第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
【学习目标】
1.了解同底数的指数函数与对数函数互为反函数,并知道它们的图象关于直线y=x对称.
2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性等相关问题.
◆ 知识点一 反函数的概念
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.若两个函数互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log4x与y=x4互为反函数. ( )
(2)y=ax(a>0,且a≠1)与x=logay(a>0,且a≠1)的图象相同. ( )
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系
◆ 知识点二 y=logaf(x)型函数性质的研究
1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.
2.值域:先由函数y=logaf(x)的定义域确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数y=logaf(x)的值域.
3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据 法则判定.(或运用单调性的定义判定)
4.奇偶性:根据奇、偶函数的定义判定.
5.最值:先在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=log2x2在(0,+∞)上单调递增. ( )
(2)函数y=lo(x2+1)的值域为[0,+∞).( )
◆ 探究点一 反函数
例1 (1)函数y=(x≥0)的反函数为 ,其反函数的值域为 .
(2)函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的反函数的图象过定点 .
变式 (1)若函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数,则f[f(2)]= .
(2)若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),其反函数g(x)的图象过点(16,2),则函数g(x)= .
[素养小结]
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(2)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
◆ 探究点二 对数函数图象、性质的综合应用
角度1 与对数函数有关的复合函数的单调性
例2 (1)[2024·广东中山高一期末] 函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是 ( )
A.[2,+∞) B.[3,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,2]
(2)若函数f(x)=log0.5(ax-x2)在区间(-1,0)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(0,2] B.[-2,0)
C.[2,+∞) D.(-∞,-2]
变式 (1)设函数f(x)=|lg x|,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在(0,+∞)上是增函数
B.f(x)在(0,+∞)上是减函数
C.f(x)在[1,+∞)上单调递增
D.f(x)在(0,1]上单调递增
(2)(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=log2(x+1)
B.y=log2
C.y=log0.2
D.y=lo(x2-4x+5)
[素养小结]
(1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定要树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域.
(2)求此类型函数单调区间的两种思路:①利用定义求证;②借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=logat在定义域内的单调性,从而判定y=logaf(x)的单调性.
角度2 与对数函数有关的复合函数的值域或最值
例3 设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间上的最值.
变式 (1)函数f(x)=(log2x-4),当x∈[1,4]时,该函数的最小值为 .
(2)[2024·江西新余高一期末] 已知函数f(x)=ln+b是奇函数,求b的值和函数f(x)在区间(1,4]上的取值范围.
[素养小结]
求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的单调性,若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的最值情况.
第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
【课前预习】
知识点一
y=logax(a>0,且a≠1)
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:y=ax(a>0,且a≠1)的定义域为R,值域为(0,+∞),y=logax(a>0,且a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域正好互换.
知识点二
3.同增异减
诊断分析
(1)√ (2)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)y=lox(x≥1) [0,+∞) (2)(2,0) [解析] (1)由y=(x≥0)得x=loy,所以函数y=(x≥0)的反函数为y=lox(x≥1),值域为[0,+∞).
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,因为函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,2),所以其反函数的图象过定点(2,0).
变式 (1)16 (2)log2x-2
[解析] (1)∵函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数,∴f(x)=2x,故f[f(2)]=f(22)=f(4)=24=16.
(2)方法一:∵函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),∴a1+b=8①,∵其反函数g(x)的图象过点(16,2),∴函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(2,16),∴a2+b=16②,由①②解得a=2,b=2,∴f(x)=2x+2,∴g(x)=log2x-2.
方法二:∵f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的反函数为g(x)=logax-b(a>0,且a≠1),f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),∴g(x)的图象过点(8,1),∴loga8-b=1①,又g(x)的图象过点(16,2),∴loga16-b=2②,由①②解得a=2,b=2,∴g(x)=log2x-2.
探究点二
例2 (1)C (2)D [解析] (1)f(x)=log2(x2-4x+3)由y=log2t,t=x2-4x+3复合而成,由于函数y=log2t在定义域内单调递增,t=x2-4x+3在(2,+∞)上单调递增,故由复合函数的单调性可知,要求f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间,只需要
解得x>3,故f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间为(3,+∞).故选C.
(2)令t=-x2+ax,因为y=log0.5t为减函数,f(x)=log0.5(ax-x2)在区间(-1,0)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,t=-x2+ax在(-1,0)上单调递减,且t=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立.因为t=-x2+ax为二次函数,图象开口向下,对称轴方程为x=,所以由t=-x2+ax在(-1,0)上单调递减,可得≤-1,解得a≤-2.由t=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立,即ax>x2在(-1,0)上恒成立,即a
变式 (1)C (2)AC [解析] (1)f(x)=|lg x|=因为y=lg x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.故选C.
(2)y=log2(x+1)在(0,+∞)上单调递增,故 A正确;y=log2的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故该函数在(0,1]上无意义,故B错误;y=log0.2是由y=log0.2t(减函数)和t=(在(0,+∞)上单调递减)复合而成的,故该函数在(0,+∞)上单调递增,故C正确;因为x2-4x+5=(x-2)2+1>0恒成立,所以函数y=lo(x2-4x+5)的定义域为R,又y=lo(x2-4x+5)是由y=lot(减函数)和t=x2-4x+5(在(0,+∞)上不单调)复合而成的,所以该函数在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选AC.
例3 解:(1)因为f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2,
所以f(1)=loga2+loga2=2,即loga2=1,解得a=2,
故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x).
令解得-1故f(x)的定义域为(-1,3).
(2)因为f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(-x2+2x+3),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在上单调递增,在(1,2]上单调递减,y=log2x在定义域上单调递增,所以f(x)在上单调递增,在(1,2]上单调递减,又f(1)=2,f(2)=log23,f=log2>log23,
所以f(x)在区间上的最大值为f(1)=2,最小值为f(2)=log23.
变式 (1)-1 [解析] f(x)=(log2x-4)=(log2x-4)(log2x-1),∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2],令t=log2x,则f(x)=g(t)=(t-4)(t-1)=t2-t+2,易知g(t)在[0,2]上单调递减,∴f(x)min=g(2)=-1.
(2)解:由f(x)=ln+b得f(x)=ln+b,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
由f(x)=ln+b是奇函数,得f(-2)=-f(2),即ln+b=-,解得b=ln 2,
所以f(x)=ln+ln 2=ln,经检验满足f(x)=-f(-x),故b=ln 2.
令u==1+,易知u=1+在(1,4]上单调递减,则当x∈(1,4]时,u∈,故y=ln u∈,所以函数f(x)在区间(1,4]上的取值范围为.第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
1.函数y=log3x的反函数的定义域为 ( )
A.(0,+∞) B.
C.(1,4) D.[-1,4]
2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 ( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.[2025·厦门一中高一期中] 函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间为 ( )
A.(-1,1) B.(-∞,1)
C.(1,3) D.(1,+∞)
4.[2024·安徽马鞍山高一期末] 已知0A B C D
5.[2024·张家口高一期末] 函数f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≤0 B.a<2
C.-1≤a<2 D.-1≤a≤0
6.(多选题)设a>0且a≠1,函数f(x)=ax,g(x)=logax,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)与g(x)在各自的定义域内有相同的单调性
B.f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C.f(x)与g(x)都既不是奇函数,也不是偶函数
D.f(x)与g(x)有相同的定义域和值域
7.函数f(x)与g(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,4),则f(1)+f(2)= .
8.已知函数f(x)=log3为奇函数,则实数a的值为 .
9.(13分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=logax(a>1),且f(x)在上的最大值为1.
(1)求a的值;
(2)令F(x)=f+f,求函数F(x)的值域.
10.[2024·江苏常州高一期末] 已知函数f(x)=log2的定义域为[-2,0],若存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥3,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)已知函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则下列说法中错误的是 ( )
A.f(x)是偶函数,且在上单调递增
B.f(x)是奇函数,且在上单调递减
C.f(x)是偶函数,且在上单调递增
D.f(x)是奇函数,且在上单调递减
12.[2024·江西新余高一期末] 若函数f(x)=,函数f(x)与函数g(x)互为反函数,则g(-2x2-5x+3)的单调递减区间是 .
13.[2025·泉州七中高一月考] 已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 .
14.(15分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值;
(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
15.[2024·陕西渭南高一期末] 函数y=f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[s,t] D,使得f(x)在[s,t]上的取值范围为,则称y=f(x)为“减半函数”.现有函数f(x)=loga(ax+m+1)(a>0,a≠1,m≥-1)是“减半函数”,则m的取值范围是 .
16.(15分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x).
(1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<-1;
(2)若对任意的x∈(0,2),f(x)第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
1.D [解析] 由对数函数的性质可得,函数y=log3x的值域为[-1,4],则其反函数的定义域为[-1,4].故选D.
2.A [解析] ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A.
3.A [解析] 令-x2+2x+3>0,得x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-14.B [解析] 方法一:由题意,若0方法二:由题意得05.D [解析] f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增等价于同时满足:①y=x2-ax-1在(1,+∞)上单调递增,②x2-ax-1>0(x>1),即解得a≤0.结合选项可知-1≤a≤0是a≤0的充分不必要条件.故选D.
6.ABC [解析] 由指对数关系知,f(x)=ax,g(x)=logax互为反函数,即图象关于直线y=x对称,B正确;由于a相同,则f(x)=ax,g(x)=logax在各自定义域上单调性相同,且都是非奇非偶函数,A,C正确;f(x)=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),g(x)=logax的定义域为(0,+∞),值域为R,所以f(x)与g(x)的定义域和值域都不同,D错误.故选ABC.
7.-1 [解析] 由题意可得f(x)=logax,又g(x)的图象过点(-2,4),所以a-2=4,可得a=,所以f(x)=lox,所以f(1)+f(2)=lo1+lo2=0-1=-1.
8.1 [解析] 由函数f(x)为奇函数,得f(x)=-f(-x),所以log3=-log3,所以=,所以a2=1,又易知a≠-1,所以a=1.
9.解:(1)∵a>1,∴函数f(x)=logax在上单调递增.
∵f(x)在上的最大值为1,
∴f(3)=loga3=1,解得a=3.
(2)∵a=3,∴F(x)=log3+log3=log3=log3.
由解得-∴函数F(x)的定义域为.
令t=-x2,则t∈,
∴F(x)≤log3=-2,
∴F(x)的值域为(-∞,-2].
10.D [解析] 令u(x)=-a,x∈[-2,0],则u(x)在[-2,0]上单调递减,所以u(x)的最小值为u(0)=1-a>0,可得a<1,且u(x)∈[1-a,4-a].令g(u)=log2u,u∈[1-a,4-a],则g(u)=log2u在[1-a,4-a]上单调递增,所以g(u)∈[log2(1-a),log2(4-a)].因为存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥3,所以f(x)max-f(x)min≥3,所以g(u)max-g(u)min=log2(4-a)-log2(1-a)=log2≥3,可得≤a<1.故选D.
11.ABC [解析] 由题得解得x≠±,即函数f(x)的定义域为.f(x)=故f(x)在,上单调递减,在上单调递增,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)是奇函数.综上,A,B,C中说法错误,D中说法正确.故选ABC.
12. [解析] 因为函数f(x)=,函数f(x)与函数g(x)互为反函数,所以g(x)=lox,g(x)为减函数.令-2x2-5x+3>0,解得-313.[6,13] [解析] 由得1≤x≤3,所以y=[f(x)]2+f(x2)的定义域是[1,3].y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,x∈[1,3],则t∈[0,1],y=[f(x)]2+f(x2)=t2+6t+6=(t+3)2-3,所以当t=0时,ymin=6,当t=1时,ymax=13,所以所求值域为[6,13].
14.解:(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,解得a=-1,
∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,解得-1∴f(x)的定义域为(-1,3).
∵函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,y=log4t是定义域上的增函数,∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,
∴函数t=ax2+2x+3有最小值1,
∴解得a=.
(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,
∴函数t=ax2+2x+3能够取到大于0的所有实数,
则a=0或∴0≤a≤.
15. [解析] 由题意可知函数f(x)=loga(ax+m+1)(a>0,a≠1,m≥-1)在其定义域D内为增函数.若y=f(x)为“减半函数”,则存在[s,t] D,使得f(x)在[s,t]上的取值范围为,所以即所以方程loga(ax+m+1)=x必有两个不同的实数根,所以ax+m+1=,即ax-+m+1=0有两个不同的实数根.令b=>0,则方程b2-b+m+1=0有两个不同的正根b1,b2,所以解得-116.解:(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),由f(x)<-1,得log2(x+1)则0(2)依题意,g(x)=log2(4x+a),a>0,不等式f(x)依题意,当x∈(0,2)时,不等式log2(x+a)2即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0对x∈(0,2)恒成立.
设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,
则即
整理得即
解得0≤a≤1,又a>0,所以0所以正数a的取值范围是(0,1].(共75张PPT)
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象及其性质
的应用
探究点一 反函数
探究点二 对数函数图象、性质的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解同底数的指数函数与对数函数互为反函数,并知道它们的图象
关于直线 对称.
2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域
（最值）、单调性、奇偶性等相关问题.
知识点一 反函数的概念
一般地,指数函数,且 与对数函数_____________
____________互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.若两个函
数互为反函数,则它们的图象关于直线 对称.
,且
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数与 互为反函数．( )
×
（2）,且与,且 的图象
相同.( )
√
2.函数,且与,且 的定义域
和值域有什么关系
解:,且的定义域为,值域为 ,
,且的定义域为,值域为 ,
即它们的定义域和值域正好互换.
知识点二 型函数性质的研究
1.定义域:由解得 的取值范围,即为函数的定义域.
2.值域:先由函数的定义域确定 的值域,再由
的单调性确定函数 的值域.
3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据_______
_____法则判定.（或运用单调性的定义判定）
同增
异减
4.奇偶性:根据奇、偶函数的定义判定.
5.最值:先在的条件下,确定的值域,再根据 确定函数
的单调性,最后确定最值.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在 上单调递增．( )
√
（2）函数的值域为 ．( )
×
探究点一 反函数
例1（1）函数 的反函数为________________,其反
函数的值域为________.
[解析] 由得,
所以函数 的反函数为,值域为 .
（2）函数,且 的反函数的图象过定
点______.
[解析] 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称,
因为函数,且的图象恒过定点 ,
所以其反函数的图象过定点 .
变式（1）若函数是函数的反函数,则
____.
16
[解析] 函数是函数的反函数,
,故 .
（2）若函数,且的图象过点 ,其反函
数的图象过点,则函数 __________.
[解析] 方法一：
函数,且 的图象过点,①,
其反函数的图象过点,
函数,且的图象过点, ,
由①②解得,,, .
方法二：,且 的反函数为
,且,
,且 的图象过点,
的图象过点, ,
又的图象过点,,
由①②解得 ,, .
［素养小结］
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称;（2）原函数
的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
探究点二 对数函数图象、性质的综合应用
角度1 与对数函数有关的复合函数的单调性
例2（1）［2024·广东中山高一期末］函数
的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由, 复合而成,
由于函数在定义域内单调递增,
在 上单调递增,
故由复合函数的单调性可知,
要求的单调递增区间,只需要
解得,故的单调递增区间为 .
故选C.
（2）若函数在区间上单调递增,则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令,因为 为减函数,
在区间 上单调递增,
所以由复合函数的单调性可知,
在 上单调递减,且在上恒成立.
因为 为二次函数,图象开口向下,对称轴方程为,
所以由在 上单调递减,可得,解得.
由 在上恒成立,即在上恒成立,
即在 上恒成立,可得.
综上,实数的取值范围为 .故选D.
变式（1）设函数 ,则下列说法正确的是( )
A.在上是增函数 B.在 上是减函数
C.在上单调递增 D.在 上单调递增
[解析]
因为在 上为增函数,
所以在上单调递减,在 上单调递增.
故选C.
√
（2）（多选题）下列函数在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 在 上单调递增,故 A正确;
的定义域为,
故该函数在 上无意义,故B错误;
是由 （减函数）和在上单调递减
复合而成的,故该函数在 上单调递增,故C正确;
因为 恒成立,
所以函数的定义域为,
又 是由（减函数）和
在上不单调 复合而成的,所以该函数在上不单调,
故D错误.故选 .
［素养小结］
（1）求形如的函数的单调区间,一定要树立定义域优先
的意识,即由先求定义域.
（2）求此类型函数单调区间的两种思路:①利用定义求证;②借助函
数的性质研究函数和在定义域内的单调性,从而判
定的单调性.
角度2 与对数函数有关的复合函数的值域或最值
例3 设,且 .
（1）求的值及 的定义域；
解：因为 ,且 ,
所以,即,解得 ,
故 .
令解得 ,
故的定义域为 .
例3 设,且 .
（2）求在区间 上的最值.
解：因为 ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
在定义域上单调递增,
所以在 上单调递增,在上单调递减,
又, , ,
所以在区间上的最大值为,最小值为 .
变式（1）函数,当 时,该函
数的最小值为____.
[解析] ,
,,
令 ,则,
易知在 上单调递减, .
（2）［2024·江西新余高一期末］已知函数 是
奇函数,求的值和函数在区间 上的取值范围.
解：由得,
所以 的定义域为 .
由是奇函数,得 ,
即,解得 ,
所以,经检验满足 ,
故 .
令,易知在 上单调递减,
则当时,,故,
所以函数 在区间上的取值范围为 .
［素养小结］
求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的
单调性,若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的最值情况.
对反函数的理解
（1）由,且得出 ,根据函数定义知,对
每一个在区间上的值,均有唯一的值与之对应,故是 的函
数,习惯上用作为自变量,用作为函数值,则称是 的
反函数.与,且 互为反函数.
（2）指数函数,且 的定义域、值域分别是对数
函数,且 的值域、定义域.
（3）指数函数,且 的图象与对数函数
,且的图象关于直线 对称.
（4）函数,且与,且 在
各自的定义域内单调性相同,即当时,都为增函数,当 时,
都为减函数.
1.利用换元法和复合函数的单调性求对数复合函数的值域
（1）分解成 , 两个函数;
（2）求 的定义域;
（3）求 的取值范围;
（4）利用 的单调性进行求解.
例1 已知函数 .
（1）若的值域为,求实数 的取值范围;
解:因为的值域为,所以 能取遍所有正实数.
当 时,显然不满足题意;
当时, ,满足题意;
当时,若能取遍所有正实数,则 ,
可得 .
综上所述,实数的取值范围是 .
例1 已知函数 .
（2）若的定义域为,求实数 的取值范围.
解:若的定义域为,则 恒成立,
所以解得 ,
故实数的取值范围为 .
例2 已知函数.若 ,且
,讨论函数在 上的最小值．
解：当 时,
由,可得,即 ,
由,可得,即 ,
所以
因为,所以 ,
所以函数在上单调递增,
则在 上的最小值为 .
当 时,
由,可得,即 ,
由,可得,即 ,
所以
若,则 ,
此时函数在上单调递增,
则在 上的最小值为 ;
若,则 ,
当时,函数在上单调递减,
则在 上的最小值为 ,
当时,函数在上单调递减,
在 上单调递增,
则在上的最小值为 .
2.利用对数型函数综合性质解决问题
例3 ［2025·北京二中高一月考］已知 且
.
（1）判断并证明函数 的奇偶性.
解： 为奇函数.证明如下：
由,得或 ,
即函数的定义域为 ,关于原点对称.
又 ,
所以 为奇函数.
例3 ［2025·北京二中高一月考］已知 且
.
（2）令,写出 的单调区间（只需写出结论）.
解：由题意知,,
由 ,解得或 ,
即的定义域为 ,
又函数在, 上单调递增,
所以当时,在, 上单调递减,
此时的单调递减区间为, ,无单调递增区间；
当时,在, 上单调递增,
此时的单调递增区间为, ,无单调递减区间.
例3 ［2025·北京二中高一月考］已知 且
.
（3）在（2）的条件下,是否存在实数,且 ,使得函数
在区间上的取值范围为 ？若存在,求
实数 的取值范围；若不存在,说明理由.
解：由,,且,得 .
由,,得,,所以 .
因为在上单调递减,
所以在 上的取值范围为 ,
得即
所以,是方程,
即在 上的两个不同的根,
则解得 ,
所以存在满足题意的,,此时的取值范围为 .
练习册
1.函数 的反函数的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由对数函数的性质可得,
函数 的值域为,
则其反函数的定义域为 .
故选D.
√
2.函数 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] ,,,
函数 的值域为 .
故选A.
√
3.［2025· 厦门一中高一期中］函数 的单调递
增区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 令,得 ,
解得.
函数 的图象是开口向下,且对称轴方程为 的抛物线.
根据复合函数的单调性,可得函数的单调递增区间
为 .
故选A.
√
4.［2024·安徽马鞍山高一期末］已知 ,在同一坐标系中,
函数与 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题意,若,则指数函数 单调
递增,图象过定点,函数 单调递减,图象过定点,
而函数与函数的图象关于 轴对称,
所以单调递增,图象过定点 ,
对比选项可知,只有B选项符合题意.故选B.
方法二：由题意得,指数函数 单调递增,
图象过定点,排除选项A,D,
又与 互为反函数,图象关于直线 对称,排除C.
故选B.
5.［2024·张家口高一期末］函数在 上
单调递增的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 在 上单调递增等价于同时满足：
在 上单调递增,
,即解得 .
结合选项可知是 的充分不必要条件.
故选D.
√
6.（多选题）设且,函数, ,下列
说法正确的是( )
A.与 在各自的定义域内有相同的单调性
B.与的图象关于直线 对称
C.与 都既不是奇函数,也不是偶函数
D.与 有相同的定义域和值域
√
√
√
[解析] 由指对数关系知,, 互为反函数,
即图象关于直线对称,B正确；
由于相同,则 , 在各自定义域上单调性相同,
且都是非奇非偶函数,A,C正确；
的定义域为,值域为, 的定义域为,
值域为,
所以与 的定义域和值域都不同,D错误.
故选 .
7.函数与互为反函数,且 的图象过
点,则 ____.
[解析] 由题意可得,
又的图象过点 ,所以,可得,
所以 ,所以 .
8.已知函数为奇函数,则实数 的值为___.
1
[解析] 由函数为奇函数,得 ,
所以 ,所以,所以,
又易知 ,所以 .
9.（13分）已知定义在上的函数 ,且
在 上的最大值为1.
（1）求 的值；
解：, 函数在 上单调递增.
在 上的最大值为1,
,解得 .
9.（13分）已知定义在上的函数 ,且
在 上的最大值为1.
（2）令,求函数 的值域.
解： ,
.
由解得 , 函数的定义域为 .
令,则 ,
,的值域为 .
10.［2024·江苏常州高一期末］已知函数 的定义
域为,若存在,,满足 ,则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令,,则在 上单调递减,
所以的最小值为,可得 ,且.
令, ,
则在 上单调递增,
所以.
因为存在, ,满足,
所以 ,
所以 ,
可得 .故选D.
11.（多选题）已知函数 ,则下列说法
中错误的是( )
A.是偶函数,且在 上单调递增
B.是奇函数,且在 上单调递减
C.是偶函数,且在 上单调递增
D.是奇函数,且在 上单调递减
√
√
√
[解析] 由题得解得,即函数 的定义域为.
故在 , 上单调递减,在上单调递增,
又 ,
所以 是奇函数.综上,A,B,C中说法错误,D中说法正确.故选 .
12.［2024·江西新余高一期末］若函数,函数 与函数
互为反函数,则 的单调递减区间是_________.
[解析] 因为函数,函数与函数 互为反函数,
所以,为减函数.
令 ,解得,
可知的定义域为 .
在上单调递增,在 上单调递减,
利用复合函数的单调性可知,
在 上单调递减,在上单调递增,
故 的单调递减区间为 .
13.［2025·泉州七中高一月考］已知函数, ,
则函数 的值域为_______.
[解析] 由得,
所以 的定义域是
,
令,,则 ,
,
所以当 时,,当时,,
所以所求值域为 .
14.（15分）已知函数 .
（1）若,求函数 的单调递增区间；
解：,,解得 ,
.
由,解得 ,
的定义域为 .
函数在上单调递增,在 上单调递减,
是定义域上的增函数,
函数 的单调递增区间为 .
14.（15分）已知函数 .
（2）若函数的最小值是0,求实数 的值；
解： 函数 的最小值为0,
函数 有最小值1,
解得 .
（3）若函数的值域为,求实数 的取值范围.
解： 函数的值域为 ,
函数 能够取到大于0的所有实数,
则或 .
14.（15分）已知函数 .
15.［2024·陕西渭南高一期末］函数的定义域为 ,若满足
在内是单调函数,②存在,使得在 上的取
值范围为,则称 为“减半函数”.现有函数
是“减半函数”,则
的取值范围是_________.
[解析] 由题意可知函数
在其定义域 内为增函数.
若为“减半函数”,
则存在,使得在 上的取值范围为,
所以即
所以方程 必有两个不同的实数根,
所以,即 有两个不同的实数根.
令 ,则方程有两个不同的正根, ,
所以解得,
故 的取值范围是 .
16.（15分）已知函数,设 .
（1）当时,解关于的不等式 ；
解：当时,,
由 ,得 ,
则,解得 ,
所以原不等式的解集为 .
16.（15分）已知函数,设 .
（2）若对任意的,恒成立,求正数 的取值范围.
解：依题意,,,
不等式 等价于 ,
等价于 ,
依题意,当时,不等式 恒成立,
即,
即对 恒成立.
设 ,
则即
整理得即 解得,
又,所以 ,所以正数的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 ,且
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ 2.它们的定义域和值域正好互换
知识点二 3.同增异减 【诊断分析】 （1）√ （2）×
课中探究 探究点一 例1 （1） （2）
变式 （1）16 （2）
探究点二 角度1 例2 （1）C （2）D 变式 （1）C （2）AC
角度2 例3（1）, （2）最大值为,最小值为
变式 （1） （2） , 快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.ABC 7. 8.1
9.（1） （2）
