4.5.1 函数的零点与方程的解
【学习目标】
1.了解函数的零点与方程解的关系,能结合函数图象初步认识方程的解、函数的零点、函数图象与x轴的公共点之间的关系.
2.了解函数零点存在定理,会结合具体的连续函数及其图象解释函数零点存在定理,并会利用定理识别函数在某个区间内是否存在零点,以及利用函数图象与性质判断函数零点的个数.
◆ 知识点一 函数的零点
定义:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫作函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)=x2-1的零点是±1. ( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). ( )
(3)任何连续函数都有零点. ( )
(4)函数y=x3+1(x∈[0,2])有零点. ( )
◆ 知识点二 函数的零点、方程的实数解、函
数图象与x轴的交点的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的 .所以方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x) 函数y=f(x)的图象与 .
◆ 知识点三 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程 的解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设f(x)=,因为f(-1)f(1)<0,所以f(x)=在[-1,1]内有零点. ( )
(2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内无零点. ( )
(3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0. ( )
◆ 探究点一 求函数的零点
例1 (1)设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-log2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为 .
(2)若函数f(x)=x2+mx+m+2的一个零点是0,则另一个零点是 .
变式 (1)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 ( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
(2)函数f(x)=ax+b的零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 .
[素养小结]
函数零点的常用求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
◆ 探究点二 探求函数零点所在区间
例2 (1) 设f(x)=ex+3x-8,经计算得部分函数值的近似值如下表:
x 1 1.25 1.5 2 2.25
f(x) -2.28 -0.76 0.98 5.39 8.24
据此可以判断方程ex+3x-8=0的根所在的区间是 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.(2,2.25)
(2)[2025·石家庄高一期中] 函数f(x)=ln(x+1)-(x>0)的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
变式 (1)[2025·浙江嘉兴八校联盟高一期中] 方程2x+ln x-5=0的解所在区间为 ( )
A.(4,5) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
(2)函数f(x)=2x+2x-7的零点所在的区间为(k,k+1),则正整数k的值为 .
[素养小结]
判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
◆ 探究点三 函数零点个数的有关问题
角度1 确定函数零点个数
例3 求函数f(x)=3x- lox的零点个数.
变式 (1)函数f(x)=-的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[素养小结]
确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来确定根的个数.
(3)图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,可用图象法解决.
(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度2 由零点个数求参数
例4 (1)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.
(2)已知函数f(x)=ax2-2x+1有两个零点,一个大于2,另一个小于2,则实数a的取值范围为 .
变式 (1)已知函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.[8,10) B.(8,10)
C.[4,5) D.(4,5)
(2)[2025·南京高一检测] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-有三个零点,则实数m的取值范围为 .
[素养小结]
解此类题的关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题,求解时首先根据已知条件构造两个函数,在同一坐标系内画出两个函数的图象,结合函数图象的交点个数,从而确定参数的范围.
拓展 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,2)∪(2,3] B.(0,2)∪(2,4]
C.(1,3) D.(0,4]
4.5.1 函数的零点与方程的解
【课前预习】
知识点一
f(x)=0 零点
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)令x2-1=0,解得x=±1,所以f(x)=x2-1的零点是±1.
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为x1,x2.
(3)如函数f(x)=1(x∈R)无零点.
(4)因为函数y=x3+1的零点是-1,所以函数y=x3+1(x∈[0,2])没有零点.
知识点二
实数解 公共点的横坐标 有零点
x轴有公共点
知识点三
连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)=0
f(x)=0
诊断分析
(1)× (2)× (3)×
[解析] (1)f(x)=的图象在[-1,1]上不是一条连续不断的曲线,f(x)=在[-1,1]内没有零点.
(2)设函数f(x)=x2,x∈[-1,1],则f(-1)f(1)>0,但f(x)在(-1,1)内有零点0.
(3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0,如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)-2 (2)2 [解析] (1)令f(x)=21-x-4=0,解得x=-1,即f(x)的零点为-1.令g(x)=1-log2(x+3)=0,解得x=-1,即g(x)的零点为-1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为-2.
(2)函数f(x)=x2+mx+m+2的一个零点为0,即f(0)=m+2=0,所以m=-2,则f(x)=x2-2x.由f(x)=x2-2x=0,解得x=0或x=2,所以f(x)的另一个零点是2.
变式 (1)D (2)0和- [解析] (1)方法一:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数f(x)的零点为0.
方法二:作出函数f(x)=的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)的零点为0.
(2)∵函数f(x)=ax+b的零点是2,∴2a+b=0,即b=-2a,∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1).由-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-,∴函数g(x)=bx2-ax的零点是0和-.
探究点二
例2 (1)B (2)D [解析] (1)由题可知,f(x)在R上单调递增,由表可得,函数f(x)=ex+3x-8的零点在(1.25,1.5)内,则方程ex+3x-8=0的根所在的区间是(1.25,1.5).故选B.
(2)因为函数f(x)=ln(x+1)-(x>0),f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,函数f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上连续不断,且单调递增,f(1)f(2)<0,所以零点所在的区间是(1,2).故选D.
变式 (1)C (2)1 [解析] (1)令f(x)=2x+ln x-5,则f(x)在(0,+∞)上连续,且单调递增.对于A,因为f(4)=8+ln 4-5=3+ln 4>0,f(5)=10+ln 5-5=5+ln 5>0,所以f(x)的零点不在(4,5)内,所以A错误;对于B,因为f(4)>0,f(3)=6+ln 3-5=1+ln 3>0,所以f(x)的零点不在(3,4)内,所以B错误;对于C,因为f(3)>0,f(2)=4+ln 2-5=ln 2-1<0,所以f(x)的零点在(2,3)内,所以方程2x+ln x-5=0的解所在区间为(2,3),所以C正确;对于D,因为f(2)<0,f(1)=2+ln 1-5=-3<0,所以f(x)的零点不在(1,2)内,所以D错误.故选C.
(2)因为函数f(x)=2x+2x-7在R上单调递增,且f(1)=2+2-7=-3<0,f(2)=4+4-7=1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(1,2),所以正整数k的值为1.
探究点三
例3 解:方法一:令f(x)=0得3x=lox.在同一平面直角坐标系中作出y=3x和y=lox的图象如图,由图可知,y=3x和y=lox的图象有1个交点,
所以f(x)=3x-lox有1个零点.
方法二:依题意,函数f(x)=3x-lox在(0,+∞)上单调递增,并且图象连续不断,
因为f=-2<0,f=-1>0,所以f(x)=3x-lox有1个零点.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)方法一:令f(x)=0,可得=,在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=和指数函数y=的图象(图略),可得交点只有一个,所以f(x)的零点只有一个,故选B.
方法二:因为y=与y=-在[0,+∞)上均单调递增,所以f(x)=-在[0,+∞)上单调递增.因为f(0)=-1,f(1)=,所以f(x)在(0,1)上有一个零点,故函数f(x)=-的零点个数为1,故选B.
(2)当x≤0时,令x2-2x+3x=0,解得x=0或x=-1,符合题意;当x>0时,令1++3x=0,得3x2+x+1=0,因为Δ=1-12<0,所以该方程无解.故函数y=f(x)+3x有2个零点.
例4 (1)D (2) [解析] (1)设f(x)=|ax-1|,关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根等价于函数f(x)=|ax-1|与函数y=2a的图象有两个交点.当a>1时,在同一直角坐标系内,函数f(x)=|ax-1|与函数y=2a的图象如图①所示,显然函数f(x)=|ax-1|与函数y=2a的图象只有一个交点,不符合题意;
当0
(2)因为函数f(x)=ax2-2x+1有两个零点,一个大于2,另一个小于2,所以关于x的方程ax2-2x+1=0 有两个不同的根,且一个根大于2,另一个根小于2,所以a≠0.因为f(2)=4a-4+1=4a-3,所以当a>0时,只需f(2)<0,即解得00,即无解.综上所述,实数a的取值范围为.
变式 (1)D (2)(-2,-)∪(,2) [解析] (1)因为函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上有且只有一个零点,所以x2+4=ax,即x+=a在(1,2)上有且只有一个实根,所以y=x+与y=a的图象在x∈(1,2)时有一个公共点.因为y=x+在(1,2)上单调递减,所以2+(2)若函数g(x)=f(x)-有三个零点,则y=f(x)与y=的图象有三个交点,f(x)=当x≤0时,y=ln|x-1|≥0,当x>0时,y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,当x>0,x→0时,y→2,f(x)的大致图象如下,要使y=f(x)与y=的图象有三个交点,则1<<2,解得拓展 A [解析] 因为[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0,所以f(x)=2或f(x)=a.因为关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根,所以f(x)的图象与直线y=2和直线y=a共有6个不同的交点,如图,f(x)的图象与直线y=2有3个交点,所以只需f(x)的图象与直线y=a有3个交点,所以a∈(1,2)∪(2,3].故选A.4.5.1 函数的零点与方程的解
1.函数f(x)=-x2+5x-6的零点是 ( )
A.(-2,3) B.2,3
C.(2,3) D.-2,-3
2.[2025·晋江高一期中] 函数f(x)=-的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.[2024·河北保定一中高一期中] 已知f(x)是定义在[-2,6]上的减函数,且f(-2)>0,f(-1)>0,f(0)>0,f(3)<0,f(6)<0,则f(x)的零点可能为 ( )
A.-1.5 B.-0.5 C.2 D.4
4.设x0是函数f(x)=-log2x的零点,若0A.f(a)=0
B.f(a)<0
C.f(a)>0
D.f(a)的符号不确定
5.[2025·广东18校高一联考] 若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是1,则函数g(x)=ax3+bx的零点是 ( )
A.0,2 B.-1,3
C.-1,0,4 D.-1,0,1
6.(多选题)[2024·北师大实验中学高一期中] 已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,并且y=f(x)是R上的增函数,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4
f(x) -0.24 1.21 3.79 10.28
下列说法中正确的是 ( )
A.f(0)<0
B.当x>2时,f(x)>0
C.函数f(x)有且仅有一个零点
D.函数g(x)=f(x)+x可能无零点
7.函数f(x)=4x-2x-2的零点是 .
8.函数f(x)=的零点个数是 .
9.(13分)下列函数是否存在零点 如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)g(x)=1-log2(x+3);
(3)h(x)=2x-1-3;
(4)m(x)=.
10.[2025·山东德州高一期中] 已知函数f(x)=若存在实数k,使得函数g(x)=f(x)-k有4个不同的零点,则实数k的取值范围是 ( )
A.[0,1] B.(0,1)
C.[0,1) D.(0,1]
11.(多选题)[2024·陕西渭南高一期末] 关于函数f(x)=x3-3x+2的零点,下列说法正确的是 ( )
A.(1,0)是f(x)的一个零点
B.f(x)在区间(-3,-1)内存在零点
C.g(x)=f(x)-+3x有两个零点
D.f(x)的零点个数与x3-3x+2=0的解的个数相等
12.已知函数f(x)=3x+x-a,若f(x0)=0,且x0∈(0,1),则a的取值范围是 .
13.[2025·荆州沙市中学高一月考] 已知函数f(x)=|2x-1|,且关于x的方程[f(x)]2-af(x)+1=0有3个不同的实数解,则a的取值范围为 .
14.(15分)[2024·山东日照高一期中] 已知函数f(x)满足f(2x-1)=4x2-2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=(1-2m)x+2-2m有两个实根,其中一个实根在区间(-1,0)内,另一个实根在区间(2,3)内,求实数m的取值范围.
15.(多选题)定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,其中a>b>c>0,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
16.(15分)已知函数f(x)=
(1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图,不需写出作图过程);
(2)求函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数.
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.B [解析] 令-x2+5x-6=0,解得x=2或x=3,故函数f(x)的零点是2,3,故选B.
2.C [解析] 因为y=,y=-都在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,显然f(x)在(0,+∞)上是连续函数,所以f(x)至多有一个零点,又f(2)=-=-<0,f(3)=-1>0,即f(2)·f(3)<0,所以根据函数零点存在定理,可得f(x)有且仅有一个零点,且该零点所在的区间是(2,3).故选C.
3.C [解析] 因为f(x)是定义在[-2,6]上的减函数,且f(0)>0,f(3)<0,所以f(x)的零点必在区间(0,3)内,所以f(x)的零点可能为2.故选C.
4.C [解析] 因为x0是函数f(x)=-log2x的零点,所以f(x0)=-log2x0=0.因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=-log2x在(0,+∞)上单调递减,故当0f(x0)=0,故选C.
5.D [解析] 由题意可得f(1)=a+b=0,可得b=-a,所以g(x)=ax3+bx=ax3-ax,令g(x)=0,得ax3-ax=ax(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x=-1,故函数g(x)=ax3+bx的零点是-1,0,1.故选D.
6.ABC [解析] 对于A,因为函数y=f(x)是R上的增函数,所以f(0)2时,f(x)>f(2)=1.21>0,故B中说法正确;对于C,因为函数y=f(x)是R上的增函数,f(1)<0且f(2)>0,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x)有且仅有一个零点,且该零点所在区间为(1,2),故C中说法正确;对于D,因为函数g(x)=f(x)+x连续,且g(0)=f(0)0,即g(0)g(1)<0,所以函数g(x)=f(x)+x在区间(0,1)上一定存在零点,故D中说法错误.故选ABC.
7.1 [解析] 令f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,即x=1.
8.2 [解析] 当x≤0时,由x2-2=0,可得x=-,当x>0时,由ln x=0,可得x=1,所以函数f(x)=的零点个数是2.
9.解: (1)解方程x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程=0,得x=-6,所以函数的零点是-6.
10.B [解析] 由题意,f(x)=由函数g(x)=f(x)-k有4个不同的零点,可得函数y=f(x)的图象和直线y=k有4个交点,函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,当x<-时,函数f(x)单调递减,当-1时,函数f(x)单调递减,且f(1)=1,所以实数k的取值范围是(0,1).故选B.
11.BD [解析] 对于A,因为f(1)=13-3+2=0,所以x=1是f(x)的一个零点,即零点是一个数,不是一个点,故A错误;对于B,f(-3)=(-3)3-3×(-3)+2=-16<0,f(-1)=(-1)3-3×(-1)+2=4>0,则f(-3)f(-1)<0,故f(x)在区间(-3,-1)内存在零点,故B正确;对于C,g(x)=f(x)-+3x=x3-+2,由于y=x3在R上单调递增,y=-在R上单调递增,故g(x)在R上单调递增,g(-1)=-1-3+2=-2<0,g(0)=1>0,故g(x)在(-1,0)内有唯一一个零点,即g(x)=f(x)-+3x有1个零点,故C错误;对于D,函数f(x)=x3-3x+2的零点即为x3-3x+2=0的解,故f(x)的零点个数与x3-3x+2=0的解的个数相等,故D正确.故选BD.
12.1解得113.(2,+∞) [解析] 函数f(x)=|2x-1|,作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程[f(x)]2-af(x)+1=0恰有3个不同的实数根,所以令t=f(x),根据图象可得t2-at+1=0有两个不同的实数根t1,t2(t1解得a>2,所以实数a的取值范围为(2,+∞).
14.解:(1)因为函数f(x)满足f(2x-1)=4x2-2x+3=(2x-1)2+2x-1+3,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+x+3.
(2)由f(x)=x2+x+3=(1-2m)x+2-2m,整理得x2+2mx+1+2m=0,
设g(x)=x2+2mx+1+2m,由二次函数的图象与性质,
可得解得-15.AD [解析] 对于A,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,因为a>b>0,所以b∈[-a,a],-b∈[-a,a],数形结合可知g(x)=b,g(x)=0,g(x)=-b都有一个解,故方程f[g(x)]=0有且仅有三个解,故A正确.对于B,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令f(x)=b,因为a>b>c>0,所以数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[f(x)]=0有且仅有一个解,故B错误.对于C,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,由题可知,a>b>c>0,则0>-c>-b>-a,数形结合可知,f(x)=b,f(x)=-b各有一个解,f(x)=0有三个解,故方程f[f(x)]=0有且仅有五个解,故C错误.对于D,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令g(x)=b,又a>b>0,数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[g(x)]=0有且仅有一个解,故D正确.故选AD.
16.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2) 在方程4[f(x)]2-13f(x)+9=0中,令t=f(x),则4t2-13t+9=(t-1)(4t-9)=0,解得t=1或t=,
即f(x)=1或f(x)=.
由f(x)的图象可知,直线y=与f(x)的图象有3个公共点,即f(x)=有3个不同的实数解;
直线y=1与f(x)的图象有4个公共点,即f(x)=1有4个不同的实数解.
综上所述,函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数为3+4=7.(共88张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
探究点一 求函数的零点
探究点二 探求函数零点所在区间
探究点三 函数零点个数的有关问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解函数的零点与方程解的关系,能结合函数图象初步认识方
程的解、函数的零点、函数图象与 轴的公共点之间的关系.
2.了解函数零点存在定理,会结合具体的连续函数及其图象解释
函数零点存在定理,并会利用定理识别函数在某个区间内是否存在
零点,以及利用函数图象与性质判断函数零点的个数.
知识点一 函数的零点
定义：对于一般函数,我们把使_________的实数 叫作函
数 的______.
零点
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的零点是 .( )
√
[解析] 令,解得,所以的零点是 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若方程有两个不等实根,,则函数 的零点为
, .( )
×
[解析] 若方程有两个不等实根,,
则函数 的零点为, .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）任何连续函数都有零点.( )
×
[解析] 如函数 无零点.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数 有零点.( )
×
[解析] 因为函数的零点是 ,
所以函数 没有零点.
知识点二 函数的零点、方程的实数解、函数图象与 轴的交点
的关系
函数的零点就是方程 的________,也就是函数
的图象与轴的________________.所以方程 有实数
解 函数________ 函数 的图象与___________
___.
实数解
公共点的横坐标
有零点
轴有公共点
知识点三 函数零点存在定理
如果函数在区间 上的图象是一条__________的曲线,且
有______________,那么,函数在区间 内至少有一个零点,
即存在,使得_________,这个 也就是方程_________的解.
连续不断
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）设,因为,所以在 内有
零点.( )
×
[解析] 的图象在 上不是一条连续不断的曲线,
在 内没有零点.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若,则在 内无零点.( )
×
[解析] 设函数,,则,
但 在 内有零点0.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若函数在内有零点,则 .( )
×
[解析] 若函数在内有零点,
则在 或处可能无定义,
即使有定义,也可能 ,
如函数在内有零点,但 .
探究点一 求函数的零点
例1（1）设函数, ,则函数
的零点与 的零点之和为____.
[解析] 令,解得,即的零点为 .
令 ,解得,即的零点为 ,
所以函数的零点与的零点之和为 .
（2）若函数 的一个零点是0,则另一个零点
是___.
2
[解析] 函数 的一个零点为0,
即 ,所以,则 .
由,解得或,
所以 的另一个零点是2.
变式（1）已知函数则函数 的零点为( )
A.,0 B.,0 C. D.0
[解析] 方法一：当时,由,解得 ；
当 时,由,解得 （舍去）.
综上,函数 的零点为0.
方法二：作出函数
的图象,如图所示,
由图可知,函数 的零点为0.
√
（2）函数的零点是2,那么函数 的零
点是_______.
0和
[解析] 函数的零点是2,
,即,
.
由,得或,
函数 的零点是0和 .
［素养小结］
函数零点的常用求法
（1）代数法:求方程的实数根.若存在实数根,则函数存在零
点,否则函数不存在零点.
（2）几何法:与函数的图象联系起来,图象与轴的交点的横
坐标即为函数的零点.
探究点二 探求函数零点所在区间
例2（1）设 ,经计算得部分函数值的近似值如下表：
1 1.25 1.5 2 2.25
0.98 5.39 8.24
据此可以判断方程 的根所在的区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知,在 上单调递增,
由表可得,函数的零点在内,
则方程 的根所在的区间是 .故选B.
√
（2）［2025·石家庄高一期中］函数 的
零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数, ,
,函数在 上连续不断,
且单调递增,,所以零点所在的区间是 .故选D.
√
变式（1）［2025·浙江嘉兴八校联盟高一期中］方程
的解所在区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 令,则在 上连续,且单调递增.
对于A,因为 ,
,
所以的零点不在 内,所以A错误；
对于B,因为 ,,
所以的零点不在 内,所以B错误；
√
对于C,因为 ,,
所以的零点在 内,
所以方程的解所在区间为 ,所以C正确；
对于D,因为,,
所以 的零点不在 内,所以D错误.
故选C.
（2）函数的零点所在的区间为 ,则正
整数 的值为___.
1
[解析] 因为函数在 上单调递增,
且,,
所以 的零点所在的区间为,所以正整数 的值为1.
［素养小结］
判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函
数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号
的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
探究点三 函数零点个数的有关问题
角度1 确定函数零点个数
例3 求函数 的零点个数.
解：方法一：令得 .
在同一平面直角坐标系中作出和 的图象如图,
由图可知,和 的图象有1个交点,
所以 有1个零点．
方法二：依题意,函数在 上单调递增,
并且图象连续不断,
因为, ,
所以 有1个零点.
变式（1）函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 方法一：令,可得 ,在同一平面直角坐标系中,
画出幂函数和指数函数 的图象（图略）,
可得交点只有一个,所以 的零点只有一个,故选B.
方法二：因为与在 上均单调递增,
所以在上单调递增.
因为, ,所以在上有一个零点,
故函数 的零点个数为1,故选B.
（2）已知函数则函数 的零点
个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 当时,令,解得或 ,符合题意；
当时,令,得 ,
因为,所以该方程无解.
故函数 有2个零点.
√
［素养小结］
确定函数零点个数的方法
（1）分解因式法:可转化为一元次方程根的个数问题,一般采用分解
因式法来解决.
（2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式
法来确定根的个数.
（3）图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,可
用图象法解决.
（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函
数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度2 由零点个数求参数
例4（1）若关于的方程且 有两个不等实
根,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，关于 的方程
且 有两个不等
实根等价于函数 与函数
的图象有两个交点.
当 时，在同一直角坐标系内，
函数 与函数 的图象如图①所示，
显然函数与函数 的图象只有一个交点,
不符合题意；
当 时，在同一直角坐标系内，
函数与函数 的
图象如图②所示，
若函数 与函数 的
图象有两个交点，
则，解得 .
故选D.
（2）已知函数 有两个零点,一个大于2,另一
个小于2,则实数 的取值范围为______.
[解析] 因为函数 有两个零点,一个大于2,另一个小于2,
所以关于的方程 有两个不同的根,
且一个根大于2,另一个根小于2,所以 .
因为,
所以当时,只需 ,即解得,
当时,只需 ,即无解.
综上所述,实数的取值范围为 .
变式（1）已知函数在 上有且只有一个零点,
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在 上有且只有一个零点,
所以,即在 上有且只有一个实根,
所以与的图象在时有一个公共点.
因为 在上单调递减,所以,即 .
故选D.
√
（2）［2025· 南京高一检测］已知函数
若函数有三个零点,则实数 的取值范围为_____
_______________.
[解析] 若函数 有三个零点,
则与 的图象有三个交点,
当 时,,
当时, ,
当,时,, 的大致图象如图,
要使与 的图象有三个交点,
则,解得 或 .
［素养小结］
解此类题的关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题,求
解时首先根据已知条件构造两个函数,在同一坐标系内画出两个函
数的图象,结合函数图象的交点个数,从而确定参数的范围.
拓展 已知函数若关于 的方程
有6个不同的实数根,则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ,所以或.
因为关于 的方程 有6个不同的实数根,
所以的图象与直线 和直线共有6个不同的交点,如图,
的图象与直线 有3个交点,
所以只需的图象与直线 有3个交点,
所以 .故选A.
1.对函数零点概念的认识
（1）函数零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数
时,函数值为零.
（2）函数是否有零点是针对对应方程是否有实数解而言的,若方程没
有实数解,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与 轴无交点.
（3）方程有几个解,其对应的函数就有几个零点.若函数 有
零点,则零点一定在其定义域内.
2.函数在区间 上的零点可能出现的三种情况
（1）有唯一零点,此时在上的图象与 轴有唯一公共点.若
在上满足①图象是一条连续不断的曲线, ,
在上是单调函数,则在 上有唯一零点.
（2）有多个零点.若在上满足情况（1）中的 ,且其图象
与轴多次相交,则在 上有多个零点.
（3）无零点.在上无零点的情况有两种:在 上的
图象不是连续不断的,如在 上没有零点;
在 上的最小（大）值大（小）于零,如
在 上没有零点.
1.应用函数零点存在定理应注意的问题
（1）并非函数所有的零点都能用这种方法找到,如 的零
点就不能用这种方法找到.只有函数值在零点的左右两侧异号时,才能
用这种方法.
（2）利用该定理只能判断函数在区间 上零点的存在性,
但不能确定其零点的个数.
例1 已知函数 的零点是1和2,求函数
的零点.
解：因为函数 的零点是1和2,所以1和2是
方程 的两个实根,
所以解得
所以函数即为 .
令,得 ,
所以函数 的零点为0.
例2 ［2025·杭州学军中学高一期中］已知函数
若关于 的方程
有5个不同的实数根,则 的取
值范围为______________
2.复合函数零点问题
[解析] 函数 的图象如图所示,
方程
化为,
解得或 ,
方程 有5个不等的实数根,
等价于的图象与直线和 共有五个交点,
而,因此或
解得 或,所以的取值范围为 .
例3 （多选题）［2024·云南昆明高一期末］ 已知
,,关于函数
的零点,下列说法正确的是( )
A.函数 有1个零点
B.函数 有2个零点
C.函数有一个零点在区间 内
D.函数有一个零点在区间 内
√
√
[解析] 因为,均在 上单调递增,
所以在上单调递增,
当时, ,当 时, ,所以的值域为 ,
又因为,令,可得 或.
当时,此方程有1个解记为,
当 时,此方程有1个解记为,
所以有2个解,所以 有2个零点,故A错误,B正确；
令,显然在 上单调递增,
又 ,
,所以,
所以的唯一零点在 内,所以,
令,显然在 上单调递增,
又 ,
,所以,
所以的唯一零点在 内,所以,
由上可知,C正确,D错误.故选 .
3.函数的性质与零点综合问题
函数性质与零点的综合问题,经常借助常见基本初等函数,结合函
数的奇偶性、周期性和对称性等,考查函数零点有关的问题,大部
分与函数图象相结合.
例4（1）（多选题）［2024·太原高一期末］ 已知函数
若方程有四个不同的实数解 ,
,,,且满足 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 作出函数 的图象,再作出直线 ,如图,
由得 ,
由对称性得,
且,, ,
因此 ,A正确；
,当且仅当时等号成立,
又当 时,,当 时, ,
因此由对勾函数的性质可得 ,B错误；
同理由对勾函数的性质得 ,
因此 ,C正确；
因为 ,
所以 ,D正确.
故选 .
（2）［2024· 长沙长郡中学高一期末］已知,, 分别是函
数与的零点,若 ,
则 的取值范围为________.
[解析] 由题意,,分别为 ,与 图象交点的横坐标,
而与的图象关于直线 对称,
直线与直线 垂直,
因此这两个交点关于直线 对称,如图所示,
,,, .
练习册
1.函数 的零点是( )
A. B.2,3 C. D.,
[解析] 令,解得或,
故函数 的零点是2,3,故选B.
√
2.［2025·晋江高一期中］函数 的零点所在的区间
为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,都在 上单调递增,
所以 在上单调递增,
显然在 上是连续函数,所以 至多有一个零点,
又, ,即,
所以根据函数零点存在定理,可得 有且仅有一个零点,
且该零点所在的区间是 .
故选C.
3.［2024·河北保定一中高一期中］已知是定义在 上的减
函数,且,,,, ,
则 的零点可能为( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 因为是定义在上的减函数,且, ,
所以的零点必在区间内,所以 的零点可能为2.
故选C.
√
4.设是函数的零点,若,则 的值
满足( )
A. B.
C. D. 的符号不确定
[解析] 因为是函数 的零点,
所以.
因为在 上单调递减,在上单调递增,
所以函数 在上单调递减,
故当时, ,故选C.
√
5.［2025·广东18校高一联考］若函数 有一个零
点是1,则函数 的零点是( )
A.0,2 B.,3 C.,0,4 D. ,0,1
[解析] 由题意可得,可得 ,
所以,
令 ,得,
解得或或 ,
故函数的零点是 ,0,1.
故选D.
√
6.（多选题）［2024·北师大实验中学高一期中］ 已知函数 的
图象是连续不断的,并且是 上的增函数,有如下的对应值表：
1 2 3 4
1.21 3.79 10.28
下列说法中正确的是( )
A.
B.当时,
C.函数 有且仅有一个零点
D.函数 可能无零点
√
√
√
[解析] 对于A,因为函数是 上的增函数,
所以 ,故A中说法正确；
对于B,因为函数是上的增函数,
所以当时, ,故B中说法正确；
对于C,因为函数是 上的增函数,且,
即,所以函数 有且仅有一个零点,
且该零点所在区间为 ,故C中说法正确；
对于D,因为函数连续,且 ,
,即,
所以函数 在区间上一定存在零点,故D中说法错误.
故选 .
7.函数 的零点是___.
1
[解析] 令,
得 ,即 .
8.函数 的零点个数是___．
2
[解析] 当时,由,可得,
当 时,由,可得,
所以函数 的零点个数是2.
9.（13分）下列函数是否存在零点？如果存在,请求出；如果不存在,
请说明理由．
（1） ；
解： 解方程,得或 ,
所以函数的零点是, .
（2） ；
解：解方程,得,所以函数的零点是 .
（3） ；
解：解方程,得,所以函数的零点是 .
9.（13分）下列函数是否存在零点？如果存在,请求出；如果不存在,
请说明理由．
（4） .
解：解方程,得,所以函数的零点是 .
10.［2025·山东德州高一期中］已知函数 若
存在实数,使得函数有4个不同的零点,则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意,
由函数 有4个不同的零点,
可得函数的图象和直线 有4个交点,
函数的图象如图所示,
由图可知,当时,函数 单调递减,
当时,函数单调递增,且 ,
当时,函数单调递增,
当时,函数 单调递减,且,
所以实数的取值范围是 . 故选B.
11.（多选题）［2024·陕西渭南高一期末］ 关于函数
的零点,下列说法正确的是( )
A.是 的一个零点
B.在区间 内存在零点
C. 有两个零点
D.的零点个数与 的解的个数相等
[解析] 对于A,因为,
所以是 的一个零点,即零点是一个数,不是一个点,故A错误；
对于B, ,
√
√
,则 ,
故在区间 内存在零点,故B正确；
对于C,,
由于在 上单调递增,在上单调递增,
故在 上单调递增,,,
故在 内有唯一一个零点,即 有1个零点,
故C错误；
对于D,函数的零点即为 的解,
故的零点个数与 的解的个数相等,故D正确.
故选 .
12.已知函数,若,且,则 的
取值范围是__________.
[解析] 由于,在 上均单调递增,
故函数在 上单调递增,
又,且 ,
所以 解得 .
13.［2025·荆州沙市中学高一月考］已知函数 ,且关
于的方程有3个不同的实数解,则 的取值
范围为________.
[解析] 函数,作出函数 的图象如图所示,
因为关于的方程 恰有3个不同的实数根,
所以令,
根据图象可得有两个
不同的实数根 ,,
则,.
记 ,则有 解得,
所以实数的取值范围为 .
14.（15分）［2024·山东日照高一期中］ 已知函数 满足
.
（1）求函数 的解析式；
解： 因为函数 满足
,
所以函数的解析式为 .
14.（15分）［2024·山东日照高一期中］ 已知函数 满足
.
（2）若关于的方程 有两个实根,其中
一个实根在区间内,另一个实根在区间内,求实数 的
取值范围.
解：由 ,
整理得 ,设 ,
由二次函数的图象与性质,可得
解得,故实数 的取值范围为 .
15.（多选题）定义域和值域均为的函数和
的图象如图所示,其中 ,则下列四个结论中正确的是( )
A.方程 有且仅有三个解
B.方程 有且仅有三个解
C.方程 有且仅有九个解
D.方程 有且仅有一个解
√
√
[解析] 对于A,令,数形结合可知,或 或,
因为,所以, ,
数形结合可知,,都有一个解,
故方程 有且仅有三个解,故A正确.
对于B,令 ,数形结合可知,,令,
因为 ,所以数形结合可知,该方程有一个解,
故方程 有且仅有一个解,故B错误.
对于C,令,数形结合可知,或或 ,
由题可知,,则,
数形结合可知, ,各有一个解,有三个解,
故方程 有且仅有五个解,故C错误.
对于D,令,数形结合可知, ,令,
又 ,数形结合可知,该方程有一个解,
故方程有且仅有一个解,故D正确.
故选 .
16.（15分）已知函数
（1）在图中作出函数 的图象
（直接作图,不需写出作图过程）；
解：函数 的图象如图所示.
16.（15分）已知函数
（2）求函数 的
零点个数.
解：在方程 中,
令 ,
,
解得或 ,
即或 .
由的图象可知,
直线与 的图 象有3个公共点,即 有3个不同的实数解；
直线与的图象有4个公共点,即 有4个不同的实数解.
综上所述,函数的零点个数为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 零点 【诊断分析】（1）√（2）×（3）×（4）×
知识点二 实数解 公共点的横坐标 有零点 轴有公共点
知识点三 连续不断
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 （1） （2）2 变式 （1）D （2）0和
探究点二 例2 （1）B （2）D 变式 （1）C （2）1
探究点三 角度1 例3 1个 变式 （1）B （2）C
角度2 例4 （1）D （2） 变式（1）D （2） 拓展 A
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.ABC 7.1 8.2
9.（1）, （2） （3） （4）
10.B 11.BD 12. 13.
14.（1）（2）15.AD
16.（1）如图
（2）7