项均不正确.故选C.
16.解:设t=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t=3-ax为R上的减函数,
∴当x∈时,t=3-ax的最小值为3-a.
∵当x∈时,f(x)恒有意义,即t>0对x∈恒成立,
∴3-a>0,∴a<2,
又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).(共54张PPT)
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
探究点一 对数函数的概念及应用
探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
探究点三 对数函数的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解对数函数的概念,知道对数函数的实际背景,能说出对数函数
的定义.
2.会求与对数函数有关的函数定义域.
知识点 对数函数的定义
一般地,函数_______,且叫作对数函数,其中 是自变
量,定义域是________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是对数函数.( )
×
[解析] 对数函数中自变量 在真数的位置上,所以错误.
（2）函数 是对数函数.( )
√
[解析] 在对数函数中,且,
故 是对数函数,所以正确.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的定义域是 .( )
×
[解析] 由,可得,所以函数的定义域为 ,
所以错误.
2.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0
解：不能.由,得,
在指数函数中底数 需要满足且,
故在对数函数的解析式中, 不能等于0或小于0.
探究点一 对数函数的概念及应用
例1（1）给出下列函数：； ；
；； .
其中是对数函数的为________.（填序号）
①②⑤
[解析] 对于①②,和 符合对数函数的定义,是对数函数；
对于③,自变量在底数位置上,不是对数函数;
对于④,后又加上1,不是对数函数；
对于⑤, ,符合对数函数的定义,是对数函数.
故填①②⑤.
（2）已知对数函数满足 ,则此对数函数的解析
式为( )
A. B. C. D.
[解析] 设且,
因为 ,所以,
所以,即,所以 ,
则此对数函数的解析式为 .
故选C.
√
变式（1）（多选题）下列函数中为对数函数的是( )
A. B.
C. D.是常数
[解析] 对于A,真数是 ,故A不是对数函数；
对于B,,真数是,不是 ,故B不是对数函数；
对于C, 满足对数函数的定义,故C是对数函数；
对于D,底数是,真数是,故D是对数函数.
故选 .
√
√
（2）已知函数则 ___.
0
[解析] 由题意知, .
［素养小结］
对数函数必须是形如,且的形式,即必须满足
以下条件:（1）系数为1;（2）底数为大于0且不等于1的常数;
（3）对数的真数仅有自变量.
探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
例2（1）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意得即
解得 或,所以的定义域为 .
故选A.
√
（2）若函数的定义域为,则 ( )
A.1 B. C.2 D.无法确定
[解析] 由函数的定义域为,
得 的解集为,
所以且的根为,故 .
故选B.
√
（3）若函数的定义域是,则函数 的定义
域是________________.
[解析] 因为函数的定义域是,
所以对于 ,有
解得且,
所以函数 的定义域是 .
变式 求下列函数的定义域.
（1） ；
解：由题意得解得,
所以函数 的定义域是 .
（2） ;
解：由题意得解得且,
所以函数 的定义域为 .
变式 求下列函数的定义域.
（3） .
解：要使函数有意义,需满足
解得或,
所以函数的定义域为 .
［素养小结］
求解定义域问题通常包括以下几种情况:
①若的解析式为整式,则函数的定义域为;
②若的解析式为分式,则要求分母不能为0;
③若的解析式为对数式,则要求底数大于0且不等于1,真数大于0;
④若的解析式为根指数是偶数的根式,则要求被开方数非负;
描述实际问题时,要求使实际问题有意义.
若的解析式是由以上几种情况的式子构成的,则常常将约束条件
转化为不等式（组）.
探究点三 对数函数的实际应用
例3 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 ,
若初始时含杂质,每过滤一次可使杂质含量减少 ,则至少过滤
多少次才能使产品达到市场要求？（参考数据： ,
）
解：设过滤次后杂质含量为 ,则 ,
即,则 .
令 ,
,
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求.
变式 设小丁持续背单词所花时间 （单位：分钟）与背会的单词个
数之间满足函数关系式,其中常数,且 ,
.已知小丁持续背单词50分钟背会了20个单词,持续背单词100
分钟背会了30个单词.问：小丁持续背单词200分钟约能背会多少个单
词？（结果精确到1）
解：由题意得 两式相除,得 ,
即,解得,所以 ,故 .
当时,,解得 ,
所以小丁持续背单词200分钟约能背会38个单词.
［素养小结］
对数函数的实际应用问题中,需要建立对数函数模型,可设指数变
量为,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数
据或计算机工具计算解题.
1.对数函数的定义
（1）对数函数在形式上具有严格性,表达式中 前面的
系数必须是1,自变量在真数的位置上,否则不是对数函数.
（2）在对数函数中,底数,且,自变量 ,函数
值 .对于对数函数的三个要素,要做到明白道理、牢固记忆、准
确运用.
2.对数函数的判断
判断一个函数是不是对数函数,只需看其形式是否符合对数函数的定义.
1.判断一个函数是不是对数函数的关键是分析所给函数是否具有
,且 这种形式．
例1 给出下列函数:
,且,;; ;
; .
其中为对数函数的是________.（填序号）
②③⑤
[解析] 函数,且,的底数是自变量 ,
不是常数,故①不是对数函数;
函数 符合对数函数的定义,故②是对数函数；
函数 符合对数函数的定义,故③是对数函数；
函数的真数是,不是自变量 ,故④不是对数函数；
函数 ,故⑤是对数函数.
故填②③⑤.
2.与对数函数有关的定义域问题,需注意真数恒大于0.
例2（1）函数 的定义域为______________.
[解析] 要使函数有意义,
则解得 且,
的定义域为 .
（2）函数 的定义域为_______________.
[解析] ,解得且,
函数的定义域为 .
练习册
1.若函数满足,则 ( )
A.3 B.1 C. D.
[解析] 由已知得,所以 ,解得 .
故选B.
√
2.给出下列函数：；； ；
； .其中对数函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 在且 的条件下才是对数函数,
故①不是对数函数；
是对数函数； 是对数函数；
中,底数不是常数,不是对数函数；
,是对数函数.
故选C.
√
3.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得解得或 ,
所以函数的定义域为 .
故选B.
√
4.已知,则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 令,则,
所以 ,所以 .
故选B.
√
5.[2025· 福建厦门一中高一期中]已知函数
则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.10
[解析] 因为
所以 .
故选B.
√
6.（多选题）若满足对定义域内任意的, ,都有
,则称 为“好函数”.下列函数是“好函
数”的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,函数的定义域为,
取, ,则,,
则存在, ,使得,所以A不是“好函数”；
√
√
对于B,函数 的定义域为,
取,,则 ,,
则存在,,使得 ,所以B不是“好函数”；
对于C,函数的定义域为 ,对任意的, ,
,
所以C是 “好函数”；
对于D,函数的定义域为,对任意的 , ,
,
所以D是“好函数”.故选 .
7.若函数为对数函数,则 ___.
4
[解析] 由题意知解得 .
8.已知函数是对数函数,且,则 __.
[解析] 设,且,
因为 ,所以,可得,
所以 ,所以 .
9.（13分）已知函数,且 的图象过点
．
（1）求 的值；
解：将点的坐标代入,且 ,
,则,所以 .
（2）求该函数的定义域．
解：由（1）知,由,解得 ,
所以该函数的定义域为 ．
10.［2025·厦门双十中学高一期中］“函数 的
定义域为”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若函数的定义域为,
则当 时,,符合要求；
当时,有 解得.
综上所述, ,故“函数的定义域为”是
“ ”的必要不充分条件.
故选B.
11.（多选题）若点的坐标满足对数函数 的解析式,
则下列各点的坐标中一定满足函数 的解析式的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 点的坐标满足对数函数 的解析式,
,其中.
对于A,, 点 的坐标满足函数的解析式；
对于B,不一定成立,
点的坐标不一定满足函数 的解析式；
对于C,,
点的坐标满足函数 的解析式；
对于D,, 点 的坐标满足函数的解析式.
故选 .
12.已知函数,则函数 的定义域为________.
[解析] 由函数,得,即 ,解得.
令,解得,
所以 的定义域为 .
13.如图,有两个沿两平行直线运动的动点
和,其中点从线段的端点向 运动,
点从射线的端点向运动,其中 的
18
[解析] 由题意得,所以 ,
所以当时, .
长为,的长无限大.若的长度满足在第秒时, 的
长度满足在第秒时,记,,则 是关于
的一个对数函数.根据以上定义,当时, ____.
14.（15分）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的.科学家经过测
量发现北极燕鸥的飞行速度（单位： ）可以表示为
,其中 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数,
表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取为 ）
（1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6400个单位时,它的飞行速度为
,求此时 的值；
解：将,代入 ,
得 ,即,解得 ,
所以此时 的值为2.
14.（15分）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的.科学家经过测
量发现北极燕鸥的飞行速度（单位： ）可以表示为
,其中 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数,
表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取为 ）
（2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时,甲北极燕鸥每分钟的耗氧
偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,试问甲北极燕鸥每分钟
的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？
解：设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为 ,乙北极燕鸥每分钟的耗氧量
为,乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为 ,
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的
10倍,所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为 .
由题意可知,甲北极燕鸥的飞行速度
,
乙北极燕鸥的飞行速度 ,
由,得,即 ,所以 ,
即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍.
15.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据
和小数记录法的数据满足关系式 .已知五分记录法的评
判范围为,设 ,则五分记录法中最大值对应的小数
记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍
√
[解析] 设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为 ,
最小值对应的小数记录法数据为,
则 两式相减得,则.
由,可得 ,所以 ,
故C正确,检验可知其余选项均不正确.
故选C.
16.（15分）已知函数,且 .若当
时,函数恒有意义,求实数 的取值范围.
解：设,,且,为 上的减函数,
当时,的最小值为 .
当时,恒有意义,即对 恒成立,
, ,
又,且, 实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）× 2. 不能
课中探究 探究点一 例1 （1）①②⑤ （2）C 变式 （1）CD （2）0
探究点二 例2 （1）A （2）B （3）
变式 （1） （2） （3）
探究点三 例3 至少过滤11次才能使产品达到市场要求
变式 38个单词
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.CD
7.4 8.
9.（1）2（2）
10.B 11.ACD 12. 13.18
14.（1）2（2） 8倍
15.C 16. 