4.4.3 不同函数增长的差异
【学习目标】
1.理解函数模型的应用,能结合具体的实际问题情境,并利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长的差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸等术语的现实含义.
3.通过不同函数增长的差异,会根据实际意义选择函数的最佳模型,以此来刻画其变化规律,从而解决实际问题.
◆ 知识点 一次函数、指数函数、对数函数增长的比较
函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
在(0,+∞)上的单调性
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与 平行 随x增大逐渐近似与 平行 保持固定增长速度
增长速度 随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度 ,会超过并远远大于y=kx(k>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 ; 总存在一个x0,当x>x0时,恒有
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数x0,当x>x0时, x+2>2x恒成立. ( )
(2)增长特点是直线上升且增长速度不变的函数是一次函数y=kx+b(k>0). ( )
(3)对数函数y=lg x 的增长特点是随自变量x的增大,函数值增长的速度越来越慢. ( )
(4)因为指数函数y=ax(a>1)的增长速度最快,所以对于任意x∈R,恒有ax>2x(a>1). ( )
◆ 探究点一 增长速度的比较
例1 (1)下列函数中,y随x的增大而增大且速度越来越快的是 ( )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=3x D.y=e-x
(2)(多选题)已知函数f(x)=2x,g(x)=lox,h(x)=x-1,则在区间(0,+∞)上 ( )
A.f(x)的增长速度越来越快
B.g(x)的减少速度越来越慢
C.h(x)的减少速度越来越慢
D.g(x)的减少速度慢于h(x)的减少速度
变式 (1)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3635 6655
y2 5 29 245 2189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x之间呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 ( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
(2)函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
①图中曲线C1对应的函数为 ,曲线C2对应的函数为 .
②结合函数图象,函数值f(8),g(8),f(2025),g(2025)从大到小依次为 .
[素养小结]
三种增函数(指数函数、幂函数、对数函数)中,当自变量足够大时,指数函数的函数值最大,但必须是自变量的值大到一定程度,因此判断一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量大到一定程度时,自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就可能是指数型函数.
拓展 当x足够大时,2025x,2025x,log2025x的大小关系是 .(用“<”连接).
◆ 探究点二 利用函数增长选择合适模型
例2 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元,3000≤x≤9000)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少为多少万元
变式 [2025·福建三明一中高一期中] 金骏眉是红茶代表,色泽红艳,香气馥郁,口感甜美,营养价值高.在饮用中发现,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用100 ℃的水泡制,待茶水温度降至60 ℃时,饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表:
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100 91 82.9 75.37 69.53 64.27
设茶水温度从100 ℃经过x min后的温度变为y ℃,现给出以下三种函数模型:①y=cx+b(c<0,x≥0);②y=cax+b(c>0,01,c>0,x≥0).
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,进行实验时的室温约为多少.(参考数据:lg 3≈0.48,lg 5≈0.70)
[素养小结]
针对不同增长趋势,函数模型的选择方法:
(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越大,此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.
4.4.3 不同函数增长的差异
【课前预习】
知识点
单调递增 单调递增 单调递增 y轴
x轴 越来越快 越来越慢
ax>kx>logax
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)ABC [解析] (1)∵y=e-x=,0<<1,∴y随x的增大而减小,故D不正确;∵y=3x为一次函数,y=ex为指数函数,y=ln x为对数函数,∴随x的增大而增大且速度越来越快的是y=ex,故选A.
(2)作出三个函数在区间(0,+∞)上的图象,如图所示.根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上,f(x)的增长速度越来越快,故A正确;g(x)的减少速度越来越慢,故B正确;h(x)的减少速度越来越慢,故C正确;g(x)的减少速度快于h(x)的减少速度,故D错误.故选ABC.
变式 (1)C (2)①g(x)=x3 f (x)=2x
②f(2025),g(2025),g(8),f(8)
[解析] (1)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度可知,指数函数增长速度越来越快,对数函数增长速度越来越慢,由题中表格可知,y1是幂函数型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数.故选C.
(2)①当x足够大时,位于上方的图象对应的函数是指数函数f(x)=2x,另一个图象对应的函数就是幂函数g(x)=x3,故曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
②因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2.由图可知,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2025)>g(2025),又g(2025)>g(8),所以f(2025)>g(2025)>g(8)>f(8).
拓展 log2025x<2025x<2025x [解析] 对于三种函数,当自变量x为某一个足够大的数值时,指数函数的函数值最大,其次是幂函数的函数值,对数函数的函数值最小,故log2025x<2025x<2025x.
探究点二
例2 解:(1)由题意,符合公司要求的函数f(x)在[3000,9000]上单调递增,且对任意x∈[3000,9000],恒有f(x)≥100且f(x)≤.
①对于函数f(x)=0.03x+8,f(x)在[3000,9000]上单调递增,当x=3000时,f(3000)=98<100,不符合要求;
②对于函数f(x)=0.8x+200,f(x)在[3000,9000]上单调递减,不符合要求;
③对于函数f(x)=100log20x+50,f(x)在[3000,9000]上单调递增,且当x=3000时, f(3000)>100log2020+50>100,
因为f(x)≤f(9000)=100log209000+50<100log20160 000+50=450,而≥=600,所以当x∈时,f(x)<恒成立,因此,f(x)=100log20x+50为符合公司要求的函数模型.
(2)由100log20x+50≥350,得log20x≥3,所以x≥8000,所以公司的投资收益至少为8000万元.
变式 解:(1)由表格数据知,y随x的增大而减小,且减小速度逐渐变慢,故模型①③不符合,选模型②,
则即解得所以y=90×0.9x+10且x≥0.
(2)令y=90×0.9x+10=60,则x=log0.9=≈6.5,
所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间约为6.5 min.
(3)由0.9x∈(0,1],得y∈(10,100],所以进行实验时的室温约为10 ℃.4.4.3 不同函数增长的差异
1.下列函数中,当x足够大时,随着x的增长,增长速度最快的是 ( )
A.y=10x B.y=x10
C.y=lg x D.y=10x
2.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势 ( )
A.一次函数
B.幂函数
C.对数函数
D.指数函数
3.下面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的叙述正确的是 ( )
A.f(x)的衰减速度逐渐变慢,g(x)的衰减速度逐渐变快,h(x)的衰减速度逐渐变慢
B.f(x)的衰减速度逐渐变快,g(x)的衰减速度逐渐变慢,h(x)的衰减速度逐渐变快
C.f(x)的衰减速度逐渐变慢,g(x)的衰减速度逐渐变慢,h(x)的衰减速度逐渐变慢
D.f(x)的衰减速度逐渐变快,g(x)的衰减速度逐渐变快,h(x)的衰减速度逐渐变快
4.[2024·深圳二中高一月考] 下列选项分别是四种生意预期的收益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获得最大收益的函数模型是 ( )
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
5.已知当x>m时,不等式log2xA.(0,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,2) D.[4,+∞)
6.(多选题)已知函数y1=x3,y2=3x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是 ( )
A.当x足够大时,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2
B.当x足够大时,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,+∞)时,y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,+∞)时,y2的增长速度有时快于y1
7.一般地,对于对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0),随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度越来越 .(填“快”或“慢”)
8.当x∈(1,e)时,试探究三个函数y1=3x,y2=ln x,y3=x的增长差异,用“>”把y1,y2,y3的大小关系连接起来为 .
9.(13分)下表是随x的变化而得到的f1(x),f2(x),f3(x)的函数值.
x f1(x)=2x f2(x)=2x+7 f3(x)=log2x
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13 1.585 0
4 16 15 2
5 32 17 2.321 9
6 64 19 2.585 0
7 128 21 2.807 4
8 256 23 3
9 512 25 3.169 9
10 1024 27 3.321 9
试回答:
(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势
(2)各函数的函数值变化的快慢有什么不同
10.某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快,该植物覆盖面积y(单位:平方米)与经过时间x(x∈N,单位:月)的关系有三种函数模型y=pax(p>0,a>1),y=mlogax(m>0,a>1),y=nxα(n>0,0<α<1)可供选择,则最适合描述y与x之间关系的函数模型是 ( )
A.y=pax(p>0,a>1)
B.y=mlogax(m>0,a>1)
C.y=nxα(n>0,0<α<1)
D.三种函数模型都可以
11.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.函数y=lox减小的速度越来越慢
B.在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快
C.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100
D.当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax12.图①②③分别是y=3x与y=5x在不同范围内的图象,估算出使3x>5x成立的x的取值范围是 .(参考数据:30.27≈1.35,32.17≈10.85)
13.A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行,位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA=2x-1,yB=log2x,yC=,则下列结论中,所有正确结论的序号是 .
①当x>1时,A总走在最前面;
②当0③当x>4时,B一定走在C前面.
14.(15分)[2024·牡丹江六校高一期末] 退耕还林工程就是从保护生态环境出发,将水土流失严重的耕地,沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地,有计划、有步骤地停止耕种,因地制宜地造林种草,恢复植被.某地区执行退耕还林以来,生态环境恢复良好,2024年1月底的生物量为16 t,到了2024年4月底,生物量增长为54 t.现有两个函数模型可以用来模拟生物量y(单位:t)与月份代码x(2024年1月底月份代码为1,以此类推)的内在关系,即y=kax(k>0且a>1)与y=mx2+n(m>0).
(1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析,求出对应的解析式;
(2)若测得2024年5月底生物量约为80 t,判断上述两个函数模型中哪个更合适.
15.已知f(x),g(x)是定义在[t,+∞)上的增函数,f(t)=g(t)=M,若对任意k>M,存在x1①g(x)=2x-1;②g(x)=x2+;
③g(x)=;④g(x)=2-.
A.1 B.2
C.3 D.4
16.(15分)为了提高员工的工作积极性,某公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点要求:
(i)奖金随着销售业绩的增加而增加;
(ii)销售业绩增加时,奖金增加的速度越来越快.
公司规定销售业绩在10万元或以内时的奖金为0元,超过10万元则开始计算奖金,销售业绩为20万元时的奖金为2千元.设销售业绩为x(10≤x≤300)万元时的奖金为f(x)千元,现给出三个函数模型:①f(x)=kx+b;②f(x)=klog2x+b;③f(x)=kx2+b.其中k>0,b∈R.
(1)请选择符合该公司新的“员工激励计划”的函数模型,并给出合理的解释.
(2)试根据(1)中选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少千元
4.4.3 不同函数增长的差异
1.D [解析] 根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,当x足够大时,随着x的增长,增长速度最快的是指数函数,故选D.
2.C [解析] 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势,故选C.
3.C [解析] 由函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的图象以及性质知函数f(x),g(x),h(x)的衰减速度均逐渐变慢,故选C.
4.A [解析] 指数函数y=1.05x的底数大于1,所以其增长速度随着x的增大会越来越快,当x足够大时,它比幂函数y=x2,函数y=lg(x+1),一次函数y=50x增长的速度快,所以从足够长远的角度看,使得公司获得最大收益的函数模型是y=10×1.05x,故选A.
5.D [解析] 作出y=log2x,y=x2,y=2x的图象(横、纵轴单位长度不同),如图所示,由图可知,当x>4时,log2x6.BD [解析] 对于y1=x3,y2=3x,从负无穷开始,y2大于y1,然后y1大于y2,再然后y2再次大于y1,此后y1再也追不上y2,故当x足够大时,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1,A错误,B,D正确;对于y1=x3,y3=x,由于y3=x的增长速度是不变的,当x∈(0,1)时,y3大于y1,当x∈(1,+∞)时,y1大于y3,y3再也追不上y1,其中y1的增长速度有时快于y3,C错误.故选BD.
7.慢 [解析] 如图是一次函数y=kx(k>0)与对数函数y=logax(a>1)的图象,由图可知一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.
8.y1>y3>y2 [解析] 易知三个函数在区间(1,e)上均单调递增,所以当x∈(1,e)时,3<3x<3e,1<3>x>1>ln x,即y1>y3>y2.
9.解:(1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大.
(2)随着x的增大,f1(x)=2x的增长速度越来越快,f2(x)=2x+7均匀增长,f3(x)=log2x的增长速度越来越慢.
10.A [解析] 该植物生长蔓延的速度越来越快,因为y=pax(p>0,a>1)的增长速度越来越快,y=mlogax(m>0,a>1)和y=nxα(n>0,0<α<1)的增长速度越来越慢,所以最适合描述y与x之间关系的函数模型是y=pax(p>0,a>1).故选A.
11.AB [解析] 对于A,由对数函数的性质知,函数y=lox减小的速度越来越慢,选项A正确;对于B,由指数函数的性质知,指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快,选项B正确;对于C,由指数函数的性质知,当x足够大时,随x的增大y=1.1x的增长速度是非常快的,远远超过幂函数y=x100的增长速度,因此一定存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100,选项C不正确;对于D,取a=2,k=4,由图知,在区间(0,+∞)内,logax12.(-∞,0.27)∪(2.17,+∞)
[解析] 因为当x=0.27时,30.27≈1.35=5×0.27,当x=2.17时,32.17≈10.85=5×2.17,所以y=3x与y=5x的图象的交点情况如图所示,结合图象可知使3x>5x成立的x的取值范围是(-∞,0.27)∪(2.17,+∞).
13.①② [解析] 在同一坐标系内画出yA=2x-1,yB=log2x,yC=在(0,+∞)上的图象(横、纵轴单位长度不同)如图所示.当x>1时,函数yA=2x-1的增长速度最快,且当x=1时,yA=2-1=1,yB=log21=0,yC==1,故当x>1时,A总走在最前面,①正确;当016时,B走在C后面,③错误.故填①②.
14.解:(1)若选y=kax,由题意得解得所以y=.
若选y=mx2+n,由题意得解得所以y=x2+.
(2)对于y=,当x=5时,y=81;对于y=x2+,当x=5时,y=76.8.
所以模型y=更合适.
15.B [解析] 由题意,需满足f(x)=x2与g(x)均在[1,+∞)上单调递增,在[1,+∞)上的取值范围都是[1,+∞),且对任意的x∈(1,+∞),f(x)的图象恒在g(x)的图象上方.对于①,g(x)在[1,+∞)上单调递增,且在[1,+∞)上的取值范围是[1,+∞),f(x)-g(x)=x2-2x+1=(x-1)2>0在(1,+∞)上恒成立,符合题意;对于②,g(x)在[1,+∞)上单调递增,且在[1,+∞)上的取值范围是[1,+∞),f(x)-g(x)=(x2-1)>0在(1,+∞)上恒成立,符合题意;对于③,f(x)-g(x)=x2-,当x=15时,152-=×=×=×<0,不符合题意;对于④,g(x)=2-在[1,+∞)上的取值范围为[1,2),不符合题意.综上所述,是f(x)在 [1,+∞)上的“追逐函数”的有2个.故选B.
16.解:(1)选择模型③,理由如下:当10≤x≤300时,①②③中的f(x)均随x的增大而增大,但当x增大时,①中f(x)的增长速度不变,②中f(x)的增长速度越来越慢,③中f(x)的增长速度越来越快,故选择模型③.
(2)由题意及(1)得f(x)=kx2+b,k>0,b∈R,f(10)=0,f(20)=2,
则解得
故f(x)=-,
所以f(200)=-=266, 故销售业绩为200万元时的奖金为266千元.(共66张PPT)
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
探究点一 增长速度的比较
探究点二 利用函数增长选择合适模型
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数模型的应用,能结合具体的实际问题情境,并利用计算工
具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长的差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸等术语的现实含义.
3.通过不同函数增长的差异,会根据实际意义选择函数的最佳模型,
以此来刻画其变化规律,从而解决实际问题.
知识点 一次函数、指数函数、对数函数增长的比较
函数
__________ __________ __________
图象的 变化趋 势 保持固定增长速度
单调递增
单调递增
单调递增
轴
轴
函数
增长速 度 越来越快
越来越慢
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）存在实数,当时, 恒成立.( )
×
（2）增长特点是直线上升且增长速度不变的函数是一次函数
.( )
√
（3）对数函数的增长特点是随自变量 的增大,函数值增长的
速度越来越慢.( )
√
（4）因为指数函数 的增长速度最快,所以对于任意
,恒有 ．( )
×
探究点一 增长速度的比较
例1（1）下列函数中,随 的增大而增大且速度越来越快的
是( )
A. B. C. D.
[解析] ,,
随 的增大而减小,故D不正确；
为一次函数,为指数函数, 为对数函数,
随的增大而增大且速度越来越快的是 ,故选A.
√
（2）（多选题）已知函数,, ,则
在区间 上( )
A. 的增长速度越来越快
B. 的减少速度越来越慢
C. 的减少速度越来越慢
D.的减少速度慢于 的减少速度
√
√
√
[解析] 作出三个函数在区间 上的图象,如图所示.
根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,
在区间上, 的增长速度越来越快,故A正确；
的减少速度越来越慢,故B正确；
的减少速度越来越慢,故C正确；
的减少速度快于的减少速度,故D错误.
故选 .
变式（1）三个变量,,随着变量 的变化情况如表：
1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3635 6655
5 29 245 2189 19 685 177 149
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 之间呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依
次是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
√
[解析] 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度可知,
指数函数增长速度越来越快,对数函数增长速度越来越慢,
由题中表格可知,是幂函数型函数,是指数型函数, 是对数型函数.
故选C.
（2）函数和 的大致图象如图所示.设
两函数的图象交于点,,且 .
①图中曲线对应的函数为__________,
曲线 对应的函数为___________.
[解析] 当 足够大时,位于上方的图象对应的函数是指数函数,
另一个图象对应的函数就是幂函数,
故曲线 对应的函数为,
曲线对应的函数为 .
（2）函数和 的大致图象如图所示.
设两函数的图象交于点, ,且 .
②结合函数图象,函数值,,, 从
大到小依次为__________________________.
,,,
[解析] 因为,, , ,
所以, ,所以,.
由图可知,当 时, ,所以,
当时, , 所以,
又 ,
所以 .
［素养小结］
三种增函数（指数函数、幂函数、对数函数）中,当自变量足够大时,
指数函数的函数值最大,但必须是自变量的值大到一定程度,因此判断
一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量大到一定程度时,
自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就
可能是指数型函数.
拓展 当足够大时,,, 的大小关系是___________
_______________.（用“ ”连接）.
[解析] 对于三种函数,当自变量 为某一个足够大的数值时,
指数函数的函数值最大,其次是幂函数的函数值,对数函数的函数值最小,
故 .
探究点二 利用函数增长选择合适模型
例2 科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现
9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案：
当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金
（单位：万元）随投资收益（单位：万元, ）的
增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益
的 ．
（1）现有三个奖励函数模型： ,
, .试分析这三个函
数模型是否符合公司要求.
解：由题意,符合公司要求的函数在 上单调递增,
且对任意,恒有且 ．
①对于函数,在 上单调递增,
当时, ,不符合要求；
②对于函数,在 上单调递减,
不符合要求；
③对于函数,在 上单调递增,
且当时, ,
因为 ,
而,所以当时, 恒成立,
因此, 为符合公司要求的函数模型．
例2 科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现
9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案：
当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金
（单位：万元）随投资收益（单位：万元, ）的
增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益
的 ．
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,
公司的投资收益至少为多少万元？
解：由,得,所以 ,
所以公司的投资收益至少为8000万元．
变式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金骏眉是红茶代表,色泽红
艳,香气馥郁,口感甜美,营养价值高.在饮用中发现,茶水的口感
与水的温度有关.经实验表明,用 的水泡制,待茶水温度降至
时,饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到
最佳饮用口感的放置时间,每隔 测量一次茶水温度,得到茶水
温度随时间变化的数据如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.37 69.53 64.27
设茶水温度从经过后的温度变为 ,现给出以下三种
函数模型： ；
；
.
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根
据前3组数据求出该解析式；
解：由表格数据知,随 的增大而减小,且减小速度逐渐变慢,
故模型①③不符合,选模型②,
则即解得
所以且 .
（2）根据（1）中所求函数模型,求刚泡好的茶水达到最佳饮用口
感的放置时间；
解：令,则 ,
所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间约为 .
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,进行实验时的室
温约为多少.（参考数据：, ）
解：由,得,所以进行实验时的室温约为 .
［素养小结］
针对不同增长趋势,函数模型的选择方法:
（1）增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时
的函数模型是一次函数模型.
（2）增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来
越大,此时的函数模型是指数函数模型.
（3）增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来
越小,此时的函数模型是对数函数模型.
一次函数、指数函数和对数函数增长的函数模型
（1）指数函数增长的函数模型:
表达式为,,为常数,,,且 .当
时,增长的特点是随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越
快,常称之为“指数爆炸”;当 时,函数值由快到慢地减少.例如
生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型增长,指数
型增长随底数的不同而不同.
复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本
金,再计算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复
利计息的储蓄.
（2）对数函数增长的函数模型:
表达式为,,为常数,,,且 .
当时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着 的逐渐增大,
其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当 时,其
函数值逐渐减少,变化得越来越慢.
（3）一次函数增长的函数模型:
表达式为,为常数,,其增长情况由 的取值决定.
函数模型的选择
例 某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该
产品的年产量平稳增长.记2015年为第1年,且前4年中,第 年与年产量
（单位：万件）之间的关系如下表所示:
1 2 3 4
4.00 5.58 7.00 8.44
已知近似符合以下三种函数模型之一: ,
, .
（1）找出你认为最合适的函数模型,并说明理由,然后选取你认为最
合适的数据求出相应的解析式;
解:最合适的函数模型是 .
理由如下:若函数模型为 ,则 是减函数,与已知不符;
若函数模型为,
则由,得 ,即,
此时,, ,与已知数据相差太大,不符合.
故最合适的函数模型是 ,
由已知得解得
所以, .
（2）因遭受某国对该产品反倾销的影响,2021年的实际年产量比预计
减少 ,试根据所建立的函数模型,确定2021年的实际年产量.
解:由（1）知预计2021年的年产量为 （万件）,
故2021年的实际年产量为 （万件）.
练习册
1.下列函数中,当足够大时,随着 的增长,增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,
当足够大时,随着 的增长,增长速度最快的是指数函数,故选D.
√
2.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A.一次函数 B.幂函数 C.对数函数 D.指数函数
[解析] 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,
反映的是对数函数的增长趋势,故选C.
√
3.下面对函数,与在区间
上的衰减情况的叙述正确的是( )
A.的衰减速度逐渐变慢,的衰减速度逐渐变快, 的衰
减速度逐渐变慢
B.的衰减速度逐渐变快,的衰减速度逐渐变慢, 的衰
减速度逐渐变快
C.的衰减速度逐渐变慢,的衰减速度逐渐变慢, 的衰
减速度逐渐变慢
D.的衰减速度逐渐变快,的衰减速度逐渐变快, 的衰
减速度逐渐变快
√
[解析] 由函数,与 在区间上
的图象以及性质知函数,, 的衰减速度均逐渐变慢,故选C.
4.［2024·深圳二中高一月考］下列选项分别是四种生意预期的收益
关于时间 的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获得最大收
益的函数模型是( )
A. B.
C. D.
[解析] 指数函数的底数大于1,
所以其增长速度随着 的增大会越来越快,
当足够大时,它比幂函数 ,函数,一次函数 增
长的速度快,所以从足够长远的角度看,
使得公司获得最大收益的函数模型是 ,故选A.
√
5.已知当时,不等式恒成立,则 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 作出,, 的图象（横、纵轴单位长度不同）,
如图所示,由图可知,当时, 恒成立,
故的取值范围是 .故选D.
√
6.（多选题）已知函数,, ,则下列关于这三个
函数的描述中,正确的是( )
A.当足够大时,随着的逐渐增大,的增长速度越来越快于
B.当足够大时,随着的逐渐增大,的增长速度越来越快于
C.当时,的增长速度一直快于
D.当时,的增长速度有时快于
√
√
[解析] 对于,,从负无穷开始,大于,然后 大于,
再然后再次大于,此后再也追不上,故当 足够大时,
随着的逐渐增大,的增长速度越来越快于 ,A错误,B,D正确；
对于,,由于的增长速度是不变的,
当 时,大于,当时,大于,再也追不上 ,
其中的增长速度有时快于,C错误.
故选 .
7.一般地,对于对数函数与一次函数 ,
随着的增大,一次函数 保持固定的增长速度,而
的增长速度越来越____.（填“快”或“慢”）
慢
[解析] 如图是一次函数 与
对数函数 的图象,
由图可知一次函数 保持固定
的增长速度,而对数函数
的增长速度越来越慢.
8.当时,试探究三个函数,, 的增
长差异,用“ ”把,, 的大小关系连接起来为_____________.
[解析] 易知三个函数在区间上均单调递增,
所以当 时,,, ,
故,即 .
9.（13分）下表是随的变化而得到的,, 的函数值.
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13
4 16 15 2
5 32 17
6 64 19
7 128 21
8 256 23 3
9 512 25
10 1024 27
试回答：
（1）随着 的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
解：随着 的增大,各函数的函数值都在增大.
（2）各函数的函数值变化的快慢有什么不同？
解：随着的增大,的增长速度越来越快,
均匀增长, 的增长速度越来越慢.
续表
10.某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快,该植物覆盖面
积（单位：平方米）与经过时间,单位：月 的关系有三种
函数模型, ,
可供选择,则最适合描述与 之间关系的
函数模型是( )
A. B.
C. D.三种函数模型都可以
√
[解析] 该植物生长蔓延的速度越来越快,
因为 的增长速度越来越快,
和 的增长速度
越来越慢,所以最适合描述与 之间关系的函数模型是
.故选A.
11.（多选题）下列说法正确的是( )
A.函数 减小的速度越来越慢
B.在指数函数中,当时,底数 越大,其增长速度越快
C.不存在一个实数,使得当时,
D.当,时,在区间内,对任意的 ,总有
成立
√
√
[解析] 对于A,由对数函数的性质知,
函数 减小的速度越来越慢,选项A正确；
对于B,由指数函数的性质知,指数函数中,
当时,底数 越大,其增 长速度越快,选项B正确；
对于C,由指数函数的性质知,当 足够大时,随的增大 的增长
速度是非常快的,远远超过幂函数的增长速度,因此一定存在
一个实数,使得当 时,,选项C不正确；
对于D,取, ,由图知,在区间内,不恒
成立,选项D不正确.故选 .
12.图①②③分别是与
在不同范围内的图象,估算出使
成立的 的取值范围是______
__________________.（参考数据：
, ）
[解析] 因为当 时,
,
当 时, ,
所以与 的图象的交点情况
如图所示,结合图象可知使成立
的 的取值范围是 .
13.,,三个物体同时从同一点出发同向而行,位移 关于时间
的函数关系式分别为,, ,则下
列结论中,所有正确结论的序号是______.
①当时, 总走在最前面；
②当时, 总走在最前面；
③当时,一定走在 前面.
①②
[解析] 在同一坐标系内画出 ,
,在 上的图象
（横、纵轴单位长度不同）如图所示.
当 时,函数的增长速度最快,
且当 时,,, ,
故当时, 总走在最前面,①正确；
当时,由图可知, 总走在最前面,②正确；
当时,, ,
当 时,, ,
由图可知,
当时,走在前面,
当时, 走在 后面,③错误.
故填①②.
14.（15分）［2024· 牡丹江六校高一期末］退耕还林工程就是从保
护生态环境出发,将水土流失严重的耕地,沙化、盐碱化、石漠化
严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地,有计划、有步骤地停止
耕种,因地制宜地造林种草,恢复植被.某地区执行退耕还林以来,
生态环境恢复良好,2024年1月底的生物量为 ,到了2024年4月底,
生物量增长为.现有两个函数模型可以用来模拟生物量
（单位：）与月份代码 （2024年1月底月份代码为1,以此类推）
的内在关系,即且与 .
（1）分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析,求出对应的
解析式；
解：若选,由题意得解得 所以
若选,由题意得解得
所以 .
（2）若测得2024年5月底生物量约为 ,判断上述两个函数模型中
哪个更合适.
解：对于,当时,；
对于 ,当时, .
所以模型 更合适.
15.已知,是定义在上的增函数, ,
若对任意,存在,使得 成立,则称
是在上的“追逐函数”.已知 ,则下列四个函
数中是在 上的“追逐函数”的个数为( )
； ；
； .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由题意,需满足与均在 上单调递增,
在上的取值范围都是,
且对任意的, 的图象恒在的图象上方.
对于①,在 上单调递增,且在 上的取值范围是
在 上恒成立,符合题意；
对于②,在上单调递增,且在 上的取值范围是
在 上恒成立,符合题意；
对于③,,当 时,
,不符合题意；
对于④, 在上的取值范围为,不符合题意.
综上所述,是 在 上的“追逐函数”的有2个.
故选B.
16.（15分）为了提高员工的工作积极性,某公司想修订新的“员工激
励计划”.新的计划有以下两点要求：
（i）奖金随着销售业绩的增加而增加；
（ii）销售业绩增加时,奖金增加的速度越来越快.
公司规定销售业绩在10万元或以内时的奖金为0元,超过10万元则开
始计算奖金,销售业绩为20万元时的奖金为2千元.设销售业绩为
万元时的奖金为 千元,现给出三个函数模型：
；； .其中
, .
（1）请选择符合该公司新的“员工激励计划”的函数模型,并给出合
理的解释.
解：选择模型③,理由如下：
当时,①②③中的 均随的增大而增大,但当增大时,
①中 的增长速度不变,②中的增长速度越来越慢,③中 的
增长速度越来越快,故选择模型③.
（2）试根据（1）中选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖
金为多少千元？
解：由题意及（1）得,,, , ,
则解得 故 ,
所以 ,
故销售业绩为200万元时的奖金为266千元.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 越来越快
越来越慢
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）A （2）ABC
变式 （1）C （2）① ②,,,
拓展
探究点二 例2（1） （2）8000万元
变式（1）选模型②, 且 （2） （3）
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.BD 7.慢 8.
9.（1）随着的增大,各函数的函数值都在增大 （2）随着的增大, 的
增长速度越来越快,均匀增长,的增长速度越来越慢
10.A 11.AB 12. 13.①②
14.（1）（2）模型更合适
15.B 16.（1）选择模型③,理由略（2）266千元