4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
【学习目标】
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象,会分底数0
1描述对数函数的图象特征.
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点,会利用单调性比较函数值的大小,会解对数方程及对数不等式.
3.会根据对数函数的图象与性质解决一些简单的问题.
◆ 知识点一 对数函数的图象和性质
解析式 y=logax(a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点 ,即loga1=
函数 值特征 当x∈(0,1)时,y∈ ;当x∈(1,+∞)时,y∈ 当x∈(0,1)时,y∈ ;当x∈(1,+∞)时,y∈
(续表)
解析式 y=logax(a>0,且a≠1)
对称性 y=logax与y=lox的图象关于 轴对称
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,0). ( )
(2)对数函数的图象一定在y轴的右侧. ( )
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是单调函数. ( )
(4)当01,则y=logax的函数值都大于零. ( )
(5)函数y=log2x与y=lox的图象关于y轴对称. ( )
(6)函数y=log3x的定义域和值域都是(0,+∞). ( )
◆ 知识点二 根据对数函数的图象判断底数大小的方法
如图,作出直线y=1,与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
◆ 探究点一 对数函数图象的识别
例1 (1)[2024·北京海淀区高一期末] 已知a>0,且a≠1,在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的部分图象可能是 ( )
(2)已知函数f(x)=logax,g(x)=logbx,h(x)=logcx的图象分别对应图中的①②③,则下列结论正确的是 ( )
A.a>b>1>c
B.b>a>1>c
C.c>1>a>b
D.c>a>1>b
(3)已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)的图象恒过定点(m,n),则m+n= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式 (1)已知指数函数y=ax,对数函数y=logbx的图象如图所示,则下列关系成立的是 ( )
A.0C.0(2)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=(a-1)x,g(x)=logax的图象可能是 ( )
[素养小结]
处理对数函数图象问题的3个注意点:
(1)明确图象的分布区域.对数函数的图象经过第一、四象限.当x趋近于0时,函数图象会越来越靠近y轴,但永远不会与y轴相交.
(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1,还是0(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1)和.
◆ 探究点二 利用对数函数的单调性比较大小
例2 比较下列各组中两个值的大小.
(1)log21.9,log21.5;(2)log0.61.1,log0.61.3;
(3)log23,log0.32;(4)log30.2,log40.2;
(5)logaπ,loga3.14(a>0,且a≠1).
变式 (1)已知a=log210,b=log315,c=log420,则 ( )
A.cC.b(2)(多选题)下列各式中正确的是 ( )
A.ln 0.83>ln 0.73
B.lg 1.6>lg 1.4
C.log0.50.4>log0.50.6
D. log23>log0.50.2
[素养小结]
利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较,常用的方法如下:
(1)同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较;
(2)底数和真数都不相同的两个对数值的大小比较,常引入中间量进行比较,通常取中间量为-1,0,1等;
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思想来解决,也可用换底公式化为同底,再进行比较.
◆ 探究点三 解简单的对数不等式
例3 (1)不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为 .
(2)设a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(2x+1),求不等式2f(x)≤g(x)的解集.
变式 (1)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1).若曲线y=f(x)过点(8,3),则不等式f(2x)(2)已知a>0且a≠1,若loga(2a+1)[素养小结]
解对数不等式的一般思路:
(1)把不等式两边均化为logaf(x)的形式;
(2)利用单调性把不等式转化为真数的大小关系比较,得到新的不等式,要注意底数a和1的关系;
(3)在真数大于零的前提下解这个新的不等式;
(4)得出不等式的解集.
4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
【课前预习】
知识点一
R (1,0) 0 (-∞,0) (0,+∞)
(0,+∞) (-∞,0) x
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
(6)× [解析] (1)因为当x=0时,y=loga1=0,所以函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,0).
(2)因为对数函数的定义域为(0,+∞),所以对数函数的图象一定在y轴的右侧.
(3)因为当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,当00,且a≠1)在(0,+∞)上是单调函数.
(4)当01,则y=logax的函数值都小于零.
(5)两函数的图象关于x轴对称.
(6)函数y=log3x的定义域是(0,+∞),值域是R.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)A (3)C [解析] (1)因为f(x)=logax,g(x)=a-x,所以f(x),g(x)的单调性一定相反,且f(x),g(x)的图象均不过原点,故排除A,D;在B,C选项中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa的图象,由图象可知0(2)如图,作出直线y=1,则直线y=1与①②③对应图象的交点的横坐标分别为a,b,c,由图知a>b>1>c,故选A.
(3)令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)的图象恒过定点(2,1),则m=2,n=1,所以m+n=3.故选C.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)由图象可得,指数函数y=ax为减函数,对数函数y=logbx为增函数,所以01,即0(2)函数f(x)=(a-1)x,g(x)=logax,由对数函数可知,a>0且a≠1,函数f(x)的图象恒过原点,排除B,C.当01时,f(x)=(a-1)x为增函数,g(x)=logax也为增函数,故排除A.故选D.
探究点二
例2 解:(1)因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log21.9>log21.5.
(2)因为y=log0.6x在(0,+∞)上是减函数,所以log0.61.1>log0.61.3.
(3)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(4)因为0>log0.23>log0.24,所以<,即log30.2(5)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,则有logaπ>loga3.14;当01时,logaπ>loga3.14;当0变式 (1)A (2)ABC [解析] (1)由题易知a=log25+1=+1,b=log35+1=+1,c=log45+1=+1,而0>,即c(2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7,所以0.83>0.73,又y=ln x在(0,+∞)上是增函数,所以ln 0.83>ln 0.73,故A正确;因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确;因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确;因为1探究点三
例3 (1)(2,3) [解析] 由对数函数的性质可得解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)],且y=lox为减函数,∴解得2(2)解:不等式2f(x)≤g(x)即为2loga(x-1)≤loga(2x+1).
若0所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4,+∞);
若a>1,则解得1所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1,4].
综上所述,当0当a>1时,不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1,4].
变式 (1){x|0[解析] (1)若曲线y=f(x)过点(8,3),则f(8)=loga8=3=logaa3,所以a3=8,得a=2,所以f(x)=log2x.f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以不等式f(2x)(2)由题得loga(2a+1)第1课时 对数函数的图象和性质
1.函数y=loga(x-1)+2的图象过定点 ( )
A.(1,0) B.(1,1)
C.(2,2) D.(2,0)
2.函数f(x)=的定义域是 ( )
A.(0,e) B.(0,e]
C.[e,+∞) D.(e,+∞)
3.函数f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·天水一中高一期中] 若loga<1,则a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.∪
5.已知a=log43,b=log53,c=log45,则 ( )
A.bC.a6.(多选题)下列不等式成立的是 ( )
A.log0.20.3B.20.3>log32
C.log3e>ln 3
D.log25>log35
7.如图,A,B,C,D是y=lg x,y=log4x,y=log2x,y=lox四个函数的图象,则
(1)函数y=lg x的图象是 ;
(2)函数y=log4x的图象是 ;
(3)函数y=log2x的图象是 ;
(4)函数y=lox的图象是 .
8.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(2,-1),则不等式f(x)9.(13分)(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象如何变化得到的
(2)在图中作出y=|log2(x-1)|的图象(不要求写作法).
(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,M=(x1-2)(x2-2),请判断M的符号.
10.[2025·北京汇文中学高一期中] 若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为(0,1],则函数y=loga|x|的图象大致是 ( )
A B C D
11.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(9,2),则下列说法正确的是 ( )
A.a=2
B.函数f(x)为增函数
C.若x>3,则f(x)>1
D.若0f
12.已知函数f(x)=若f(a)≥2,则实数a的取值范围是 .
13.已知定义在[-2,0]上的函数f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m(x∈R)的图象不经过第一象限,则实数m的取值范围为 .
14.(15分)[2024·云南昆明高一期末] 设函数f(x)=loga(x-3)+1(a>0且a≠1).
(1)若f(12)=3,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,求a的值.
15.设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a16.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值;
(2)解关于x的不等式lo(-ax-1)>lo(a-x2).
4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
1.C [解析] 令x-1=1,则x=2,此时y=loga1+2=2,故函数图象过定点(2,2).故选C.
2.B [解析] 要使函数f(x)=有意义,则解得03.B [解析] ∵2>1,∴f(x)=log2x-2在[,8]上单调递增,又f()=log2-2=-,f(8)=log28-2=1,∴f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范围为.故选B.
4.C [解析] 当a>1时,loga<0<1,满足题意;当05.A [解析] a=log43log44=1.a=,b=,y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以16.BD [解析] 对于A,函数y=log0.2x是定义在(0,+∞)上的减函数,所以log0.20.3>log0.20.4,故A不成立;对于B,20.3>20=1=log33>log32,故B成立;对于C,log3elog24=2=log39>log35,故D成立.故选BD.
7.(1)D (2)B (3)A (4)C [解析] 对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当a>1时,函数在定义域内单调递增;当01时,底数越大,图象越靠近x轴,所以函数y=lg x的图象是D,函数y=log4x的图象是B,函数y=log2x的图象是A.
8. [解析] 由题意可得f(2)=loga2=-1,则a-1=2,解得a=.函数f(x)=lox在(0,+∞)上单调递减,由f(x)解得9.解:(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y=|log2(x-1)|的图象如图①所示.
(3)在同一坐标系中作出y=与y=|log2(x-1)|的图象,如图②所示.
不妨令x110.B [解析] 由函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为(0,1],得00时,y=logax单调递减,排除A,C,D.故选B.
11.BC [解析] 由题意知,loga9=2,可得a=3,所以f(x)=log3x,所以函数f(x)为增函数,故A错误,B正确;当x>3时,f(x)=log3x>log33=1,所以f(x)>1,故C正确;==log3,f=log3,又012.(-∞,-1]∪[4,+∞) [解析] 若a≤0,则由≥2,得a≤-1;若a>0,则由log2a≥2,得a≥4.故a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
13.(-∞,-1] [解析] 由题意可知,当a>1时,f(x)=loga(-x+1)是[-2,0]上的减函数,∴
无解;当014.解:(1)由f(12)=3可得loga(12-3)+1=3,所以a=3,
所以f(x)=log3(x-3)+1.
若f(x)>0,则log3(x-3)+1>0,
可得所以x>,故不等式f(x)>0的解集为.
(2)因为f(x)在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,
所以|loga1+1-(loga2+1)|=1,
即|loga2|=1,解得a=2或a=,
所以a的值为2或.
15.(0,1) [解析] 由题意知,当x∈(0,10)时,y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同的交点,可知|lg a|=|lg b|=c,又a16.解:(1)因为y=logax在[a,2a]上为单调函数,且函数y=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,
所以|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,解得a=2或.
(2)因为函数y=lox是(0,+∞)上的减函数,所以
即
当0当a>1时,->-1>-,原不等式的解集为.(共69张PPT)
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
探究点一 对数函数图象的识别
探究点二 利用对数函数的单调性比较大小
探究点三 解简单的对数不等式
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象,会分
底数及 描述对数函数的图象特征.
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点,会利用单调性比较函
数值的大小,会解对数方程及对数不等式.
3.会根据对数函数的图象与性质解决一些简单的问题.
知识点一 对数函数的图象和性质
解析式 底数
图象 ______________________________________________________ ______________________________________________________
定义域 值域 ___
单调性 增函数 减函数
共点性 函数值特 征
解析式 对称性 续表
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数,且的图象过定点 .( )
√
[解析] 因为当时, ,
所以函数,且的图象过定点 .
（2）对数函数的图象一定在 轴的右侧.( )
√
[解析] 因为对数函数的定义域为 ,
所以对数函数的图象一定在 轴的右侧.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数,且在 上是单调函数.( )
√
[解析] 因为当时,函数在 上是增函数,
当时,函数在 上是减函数,
所以函数,且在 上是单调函数.
（4）当时,若,则 的函数值都大于零.( )
×
[解析] 当时,若,则 的函数值都小于零.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）函数与的图象关于 轴对称.( )
×
[解析] 两函数的图象关于 轴对称.
（6）函数的定义域和值域都是 .( )
×
[解析] 函数的定义域是,值域是 ．
知识点二 根据对数函数的图象判断底数大小的方法
如图,作出直线 ,与所给图象相交,
交点的横坐标即为各个底数,依据在第一
象限内,自左向右,图象对应的对数函数
的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
探究点一 对数函数图象的识别
例1（1）［2024·北京海淀区高一期末］已知,且 ,在同
一平面直角坐标系中,函数,, 的部
分图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,,
所以, 的单调性一定相反,且, 的图象均不过原点,
故排除A,D；
在B,C选项中,过原点的图象为幂函数 的图象,
由图象可知,所以单调递减, 单调递增,
故排除B.故选C.
A. B. C. D.
√
（2）已知函数, ,
的图象分别对应图中的①②③,则下
列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图,作出直线,则直线 与①②③
对应图象的交点的横坐标分别为,, ,
由图知 ,故选A.
√
（3）已知函数 的图象恒过定
点,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 令,解得,此时 ,
所以的图象恒过定点,则,,所以 .
故选C.
√
变式（1）已知指数函数 ,对数函数
的图象如图所示,则下列关系成立的
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由图象可得,指数函数为减函数,
对数函数 为增函数,
所以,,即 .
故选B.
√
（2）在同一平面直角坐标系中,函数,
的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数,,
由对数函数可知, 且,函数的图象恒过原点,排除B,C.
当 时,为减函数,也为减函数,
当 时,为增函数, 也为增函数,故排除A.
故选D.
［素养小结］
处理对数函数图象问题的3个注意点：
（1）明确图象的分布区域.对数函数的图象经过第一、四象限.当趋
近于0时,函数图象会越来越靠近轴,但永远不会与轴相交.
（2）建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底
数的取值范围是,还是.
（3）牢记特殊点.对数函数,且的图象经过
点,和.
探究点二 利用对数函数的单调性比较大小
例2 比较下列各组中两个值的大小.
（1）, ;
解：因为在上是增函数,所以 .
（2）, ;
解：因为在上是减函数,所以 .
例2 比较下列各组中两个值的大小.
（3）, ;
解：因为, ,
所以 .
（4）, ；
解：因为,
所以 ,即 .
例2 比较下列各组中两个值的大小.
（5） ,,且 .
解：当时,函数在 上是增函数,
则有;
当时,函数在 上是减函数,
则有.
综上,当时, ;
当时, .
变式（1）已知,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题易知, ,
,
而 ,所以,即 .
故选A.
√
（2）（多选题）下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为是上的增函数,,所以 ,
又在上是增函数,所以 ,故A正确;
因为是上的增函数,,所以 ,故B正确;
因为是上的减函数, ,
所以,故C正确;
因为 ,,所以,
故D错误.故选 .
√
√
√
［素养小结］
利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较,常用的方法如下:
（1）同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较;
（2）底数和真数都不相同的两个对数值的大小比较,常引入中间量进
行比较,通常取中间量为,0,1等;
（3）底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思
想来解决,也可用换底公式化为同底,再进行比较.
探究点三 解简单的对数不等式
例3（1）不等式 的解集为______.
[解析] 由对数函数的性质可得 解得
,
且为减函数,
解得 ,
故不等式的解集为 .
（2）设且,函数 ,
,求不等式 的解集.
解：不等式即为 .
若,则解得 ,
所以不等式的解集为 ；
若,则解得 ,
所以不等式的解集为 .
综上所述,当时,不等式的解集为 ；
当时,不等式的解集为 .
变式（1）已知函数.若曲线 过点
,则不等式 的解集为_____________.
[解析] 若曲线过点,则 ,
所以,得,所以
在 上单调递增,
所以不等式等价于解得 ,
所以不等式的解集为 .
（2）已知且,若,则 的取值
范围是______.
[解析] 由题得 ,
等价于或
解得,故 的取值范围为 .
［素养小结］
解对数不等式的一般思路:
（1）把不等式两边均化为的形式;
（2）利用单调性把不等式转化为真数的大小关系比较,得到新的不等
式,要注意底数和1的关系;
（3）在真数大于零的前提下解这个新的不等式;
（4）得出不等式的解集.
1.底数对对数函数图象的影响
（1）对数函数,且 的图象
与直线的交点是 ,交点的横坐标越大,
对应的对数函数的底数越大.也就是说,
沿直线由左向右看,底数 增大,如图所示.
（2）当时,底数越大,图象越靠近轴;
当 时,底数越小,图象越靠近 轴.
（3）与,且的图象关于 轴对称.
2.对数函数的图象与性质的关系
图象特征 函数性质
续表
1.比较对数式大小的常用方法
（1）比较同底的两个对数式的大小,常利用对数函数的单调性．
（2）比较不同底数的两个对数式的大小,常用以下两种方法：①先
利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性比较
大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．
（3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小,常借助中间量
（如1,0, 等）．
（4）比较多个对数式的大小,则应先根据每个数的结构特征,以及
它们与中间量“0”和“1”的大小关系进行分组,再比较各组内的对数
式的大小即可．
（5）比较含参数的两个对数式的大小,要注意对底数是否大于1进
行分类讨论,有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．
例1（1）已知,,为正实数,且满足, ,
,则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在同一坐标系内作出
,,,
在 轴右侧的图象,如图所示.
由题可知为 与的图象的交点的横坐标,
为与的图象在第一象限内交点的横坐标,
为 与的图象的交点的横坐标.
由图可知 ,故选D.
（2）已知,, ,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] , ,
,
因为在 上单调递增,
所以,,则, ,
显然,,则,即,所以 ,
又,所以 .故选B.
2.利用单调性解不等式
解对数不等式主要是利用对数函数的单调性,如果含有参数,还需
要对参数分类讨论.
常见的对数不等式的三种类型
（1）形如的不等式,借助 的单调性求解,
如果的取值不确定,需分与 两种情况讨论；
（2）形如的不等式,应将化为以 为底数的对数式的形
式,再借助 的单调性求解；
（3）形如 的不等式,可利用图象求解.
例2（1）已知不等式成立,则实数 的
取值范围是______．
[解析] 原不等式等价于 或,
解不等式组①得 ,不等式组②无解,
所以实数的取值范围是 .
（2）设函数,则不等式 的
解集是_______.
[解析] , ,则
作出函数 的图象,如图,可知是 上的增函数.
又,是奇函数.
不等式 可
化为,
即 ,
则,即,解得,
不等式的解集是 .
练习册
1.函数 的图象过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 令,则,此时 ,
故函数图象过定点 .故选C.
√
2.函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
[解析] 要使函数有意义,则 解得,
故函数的定义域为 ,故选B.
√
3.函数在 上的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ,在 上单调递增,
又, ,
在上的取值范围为 .
故选B.
√
4.［2025·天水一中高一期中］若,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时,,满足题意；
当 时,由,得.
综上, .
故选C.
√
5.已知,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
,,在 上单调递增,
所以,故 ,所以 .
故选A.
√
6.（多选题）下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,函数是定义在 上的减函数,
所以 ,故A不成立；
对于B, ,故B成立；
对于C, ,故C不成立；
对于D,,故D成立.
故选 .
√
√
7.如图,,,,是, ,
, 四个函数的图象,则
（1）函数 的图象是________；
（2）函数 的图象是________；
（3）函数 的图象是________；
（4）函数 的图象是________.
[解析] 对于对数函数且 ,
当 时,函数在定义域内单调递增；
当 时,函数在定义域内单调递减.
所以函数的图象是.
当 时,底数越大, 图象越靠近轴,
所以函数的图象是,
函数 的图象是,函数的图象是 .
8.已知函数的图象经过点 ,则不等
式 的解集为______.
[解析] 由题意可得,则,解得 .
在上单调递减,
由 ,可得 解得 .
9.（13分）
（1）函数 的图象是由函数 的图象如何变化
得到的？
解：函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个
单位长度得到的．
9.（13分）
（2）在图中作出 的图象（不要求写作法）.
解： 的图象如图①所示.
9.（13分）
（3）设函数与函数 的图象的两个交点的横
坐标分别为,,,请判断 的符号．
解：在同一坐标系中作出 与
的图象,如图②所示.
不妨令,
由图知 , ,
所以,
故 的符号为负.
10.［2025·北京汇文中学高一期中］若函数,且
的值域为,则函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
[解析] 由函数,且的值域为 ,得,
所以当时, 单调递减,排除A,C,D.
故选B.
√
11.（多选题）已知函数,且 的图象经过点
,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数 为增函数
C.若,则
D.若,则
√
√
[解析] 由题意知,,可得,所以 ,
所以函数为增函数,故A错误,B正确；
当 时,,所以 ,故C正确；
, ,
又,所以,
所以 ,即,故D错误.
故选 .
12.已知函数若,则实数 的取值范围
是__________________.
[解析] 若,则由,得;
若,则由 ,得.
故的取值范围是 .
13.已知定义在上的函数,且
的值域是.若函数 的图象不经过第一象限,
则实数 的取值范围为__________.
[解析] 由题意可知,当时,是 上的减函数,
无解;
当时,是 上的增函数,
解得,
函数的图象不经过第一象限,
,解得 ,即的取值范围为 .
14.（15分）［2024·云南昆明高一期末］ 设函数
且 .
（1）若,解不等式 ；
解：由可得,所以 ,
所以 .
若,则 ,可得所以,
故不等式的解集为 .
14.（15分）［2024·云南昆明高一期末］ 设函数
且 .
（2）若在上的最大值与最小值之差为1,求 的值.
解：因为在 上的最大值与最小值之差为1,
所以 ,即,解得或 ,
所以的值为2或 .
15.设,是关于的方程 的两个不同实数根,且
,则 的取值范围是______.
[解析] 由题意知,当时,的图象和直线 有两个
不同的交点,可知,
又 ,,,,
的取值范围是 .
16.（15分）已知函数且 .
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1,求 的值；
解：因为在上为单调函数,且函数 在
区间 上的最大值与最小值之差为1,
所以,解得或 .
16.（15分）已知函数且 .
（2）解关于的不等式 .
解：因为函数是 上的减函数,
即
当时,,原不等式的解集为 ；
当时,,原不等式的解集为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 0
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）× （6）×
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）A （3）C 变式 （1）B （2）D
探究点二 例2（1）（2）（3）
（4） （5）当时, ;当时,
变式 （1）A （2）ABC
探究点三 例3（1） （2）当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为 变式 （1）（2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.BD 7.（1） （2） （3） 8.
9.（1）是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的 （2）如图①所示
（3）负 10.B 11.BC 12. 13.
14.（1）（2）2或 15.
16.（1）或
（2）当时,,
原不等式的解集为 ；
当时,,
原不等式的解集为